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8.3.2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積
本節課知識點目錄：
圓柱的表面積；
圓錐的表面積。
圓臺的表面積
圓柱的體積；
圓錐的體積。
圓臺的體積
外接球
內切球
組合體
旋轉體的最值
聯考、模考題選
一、圓柱的表面積
底面積：S底＝2πr2
側面積：S側＝2πrl
表面積：S＝2πr(r＋l)
【典型例題】
【例1】已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】現利用一個正方形的硬紙片制作成一個圓柱的側面，欲使這個圓柱的底面面積為，那么這個正方形紙片的面積是（ ）
A． B． C． D．
【例3】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（ ）
A．8π B．4π C．8 D．4
【例4】如圖，AB，CD分別是圓柱上 下底面圓的直徑，且，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐的體積為，則該圓柱的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例5】若一個圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，則該圓柱的母線長與底面圓的半徑的關系是（ ）
A． B． C． D．以上答案都有可能
【對點實戰】
1.已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側面積是（ ）
A．2 B． C． D．
2.一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
3.已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積的比是（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從A點出發，從側面爬行到C點則小蟲爬行路線的最短長度是（ ）.
B． C． D．
二、圓錐的表面積
底面積：S底＝πr2
側面積：S側＝πrl
表面積：S＝πr(r＋l)
【典型例題】
【例1】已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則圓錐的側面積是（ ）
A． B． C． D．
【例3】在一個底面圓直徑和高都是2的圓柱內挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的下底面重合，圓錐的頂點是圓柱的上底面中心．這個幾何體的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【例4】已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當圓錐母線的長度取最小值時，圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，為圓錐的底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為
B．三棱錐體積的最大值為8
C．的取值范圍是
D．若，E為線段上的動點，則的最小值為
【對點實戰】
1.已知圓錐的底面周長為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（ ）
A． B．9 C．3 D．
2.已知圓錐的側面展開圖為一個面積為的半圓，則該圓錐的高為（ ）
A． B．1 C． D．
3.已知圓錐的側面積是底面積的倍，則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角大小為（ ）
A． B． C． D．
4.已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側面積是_____.
三、圓臺的表面積
上底面面積：S上底＝πr′2
下底面面積：S下底＝πr2
側面積：S側＝π(r′l＋rl)
表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
【典型例題】
【例1】己知圓臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側面都相切，則下列命題中正確的是（ ）
A．圓臺的高為4 B．圓臺的母線長為4
C．圓臺的表面積為 D．球O的表面積為
【例2】已知圓臺上底面的半徑為1，下底面的半徑為2，高為，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是，則母線長為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【例4】已知圓臺的上、下底面半徑分別為10和20，它的側面展開圖的扇環的圓心角為180°，則這個圓臺的側面積為（ ）
A．600π B．300π
C．900π D．450π
【例5】若圓臺的高為4，母線長為5，側面積為45π，則圓臺的上、下底面的面積之和為（ ）
A．9π B．36π
C．45π D．81π
【例6】圓臺上底半徑為，下底半徑為，母線，在上底面上，在下底面上，從中點拉一條繩子，繞圓臺側面一周到B點，則繩子最短時長為（ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．cm
【例7】已知圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，母線長為4，若圓臺的側面積為，則圓臺的高為（ ）
A．2 B． C．5 D．
【對點實戰】
1.已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B． C． D．
2.若圓臺的高為3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，其軸截面的一個底角為，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B．
C． D．
3.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.如圖，已知扇環的內弧長為，外弧長為，扇環的寬為3，將該扇環卷成圓臺，則該圓臺的高為（ ）
A． B．3 C． D．
四、圓柱的體積
V圓柱＝Sh＝πr2h
【典型例題】
【例1】一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】圓柱的底面半徑是6，高是10，平行于軸的截面在底面上截得的弦長等于底面的半徑，則圓柱被截成的兩部分中較大部分的體積是（ ）
A． B． C． D．
【例3】某工廠現將一棱長均為4的三棱柱毛坯件切割成一個圓柱體零件，則該圓柱體體積的最大值為______．
【對點實戰】
1.一個圓柱的側面展開圖是一個面積為的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
2.一個圓柱的軸截面是一個面積為的正方形，則該圓柱的體積是（ ）
A． B． C． D．
五、圓錐的體積
V圓錐＝Sh＝πr2h
【典型例題】
【例1】已知某圓柱的底面積為，高為4，某母線長為8的圓錐的側面積恰好與該圓柱的側面積相等，則此圓錐的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】圓柱容器內部盛有高度為的水，若放入一個圓錐（圓錐的底面與圓柱的底面正好重合）后，水恰好淹沒圓錐的頂部，則圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知圓錐的底面圓半徑為1，側面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例4】某圓錐的母線長為3，側面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知一個圓錐的底面半徑為3，其側面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例6】中國古代數學典籍《算數書》，記載有一個計算圓錐體積的近似公式：設圓錐底面周長為L，高為h，則其體積V的近似公式為，根據該公式圓錐底面周長與底面圓半徑之比約為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【例7】已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側面爬行一周再回到A點的最短距離為9，則該圓錐的體積為______.
【例8】
【對點實戰】
1.相同底面半徑的圓柱和圓錐的體積相等，則圓柱與圓錐的高之比為（ ）
A． B． C． D．
2.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側面積為，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
3.若圓錐的母線長為，側面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
4.已知圓錐的母線長為3，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C．π D．
5.半徑為 4 的半圓卷成一個圓錐， 則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
6.現有一個橡皮泥制作的實心圓柱，其底面半徑、高均為1，將它重新制作成一個體積與高不變的圓錐，則該圓錐的底面積為___________.
已知一個圓錐的母線長為20cm，當圓錐的體積最大時，圓錐的高為多少？
六、圓臺的體積
V圓臺＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
【典型例題】
【例1】某圓錐體積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺體積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知圓臺形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2，木桶的高為，則該木桶的側面展開成的扇環所對的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
【例3】若某圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為3，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（ ）（注：圓臺的體積）
A． B． C． D．
【例5】紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關數據（單位：），那么該壺的容積約為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知圓臺上 下底面的半徑分別為1和2，表面積為，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
2.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（ ）
A．該圓臺軸截面面積為
B．該圓臺的體積為
C．該圓臺的母線與下底面所成的角為30°
D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為
3.已知軸截面為正三角形的圓錐，它的內切球的半徑為R．若以圓錐的底面為下底面、用平行于圓錐底面的平面截圓錐所得的截面為上底面的圓臺的體積是圓錐的體積與它的內切球的體積的差，則該圓臺的高為______．
4.如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則該圓臺的體積為_________；側面積為_________．
七、外接球
【典型例題】
【例1】已知球的內接圓柱（圓柱的底面圓周在球面上）的高恰好是球的半徑，則圓柱側面積與球的表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知圓錐底面圓半徑為2，母線與底面成角為60°，則圓錐側面積為__________，若圓錐底面圓周及頂點均在一球上，則該球體積為__________.
【例3】如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個底面，圓柱的兩個底面分別為同一個球的兩個截面，且圓錐的頂點也在該球的球面上.若球的體積為，圓柱的高為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例4】在三棱錐中，平面平面，，，，若三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為___________.
【例5】我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童有外接球，且，點到平面距離為4，則該芻童外接球的表面積為__________.
【例6】正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為______，線段長度的取值范圍為_______.
【對點實戰】
1.邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，與對角線的夾角為45°，則球的體積為______.
3.已知圓臺的上下底面的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓周均在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A．50π B．100π C．150π D．200π
4.如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面.若，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
八、內切球
棱錐內切球的問題，多用等體積法求解。
【典型例題】
【例1】四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-BC1D內切球的表面積為，則正方體外接球的體積為
A． B．36 C． D．
【例3】大數學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數學發現的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發現球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長為，在該圓柱內放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內可以任意轉動，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【例5】將棱長為的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積為______.
【例6】已知以正方體6個表面的中心為頂點，形成一個八面體，該八面體的內切球的體積與正方體的外接球的體積比為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面投影是底面中心）的高為1，底面邊長為，正三棱錐內有一個球與其四個面相切，則此球表面積是___________.
2.已知三棱錐三條側棱，，兩兩互相垂直，且， 分別為該三棱錐的內切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3.已知球O為正方體的內切球，平面截球O的面積為，則正方體的棱長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4.已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
九、組合體
【典型例題】
【例1】已知在菱形中，，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，且使得棱，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的體積是（ ）
A． B． C． D．
【例4】唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯內壁表面積為,設酒杯上部分（圓柱）的體積為，下部分（半球）的體積為，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例5】如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為6的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐的體積可以為（ ）
A．10π B．30π C．35π D．40π
【例6】如圖為一個正方體與一個半球構成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個球中（球未畫出），使正方體的下底面的頂點均落在球的表面上，半球與球內切，設切點為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知三棱錐的四個頂點都在球O的表面上，且，，若已知，，，，則球O的體積是（ ）
A． B． C． D．
2.如圖所示，是某廠生產的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成，其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.2m，圓錐的高是0.24m．要對1個這樣的臺燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100克，則共需膠（ ）克
A．340π B．440π C．4600π D．6600π
3.高一學生小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口（半徑較大的圓）卡住，球心到垃圾簍底部的距離為，垃圾簍上底面直徑為24a，下底面直徑為18a，母線長為13a，則該籃球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4.冰激凌一直被眾多青少年視為夏日解暑神器，圖中冰激凌可近似地看作圓錐和半球的組合體，若圓錐部分的側面展開圖是面積為的半圓形，則該冰激凌的體積為（ ）
A． B．
C． D．
十、旋轉體的最值
【典型例題】
【例1】一圓錐的內部裝有一個小球，若小球的體積為，則該圓錐側面積的最小值是
A． B． C． D．
【例2】已知圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，現要在圓錐內部放置一個圓柱，要求圓柱的一個底面要放在圓錐的底面內，則能放置圓柱的最大體積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知某圓錐的底面半徑為2，母線長為4，該圓錐有一內接圓柱，要使圓柱的體積最大，則圓柱的底面半徑應為（ ）
A． B．
C． D．
【例4】已知經過圓錐的頂點與底面圓心的截面是邊長為的正三角形，一個圓柱的下底面在該圓錐的底面上，上底面圓周在該圓錐的側面上，則該圓柱的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例5】某制藥公司生產某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時( )
A． B． C． D．
考點29 幾何體的體積-備戰2022年高考數學典型試題解讀與變式
【例6】已知圓錐的底面半徑為，若其底面上存在兩點，使得，則該圓錐側面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.在底面直徑和高均為的圓錐內作一內接圓柱，則該內接圓柱的最大側面積為（ ）
A． B． C． D．
2.．將周長為4的矩形繞旋轉一周所得圓柱體積最大時，矩形的面積為（ ）
A．1 B． C． D．
3.內接于半徑R的球且體積最大的圓柱體的高為（ ）
A． B． C． D．
4.圓柱的表面積為，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5.一個圓錐底面半徑為，高為，（1）則該圓錐的表面積為______.（2）則該圓錐的內接正四棱柱表面積的最大值______.．
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】兩個不同的圓錐的底面是球O的同一截面，頂點均在球O表面上，若球O的體積為V，則這兩個圓錐體積之和的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
結束
8.3.2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積
本節課知識點目錄：
圓柱的表面積；
圓錐的表面積。
圓臺的表面積
圓柱的體積；
圓錐的體積。
圓臺的體積
外接球
內切球
組合體
旋轉體的最值
聯考、模考題選
一、圓柱的表面積
底面積：S底＝2πr2
側面積：S側＝2πrl
表面積：S＝2πr(r＋l)
【典型例題】
【例1】已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸截面的形狀和面積，求得底面圓半徑和圓柱的高，再由圓柱的表面積公式求得結果.
【詳解】根據題意，所得截面是邊長為4的正方形，
結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面是半徑為的圓，且高為4，
所以其表面積.
故選：B.
【例2】現利用一個正方形的硬紙片制作成一個圓柱的側面，欲使這個圓柱的底面面積為，那么這個正方形紙片的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設底面圓半徑為r，根據題意，可求得，進而可求得底面圓周長，即為正方形的邊長，代入公式，即可得答案.
【詳解】設底面圓半徑為r，由題意得，解得，
所以底面圓周長，即正方形的邊長為，
所以這個正方形紙片的面積為.故選：C
【例3】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（ ）
A．8π B．4π C．8 D．4
【答案】A
【分析】根據題意求出圓柱的底面半徑和高，直接求側面積即可.
【詳解】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓柱，
其底面半徑r=2，高h=2，
故其側面積為.故選：A
【例4】如圖，AB，CD分別是圓柱上 下底面圓的直徑，且，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐的體積為，則該圓柱的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別取上下底面的圓心為，連接，可得平面，設圓柱上底面圓的半徑為, 三棱錐的體積為,求出a，由圓柱的側面積公式可得答案.
【詳解】
分別取上下底面的圓心為，連接，則，
因為，所以，且，
所以平面，設圓柱上底面圓的半徑為,則，
三棱錐的體積為,
解得，該圓柱的側面積為，故選：C.
【例5】若一個圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，則該圓柱的母線長與底面圓的半徑的關系是（ ）
A． B． C． D．以上答案都有可能
【答案】A
【分析】根據圓柱側面積和底面積公式可構造方程得到結果.
【詳解】圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，，.
故選：A.
【對點實戰】
1.已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側面積是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由圓柱的側面積公式直接可得.
【詳解】。故選：D
2.一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓柱的側面展開圖確定圓柱的底面半徑和高，即可求出其體積.
【詳解】解：設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面展開圖是一個邊長為的正方形，
所以，，所以，所以圓柱的體積為.故選：C.
3.已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設側面展開圖正方形邊長為，用表示出圓柱底面半徑，然后求出全面積與側面積，再計算比值．
【詳解】設正方形邊長為，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為，，，
全面積為，而側面積為，
所以全面積與側面積之比這．
故選：A．
4.如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從A點出發，從側面爬行到C點則小蟲爬行路線的最短長度是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】展開圓柱側面，根據兩點間直線距離最短求得正確結論.
【詳解】展開圓柱的側面如圖所示，
由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是.
故選：B
二、圓錐的表面積
底面積：S底＝πr2
側面積：S側＝πrl
表面積：S＝πr(r＋l)
【典型例題】
【例1】已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先計算圓錐的底面周長，即為側面展開圖的弧長，進而求得側面展開圖的半徑，從而求得側面積
【詳解】設圓錐的母線為，即側面展開圖的半徑為
又圓錐的底面半徑為1，則側面展開圖的弧長為，
又側面展開圖是半圓，則，則
所以該圓錐的側面積為
故選：B
【例2】若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則圓錐的側面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件求得圓錐的底面半徑和母線長，即可求解圓錐的側面積.
【詳解】設圓錐的軸截面的邊長為，則，則，
得圓錐底面半徑，母線，
則圓錐的側面積.故選：D
【例3】在一個底面圓直徑和高都是2的圓柱內挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的下底面重合，圓錐的頂點是圓柱的上底面中心．這個幾何體的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得挖去的圓錐的母線長,從而求得圓錐的側面積，再求圓柱的側面積和一個底面積，從而求得組合體的表面積.
【詳解】挖去的圓錐的母線長為，則圓錐的側面積等于，
圓柱的側面積為，圓柱的一個底面面積為，
所以組合體的表面積為.
故選：A
【例4】已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當圓錐母線的長度取最小值時，圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐的底半徑為，母線為，高為，則，則由條件可得，由勾股定理可得，從而得出的最小值，得出答案.
【詳解】設圓錐的底半徑為，母線為，高為，則 由圓錐的底面圓心到母線的距離為2，則，即
又，所以，解得由，則
當，即時，最小值 則圓錐的側面積為
故選：C
【例5】如圖，為圓錐的底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為
B．三棱錐體積的最大值為8
C．的取值范圍是
D．若，E為線段上的動點，則的最小值為
【答案】AD
【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側面積公式判斷A；當時，的面積最大，此時三棱錐體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求范圍即可判斷C；利用圖形展開及兩點之間線段最短即可判斷選項D.
【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，
對于A，圓錐的側面積為：，故A正確；
對于B，當時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，故B錯誤；
對于C，當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，達到最大值，又因為與不重合，則，又，可得，故C錯誤；
對于D，由，得，又，則為等邊三角形，則， 將以為軸旋轉到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖可知，
因為，
，
則，故D正確；
故選：AD.
【對點實戰】
1.已知圓錐的底面周長為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（ ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【分析】根據圓錐的底面周長為，其側面展開圖的圓心角為，分別求得底面半徑和母線長即可.
【詳解】因為圓錐的底面周長為，其側面展開圖的圓心角為，
所以底面半徑為，母線長為，
所以該圓錐的高為，故選：A.
2.已知圓錐的側面展開圖為一個面積為的半圓，則該圓錐的高為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據圓錐側面展開圖與本身圓錐的關系進行求解即可.
【詳解】設圓錐的母線長為l，圓錐的底面半徑為，
由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，
則，解得，則圓錐的高.故選：D.
3.已知圓錐的側面積是底面積的倍，則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐底面半徑為r，母線為l，根據題意可得，代入圓心角公式，即可得答案.
【詳解】設圓錐底面半徑為r，母線為l，則圓錐的側面積為，
由題意得，解得，
所以圓錐底面圓的周長即側面展開圖扇形的弧長為，
所以該扇形的圓心角.故選：C
4.已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側面積是_____.
【答案】
【分析】根據圓錐的幾何特征即可求解.
【詳解】設圓錐的底面半徑為r，則母線長為，所以，則側面積.
故答案為：.
三、圓臺的表面積
上底面面積：S上底＝πr′2
下底面面積：S下底＝πr2
側面積：S側＝π(r′l＋rl)
表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
【典型例題】
【例1】己知圓臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側面都相切，則下列命題中正確的是（ ）
A．圓臺的高為4 B．圓臺的母線長為4
C．圓臺的表面積為 D．球O的表面積為
【答案】BD
【分析】作出圓臺的軸截面，設圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為,連接,利用平面幾何知識得到，即可逐項計算求解.
【詳解】設梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內切圓為圓臺內切球的大圓，如圖，
設圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為，
則共線，且，連接，則分別平分，
故，故，解得，故圓臺的高為,母線長為，圓臺的表面積為，球的表面積，故選：BD
【例2】已知圓臺上底面的半徑為1，下底面的半徑為2，高為，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出圓臺的母線長，再根據圓臺的側面積計算公式求解即可.
【詳解】設圓臺上、下底面的半徑分別為，，高為h，母線長為l，則，
因此圓臺的側面積，
故選：D.
【例3】一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是，則母線長為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據圓臺的側面積公式可得答案.
【詳解】設圓臺的母線長為，上，下底面的半徑分別為,則
圓臺的側面積為，解得 故選：C
【例4】已知圓臺的上、下底面半徑分別為10和20，它的側面展開圖的扇環的圓心角為180°，則這個圓臺的側面積為（ ）
A．600π B．300π
C．900π D．450π
【答案】A
【分析】根據給定條件求出圓臺的母線長，再利用圓臺側面積公式計算得解.
【詳解】圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，
設圓臺的母線長為l，扇環所在的小圓的半徑為x，依題意有：，解
得，所以圓臺的側面積.故選：A
【例5】若圓臺的高為4，母線長為5，側面積為45π，則圓臺的上、下底面的面積之和為（ ）
A．9π B．36π
C．45π D．81π
【答案】C
【分析】設圓臺的兩底面半徑分別為,利用圓臺側面積公式求得，利用勾股定理求得，進而求得，然后利用圓的面積公式求得上下底面積的和.
【詳解】設圓臺的兩底面半徑分別為,則側面積，∴；
又∵圓臺的高為4，母線長為5，∴,即,∴,
∴,∴，
∴圓臺的上下底面積的和為，故選：C
【例6】圓臺上底半徑為，下底半徑為，母線，在上底面上，在下底面上，從中點拉一條繩子，繞圓臺側面一周到B點，則繩子最短時長為（ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．cm
【答案】C
【分析】由題意需要畫出圓臺的側面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點連線，根據條件求出扇形的圓心角以及半徑長，在求出最短的距離.
【詳解】畫出圓臺的側面展開圖，
并還原成圓錐展開的扇形，且設扇形的圓心為O.有圖得所求的最短距離是，
設，圓心角是，則由題意知 ①， ②，
由①②解得，，，∴，，則.故選：C
【例7】已知圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，母線長為4，若圓臺的側面積為，則圓臺的高為（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】設上底面的半徑為，下底面的半徑為，利用圓臺的側面積公式：，求出即可求解.
【詳解】設上底面的半徑為，因為圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，
所以下底面的半徑為，又母線長為4，圓臺的側面積為，
所以，解得，所以，
所以圓臺的高為，故選：B．
【對點實戰】
1.已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，設圓臺上底面的半徑為，下底面的半徑為，圓臺的高為，得到，即得解.
【詳解】
設圓臺上底面的半徑為，下底面的半徑為，圓臺的高為，
所以，由題得，
所以這個圓臺的側面積是.故選：B
2.若圓臺的高為3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，其軸截面的一個底角為，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設圓臺上底半徑為r1，下底半徑為r2，母線長為l，作出圓臺的軸截面，求出，代入公式求出側面積.
【詳解】設圓臺上底半徑為r1，下底半徑為r2，母線長為l，如圖所示，
，解得：，
所以 .故選：B
3.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】設圓臺較小底面半徑為r，由圓臺的側面積公式可計算出結果．
【詳解】設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，
解得r＝7. 故選：B.
4.如圖，已知扇環的內弧長為，外弧長為，扇環的寬為3，將該扇環卷成圓臺，則該圓臺的高為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意求出圓臺的上下底面的半徑，再根據圓臺的軸截面即可求得答案.
【詳解】解：設圓臺的上下底面的半徑分別為r，R，則，所以，，所以，
作出圓臺的軸截面，設圓臺的高為h，根據題意圓臺的母線長為3，所以，
即該圓臺的高為.故選：A.
四、圓柱的體積
V圓柱＝Sh＝πr2h
【典型例題】
【例1】一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據圓柱的側面展開圖確定圓柱的底面半徑和高，即可求出其體積.
【詳解】設圓柱的底面半徑為r，高為h，
因為圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，
所以，，所以，所以圓柱的體積為.故選：D.
【例2】圓柱的底面半徑是6，高是10，平行于軸的截面在底面上截得的弦長等于底面的半徑，則圓柱被截成的兩部分中較大部分的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】圓柱被截成的兩部分中較大部分是一個柱體，求出其底面面積和高，代入柱體體積公式，可得答案．
【詳解】解：∵圓柱的底面半徑是6，平行于軸的截面在底面上截得的弦長等于底面的半徑，
故該弦所對的優弧為，則圓柱被截成的兩部分中較大部分是一個柱體，
其底面面積S＝，又由圓柱的高是10，
故柱體的體積.故選：A.
【例3】某工廠現將一棱長均為4的三棱柱毛坯件切割成一個圓柱體零件，則該圓柱體體積的最大值為______．
【答案】
【分析】圓柱體體積最大時，圓柱的上下底面分別在三棱柱的上下底面上，且圓柱與三棱柱的側面均相切.根據等邊三角形求出其內切圓的半徑，從而得出答案.
【詳解】解：圓柱體體積最大時，圓柱的上下底面分別在三棱柱的上下底面上，且圓柱與三棱柱的側面均相切.
設圓柱的底面半徑為，由題意可知圓柱底面圓即為三棱柱的底面等邊三角形的內切圓.
如圖所示：設為圓柱底面圓與三棱柱的底面等邊三角形的一個切點，則為中點.
所以，即
圓柱體體積最大值為：
故答案為：．
【對點實戰】
1.一個圓柱的側面展開圖是一個面積為的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面展開圖是正方形，所以，由面積公式求出高h，再求出r，由體積公式可求出體積.
【詳解】解：設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面展開圖是一個面積為的正方形，所以，所以，所以圓柱的體積為.故選C．
2.一個圓柱的軸截面是一個面積為的正方形，則該圓柱的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，利用圓柱的軸截面面積求出的值，再利用柱體體積公式可求得該圓柱的體積.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，該圓柱的軸截面面積為，解得，
因此，該圓柱的體積為.
故選：A.
五、圓錐的體積
V圓錐＝Sh＝πr2h
【典型例題】
【例1】已知某圓柱的底面積為，高為4，某母線長為8的圓錐的側面積恰好與該圓柱的側面積相等，則此圓錐的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圓柱與圓錐的側面展開圖面積相等，可得圓錐的半徑，從而可得圓錐的體積.
【詳解】設圓柱的底面圓半徑為，圓錐的底面圓半徑為，則，.
由圓柱與圓錐的側面展開圖面積相等，得，即，解得，
故此圓錐的體積.故選:C.
【例2】圓柱容器內部盛有高度為的水，若放入一個圓錐（圓錐的底面與圓柱的底面正好重合）后，水恰好淹沒圓錐的頂部，則圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓柱的底面半徑為r，圓錐的高為，根據體積關系列方程求解即可.
【詳解】設圓柱的底面半徑為r，圓錐的高為，有，
解得.故選:C.
【例3】已知圓錐的底面圓半徑為1，側面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通過底面圓半徑和扇形面積計算出母線長，再計算出高，進而得到圓錐的體積.
【詳解】圓錐的底面圓半徑為1，底面圓周長為，又側面展開圖扇形的面積為，故母線長為，故圓錐的高，體積為.
故選：D.
【例4】某圓錐的母線長為3，側面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據圓錐側面積公式求出底面半徑，進一步求出圓錐的高，再用公式求體積即可.
【詳解】設圓錐的母線長和底面半徑分別為l，r，則，解得，
所以圓錐的高，則該圓錐的體積.
故選：D
【例5】已知一個圓錐的底面半徑為3，其側面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐的高為h，母線長為l，根據圓錐的側面積公式求出，再利用勾股定理求出，最后根據體積公式計算可得；
【詳解】解：設圓錐的高為h，母線長為l，則圓錐的側面積，故，故圓錐的體積．故選：C．
【例6】中國古代數學典籍《算數書》，記載有一個計算圓錐體積的近似公式：設圓錐底面周長為L，高為h，則其體積V的近似公式為，根據該公式圓錐底面周長與底面圓半徑之比約為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】由圓錐體積公式與近似公式可得的近似值，然后可得.
【詳解】圓錐底面周長L與底面圓半徑r之比，由圓錐體積可得，即，所以，所以圓錐底面周長與底面圓半徑之比6.
故選：C．
【例7】已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側面爬行一周再回到A點的最短距離為9，則該圓錐的體積為______.
【答案】
【分析】把圓錐的側面展開圖為扇形，則扇形的弧長即為最短距離，利用已知及弧長公式即可求出扇形圓心角，再利用最短距離即可求出圓錐的底面圓半徑和高，最后直接用圓錐的體積公式即可求解.
【詳解】設母線長為l，半徑為r，側面展開圖的圓心角為θ，則，
由已知得，聯立解得，
圓錐的側面展開圖為扇形如下圖所示，從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側面爬行一周再回到A點的最短距離為,
則，即，，
.故答案為：.
【例8】
【對點實戰】
1.相同底面半徑的圓柱和圓錐的體積相等，則圓柱與圓錐的高之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據圓柱和圓錐的體積公式即可求得答案.
設圓柱的高為，圓錐的高為，底面半徑為r，
由題意得，有，故選：A
2.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側面積為，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意知直角圓錐的底面圓半徑為r等于高h，再由直角圓錐的側面積求出底面圓的半徑，即可求出其體積.
【詳解】設該直角圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，
因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以，.
因為直角圓錐的側面積為，所以，解得，
所以該直角圓錐的體積為.
故選：B.
3.若圓錐的母線長為，側面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓錐側面積和體積公式求解即可.
【詳解】設圓錐的高為，底面半徑為，則，解得.
所以.則圓錐的體積.故選：B
4.已知圓錐的母線長為3，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】根據弧長計算公式，求得底面圓半徑以及圓錐的高，即可求得圓錐的體積.
【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，故可得，解得，
設圓錐的高為，則，
則圓錐的體積.故選：B.
5.半徑為 4 的半圓卷成一個圓錐， 則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓錐的體積公式，結合半圓與圓錐展開圖的關系進行求解即可.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線為，高為，
因為圓錐是由半徑為 4 的半圓卷成，
所以，由，
由勾股定理可得：，
所以圓錐的體積為：，故選：C
6.現有一個橡皮泥制作的實心圓柱，其底面半徑、高均為1，將它重新制作成一個體積與高不變的圓錐，則該圓錐的底面積為___________.
【答案】
【分析】先求出實心圓柱的體積，再求出圓錐的底面的半徑，從而可求其底面積.
【詳解】由題設可得實心圓柱的體積為，
設圓錐底面的半徑為，則，如，
故該圓錐的底面積為，
故答案為：.
7.已知一個圓錐的母線長為20cm，當圓錐的體積最大時，圓錐的高為多少？
【答案】當圓錐的高為時體積最大，最大體積是．
【分析】設圓錐的底面半徑為，高為，表示出圓錐的體積，利用導數判斷函數的單調性求出函數的最大值即可．
【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，高為，則，即，
圓錐的體積為：．．
，
當變化時，，的變化情況如下表：
，
0
由上表可知，當時，有最大值．
答：當圓錐的高為時體積最大，最大體積是．
六、圓臺的體積
V圓臺＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
【典型例題】
【例1】某圓錐體積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設小錐體的底面半徑為，大錐體的底面半徑為，小錐體的高為，大錐體的高為為，通過表示大圓錐和小圓錐體積，作差可得圓臺體積.
【詳解】設小錐體的底面半徑為，大錐體的底面半徑為，小錐體的高為，大錐體的高為為，
則大圓錐的體積即為，整理得，
即小圓錐的體積為所以該圓臺體積為故選：A.
【例2】已知圓臺形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2，木桶的高為，則該木桶的側面展開成的扇環所對的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將圓臺補成圓錐，即可求出圓錐的母線，再根據弧長公式計算可得；
【詳解】解：如圖，將圓臺補成圓錐，則，，，
所以，，由圓錐的結構特征可知，
所以該木桶的側面展開成的扇環的外圓的周長為，而扇形所對外圓弧的長為，
所以側面展開成的扇環所對的圓心角為．故選：A．
【例3】若某圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為3，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓臺的體積公式代入求解即可.
【詳解】由公式，可知：該圓臺的體積為．
故選：C
【例4】已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（ ）（注：圓臺的體積）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓臺的體積公式求出圓臺的高，再根據圓臺軸截面性質，利用勾股定理求出母線長即可.
【詳解】依題意，圓臺的體積，
解得，故圓臺的母線長，故選: ．
【例5】紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關數據（單位：），那么該壺的容積約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，由圓臺的結構可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，設大圓錐的高為，所以，求出的值，最后利用圓錐的體積公式進行運算，即可求出結果.
【詳解】解：根據題意，可知石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，
圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，
可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，
設大圓錐的高為，所以，解得：，
則大圓錐的底面半徑為5，高為10，小圓錐的底面半徑為3，高為6，
所以該壺的容積.
故選：B.
【對點實戰】
1.已知圓臺上 下底面的半徑分別為1和2，表面積為，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓臺的上下底面積可計算出其上下底面的半徑與周長，根據周長之比計算出展開圖的扇形半徑之比，根據扇環的面積求出母線l的長度，由兩個半徑、高、母線構成的直角梯形中求出圓臺的高，帶入圓臺的體積公式即可得出答案．
【詳解】依題意知圓臺上底面半徑為 ，下底面半徑為
如圖所示圓臺展開為一個圓環的一部分即ABCD，其小扇形弧長，大扇形弧長， 由知道，上底面的面積為，下底面的面積為，
則圓臺的側面積，
解得，所以高，圓臺的體積， 故選：C.
2.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（ ）
A．該圓臺軸截面面積為
B．該圓臺的體積為
C．該圓臺的母線與下底面所成的角為30°
D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為
【答案】ABD
【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷A；由臺體的體積公式可判斷B；由臺體的母線與高可判斷C；將圓臺補成圓錐，側面展開，取的中點為，連接，可判斷D.
【詳解】解：由，且，可得，高，
則圓臺軸截面面積為，故A正確；
圓臺的體積為，故B正確；
圓臺的母線與下底面所成的角為，其正弦值為，所以，故C錯誤；
由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側面展開圖的圓心角為，
設的中點為，連接，可得，，，
則，所以沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為，故D正確.
故選：ABD.
3.已知軸截面為正三角形的圓錐，它的內切球的半徑為R．若以圓錐的底面為下底面、用平行于圓錐底面的平面截圓錐所得的截面為上底面的圓臺的體積是圓錐的體積與它的內切球的體積的差，則該圓臺的高為______．
【答案】
【分析】求出圓錐的底面半徑和高，從而由題意求得圓臺的體積，表示出圓臺的上底面半徑和高，根據圓臺的體積公式，列出方程，解得答案.
【詳解】作出圓錐和球的軸截面如圖所示，
則圓錐底面半徑，圓錐高，圓錐母線，
所以 ,設內接圓臺的上底面半徑為，下底面半徑，
則高，所以，
所以，所以，
解得，所以,故該圓臺的高為,故答案為：
4.
如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則該圓臺的體積為_________；側面積為_________．
【答案】
【分析】將圓臺看成是圓為底的大圓錐切去圓為底的小圓錐，則圓臺體積為大圓錐體積減去小圓錐體積，圓臺側面積為大圓錐側面積減去小圓錐側面積.
【詳解】將圓臺看成是圓為底的大圓錐切去圓為底的小圓錐，大小圓錐的頂點為，如圖所示，在經過的軸截面上，從點做垂線于，顯然且.
∵，∴，，
又∵∴為的邊的中位線，∵，得
則，解得∴
則圓臺的體積為圓為底，高為的圓錐體積減去以圓為底，高為的圓錐體積，即
圓臺的側面積.故答案為：；.
七、外接球
【典型例題】
【例1】已知球的內接圓柱（圓柱的底面圓周在球面上）的高恰好是球的半徑，則圓柱側面積與球的表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為R，可得，即求.
【詳解】設球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為R，如圖為圓柱的軸截面，
則，又圓柱的側面積為，球的表面積為，
∴圓柱側面積與球的表面積之比為.故選：B.
【例2】已知圓錐底面圓半徑為2，母線與底面成角為60°，則圓錐側面積為__________，若圓錐底面圓周及頂點均在一球上，則該球體積為__________.
【答案】
【分析】求出圓錐的母線長可得側面積，求出圓錐軸截面三角形外接圓半徑即圓錐外接球半徑，從而可得球體積．
【詳解】如圖，是圓錐的軸截面，由題意，，則，
側面積為；
的外接圓半徑為，即為圓錐外接球半徑，
所以球體積為．
故答案為：；．
【例3】如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個底面，圓柱的兩個底面分別為同一個球的兩個截面，且圓錐的頂點也在該球的球面上.若球的體積為，圓柱的高為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作球的截面大圓，得圓柱、圓錐的軸截面，由此求得圓錐的底面半徑和高．
【詳解】過球心作截面，得圓柱、圓錐軸截面，如圖，球半徑為，則，，
圓柱的高，則，，，
圓錐體積為．故選：D．
【例4】在三棱錐中，平面平面，，，，若三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為___________.
【答案】
【分析】設的外心為，半徑，三棱錐的外接球球心，半徑，應用線面垂直的性質及矩形、外接球的性質，結合正弦定理即可求、，由求出，即可求外接球表面積.
【詳解】設的外心為，半徑，三棱錐的外接球球心，半徑，
過作的平行線，過作的平行線，兩條直線交于，
∵面面，面面，，面，
∴平面，又平面，
∴，則四邊形為矩形，而，即為中點，即，
在中，由正弦定理得：，所以，
∵，∴.故答案為：.
【例5】我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童有外接球，且，點到平面距離為4，則該芻童外接球的表面積為__________.
【答案】
【分析】由已知得，球心在上下底面中心的連線上，該連線與上下底面垂直，球心必在該垂線上，然后根據，利用直角三角形與直角三角形，即可列出外接球半徑的方程，求解即可.
【詳解】假設為芻童外接球的球心，連接、交于點，連接、交于點，由球的幾何性質可知、、在同一條直線上，
由題意可知，平面，平面，，
設，在中，，在矩形中，，
，，在中，，
在矩形中，，，，
設外接球半徑，，解得，
則，即，則該芻童的外接球半徑為該芻童外接球的表面積為：，
故答案為：.
【例6】正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為______，線段長度的取值范圍為_______.
【答案】
【分析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可；點在以的中點圓心，以為半徑的圓上，線段長度最小為點到圓心的距離減去半徑，最大為點到圓心的距離加上半徑，代入數據求解即可.
【詳解】
如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，也即是正方體的外接球的體積，因為正方體棱長為1，所以外接球直徑為，所以正方體的外接球的體積為：，所以正四面體的外接球的體積為；
分析可知點在以的中點圓心，以為半徑的圓上，，由點在圓內，且，所以長度最小為，長度最大為，所以長度的取值范圍為.故答案為：；.
【對點實戰】
1.邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，與對角線的夾角為45°，則球的體積為______.
【答案】
【分析】根據給定條件結合球的截面小圓性質求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.
【詳解】因邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，則正方形的外接圓是球O的截面小圓，其半徑為，
令正方形的外接圓圓心為，由球面的截面小圓性質知是直角三角形，且有，
而與對角線的夾角為45°，即是等腰直角三角形，球O半徑，
所以球的體積為.故答案為：
2.一個正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積為______.
【答案】
【分析】畫出正四棱錐及對角截面，找到外接球的球心，設，利用PO=OB=r建立方程，求出，進而求出半徑和球的表面積.
【詳解】如圖所示，正四棱錐P-ABCD，PE為正四棱錐的高，因為正四棱錐的頂點都在同一球面上，所以外接球球心一定在該棱錐的高上，設球心為O，半徑為r，連接EB，OB，則EB為正方形ABCD對角線的一半，PO=OB=r.
因為棱錐的高為，底面邊長為，所以PE=2，BE=，設，則，
由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以該球的表面積為
故答案為：.
3.已知圓臺的上下底面的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓周均在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A．50π B．100π C．150π D．200π
【答案】B
【分析】由題中條件得到圓臺的高，再分圓臺的兩個底面在球心異側與同側兩種情況討論即可得到答案.
【詳解】由題得圓臺的高為，設圓臺的上下底面圓心為，，球的半徑為.
當圓臺的兩個底面在球心異側時，，
，解得；
當圓臺的兩個底面在球心同側時，，，解得，(舍)，
故球的表面積為.
故選：B．
4.如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面.若，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題中的條件求出的三邊，再求外接圓的半徑，最后通過構造直角三角形求出外接球的半徑即可.
【詳解】過點作，連接.
設，則，，.
在中，由余弦定理可得.
因為平面平面，所以平面，
所以，則，從而.
在中，由余弦定理可得.
因為是的角平分線，所以，.
因為，且，
所以.
設外接圓的圓心為，半徑為，則，點到直線的距離.
設三棱錐外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A
八、內切球
棱錐內切球的問題，多用等體積法求解。
【典型例題】
【例1】四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】畫出直觀圖，梳理條件，再畫出截面圖，從中找到等量關系，求出外接球半徑，從而求出外接球的表面積.
【詳解】如圖1所示，正四面體ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K為四個球的球心，M為CD中點，連接BM，AM，易知B、H、M三點共線，直線AH交平面EFG于點，連接，交GF于點N，則N為GF的中點，因為內切球半徑為2，故EF=4，畫出截面ABM如圖2所示，正四棱錐EFGK外接球球心設為O，則正四面體ABCD的外接球球心與正四面體EFGK外接球球心重合，設正四面體ABCD的外接球半徑為R，正四面體EFGK外接球半徑為r，在圖2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以過點E作EP⊥BM于點P，則EP=2則△BEP∽△
∴，解得：∴
∴正四面體ABCD的外接球表面積
故選：A
【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-BC1D內切球的表面積為，則正方體外接球的體積為
A． B．36 C． D．
【答案】B
【分析】利用體積相等求出正四棱錐的高，從而可得正四棱錐的棱長，可求得正方體的棱長，利用正方體外接球直接就是正方體對角線長，可求外接球的半徑，進而可得結果.
【詳解】設正方體的棱長為，則，因為三棱錐內切球的表面積為，
所以三棱錐內切球的半徑為1，設內切球的球心為，
到面的距離為，則，，，
又，，
又因為正方體外接球直接就是正方體對角線長，正方體外接球的半徑為，
其體積為，故選B.
【例3】大數學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數學發現的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發現球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.
【詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為
所以球的體積為, 表面積為.
圓柱的體積為：,所以其體積之比為：
圓柱的側面積為：, 圓柱的表面積為：
所以其表面積之比為： 故選：C
【例4】已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長為，在該圓柱內放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內可以任意轉動，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根據題意可得該圓柱的內切球的半徑為，設內切球為球，當正四面體內接于該圓柱的內切球時，棱長最大，所以等價于已知球的半徑為，求內接正四面體的棱長即可.
【詳解】因為圓柱的軸截面為正方形，母線長為，所以圓柱的底面圓直徑和高都是，
所以該圓柱的內切球的半徑為，如圖球即為該圓柱的內切球，
若該圓柱內放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內可以任意轉動，
則該正四面體內接于該圓柱的內切球時，棱長最大，
如圖該正四面體的棱長為，
設點在面內的射影為，即面，
則球心在上，且，
，所以，
所以，
在中，，即 ，
整理可得：，解得或(舍) ，所以的最大值為，
故選：D
【例5】將棱長為的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積為______.
【答案】##
【分析】求出正方體的內切球的半徑后可求體積
【詳解】將棱長為的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球為原正方體的內切球，
故其半徑為，故體積為.故答案為：
【例6】已知以正方體6個表面的中心為頂點，形成一個八面體，該八面體的內切球的體積與正方體的外接球的體積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考慮八面體的上面一部分為正四棱錐，在該幾何體內部考慮與半球相切，求得球的半徑，即可求得答案.
【詳解】考慮八面體的上半部分為正四棱錐 ，如圖：
設正方體棱長為2，則底面正四邊形邊長為，
設M為內切球的球心，
側面正三角形邊長為，故側面上的高為，
設T為八面體的內切球與面PEF的切點，則T落在PN上，連接MT,則 ,
故 ,即有 ,即，又，，
設正八面體內切球半徑為r，故：，
又正方體外接球直徑為正方體的體對角線長，故外接球半徑為，
設八面體的內切球的體積與正方體的外接球的體積分別為 ,
故：,故選：C.
【對點實戰】
1.正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面投影是底面中心）的高為1，底面邊長為，正三棱錐內有一個球與其四個面相切，則此球表面積是___________.
【答案】
【分析】用等體積法先求出內切球的半徑，進而算出球的表面積.
【詳解】如示意圖，正三棱錐P-ABC，點O為內切球球心，底面ABC，D為BC的中點，球O與底面ABC，側面PBC分別切于，于是.
因為正三角形ABC邊長為，所以易知為正三角形ABC的重心，所以所以,所以.
所以，所以球O的表面積為：.
故答案為：.
2.已知三棱錐三條側棱，，兩兩互相垂直，且， 分別為該三棱錐的內切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用補形法得正方體，作出圖形，找出內切球，外接球球心，由幾何關系知：兩點間距離的最小值為，易求外接圓半徑，結合等體積法可求出內切圓半徑和，進而得解.
【詳解】由已知將該三棱錐補成正方體，如圖所示.
設三棱錐內切球球心為，外接球球心為，內切球與平面的切點為，
易知：三點均在上，且平面，
設內切球的半徑為，外接球的半徑為，則.
由等體積法：，得，
由等體積法：，得，
將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內切球最大截面，
∴兩點間距離的最小值為.故選：B.
3.已知球O為正方體的內切球，平面截球O的面積為，則正方體的棱長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】平面截球O得到的面為的內切圓，設出棱長后，由平面表示出內切圓半徑，即可解出棱長.
【詳解】
設正方體的棱長為，則，內切球的半徑為，設內切球的球心在平面上的投影為，由為等邊三角形
知為等邊三角形的重心，則，又，所以球心到平面的距離為，
又平面，所以截面圓的半徑為：，截面圓的面積為，解得.
故選：D.
4.已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設三棱柱的高為h，內切球O的半徑為r，通過內切球的半徑可求出h，再求得，由體積公式即可求解三棱錐的體積．
【詳解】解：設直三棱柱的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內切球O的半徑為r，則h＝2r，
由題意可知球O的表面積為，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周長為4，即a＋b＋c＝4，
∴連接OA，OB，OC，可將直三棱柱分成5個棱錐，
即三個以原來三棱柱側面為底面，內切球球心為頂點的四棱錐，
兩個以原來三棱柱底面為底面，內切球球心為頂點的的三棱錐，
∴由體積相等可得直三棱柱的體積為h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱錐的體積為h＝×4×4＝故選：B．
九、組合體
【典型例題】
【例1】已知在菱形中，，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，且使得棱，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設外接球的球心為，等邊三角形的中心為，取的中點，證得平面，在平面中，過點作的垂線，與的延長線交于點，證得平面，得到四邊形是矩形，設外接球的半徑為，根據和，求得球的半徑，結合表面積公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，為等邊三角形，如圖所示，
設外接球的球心為，等邊三角形的中心為，
取的中點，連接，，，，，，
由，可得，，
又因為，所以平面，
且可求得，而，所以，
在平面中，過點作的垂線，與的延長線交于點，
由平面，可得，
又由，，所以平面，
過點作于點，則四邊形是矩形，
又因為，
所以，，.
設外接球的半徑為，，則由，，
可得，，解得，，
故三棱錐外接球的表面積.故選：C.
【例2】在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在中由余弦定理求得，即知為等邊三角形，又由已知，若的外接圓的圓心為有為菱形，則平面ABC，進而確定外接球球心O，由球心與相關點的位置關系求球的半徑，最后求表面積即可.
【詳解】在中，，即，又，
∴為等邊三角形
根據題意，有如下示意圖：
如圖，設的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.
由題意可得，且，.
∴由上知：且，又，
∴，由，平面ABC.
設O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，， ，代入解得，即有，
∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.
【例3】如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求圓柱底面半徑和高，再分別求圓錐和圓柱的體積，即可計算剩下的幾何體的體積.
【詳解】因為點是的中點，所以圓柱的底面直徑為，高，
圓錐的體積，圓柱的體積，
所以剩下的幾何體的體積.故選：B
【例4】唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯內壁表面積為,設酒杯上部分（圓柱）的體積為，下部分（半球）的體積為，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】設酒杯上部分（圓柱）的高為，球的半徑為，則酒杯下部分（半球）的表面積為，結合圓柱和球的體積公式，即可求解.
【詳解】設酒杯上部分（圓柱）的高為，
球的半徑為，則酒杯下部分（半球）的表面積為，
酒杯內壁表面積為，得圓柱側面積為，
酒杯上部分（圓柱）的表面積為，解得
酒杯下部分（半球）的體積
酒杯上部分（圓柱）的體積所以.故選：A.
【例5】如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為6的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐的體積可以為（ ）
A．10π B．30π C．35π D．40π
【答案】AB
【分析】根據給定條件求出半球半徑，再利用球面的截面小圓性質用小圓錐底面圓心到球心距離h
表示小圓錐底面圓半徑，列出小圓錐體積的函數關系，借助導數求出最大值判斷作答.
【詳解】設上部分的半球半徑為R，則有，解得，
設小圓錐的底面半徑為r，小圓錐底面圓心到球心距離為h，則r，h，R構成直角三角形，即，
小圓錐的體積，令，
則，當時，，當時，，
因此，在上單調遞增，在上單調遞減，則當時， ，，
所以，即，顯然C，D不滿足題意，A，B滿足題意.
故選：AB
【例6】如圖為一個正方體與一個半球構成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個球中（球未畫出），使正方體的下底面的頂點均落在球的表面上，半球與球內切，設切點為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設球、半球的半徑分別為、，設正方體的下底面的中心為，連接，根據已知條件求出的值，根據幾何體的對稱性知球的球心在線段上，進而可得出關于的方程，求出的值，利用球體的表面積公式可求得球的表面積.
【詳解】設球、半球的半徑分別為、，
則由正方體與半球的位置關系易知正方體的棱長為，
設正方體的下底面的中心為，連接，則四棱錐的高，
易知四棱錐為正四棱錐，則其斜高為，
由題意得，得，
根據幾何體的對稱性知球的球心在線段上，連接、，
在中，，，，
由勾股定理得，則，解得，
因此，球的表面積，故選：B.
【對點實戰】
1.已知三棱錐的四個頂點都在球O的表面上，且，，若已知，，，，則球O的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圓半徑，又面知△的外接圓的圓心與所構成的截面必過三棱錐外接球的球心，即可求出球的半徑，根據球的體積公式求體積即可.
【詳解】由，，， 則由余弦定理有：
，即，
∴由正弦定理知△的外接圓半徑：，
由題意知：面，又，三棱錐的外接球半徑：
，由球的體積公式，有：，故選：C
2.如圖所示，是某廠生產的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成，其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.2m，圓錐的高是0.24m．要對1個這樣的臺燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100克，則共需膠（ ）克
A．340π B．440π C．4600π D．6600π
【答案】C
【分析】求出圓錐的側面積和半球面的面積后，然后乘以100，再乘以1可得．
【詳解】由題意圓錐的母線長為，
所以臺燈表面積為，
需膠重量為（克）．故選：C．
3.高一學生小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口（半徑較大的圓）卡住，球心到垃圾簍底部的距離為，垃圾簍上底面直徑為24a，下底面直徑為18a，母線長為13a，則該籃球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先畫出球與垃圾簍組合體的軸截面圖，然后根據題意求出垃圾簍的高，從而可求出球心到上底面的距離，進而可求出球的半徑，于是可求得球的表面積
【詳解】球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.
根據題意，得垃圾簍的高為.
所以球心到上底面的距離為.設籃球的半徑為r，則.
故籃球的表面積為.故選：D.
4.冰激凌一直被眾多青少年視為夏日解暑神器，圖中冰激凌可近似地看作圓錐和半球的組合體，若圓錐部分的側面展開圖是面積為的半圓形，則該冰激凌的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意列出方程組，求得的值，得出，結合圓錐的體積公式，即可求解.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，
根據題意，可得，解得，所以，
故該冰激凌的體積.故選：A.
十、旋轉體的最值
【典型例題】
【例1】一圓錐的內部裝有一個小球，若小球的體積為，則該圓錐側面積的最小值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意考查球與圓錐相切的情況，然后結合均值不等式的結論即可求得圓錐側面積的最小值.
【詳解】滿足題意時，圓錐與球相切，其縱截面如圖所示，
設圓錐的底面半徑，母線長，內切球半徑，
由小球的體積為可知其半徑為，
利用等面積法可得：，
故， ①
不妨設，代入①式整理可得：，
則圓錐的側面積的平方：
，
故，當且僅當時等號成立.故選C.
【例2】已知圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，現要在圓錐內部放置一個圓柱，要求圓柱的一個底面要放在圓錐的底面內，則能放置圓柱的最大體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知條件求出圓錐的底面半徑和高，畫出軸截面，設圓柱的底面半徑為，則利用三角函數可表示出圓柱的高，從而可表示出圓柱的體積，進而可求出其最大值
【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，
所以圓錐的底面半徑為，高為，
要使圓柱的體積最大，就要使圓柱與圓錐相切，
則組合體和軸截面如圖所示，
則，
設圓柱的底面半徑為（），則，，
所以，所以圓柱的體積為，（），則，令，得（舍去）或，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當時，取得最大值，
所以圓柱的最大體積為，故選：A
【例3】已知某圓錐的底面半徑為2，母線長為4，該圓錐有一內接圓柱，要使圓柱的體積最大，則圓柱的底面半徑應為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據已知條件列出關于圓柱體積與圓柱底面圓半徑之間的表達式，利用導數判斷函數的單調調性，進而求其最值即可.
【詳解】下圖為此幾何體的軸截面，設圓柱的底面圓半徑為，母線長為，
由已知條件得,
∵△∽△, ∴, 即，其中，
∴圓柱的體積為，又∵，
∴函數在上為單調遞增，在上單調遞減，
∴函數在時，圓柱的體積取得最大值.故選：.
【例4】已知經過圓錐的頂點與底面圓心的截面是邊長為的正三角形，一個圓柱的下底面在該圓錐的底面上，上底面圓周在該圓錐的側面上，則該圓柱的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓柱的底面半徑為，高為，利用相似比得出，再由圓柱的體積公式即可求解.
【詳解】由題意設圓柱的底面半徑為（），高為，
所以，解得，
所以圓柱的體積，，令，解得，
，解得，，解得，所以函數在上單調遞增；在上單調遞減；
所以.故選：C
【例5】某制藥公司生產某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時( )
A． B． C． D．
考點29 幾何體的體積-備戰2022年高考數學典型試題解讀與變式
【答案】A
【分析】由圓柱和球的表面積公式將l用r和S表示出來，再代入圓柱體積和球體積公式，表示出膠囊的體積V，利用求導求出V的最大值及此時r的值.
【詳解】依題意，，故
，當時，，取最大值．故選：A
【例6】已知圓錐的底面半徑為，若其底面上存在兩點，使得，則該圓錐側面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據可確定，由圓錐側面積公式可求得最大值.
【詳解】設圓錐的母線長為，
，，又（當且僅當為底面圓直徑時取等號），
，即，
圓錐側面積，即所求最大值為.故選：A.
【對點實戰】
1.在底面直徑和高均為的圓錐內作一內接圓柱，則該內接圓柱的最大側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圓錐的軸截面，設內接圓柱的高為，底面半徑為，根據三角形相似求出，從而把圓柱的側面積表示為的二次函數，利用二次函數求最大值.
【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，設內接圓柱的高為，底面半徑為，
則根據三角形相似，可得，解得，
所以內接圓柱的側面積為，
當且僅當時，側面積有最大值.
故選：B．
2.．將周長為4的矩形繞旋轉一周所得圓柱體積最大時，矩形的面積為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】設，求圓柱的體積關于x的函數的解析式，在利用導數求其最大值，并確定體積取最大值時x的值，由此可求對應的矩形的面積.
【詳解】設，因為矩形周長為4，則，所以將周長為4的矩形繞旋轉一周所得圓柱體積為，，則，由得，解得；由得，解得，所以在上單調遞增；在上單調遞減，所以當，即，時，取得最大值，矩形的面積為，
故選D．
3.內接于半徑R的球且體積最大的圓柱體的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據圓柱的高，底面半徑以及球半徑之間的關系，建立圓柱的高與圓柱體積之間的函數關系，利用導數求體積取得最大值時對應的自變量即可.
【詳解】根據題意，設圓柱底面半徑為，圓柱的高為，作出示意圖如下所示：
顯然滿足，
故圓柱的體積，故可得，
令，解得，故此時單調遞增，
令，解得，故此時單調遞減.
故.即當時，圓柱的體積最大.故選：A.
4.圓柱的表面積為，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】設圓柱的底面半徑為，高為，根據圓柱的表面積可得與的關系，再將圓柱的體積表示成關于的函數，利用導數判斷單調性即可求解.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱的表面積為，
所以，可得：，
所以圓柱的體積為：，
所以，
當時，；當時，，
所以當時，最大，
所以當圓柱的底面半徑為時，圓柱的體積最大，故選：A.
5.一個圓錐底面半徑為，高為，（1）則該圓錐的表面積為______.（2）則該圓錐的內接正四棱柱表面積的最大值______.．
【答案】
【分析】（1）勾股定理求母線長，然后由公式可得；
（2）結合圖形根據相似三角形的正四棱柱底面對角線的一半與高的關系，將表面積表示成底面對角線的一半的函數，由二次函數性質可得.
【詳解】（1）由題意可知，圓錐的母線長為，
所以該圓錐的表面積為；
（2）如下圖所示，設正四棱柱的底面對角線的一半為x，，，即，解得，
正四棱柱的底面是一個正方形，其底邊長為，底面積為，所以，四棱柱的表面積為，由二次函數的基本性質可知，當時，正四棱柱的表面積S有最大值，即.
故答案為：，
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】兩個不同的圓錐的底面是球O的同一截面，頂點均在球O表面上，若球O的體積為V，則這兩個圓錐體積之和的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，由圓截面性質求得圓錐底面半徑，再得兩個圓錐體積和，記為，由二次函數性質得最大值．
【詳解】設球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，則另一個圓錐的高為，
圓錐底面半徑為，則，，
兩個圓錐的體積和為，
所以時，，
，因此．故選：B．
【例2】已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結果.
【詳解】如圖，設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，
所以，圓錐的體積，解得，
所以該圓錐的側面積為.故選：B
結束

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