資源簡介

10.1.3--4古典概型及概率的性質
本節課知識點目錄：
古典概型的判斷
古典概型的計算。
綜合性古典概型計算
互斥事件概率公式的應用
對立事件概率公式的應用
概率性質的綜合應用
一、古典概型的判斷
知識點二　古典概型
一般地，若試驗E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
【典型例題】
【例1】判斷正誤．
（1）任何一個事件都是一個樣本點．( )
（2）古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等．( )
（3）古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的．( )
【例2】下列是古典概型的是（ ）
A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點
B．求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項目，求甲被選中的概率
D．拋擲一枚質地均勻的硬幣至首次出現正面為止，拋擲的次數作為樣本點
【例3】下列試驗是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球}
B．在區間[－1,5]上任取一個實數x，使x2－3x＋2＞0
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
【例4】下列試驗中，是古典概型的個數為（ ）
①種下一粒花生，觀察它是否發芽；
②向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；
③從正方形內，任意取一點，點恰與點重合；
④從1，2，3，4四個數字中，任取兩個數字，求所取兩數字之一是2的概率；
⑤在區間上任取一個數，求此數小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】下列有關古典概型的四種說法：
①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；
②每個事件出現的可能性相等；
③每個樣本點出現的可能性相等；
④已知樣本點總數為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發生的概率.
其中所正確說法的序號是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
【例6】下列概率模型中不是古典概型的為（ ）
A．從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性大小
B．同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，點數和為6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率
【例7】袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球，每個球有一個區別于其他球的編號，從中摸出一個球．
(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作是一個樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？
(2)若按球的顏色為樣本點，有多少個樣本點？以這些樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？
【對點實戰】
1.下列試驗中是古典概型的是（ ）
A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球
C．向一個圓面內隨機地投一個點，觀察該點落在圓內的位置
D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環
2.下列概率模型，其中屬于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點
B．某射手射擊一次，可能命中0環，1環，2環，…，10環
C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講
D．一只使用中的燈泡壽命長短
3.下列事件屬于古典概型的是（ ）
A．任意拋擲兩顆均勻的正方體骰子，所得點數之和作為基本事件
B．籃球運動員投籃，觀察他是否投中
C．測量一杯水分子的個數
D．在4個完全相同的小球中任取1個
4.下列是古典概型的個數有（ ）
①已知且，從中任取一個數，則滿足的概率
②同時擲兩顆骰子，點數和為11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10個人站成一排，其中甲在乙右邊的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
5.向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？
6.某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中環、命中環……命中環和不中環.你認為這是古典概型嗎？為什么？
二、古典概型的計算
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
【典型例題】
【例1】盒中裝有形狀、大小完全相同的個球，其中紅色球個，黃色球個.若從中隨機取出個球，則所取出的個球顏色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中，則“a＝b”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例3】箱子中放有一雙紅色和一雙黑色的襪子，現從箱子中同時取出兩只襪子，則取出的兩只襪子正好可以配成一雙的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例4】從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【例5】從甲 乙 丙 丁4人中選3人當代表，則甲被選中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例6】小王同學有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時 小王都將筆桿和筆帽套在一起，但偶爾也會將筆桿和筆帽隨機套在一起，則小王將兩支筆的筆桿和筆帽的顏色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例7】饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
某社區防疫志愿者中有2人的工作是負責測量體溫，有3人的工作是負責查驗行程碼.若則這5人中任選2人參加優秀志愿者評選，則選取的2人負責不同工作的概率為（ ）
A． B． C． D．
2.集合A=，，從A，B中各取一個數，則這兩數之和等于5的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3.．拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（ ）.
A． B．
C． D．
4.若某臺電腦每秒生成一個數字1或2，則該電腦運行三秒后生成的數字之和能被3整除的概率為（ ）
A． B． C． D．
5.從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩數，則所取兩數均為偶數的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.．“拋擲兩枚骰子，所得的一個點數恰好是另一個點數的2倍”的概率為（ ）
A． B． C． D．
三、綜合型古典概型計算
利用古典概型公式計算概率的步驟
(1)確定樣本空間的樣本點的總數n.
(2)確定所求事件A包含的樣本點的個數m.
(3)P(A)＝.
【典型例題】
【例1】袋子中有四個小球，分別寫有“美、麗、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“中、國、美、麗”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知數據1，2，3，4，的平均數與中位數相等，從這5個數中任取2個，則這2個數字之積大于5的概率為
A． B． C． D．
【例3】盒中裝有形狀、大小完全相同的個球，其中紅色球個，黃色球個.若從中隨機取出個球，則所取出的個球顏色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】把一個骰子連續拋擲兩次，得到的點數依次為，，則使得關于的方程有2個互不相等的實數根的概率為________．
【例5】我國古代的一些數字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如清代鄭板橋的《題畫竹》》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊.”現從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數字組成，則恰好能使得的概率是____________.
【例6】某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數；
（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者.
（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為43和1，據此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【例7】新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有660人.
(1)求頻率分布直方圖中的值及所調查的總人數；
(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的中位數和平均數（精確到0.1）；
(3)為了今后更好地完成當地的防疫工作，政府部門又按照分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出6人進行詳細的調查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率.
【對點實戰】
1.某地為方便群眾接種新冠疫苗，開設了，，，四個接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲，乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（ ）
A． B． C． D．
2.．先后兩次拋擲同一個骰子，將得到的點數分別記為a，b，則a，b，4能夠構成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
3.“2021年全國城市節約用水宣傳周”已于5月9日至15日舉行，某市圍繞“貫徹新發展理念，建設節水型城市”這一主題，開展了形式式樣、內容豐富的活動，進一步增強全民保護水資源、防治水污染、節約用水的意識，為了解活動開展成效，該市的某街道辦事處工作人員赴一小區調查住戶的節約用水情況，隨機抽取了300名業主進行節約用水調查評分，將得到的分數分成6組：[70，75]，（75，80]，（80，85]，（85，90]，（90，95]，（95，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值，并求這300名業主評分的中位數；
(2)若先用分層抽樣的方法從評分在（90，95]和（95，100]的業主中抽取5人，然后再從抽出的這5名業主中任意選取2人作進一步訪談，求這2人中至少有1人的評分在（95，100]的概率．
4.為進一步加強中華傳統文化教育，提高學生的道德素養，培養學生的民族精神，更好地讓學生傳承和發揚中國傳統文化和傳統美德，某校組織了一次知識競賽．現對參加活動的1280名學生的成績(滿分100分)做統計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．
請大家完成下面問題：
(1)求參賽同學的平均數與中位數(小數點后保留2位)(以每個區間的中點作為本區間的取值)；
(2)若從該校80分至100分之間的同學按分層抽樣抽取一個容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．
5.飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎，全民積極維護飲用水水源安全，保障安全飲水.同時，國家提倡節約用水，各地積極開展節水 用水安全活動.為了提高節水用水意識，蘇州市某校開展了了“節約用水，從我做起”主題競賽活動，從參賽的學生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次參賽學生成績的平均分（同一組數據用該組區間的中點點值代表）；
(2)在該樣本中中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學生中隨機抽取6人調查他們的答題情況，再從這6人中隨機抽取3人進行深入調研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.
6.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，現從參與調查的人群中隨機選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示
(1)求樣本中第3組人數；
(2)根據頻率分布直方圖，估計參與調查人群的樣本數據的平均數和第80百分位數；
(3)若從年齡在的人中隨機抽取兩位，求至少有一人的年齡在內的概率.
7.某校學生營養餐由A和兩家配餐公司配送．學校為了解學生對這兩家配餐公司的滿意度，采用問卷的形式，隨機抽取了40名學生對兩家公司分別評分．根據收集的80份問卷的評分，得到如圖A公司滿意度評分的頻率分布直方圖和B公司滿意度評分的頻數分布表：
評分分組 頻數
， 2
， 8
， 14
， 14
， 2
(1)根據A公司的頻率分布直方圖，估計該公司滿意度評分的中位數（結果保留一位小數）；
(2)從滿意度高于90分的問卷中隨機抽取兩份，求這兩份問卷都是給A公司評分的概率；
(3)請從統計角度，對A、兩家公司做出評價．
四、互斥事件概率公式的應用
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
【典型例題】
【例1】若，則互斥事件和B的關系是（ ）
A． B．A，B是對立事件
C．A，B不是對立事件 D．A=B
【例2】若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例3】甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.7，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【例4】袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設得分為隨機變量ξ，則ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝根據以往二人的比賽數據分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則本次比賽中甲獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6】某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：
污染指數 30 60 100 110 130 140
概率
其中污染指數時，空氣質量為優；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優的概率為（ ）A． B． C． D．
【例7】擲一枚骰子的試驗中，出現各點的概率均為，事件表示“出現小于5的偶數點”，事件表示“出現小于5的點數”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發生的概率為______.
【例8】已知隨機事件發生的概率滿足條件，某人猜測事件發生，則此人猜測正確的概率為（ ）
A．1 B． C． D．0
【對點實戰】
1.甲 乙兩個同學下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸的概率為0.7，則甲 乙下成和棋的概率為（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
2.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3.拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“不小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發生的概率為（ ）
A． B． C． D．
4.如果事件A與B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，則事件A的概率為（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5.中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為__________.
6.一枚硬幣連擲三次，事件A為“三次反面向上”，事件B為“恰有一次正面向上”，事件C為“至少兩次正面向上”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
7.．若，為互斥事件，則
A． B．
C． D．
8.某家庭電話,打進的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內被接的概率為(　　)
A． B． C． D．
五、對立事件概率公式的應用
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
【典型例題】
【例1】事件A與B是對立事件，且，則等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
【例2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【例3】從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，．則事件“抽到的不是一等品”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【例4】從5個同類產品（其中3個正品，2個次品）中，任意抽取2個，下列事件發生概率為的是（ ）
A．2個都是正品 B．恰有1個是正品 C．至少有1個正品 D．至多有1個正品
【例5】已知，則函數在區間(1，+∞)上為增函數的概率為________.
【例6】一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________.
【例7】．已知兩個事件和互斥，記事件是事件的對立事件，且，，則_____________．
【例8】事件A，B互斥，它們都不發生的概率為，且P(A)＝2P(B)，則P()＝________．
【對點實戰】
1.下列說法正確的是
A．事件A, B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大
B．事件A，B同時發生的概率一定比A, B中恰有一個發生的概率小
C．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件
2.從一箱分為四個等級的產品中隨機地抽取一件，設事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，則事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都屬于合格品）”的概率為（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05
3.圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率為，則取出的2粒顏色不同的概率為（ ）
A． B． C． D．
4.擲一個骰子的試驗，事件表示“小于5的偶數點出現”，事件表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件發生概率為__________.
5.甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
6.隨機猜測“選擇題”的答案，每道題猜對的概率為0.25，則兩道選擇題至少猜對一道以上的概率約為
A． B．
C． D．
7.將一顆質地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是
A． B． C． D．
8.已知隨機事件和互斥，且,.則
A． B． C． D．
六、概率性質的綜合應用
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例題】
【例1】下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】從1，2，3，…，30這30個數中任意摸出一個數，則事件“摸出的數是偶數或能被5整除的數”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3】設A、B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是（ ）
A．事件A B，則P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，則A和B一定相互獨立
C．若A和B相互獨立，則A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【例4】不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A．2張卡片都不是紅色 B．2張卡片不都是紅色
C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片至多有1張紅色
【例5】從、、、這個數中一次隨機地取個數，記所取的這個數的和為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．事件“”的概率為
B．事件“”的概率為
C．事件“”與事件“”為互斥事件
D．事件“”與事件“”互為對立事件
【例6】袋中有12個除顏色外均相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，取到紅球的概率是，取到黑球或黃球的概率是，取到黃球或綠球的概率是，試求從中任取一球，取到黑球、黃球、綠球的概率各是多少.
【例7】袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個，其中白球3個，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
（1）求取球2次即終止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
【例8】下表為某班的英語及數學成績，全班共有學生50人，成績分為1~5分五個檔次．設x、y分別表示英語成績和數學成績．表中所示英語成績為4分的學生共14人，數學成績為5分的共5人．
y分 人數 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【對點實戰】
1.拋擲一枚質地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數是奇數”，事件B表示“向上的點數不超過3”，則P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
2.從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至多有一個白球”中的哪幾個（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
3.某人拋一顆質地均勻的骰子，記事件A=“出現的點數為奇數”，B=“出現的點數不大于3”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A與B對立 B．
C．事件A與B互斥 D．
4.事件A,B的概率分別為,,且,則
A． B． C． D．無法判斷
5.某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．
（1）求1張獎券中獎的概率；
（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
6.袋中有9個大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球 黃球 綠球，從中任意取一球，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求：
(1)袋中黑球 黃球 綠球的個數分別是多少？
(2)從所有黑球、黃球中任取兩個球，黑球與黃球各得一個得概率是多少？
(3)從中任取兩個球，得到的兩個球顏色不相同的概率是多少？
7.某射擊運動員平時訓練成績的統計結果如下：
命中環數 6 7 8 9 10
頻率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果這名運動員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率；
（1）命中10環；
（2）命中的環數大于8環；
（3）命中的環數小于9環；
（4）命中的環數不超過5環.
10.1.3--4古典概型及概率的性質
本節課知識點目錄：
古典概型的判斷
古典概型的計算。
綜合性古典概型計算
互斥事件概率公式的應用
對立事件概率公式的應用
概率性質的綜合應用
一、古典概型的判斷
知識點二　古典概型
一般地，若試驗E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
【典型例題】
【例1】判斷正誤．
（1）任何一個事件都是一個樣本點．( )
（2）古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等．( )
（3）古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的．( )
【答案】 × √ √
【詳解】（1）一個事件可能是一個樣本點，也可能包含多個樣本點，故錯誤；
（2）古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等，故正確；
（3）古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的，故正確.
【例2】下列是古典概型的是（ ）
A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點
B．求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項目，求甲被選中的概率
D．拋擲一枚質地均勻的硬幣至首次出現正面為止，拋擲的次數作為樣本點
【答案】C
【分析】根據古典概型的定義，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】A項中由于點數的和出現的可能性不相等，故A不是古典概型；
B項中的樣本點的個數是無限的，故B不是古典概型；
C項中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．
故選：C
【例3】下列試驗是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球}
B．在區間[－1,5]上任取一個實數x，使x2－3x＋2＞0
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
【答案】C
【分析】根據古典概型的特征：①有限性；②等可能性即可判斷.
【詳解】根據古典概型的兩個特征進行判斷.
A項中兩個基本事件不是等可能的，
B項中基本事件的個數是無限的，
D項中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，
C項符合古典概型的兩個特征.
故選：C
【例4】下列試驗中，是古典概型的個數為（ ）
①種下一粒花生，觀察它是否發芽；
②向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；
③從正方形內，任意取一點，點恰與點重合；
④從1，2，3，4四個數字中，任取兩個數字，求所取兩數字之一是2的概率；
⑤在區間上任取一個數，求此數小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據古典概型概率的定義，事件需滿足：一、試驗結果只有有限種可能；二、每個事件發生的可能性相同.根據定義判斷幾個選項即可判斷是否為古典概型.
【詳解】對于①，對于花生有“發芽”和“不發芽”兩種情況，而這兩種情況發生的概率一般不相等，因而不滿足古典概型各事件發生的概率相等這一要求，所以①錯誤；
對于②，向上拋一枚質地不均勻的硬幣，正面向上和反面向上的概率不相等，因而不滿足古典概型各事件發生的概率相等這一要求，所以②錯誤；
對于③，從正方形內，任意取一點，該點的位置有無數種可能，因而不滿足古典概型的基本事件可以列舉這一要求，故③錯誤；
對于④，從1，2，3，4四個數字中，任取兩個數字，求所取兩數字之一是2，滿足古典概型概率的要求，所以④正確；
對于⑤，在區間上任取一個數，此數小于2有無數種可能，因而不是古典概型.
綜上可知，正確的為④，
故選：B
【例5】下列有關古典概型的四種說法：
①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；
②每個事件出現的可能性相等；
③每個樣本點出現的可能性相等；
④已知樣本點總數為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發生的概率.
其中所正確說法的序號是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】D
根據古典概型的基本概念及概率公式，即可得出結論
【詳解】②中所說的事件不一定是樣本點，所以②不正確；
根據古典概型的特點及計算公式可知①③④正確.
故選:D.
【例6】下列概率模型中不是古典概型的為（ ）
A．從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性大小
B．同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，點數和為6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率
【答案】C
【分析】根據古典概型的特點，即可判斷出結果.
【詳解】解：古典概型的特點:①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等.
顯然A B D符合古典概型的特征，所以A B D是古典概型；
C選項，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.
故選：C.
【例7】袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球，每個球有一個區別于其他球的編號，從中摸出一個球．
(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作是一個樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？
(2)若按球的顏色為樣本點，有多少個樣本點？以這些樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？
【答案】(1)11種，以球的編號為樣本點的概率模型為古典概型
(2)答案見解析，不是古典概型
【分析】根據古典概型的特征：等可能性即可得出答案.
(1)
由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法．
又因為所有球大小相同．
因此，每個球被摸到的可能性相等，
即以球的編號為樣本點的概率模型為古典概型．
(2)
由于11個球共有3種顏色，因此共有3個樣本點，
分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”．
因為所有球的大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為.
又因為有5個白球，所以一次摸球摸中白球的可能性為.
同樣，摸中黑球、紅球的可能性均為.
顯然這三個樣本點出現的可能性不相等，
故以顏色為樣本點的概率模型不是古典概型．
【對點實戰】
1.下列試驗中是古典概型的是（ ）
A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球
C．向一個圓面內隨機地投一個點，觀察該點落在圓內的位置
D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環
【答案】B
【分析】利用古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性進行判斷．
【詳解】解：古典概型滿足兩個條件：
隨機實驗所有可能的結果是有限的；②每個基本結果發生的概率是相同的．
在A中，這個試驗的基本事件共有“發芽”，“不發芽”兩個，而“發芽”或“不發芽”這兩種結果出現的機會一般是不均等的，故不是古典概型；
在B中，觀察球的顏色，滿足古典概型的兩個條件，故B是古典概型；
在C中，實驗的結果是無窮的，故不是古典概型；
在D中，不滿足基本事件是等可能的，故不是古典概型．
故選：B．
2.下列概率模型，其中屬于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點
B．某射手射擊一次，可能命中0環，1環，2環，…，10環
C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講
D．一只使用中的燈泡壽命長短
【答案】C
【分析】根據古典概型的特征依次判斷即可.
【詳解】A不屬于，原因：所有橫坐標和縱坐標都是整數的點有無限多個，不滿足有限性；
B不屬于，原因：命中0環，1環，2環，…，10環的概率不一定相同，不滿足等可能性；
C屬于，原因：顯然滿足有限性，且任選1人與學生的性別無關，是等可能的；
D不屬于，原因：燈泡的壽命是任何一個非負實數，有無限多種可能，不滿足有限性．
故選：C.
3.下列事件屬于古典概型的是（ ）
A．任意拋擲兩顆均勻的正方體骰子，所得點數之和作為基本事件
B．籃球運動員投籃，觀察他是否投中
C．測量一杯水分子的個數
D．在4個完全相同的小球中任取1個
【答案】D
根據古典概率的特征，逐項判斷，即可得出結果
【詳解】判斷一個事件是否為古典概型，主要看它是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性.
A選項，任意拋擲兩顆均勻的正方體骰子，所得點數之和對應的概率不全相等，如點數之和為與點數之和為發生的可能性顯然不相等，不屬于古典概型，故A排除；
B選項，“投中”與“未投中”發生的可能性不一定相等，不屬于古典概型，故B排除；
C選項，杯中水分子有無數多個，不屬于古典概率，故C排除；
D選項，在4個完全相同的小球中任取1個，每個球被抽到的機會均等，且包含的基本事件共有4個，符合古典概型，故D正確.
故選：D.
4.下列是古典概型的個數有（ ）
①已知且，從中任取一個數，則滿足的概率
②同時擲兩顆骰子，點數和為11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10個人站成一排，其中甲在乙右邊的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
根據古典概型依次判斷即可.
【詳解】因為古典概型的兩個特點，一是結果有限個，二是每個結果等可能.
所以①為幾何概型，②③④為古典概型.
故選：C
5.向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？
【答案】不是古典概型；答案見解析．
根據古典概型的特征：等可能性、有限性即可判斷.
【詳解】∵試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，
雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，
但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件．
故試驗不是古典概型.
6.某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中環、命中環……命中環和不中環.你認為這是古典概型嗎？為什么？
【答案】不是古典概型，理由見解析.
根據古典概型的兩個特征判斷即可.
【詳解】古典概型的特征：①基本事件的總個數有限個；②每個基本事件等可能發生.
因為試驗的所有可能結果只有個，而基本事件命中環、命中環……命中環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件.
所以不是古典概型.
二、古典概型的計算
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
【典型例題】
【例1】盒中裝有形狀、大小完全相同的個球，其中紅色球個，黃色球個.若從中隨機取出個球，則所取出的個球顏色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將個球進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記個紅色球分別為、、，記個黃色球分別為、，
從這個球中隨機抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，
其中，事件“所取出的個球顏色相同”包含的基本事件有：、，，，共4個.
故所求概率為.
故選：C.
【例2】甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中，則“a＝b”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率求解.
【詳解】解：甲乙猜數字時互不影響，故各有5種可能，故基本事件是種，
則“a＝b”的基本事件有：，故5種，
所以“a＝b”的概率為，
故選：C
【例3】箱子中放有一雙紅色和一雙黑色的襪子，現從箱子中同時取出兩只襪子，則取出的兩只襪子正好可以配成一雙的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出試驗的樣本空間，再求有利事件個數，最后用概率公式計算即可.
【詳解】兩只紅色襪子分別設為，，兩只黑色襪子分別設為，，這個試驗的樣本空間可記為，共包含6個樣本點，記為“取出的兩只襪子正好可以配成一雙”，則，包含的樣本點個數為2，所以.
故選：B
【例4】從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一一列出所有基本事件，然后數出基本事件數和有利事件數，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.
【詳解】解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.
故選：B.
【例5】從甲 乙 丙 丁4人中選3人當代表，則甲被選中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出基本事件的總數以及事件甲被選中包含的基本事件的個數，由古典概率公式即可求解.
【詳解】總的基本事件包括（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），（乙，丙，丁）共4個，甲被選中的基本事件有（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），共3個，
故甲被選中的概率為.
故選：D.
【例6】小王同學有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時 小王都將筆桿和筆帽套在一起，但偶爾也會將筆桿和筆帽隨機套在一起，則小王將兩支筆的筆桿和筆帽的顏色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為，，，與之相同顏色的筆帽分別為，，，利用古典概型的概率能求出小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率．
【詳解】解：設三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為，，，與之相同顏色的筆帽分別為，，，
將筆和筆帽隨機套在一起，基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6個基本事件，
小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共有3個基本事件，
小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是．
故選：C
【例7】饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【詳解】解：點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，
則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
記“3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達點B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．故選：B．
【對點實戰】
某社區防疫志愿者中有2人的工作是負責測量體溫，有3人的工作是負責查驗行程碼.若則這5人中任選2人參加優秀志愿者評選，則選取的2人負責不同工作的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率
【詳解】設負責測量體溫的志愿者分別為，負責查驗行程碼的志愿者分別為，
則從中選2人的情況有，共10種，
其中2人負責不同工作的情況有，共6種，所以所求概率.
故選：C
2.集合A=，，從A，B中各取一個數，則這兩數之和等于5的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依據古典概型公式解之即可.
【詳解】從A，B中各取一個數，則這兩數之和可能為
，，
共有6個可能的結果，其中兩數之和等于5的有2個，
則從A，B2.中各取一個數，這兩數之和等于5的概率是
故選：B
3.．拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.
【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確
故選：A
4.若某臺電腦每秒生成一個數字1或2，則該電腦運行三秒后生成的數字之和能被3整除的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意寫出三秒后生成數字的可能組合，判斷能被3整除的情況，由古典概型的概率求法求概率即可.
【詳解】由題設，三秒后生成的數字可能為、、、、、、、，其中能被3整除的數有、，
∴電腦運行三秒后生成的數字之和能被3整除的概率為.
故選：C
5.從1，2，3，4，5這五個數字中任取兩數，則所取兩數均為偶數的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別求出基本事件的總數以及所取兩數均為偶數包含的基本事件的個數，由古典概率公式即可求解.
【詳解】從中抽取兩個數基本事件有：
共種，
所取的兩個數均為偶數的有，共種，
所以所取兩數均為偶數的概率為，
故選：A.
6.．“拋擲兩枚骰子，所得的一個點數恰好是另一個點數的2倍”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出基本事件總數，列舉出一個點數恰好是另一個點數的2倍包含的基本事件個數，再由古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】拋擲兩枚骰子，基本事件總數，
其中所得的一個點數恰好是另一個點數的2倍包含的基本事件有：
，，，，，，共6個，
“拋擲兩枚骰子，所得的一個點數恰好是另一個點數的2倍”的概率為：
．故選：A．
三、綜合型古典概型計算
利用古典概型公式計算概率的步驟
(1)確定樣本空間的樣本點的總數n.
(2)確定所求事件A包含的樣本點的個數m.
(3)P(A)＝.
【典型例題】
【例1】袋子中有四個小球，分別寫有“美、麗、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“中、國、美、麗”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由古典概型的概率計算方法求解即可.
【詳解】由隨機產生的隨機數可知，恰好第三次就停止的有：
共4個基本事件，
根據古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率為，
故選：C.
【例2】已知數據1，2，3，4，的平均數與中位數相等，從這5個數中任取2個，則這2個數字之積大于5的概率為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
分析：由題意首先求得實數x的值，然后列出所有可能的結果，從中挑選滿足題意的結果結合古典概型計算公式即可求得最終結果.
詳解：由數據1，2，3，4，x（0可得2+=x，所以x=，從這5個數中任取2個，結果有：
共10種，這2個數字之積大于5的結果有：，共5種，所以所求概率為.本題選擇B選項.
【例3】盒中裝有形狀、大小完全相同的個球，其中紅色球個，黃色球個.若從中隨機取出個球，則所取出的個球顏色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
將個球進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】
記個紅色球分別為、、，記個黃色球分別為、，
從這個球中隨機抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，
其中，事件“所取出的個球顏色相同”包含的基本事件有：、，，，共4個.
故所求概率為.
故選：C.
【例4】把一個骰子連續拋擲兩次，得到的點數依次為，，則使得關于的方程有2個互不相等的實數根的概率為________．
【答案】
【分析】
依據古典概型去求解即可解決.
【詳解】
若方程有2個互不相等的實數根，則，
一個骰子連續拋擲兩次，得到的點數依次為，，記為，所有可能共36種，
其中滿足題意的有，，，，，，，，，，，，，，，，，共17種.
故使得關于的方程有2個互不相等的實數根的概率為．
故答案為：
【例5】我國古代的一些數字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如清代鄭板橋的《題畫竹》》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊.”現從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數字組成，則恰好能使得的概率是____________.
【答案】##0.6
【分析】
列舉基本事件，直接求概率即可.
【詳解】
隨機選取2個不同的數字組成,共有
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25種，
其中
1，2，3，4，5，6這6個數字中滿足的數對有：
，，4，5；
，；
，；
，；
共15種，
所求概率為．
故答案為：．
【例6】某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數；
（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者.
（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為43和1，據此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【答案】（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【分析】
(1) 根據頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應的頻率，即可的這人的平均年齡；設第80百分位數為，計算從左到右頻率和為或計算從右到左頻率和為，即可求出；
(2)（i）由題意可得，第四組應抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據古典概型計算方法求解即可；
（ii）根據方差的計算原理計算合并后方差即可.
【詳解】
解：（1）設這人的平均年齡為，則
（歲）.
設第80百分位數為，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由題意得，第四組應抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，
對應的樣本空間為：
，共15個樣本點.
設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則
，共有9個樣本點.
所以，.
（ii）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，方差為.
則，
，
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，
據此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.
【例7】新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有660人.
(1)求頻率分布直方圖中的值及所調查的總人數；
(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的中位數和平均數（精確到0.1）；
(3)為了今后更好地完成當地的防疫工作，政府部門又按照分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出6人進行詳細的調查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率.
【答案】(1)，1200人
(2)中位數為82.9，平均數為80.7
(3)
【分析】
（1）根據所有矩形的面積和等于1列式可求出，利用評分在的人數可求出所調查的總人數；
（2）根據頻率分布直方圖可求出本次評測分數的中位數和平均數；
（3）根據分層抽樣以及古典概型概率公式可求出結果.
(1)
由頻率分布直方圖知
即，解得
設總共調查了人，則，解得，
即調查的總人數為1200人；
(2)
因為，
所以中位數位于區間，設中位數為，則，
解得：，所以中位數為82.9，
所以估計本次考試成績的中位數為82.9.
由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02 0.04 0.14 0.20 0.35 0.25，
所以，設平均數為，
則.
所以所以估計本次考試成績的平均數為.
(3)
用分層抽樣的方法應該從評分在抽出2人，記編號為1，2，從評分在抽出4人，記編號為3，4，5，6，.則樣本空間為Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}}．
用A表示抽出的2人恰好來自于評分在，則A={{1，2} }．
所以選出的兩人恰好都是評分在之間的概率為.
【對點實戰】
1.某地為方便群眾接種新冠疫苗，開設了，，，四個接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲，乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據題意列出甲，乙兩人去，，，四個接種點接種新冠疫苗的所有選擇，然后再求出甲，乙兩人不在同一個接種點接種的情況有多少種，從而可求出概率.
【詳解】
甲，乙兩人去，，，四個接種點接種新冠疫苗的所有選擇共有16種，
分別為：，，，，，，，，，，，，，，，；
其中兩人不在同一個接種點接種的情況有12種，從而有.
故選：C．
2.．先后兩次拋擲同一個骰子，將得到的點數分別記為a，b，則a，b，4能夠構成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用乘法原理求出基本事件總數，然后按照分類討論的方法求出a，b，4能夠構成等腰三角形的基本事件數，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】
由乘法原理可知，基本事件的總數是36，
結合已知條件可知，
當時，符合要求，有1種情況；
當時，符合要求，有1種情況；
當時，符合要求，有2種情況；
當時，符合要求，有6種情況；
當時，符合要求，有2種情況；
當時，符合要求，有2種情況，
所以能構成等腰三角形的共有14種情況，
故a，b，4能夠構成等腰三角形的概率.
故選：D.
3.“2021年全國城市節約用水宣傳周”已于5月9日至15日舉行，某市圍繞“貫徹新發展理念，建設節水型城市”這一主題，開展了形式式樣、內容豐富的活動，進一步增強全民保護水資源、防治水污染、節約用水的意識，為了解活動開展成效，該市的某街道辦事處工作人員赴一小區調查住戶的節約用水情況，隨機抽取了300名業主進行節約用水調查評分，將得到的分數分成6組：[70，75]，（75，80]，（80，85]，（85，90]，（90，95]，（95，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值，并求這300名業主評分的中位數；
(2)若先用分層抽樣的方法從評分在（90，95]和（95，100]的業主中抽取5人，然后再從抽出的這5名業主中任意選取2人作進一步訪談，求這2人中至少有1人的評分在（95，100]的概率．
【答案】(1)0.040，85；
(2)
【分析】
(1)根據所有小矩形的面積之和為1，求出a，再根據中位數的定義求中位數；(2)由頻率分布直方圖，知評分在的有人，評分在有人，利用古典概型的概率公式求出事件發生的概率.
(1)
第三組的頻率為，
又第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為.
前三組的頻率之和為，
這名業主評分的中位數為.
(2)
由頻率分布直方圖，知評分在的人數與評分在的人數的比值為.
采用分層抽樣法抽取人，評分在的有人，評分在有人.
不妨設評分在的人分別為；評分在的人分別為，
則從人中任選人的所有可能情況有：
，，，，，，，，，共種.
其中選取的人中至少有人的評分在的情況有：
，，，，，，共種.
故這人中至少有人的評分在的概率為.
4.為進一步加強中華傳統文化教育，提高學生的道德素養，培養學生的民族精神，更好地讓學生傳承和發揚中國傳統文化和傳統美德，某校組織了一次知識競賽．現對參加活動的1280名學生的成績(滿分100分)做統計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．
請大家完成下面問題：
(1)求參賽同學的平均數與中位數(小數點后保留2位)(以每個區間的中點作為本區間的取值)；
(2)若從該校80分至100分之間的同學按分層抽樣抽取一個容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．
【答案】(1)平均數為分，中位數為分
(2)
【分析】
（1）先利用頻率和為1求出，分別套公式求平均數和中位數；
（2）列舉基本事件，利用古典概型求概率．
(1)
由題意得，可得，
所以，平均數為分，
由，，
則中位數位于，
若中位數為x，則，可得分．
(2)
由（1）知：與的樣本比例為5∶2，
所以7個個體有5個取自，2個取自，
若中5個分別為a，b，c，d，e，中2個分別為x，y，
則從中抽取2人的所有組合為{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21種情況，
其中兩人至少來一人自為{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11種情況；
所以抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率為．
5.飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎，全民積極維護飲用水水源安全，保障安全飲水.同時，國家提倡節約用水，各地積極開展節水 用水安全活動.為了提高節水用水意識，蘇州市某校開展了了“節約用水，從我做起”主題競賽活動，從參賽的學生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次參賽學生成績的平均分（同一組數據用該組區間的中點點值代表）；
(2)在該樣本中中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學生中隨機抽取6人調查他們的答題情況，再從這6人中隨機抽取3人進行深入調研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.
【答案】(1)0.035，71
(2)
【分析】
（1）根據小矩形的面積之和等于1列方程即可得的值，利用平均數的計算公式即可得平均數；
（2）先根據分層抽樣求出成績低于55分的有1人，成績位于的有5人，求出基本事件的總數以及這3人中至少有1人的成績低于55分包含的基本事件的個數，由古典概率公式即可求解.
(1)
根據頻率分布直方圖得，
解得，
這組樣本數據的平均數為，
所以
(2)
根據頻率分布直方圖得到，成績在內的頻率分別為，
所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，
成績在內的有1人，記為，
成績在內的有5人，分別記為，
從這6人中隨機抽取3人，所有可能的結果為
，，共20種，
這3人中至少有1人的成績在內的有
共10種，
這3人中至少有1人的成績低于55分的概率為.
6.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，現從參與調查的人群中隨機選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示
(1)求樣本中第3組人數；
(2)根據頻率分布直方圖，估計參與調查人群的樣本數據的平均數和第80百分位數；
(3)若從年齡在的人中隨機抽取兩位，求至少有一人的年齡在內的概率.
【答案】(1)7.
(2)41.5；51.
(3)
【分析】
（1）頻率分布圖進行數據分析先求出a，再求第3組人數；
（2）直接套公式求出平均數和第80百分位數；
（3）列舉基本事件，利用古典概型求概率.
(1)
由頻率分布圖進行數據分析可得：
，解得：.
所以樣本中第3組人數為：.
(2)
由頻率分布圖進行數據分析可得：
樣本數據的平均數為；
前3組的頻率和為：.
前4組的頻率和為：.
故第80百分位數位于第4組，設為a，則，解得：.
所以樣本數據的平均數為41.5，第80百分位數約為51.
(3)
記事件A：至少有一人的年齡在內
年齡在的有2人，設為a、b；年齡在的有3人，設為1、2、3；
從5人中任選2人，有：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3、12、13、23共10種情況.
至少有一人的年齡在內包括：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3共7種情況.
故所求概率為.
7.某校學生營養餐由A和兩家配餐公司配送．學校為了解學生對這兩家配餐公司的滿意度，采用問卷的形式，隨機抽取了40名學生對兩家公司分別評分．根據收集的80份問卷的評分，得到如圖A公司滿意度評分的頻率分布直方圖和B公司滿意度評分的頻數分布表：
評分分組 頻數
， 2
， 8
， 14
， 14
， 2
(1)根據A公司的頻率分布直方圖，估計該公司滿意度評分的中位數（結果保留一位小數）；
(2)從滿意度高于90分的問卷中隨機抽取兩份，求這兩份問卷都是給A公司評分的概率；
(3)請從統計角度，對A、兩家公司做出評價．
【答案】(1)73.3
(2)
(3)答案見解析
【分析】
（1）由頻率分布直返圖，根據中位數的估計方法，直接求得答案；
（2）求得得分高于90分的問卷在兩組中的分布情況，列出抽取兩份所有可能的情況，
再列出兩份問卷都是給A評分的可能情況，根據古典概型的概率公式求得答案；
（3）根據統計圖表，估計中位數，平均數以及方差的大小，即可說明.
(1)
設A公司調查的40份問卷的中位數為，
則有,
解得：
所以，估計該公司滿意度得分的中位數為73.3 ；
(2)
滿意度高于90分的問卷共有6份，其中4份評價A公司，
設為，，，，2份評價公司，設為，．
從這6份問卷中隨機取2份，所有可能的結果有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，共有15種．
其中2份問卷都評價A公司的有以下6種：
，，，，，，，，，，，．
設兩份問卷均是評價A公司為事件，則有．
(3)
由所給兩個公司的調查滿意度得分知：
A公司得分的中位數低于公司得分的中位數，A公司得分集中在，這組，
而公司得分集中在，和，兩個組，
A公司得分的平均數數低于公司得分的平均數，A公司得分比較分散，
而公司得分相對集中，即A公司得分的方差高于公司得分的方差．
四、互斥事件概率公式的應用
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
【典型例題】
【例1】若，則互斥事件和B的關系是（ ）
A． B．A，B是對立事件
C．A，B不是對立事件 D．A=B
【答案】B
【分析】根據概率性質，，即可判斷與的關系.
【詳解】由題意，事件與是互斥事件，則，
則，是對立事件.
故選：B
【例2】若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質列式即可作答.
【詳解】因隨機事件，互斥，則，
依題意及概率的性質得，即，解得，
所以實數的取值范圍是.故選：C
【例3】甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.7，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】將甲不輸棋的事件進行分拆，再利用互斥事件概率的加法公式即可得解.
【詳解】甲不輸棋的事件A是甲勝乙的事件B與甲乙下成平局的事件C的和，顯然B，C互斥，
而，又，于是得，
所以甲勝的概率是0.2.
故選：A
【例4】袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設得分為隨機變量ξ，則ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可根據互斥事件的性質先求出得分小于8分的概率.
【詳解】袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，
取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設得分為隨機變量ξ，
由題意得得分小于8分的只有兩種情況：
取到1紅3黑，計6分，取到4黑，計4分，
根據互斥事件概率得：
則ξ≥8的概率.
故選：B.
【例5】甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝根據以往二人的比賽數據分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則本次比賽中甲獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，可知甲獲勝情況有三種：第一局勝、第二局勝，第一局勝、第二局負、第三局勝，第一局負、第二局勝、第三局勝，由互斥事件概率加法運算即可求解.
【詳解】甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝，甲在每局比賽中獲勝的概率為，
則甲獲勝有以下三種情況：
第一局勝、第二局勝，則甲獲勝概率為；
第一局勝、第二局負、第三局勝，則甲獲勝概率為；
第一局負、第二局勝、第三局勝，則甲獲勝概率為；
綜上可知甲獲勝概率為，
故選：D.
【例6】某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：
污染指數 30 60 100 110 130 140
概率
其中污染指數時，空氣質量為優；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優的概率為（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據互斥事件的和的概率公式求解即可.
【詳解】由表知空氣質量為優的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空氣質量為良的概率為，
所以該城市2017年空氣質量達到良或優的概率，
故選：A
【例7】擲一枚骰子的試驗中，出現各點的概率均為，事件表示“出現小于5的偶數點”，事件表示“出現小于5的點數”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發生的概率為______.
【答案】
【分析】根據對立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得結果.
【詳解】依題意可知，事件與事件為互斥事件，且，，
所以.
故答案為：.
【例8】已知隨機事件發生的概率滿足條件，某人猜測事件發生，則此人猜測正確的概率為（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【詳解】事件與事件是對立事件，，
故選：C．
【對點實戰】
1.甲 乙兩個同學下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸的概率為0.7，則甲 乙下成和棋的概率為（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
【答案】A
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【詳解】解：甲不輸包含甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝，
且甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故選：A
2.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
利用互斥事件和的概率等于概率的和計算結果.
【詳解】從中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子兩個事件，這兩個事件是互斥事件，設兩粒是同一色為事件，同為黑子為事件，同為白子為事件，
則.
故選：C
【點睛】
3.拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“不小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發生的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由古典概型概率公式分別計算出事件A和事件B發生的概率，又通過列舉可得事件A和事件B為互斥事件，進而得出事件A或事件B至少有一個發生的概率即為事件A和事件B的概率之和．
【詳解】事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“不小于5的點數出現”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶數點有2和4，不小于5的點數有5和6，
所以事件A和事件B為互斥事件，
則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發生的概率為
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故選：A．
4.如果事件A與B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，則事件A的概率為（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】C
根據互斥事件概率的加法公式即可求解.
【詳解】因為事件A與B是互斥事件，所以，
又因為，所以.
故選：C
5.中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為__________.
【答案】
【分析】根據互斥事件的概率加法公式即可求解.
【詳解】設“甲奪得冠軍”為事件A，“乙奪得冠軍”為事件B，則，.∵A，B是互斥事件，∴.
6.一枚硬幣連擲三次，事件A為“三次反面向上”，事件B為“恰有一次正面向上”，事件C為“至少兩次正面向上”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
【答案】1
【分析】由題事件A，B，C之間是互斥的，且又是一枚硬幣連擲三次的所有結果，可得結論
【詳解】事件A，B，C之間是互斥的，且又是一枚硬幣連擲三次的所有結果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
7.．若，為互斥事件，則
A． B．
C． D．
山西省2018-2019學年高一上學期期末數學試題（2）
【答案】B
【詳解】因為A,B互斥，但A,B不一定對立，所以
8.某家庭電話,打進的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內被接的概率為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設“電話響第一聲被接”為事件A,“電話響第二聲被接”為事件B,“電話響第三聲被接”為事件C,“電話響第四聲被接”為事件D,則A,B,C,D兩兩互斥,從而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故選B.
點睛：本題的難點在于把電話在響前四聲內被接這個事件分解為哪幾個互斥事件，根據題意，它可以分解為四個互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
五、對立事件概率公式的應用
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
【典型例題】
【例1】事件A與B是對立事件，且，則等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
【答案】A
【分析】由對立事件的概率計算公式即可得解.
【詳解】因事件A與B是對立事件，且，則，
所以等于0.4.故選：A
【例2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【答案】B
根據隨機事件概率的性質，計算出所求的概率.
【詳解】由隨機事件概率的性質得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
故選：B
【例3】從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，．則事件“抽到的不是一等品”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，根據所給的抽到一等品的概率，即可得出抽到的不是一等品的概率．
【詳解】∵抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，
事件{抽到一等品}，，
∴抽到不是一等品的概率是．
故選D．
【例4】從5個同類產品（其中3個正品，2個次品）中，任意抽取2個，下列事件發生概率為的是（ ）
A．2個都是正品 B．恰有1個是正品 C．至少有1個正品 D．至多有1個正品
【答案】C
【分析】由5個產品中3個正品2個次品的分布，5個中產品任取2個有10種取法，取2個次品只有一種取法，概率為，那么其對立事件的概率就是．從而得到結論．
【詳解】易得兩個都是次品的概率是，故發生概率為的事件是“兩個都是次品”的對立事件，即“至少有1個正品”
故選：C.
【例5】已知，則函數在區間(1，+∞)上為增函數的概率為________.
【答案】
【分析】由于，所以基本事件總數，然后分和討論函數區間(1，+∞)上為增函數的情況，從而可求得其概率
【詳解】解：∵，
∴基本事件總數.用(a，b)表示a，b的取值.
若函數在區間(1，+∞)上為增函數，則①當時，，
符合條件的只有，即；
②當時，需滿足，符合條件的有，共4種.
∴函數在區間(1，+∞)上為增函數的概率
故答案為：
【例6】一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________.
【答案】0.96
【分析】根據事件之間的關系，若A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.根據概率公式，即可得解.
【詳解】設A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，
則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.
故答案為：0.96
【例7】．已知兩個事件和互斥，記事件是事件的對立事件，且，，則_____________．
【答案】.
先計算，再根據計算得到答案.
【詳解】得，且事件與互斥，則
故答案為：
【例8】事件A，B互斥，它們都不發生的概率為，且P(A)＝2P(B)，則P()＝________．
【答案】
【詳解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它們都不發生的概率為，且P(A)＝2P(B)，可求，進而根據對立事件概率減法公式得到答案.
詳解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，它們都不發生的概率為
解得，,.故答案為.
【對點實戰】
1.下列說法正確的是
A．事件A, B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大
B．事件A，B同時發生的概率一定比A, B中恰有一個發生的概率小
C．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件
【答案】C
分析每一個答案，清楚對立事件和互斥事件的概念，可得答案.
【詳解】對于A，當A、B為對立事件時，A, B中至少有一個發生的概率和A，B中恰有一個發生的概率相等；故A錯；
對于B，若A、B是相等事件，此時A、B恰有一個發生為不可能事件，概率為0，故B錯；
C答案正確，故D答案錯誤；
故選C
2.從一箱分為四個等級的產品中隨機地抽取一件，設事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，則事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都屬于合格品）”的概率為（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05
【答案】D
【分析】利用概率的加法公式以及對立事件的概率即可求解.
【詳解】“抽到次品”的概率：
.
故選：D
3.圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率為，則取出的2粒顏色不同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先計算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒顏色不同的對立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用對立事件的概率公式求得答案.
【詳解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率為，
取出的2粒顏色不同的概率為.
故選：D.
4.擲一個骰子的試驗，事件表示“小于5的偶數點出現”，事件表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件發生概率為__________.
【答案】.
【分析】先表示出的事件，并求出它發生的概率，再求出事件發生的概率，求出事件發生概率.
【詳解】,事件表示“小于5的點數出現”,則事件表示“大于等于5的點數出現”，所以，根據和事件的運算公式可知事件發生概率為.
5.甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【答案】C
【詳解】分析:根據互斥事件和對立事件的概念，根據充分條件和必要條件的概念分析解答.
詳解：當、是互斥事件時，、不一定是對立事件，所以甲是乙的非充分條件.
當、是對立事件時，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.
所以甲是乙的必要非充分條件.
故選C.
6.隨機猜測“選擇題”的答案，每道題猜對的概率為0.25，則兩道選擇題至少猜對一道以上的概率約為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得兩道選擇題都猜錯的概率，再根據對立事件概率的計算公式求解.
【詳解】每道題猜對的概率為0.25=，則猜錯的概率為，
由獨立事件概率的計算公式得：兩道選擇題都猜錯的概率，
所以至少猜對一道以上的概率為1-，
故選A.
7.將一顆質地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現一次6點向上的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
事件“至少出現一次6點向上”的對立事件是“出現零次6點向上”，由此借助對立事件的概率進行求解．
【詳解】由題事件“至少出現一次6點向上”的對立事件是“出現零次6點向上”
所以至少出現一次6點向上的概率
故選A.
8.已知隨機事件和互斥，且,.則
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據互斥事件的概率公式可求得，利用對立事件概率公式求得結果.
【詳解】與互斥

本題正確選項：
六、概率性質的綜合應用
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例題】
【例1】下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據互斥事件和對立事件的定義即可判斷①；根據和事件的概率公式即可判斷②；根據隨機事件概率的性質，即可判斷③；若滿足且，是對立事件，可判斷④.
【詳解】對于①：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；故①正確；
對于②：若為兩個事件，則；故②不正確；
對于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；
對于④：對于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定 是對立事件，
故④錯誤.
所以錯誤的命題有個，
故選：D
【例2】從1，2，3，…，30這30個數中任意摸出一個數，則事件“摸出的數是偶數或能被5整除的數”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設事件A“摸出的數為偶數”，事件B“摸出的數能被5整除”，則由題意可得，從而可求出的值
【詳解】設事件A“摸出的數為偶數”，事件B“摸出的數能被5整除”，
則，
所以.
故選:B.
【例3】設A、B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是（ ）
A．事件A B，則P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，則A和B一定相互獨立
C．若A和B相互獨立，則A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【答案】C
【分析】根據事件的包含關系，對立事件與相互獨立事件的概率與性質進行判斷．
【詳解】若事件B包含事件A，則P（A）≤P（B），故A錯誤；
若事件A、B互斥，則P（AB）＝0，
若事件A、B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B錯誤，C正確；
若事件A，B相互獨立，且P（A），P（B），則P（A）+P（B）＞1，故D錯誤．
故選：C．
【例4】不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A．2張卡片都不是紅色 B．2張卡片不都是紅色
C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片至多有1張紅色
【答案】A
根據互斥事件和對立事件定義，逐項驗證.
【詳解】不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，
一次任意取出2張卡片，
則選項A事件“2張卡片都不是紅色”與事件“2張卡片都為紅色”
是互斥而不對立，所以正確；
選項B事件“2張卡片不都是紅色”與事件“2張卡片都為紅色”
是對立事件，所以不正確；
選項C事件“2張卡片至少有一張紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，
所以事件“2張卡片至少有一張紅色”與事件“2張卡片都為紅色”
不是互斥事件，所以錯誤；
選項D事件“2張卡片至多有1張紅色”與事件“2張卡片都為紅色”
是對立事件，所以錯誤.
故選：A.
【例5】從、、、這個數中一次隨機地取個數，記所取的這個數的和為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．事件“”的概率為
B．事件“”的概率為
C．事件“”與事件“”為互斥事件
D．事件“”與事件“”互為對立事件
【答案】B
【分析】列舉出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可判斷A、B選項的正誤，利用互斥事件的概念可判斷C選項的正誤，利用對立事件的概念可判斷D選項的正誤，綜合可得出結論.
【詳解】從、、、這個數中一次隨機地取個數，所有的基本事件有：、、、、、，共種，
事件“”包含的基本事件有：、，共個，則；
事件“”包含的基本事件有：、、、，則；
由互斥事件的定義可知，事件“”與事件“”為互斥事件；
事件“”包含的基本事件有：，事件“”包含的基本事件有：、、、、，
由對立事件的定義可知，事件“”與事件“”互為對立事件.
綜上所述，A、C、D選項正確，B選項錯誤.
故選：B.
【例6】袋中有12個除顏色外均相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，取到紅球的概率是，取到黑球或黃球的概率是，取到黃球或綠球的概率是，試求從中任取一球，取到黑球、黃球、綠球的概率各是多少.
【答案】取到黑球、黃球、綠球的概率分別是
記事件“取到紅球”，事件“取到黑球”，事件“取到黃球”，事件“取到綠球”，根據題意，得到，，的方程組，從而解得答案.
【詳解】記事件“取到紅球”，事件“取到黑球”，事件“取到黃球”，事件“取到綠球”，且事件兩兩互斥，
根據已知，得解得.
所以取到黑球、黃球、綠球的概率分別是.
【例7】袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個，其中白球3個，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
（1）求取球2次即終止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
【答案】（1）；（2）
（1）第二次終止即：第一次摸到黑球第二次摸到白球；
（2）根據規則，甲取到白球必須可能是第1,3,5次出現白球，且在摸到白球之前乙摸到黑球，結合樹狀圖求解.
【詳解】（1）設事件A為“取球2次即終止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助樹狀圖求出相應事件的樣本點數：
因此，.
（2）設事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件，因為甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助樹狀圖求出相應事件的樣本點數：
所以
.
【例8】下表為某班的英語及數學成績，全班共有學生50人，成績分為1~5分五個檔次．設x、y分別表示英語成績和數學成績．表中所示英語成績為4分的學生共14人，數學成績為5分的共5人．
y分 人數 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【答案】(1)，，；(2)，3.
【分析】（1）求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人數，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互斥事件概率公式計算作答.
（2）利用對立事件的概率公式求出事件“x=2”的概率，進而求出a+b的值.
(1)
由數表知，x=4的事件有14人，其概率為：，
x=4且y=3的事件有7人，其概率為：且，
x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它們互斥，而，
，
因此，.
(2)
x=1的事件概率為，x=2的事件的對立事件是x=1的事件與x≥3的事件的和，它們互斥事件，
則有，
而，即有，解得，
所以x=2的概率是，a＋b的值是3.
【對點實戰】
1.拋擲一枚質地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數是奇數”，事件B表示“向上的點數不超過3”，則P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】寫出事件包含的基本事件，可得概率．
【詳解】A包含向上的點數是1，3，5的情況，B包含向上的點數是1，2，3的情況，所以A∪B包含了向上的點數是1，2，3，5的情況.故P(A∪B)=.
故選：B．
2.從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至多有一個白球”中的哪幾個（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根據互斥事件和對立事件的定義求解.
【詳解】從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，這個試驗的基本事件有：白白，紅紅，黑黑，紅白，紅黑，白黑，共6種，
當兩球都為白球時，
與兩球都不是白球，不能同時發生，故互斥，同時兩個事件的和不是必然事件，故不對立，故①正確；
與兩球恰有一個白球；不能同時發生，故互斥，同時兩個事件的和不是必然事件，故不對立，故②正確；
與兩球至多有一個白球” 不能同時發生，故互斥，同時兩個事件的和是必然事件，故對立，故③錯誤.
故選：C
3.某人拋一顆質地均勻的骰子，記事件A=“出現的點數為奇數”，B=“出現的點數不大于3”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A與B對立 B．
C．事件A與B互斥 D．
【答案】D
【分析】根據互斥事件和對立事件的定義判斷．
【詳解】因為骰子的點數1至6共6個正整數，因此事件和可能同時發生（如出現點數1），也可能同時不發生（如出現點數6），因此它們不互斥也不對立，A，B，C均錯，
但，，D正確.
故選：D．
4.事件A,B的概率分別為,,且,則
A． B． C． D．無法判斷
【答案】D
因為事件A,B的關系并不明確,所以無法判斷.
【詳解】因為不知道事件A,B的關系,所以無法判斷,
故選：D.
5.某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．
（1）求1張獎券中獎的概率；
（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,且、、兩兩互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”的對立事件為“1張獎券中特等獎或中一等獎”,則利用互斥事件的概率公式求解即可
【詳解】（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,
設“1張獎券中獎”為事件,則,
因為、、兩兩互斥,所以
故1張獎券中獎的概率為
（2）設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件,則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,
所以,
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為
6.袋中有9個大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球 黃球 綠球，從中任意取一球，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求：
(1)袋中黑球 黃球 綠球的個數分別是多少？
(2)從所有黑球、黃球中任取兩個球，黑球與黃球各得一個得概率是多少？
(3)從中任取兩個球，得到的兩個球顏色不相同的概率是多少？
【答案】(1)黑球 黃球 綠球的分別有3、2、4個.(2)0.6(3)
【分析】（1）從中任取一球，分別記得到黑球 黃球 綠球為事件，，，由已知列出的方程組，求解可求得，從而可得答案；
（2）由（1）知黑球 黃球個數分別為3，2， 則有從所有黑球、黃球中任取兩個球，黑球與黃球各得一個得概率是；
（3）求出從9個球中取出2個球的樣本空間中共有的樣本點，再求出兩個球同色的樣本點可得答案.
(1)
解：從中任取一球，分別記得到黑球 黃球 綠球為事件，，，由于，，為互斥事件，
根據已知，得，解得，
所以，任取一球，得到黑球 黃球 綠球的概率分別是，，.
所以黑球的個數為個，黃球的個數為個，綠球的個數為個，
所以袋中黑球 黃球 綠球的個數分別是3、2、4個.
(2)解：由（1）知黑球 黃球個數分別為3，2，
所以從所有黑球、黃球中任取兩個球，黑球與黃球各得一個得概率是.
(3)解：從9個球中取出2個球的樣本空間中共有36個樣本點，
其中兩個是黑球的樣本點是3個，兩個黃球的是1個，兩個綠球的是6個，
于是，兩個球同色的概率為，則兩個球顏色不相同的概率是.
7.某射擊運動員平時訓練成績的統計結果如下：
命中環數 6 7 8 9 10
頻率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果這名運動員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率；
（1）命中10環；
（2）命中的環數大于8環；
（3）命中的環數小于9環；
（4）命中的環數不超過5環.
【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
利用頻率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）對應的概率，由對立事件的概率公式得出（4）的概率.
【詳解】解：用x表示命中的環數，由頻率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.

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