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8.4.1平面
本節課知識點目錄：
圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換；
三個基本事實及其推論。
點、線確定平面
證明點共線
證明線共點
做界面與交線
一、圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換
文字語言 符號語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內 A∈α
A在α外 A α
l在α內 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
【典型例題】
【例1】用符號語言表示下列語句，正確的個數是（ ）
（1）點A在平面內，但不在平面內：，．
（2）直線a經過平面外的點A，且a不在平面內：，，．
（3）平面與平面相交于直線l，且l經過點P：，．
A．1 B．2 C．3 D．0
【例2】若點在直線上，在平面內，則，，之間的關系可記作（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖所示，點、線、面之間的數學符號語言關系為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例4】下列關于點、線和面的關系表示錯誤的是（ ）
A．點平面 B．直線平面
C．直線平面 D．平面平面
【例5】“直線a經過平面外一點P”用符號表示為（ ）
A．， B． C．， D．，
【例6】將下列符號語言轉化為圖形語言：
(1)A α， a α.
(2)α∩β＝a， P α且P β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【例7】根據下列條件畫出圖形：平面平面直線，直線，直線，，.
【對點實戰】
1.如圖所示，點，線，面之間的數學符號語言關系為（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.基本事實2；如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．可用符號表示為（ ）
A．，，且， B．，，且，
C．，，且， D．，，且，
3.“點在直線上，在平面內”可表示為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.如圖所示，用符號語言可表述為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
5.畫出滿足下列條件的圖形（其中A，B，M表示點，m，n，a，b表示直線，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
二、三個基本事實及其推論
1．三個基本事實
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.三個推論
推論 內容 圖形
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
【典型例題】
【例1】給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A．三點唯一確定一個平面
B．一條直線和一個點唯一確定一個平面
C．兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內
D．空間兩兩相交的三條直線在同一平面內
【例2】下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．四條首尾相連的線段確定一個平面
C．兩條異面直線確定一個平面
D．兩條相交直線確定一個平面
【例3】下列說法正確的是（ ）
A．三點可以確定一個平面 B．一條直線和一個點可以確定一個平面
C．四邊形一定是平面圖形 D．兩條相交直線可以確定一個平面
西藏自治區拉薩中學2021-2022學年高一上學期期末考試數學試題
【例4】下列命題正確的是（ ）
A．經過三點確定一個平面
B．經過一條直線和一個點確定一個平面
C．四邊形確定一個平面
D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
【例5】下列說法中正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形確定一個平面
B．一條直線和一個點可以確定一個平面
C．空間任意兩條直線可以確定一個平面
D．梯形確定一個平面
【例6】下列敘述中，正確的是（ ）．
A．因為，，所以
B．因為，，所以
C．因為，，，所以
D．因為，，所以
【例7】已知，，是平面，，，是直線，，，，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【例8】正方體ABCD -A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是（ ）
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
【對點實戰】
1.下列條件中能確定一個平面的是（ ）
A．空間任意三個點
B．空間相交于一點的三條直線
C．兩條平行直線
D．一條直線和一個點
2.下列命題：
（1）若空間四點共面，則其中必有三點共線；
（2）若空間有三點共線，則此四點必共面；
（3）若空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面；
（4）若空間四點不共面，則其中任意三點不共線.
其中正確的命題有（ ）個.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.自行車停放時將后輪旁邊的撐子放下，自行車就停穩了，這里用到了（　?。?br/>A．兩條平行直線確定一個平面
B．兩條相交直線確定一個平面
C．不共線的三點確定一個平面
D．三點確定一個平面
4.下列命題中正確的是（ ）
A．經過三點確定一個平面
B．經過兩條平行直線確定一個平面
C．經過一條直線和一個點確定一個平面
D．四邊形確定一個平面
5.．“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號表述是（ ）
A． B．
C． D．
6.以下四個命題中，正確命題的個數是（ ）
①不共面的四點中，任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
7.如圖，平面平面，直線，過三點確定的平面為，則平面的交線必過（ ）
A．點 B．點 C．點，但不過點 D．點和點
三、點、線確定平面
證明點、線共面問題的常用方法
(1)先證部分點、線確定一平面，再整其余點、線屬于該平面
(2)可以通過不同點、線確定兩個平面，再用歸謬法證明重合
【典型例題】
【例1】過空間任意一點引三條直線，它們所確定的平面個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【例2】從同一點引出的4條直線可以確定個平面，則不可能取的值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．1
【例3】已知空間中有五個點，如果點在同一個平面內，點在同一個平面內，那么這五個點（ ）
A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不對
【例4】在空間內，可以確定一個平面的條件是（ ）
A．兩兩相交的三條直線，且有三個不同的交點
B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交
C．三個點
D．兩條直線
【例5】下列條件中，能夠確定一個平面的是（ ）
A．兩個點 B．三個點
C．一條直線和一個點 D．兩條相交直線
【例6】空間內不同的四個點，“無任何三點共線”是“四點不共面”的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件
【例7】如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點.求證：三點共線.
【對點實戰】
1.下列命題正確的是（ ）
A．一條直線和一個點確定一個平面
B．圓心和圓上兩點可以確定一個平面
C．兩個平面相交，存在特殊位置關系使它們只有一個公共點
D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合
2.下列命題正確的是（　?。?br/>A．三點確定一個平面
B．一條直線和一個點確定一個平面
C．兩條不平行的直線確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
3.一個平面經過空間四點中的三點，這樣的平面個數最多為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
4.經過同一條直線上的3個點的平面（ ）
A．有且僅有1個 B．有無數個 C．不存在 D．有且僅有3個
5.空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
5.(1)不共面的四點可以確定幾個平面？
(2)三條直線兩兩平行，但不共面，它們可以確定幾個平面？
(3)共點的三條直線可以確定幾個平面？
6.如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點是的中點.
（1）線段上是否存在一點，使得點，，，共面，存在請證明，不存在請說明理由；
（2）若，求三棱錐的體積.
四、證明點共線問題
證明多點共線通常用基本事實3，即兩相交平面交線的唯一性．通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．
【典型例題】
【例1】在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，若EF∩HG=P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上
B．一定在直線AC上
C．在直線AC或BD上
D．不在直線AC上，也不在直線BD上
【例2】在長方體中，是與的交點，長方體體對角線交截面于點P.求證：三點在同一條直線上.
【例3】如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且
(1)求證：四點共面；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
【例4】如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，求證：點P在直線DE上.
【例5】如圖所示，在四邊形中，已知，直線，，，分別與平面相交于點，，，．求證：，，，四點共線．
【對點實戰】
1.已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.
2.如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．
3.已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：
（1）D，B，E，F四點共面.
（2）若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線.
4.如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點.求證：三點共線.
五、證明線共點問題
證明三線共點問題，可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．
【典型例題】
【例1】在空間四邊形中，在上分別取E，F，G，H四點，如果交于一點P，則（ ）
A．P一定在直線上
B．P一定在直線上
C．P在直線或上
D．P既不在直線上，也不在直線上
【例2】平面內條直線沒有四條直線共點，最多三條直線平行，至少有幾個交點（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
例3】如圖，正方體中，，分別為，的中點．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）若，，與平面交于點，求證：三點共線．
【例4】如圖，在三棱錐中，E，F分別是PA，AB的中點，G，H分別是PC，BC上的點，且．
（1）證明：E，F，G，H四點共面．
（2）證明：三條直線EG，FH，AC交于一點．
【例5】如圖，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求證：，l共點（相交于一點）.
【例6】如圖，設不全等的與不在同一個平面內，且、、，求證：、、三線共點．
【對點實戰】
1.如圖，在四面體ABCD中，E， G分別為BC， AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求證：EF， GH， BD交于一點．
2.空間四邊形中，、、、分別是、、、上的點，已知和交于點，求證：、、三線共點．
3.如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且．求證：
（1）、、、四點共面；
（2）與的交點在直線上．
（1）求證：、、、、、六點共面；
（2）求證：、、三線共點；
（3）求幾何體的體積．
5.如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：
（1）E，C，D1，F四點共面；
（2）CE，D1F，DA三線共點．
六、做截面與交線
（1）平行線法
（2）相交直線法
【典型例題】
【例1】如圖，在正方體中，若P為棱的中點，判斷平面與平面ABCD是否相交．如果相交，作出這兩個平面的交線．
【例2】已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點，作出過，，三點的截面.
【例3】如圖，在長方體中，P為棱的中點．
(1)畫出平面PAC與平面ABCD的交線；
(2)畫出平面與平面ABCD的交線．
【例4】已知正方體，，分別是棱，的中點．
（Ⅰ）畫出平面與平面的交線，并說明理由；
（Ⅱ）設為直線與平面的交點，求證：，，三點共線．
【例5】如圖，正方體的棱長為分別是的中點，設過三點的平面與交于點．
（1）畫出過三點的平面與平面的交線，以及與平面的交線；
（2）求的長．
【例6】如圖，在邊長為1的正方體中，分別是的中點．
（1）作出過點與正方體的截面；（不必說明畫法和理由）
（2）求點到平面的距離．
【例7】如圖①，正方體的棱長為，為線段的中點，為線段上的動點，過點、、的平面截該正方體所得的截面記為.
（1）若，請在圖①中作出截面（保留尺規作圖痕跡）；
（2）若（如圖②），試求截面將正方體分割所成的上半部分的體積與下半部分的體積之比.
【例8】如圖，已知直三棱柱中，，，，，，分別為棱，的中點， 為線段的中點
（1）試在圖中畫出過，，三點的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出該多邊形的周長；
（2）該截面分三棱柱成兩部分，求其中較小那部分幾何體的體積.
【對點實戰】
1.在正方體中，試畫出平面與平面的交線．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，試畫出平面ABC與平面α，β的交線.
3.在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面. 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點.
（1）證明：共面；
（2）求截面的面積.
4.如圖所示，正方體中，，分別為和的中點，畫出平面和平面的交線．
5.如圖，有一塊正四棱柱的木料，E，F分別為，的中點，，．
（1）作出過B，E，F的平面與正四棱柱木料的截面，并求出該截面的周長；
（2）求點到平面BEF的距離．
6.如圖，正四面體棱長為6．
（1）求正四面體的體積；
（2）若是側面內的一點，過點作一個截面，使得與都與截面平行，作出截面與正四面體各面的交線，并寫出作法．
結束
8.4.1平面
本節課知識點目錄：
圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換；
三個基本事實及其推論。
點、線確定平面
證明點共線
證明線共點
做界面與交線
一、圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換
文字語言 符號語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內 A∈α
A在α外 A α
l在α內 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
【典型例題】
【例1】用符號語言表示下列語句，正確的個數是（ ）
（1）點A在平面內，但不在平面內：，．
（2）直線a經過平面外的點A，且a不在平面內：，，．
（3）平面與平面相交于直線l，且l經過點P：，．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】根據點線面的位置關系結合表示方法可判斷.
【詳解】錯誤，點A在平面內應表示為：，點A不在平面內應表示為,故錯誤.
正確. 由題意點A在直線a上，不在平面內，直線a不在平面內.
故表示為：，，，所以表示正確.
正確. 平面與平面相交于直線l，表示為
l經過點P，點P在直線l上，.故正確.
故選：B.
【例2】若點在直線上，在平面內，則，，之間的關系可記作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空間中點、線、面之間關系的符號表示即可求解.
【詳解】因為點Q(元素)在直線b(集合)上,所以.
又因為直線b(集合)在平面(集合)內,
所以.所以.
故選：B
【例3】如圖所示，點、線、面之間的數學符號語言關系為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據圖形可將點、線、面之間的位置關系用數學符號語言表示出來.
【詳解】由圖可知，，，.
故選：B.
【例4】下列關于點、線和面的關系表示錯誤的是（ ）
A．點平面 B．直線平面
C．直線平面 D．平面平面
【答案】A
【分析】根據點，線，面的位置關系，結合符號語言，即可判斷.
【詳解】根據點，線，面的位置關系的符號表示，可知A.錯誤，應改為點平面；
BCD.正確.
故選：A
【例5】“直線a經過平面外一點P”用符號表示為（ ）
A．， B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用集合語言表示即可.
【詳解】“直線a經過平面外一點P”用符號表示為，.
故選：C.
【例6】將下列符號語言轉化為圖形語言：
(1)A α， a α.
(2)α∩β＝a， P α且P β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】根據點線、點面、線面、面面的位置關系畫出圖形即可.
(1)
如圖(1)所示．
(2)
如圖(2)所示．
(3)
如圖(3)所示．
(4)
如圖(4)所示．
【例7】根據下列條件畫出圖形：平面平面直線，直線，直線，，.
【答案】圖形見解析
【分析】根據，，得到畫出圖形.
【詳解】圖形如圖所示.
【對點實戰】
1.如圖所示，點，線，面之間的數學符號語言關系為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根據點與線、點與面的屬于關系，結合線面包含關系進行判斷即可.
【詳解】由圖可知：，
故選：B
2.基本事實2；如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．可用符號表示為（ ）
A．，，且， B．，，且，
C．，，且， D．，，且，
【答案】B
【分析】根據定義判斷是元素與集合的關系還是集合與集合的關系決定符號的用法.
【詳解】因為、是點，是元素，是直線、平面的元素，所以用“”，而是點的集合，和平面是集合與集合的關系，是平面的子集關系，所以用“”.
故選：B.
3.“點在直線上，在平面內”可表示為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據點與線，線與面的關系書寫即可.
【詳解】解：因為點在直線上，在平面內。
所以符號語言為：，
故選：B
4.如圖所示，用符號語言可表述為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】利用圖形，表示為點，線，面的符號語言.
【詳解】由圖形可知，，，或表示為，.
即A正確.
故選：A
5.畫出滿足下列條件的圖形（其中A，B，M表示點，m，n，a，b表示直線，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】利用點、線、面的位置關系的圖形表示，即可得到答案；
(1)
(2)
(3)
二、三個基本事實及其推論
1．三個基本事實
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.三個推論
推論 內容 圖形
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
【典型例題】
【例1】給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A．三點唯一確定一個平面
B．一條直線和一個點唯一確定一個平面
C．兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內
D．空間兩兩相交的三條直線在同一平面內
【答案】C
【分析】根據確定平面的條件可對每一個選項進行判斷.
【詳解】對A，如果三點在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；
對B，如果這個點在這條直線上，就不能確定一個平面，故B錯誤；
對C，兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內，故這三條直線在同一平面內，C正確；
對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤.
故選：C
【例2】下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．四條首尾相連的線段確定一個平面
C．兩條異面直線確定一個平面
D．兩條相交直線確定一個平面
【答案】D
【分析】根據平面的基本性質判斷各選項的正誤.
【詳解】A：不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
B：如空間四邊形，四條首尾相連的線段不在一個平面，故B錯誤；
C：兩條異面直線就不在一個平面內，故C錯誤；
D：兩條相交直線確定一個平面，正確.
故選：D.
【例3】下列說法正確的是（ ）
A．三點可以確定一個平面 B．一條直線和一個點可以確定一個平面
C．四邊形一定是平面圖形 D．兩條相交直線可以確定一個平面
西藏自治區拉薩中學2021-2022學年高一上學期期末考試數學試題
【答案】D
【分析】根據確定平面的公理以及推論判斷即可.
【詳解】A錯誤，不共線的三點可以確定一個平面；
B錯誤，一條直線和直線外一個點可以確定一個平面；
C錯誤，四邊形不一定是平面圖形，比如空間四邊形；
D正確，兩條相交直線可以確定一個平面．
故選：D．
【例4】下列命題正確的是（ ）
A．經過三點確定一個平面
B．經過一條直線和一個點確定一個平面
C．四邊形確定一個平面
D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
【答案】D
【分析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.
【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；
對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；
對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；
對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.
故選：D
【例5】下列說法中正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形確定一個平面
B．一條直線和一個點可以確定一個平面
C．空間任意兩條直線可以確定一個平面
D．梯形確定一個平面
【答案】D
【分析】對于A，利用空間四邊形可判斷；對于B，結合公理2判斷；對于C，結合異面直線可判斷，對于D，根據兩平行線可以確定一個平面即可判斷.
【詳解】解：對于A選項，四邊相等的空間四邊形確定的平面不止一個，故錯誤；
對于B選項，一條直線和直線外一個點可以確定一個平面，故錯誤；
對于C選項，空間中的兩條異面直線無法確定一個平面，故錯誤；
對于D選項，梯形的上底和下底是一對平行線，可以確定一個平面，故正確.
故選：D
【例6】下列敘述中，正確的是（ ）．
A．因為，，所以
B．因為，，所以
C．因為，，，所以
D．因為，，所以
【答案】D
【分析】根據公理1判斷選項A、C，根據公理3判斷選項B、D.
【詳解】A：因為，所以，故A錯誤；
B：因為，所以或，故B錯誤；
C：因為，所以，故C錯誤；
D：因為，所以，故D正確.
故選：D
【例7】已知，，是平面，，，是直線，，，，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據空間中點線面之間的位置關系結合平面的基本性質逐一判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.
【詳解】因為，，所以，，
由，可得且，
所以且，
因為，所以，故選項A正確，選項B不正確；
因為，，所以、有公共點，故選項C不正確；
因為，，所以，因為，所以與有公共點，故選項D不正確；
故選：A.
【例8】正方體ABCD -A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是（ ）
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
【答案】A
【分析】連接與交于點F，易得是平行四邊形，根據平面的基本性質即可判斷直線與直線的位置關系.
【詳解】如圖所示，連接與交于點F，
由題意，易得四邊形是平行四邊形，
在平行四邊形中，E，F分別是線段的中點，
∴，又且共面，則直線與直線相交.
故選：A.
【對點實戰】
1.下列條件中能確定一個平面的是（ ）
A．空間任意三個點
B．空間相交于一點的三條直線
C．兩條平行直線
D．一條直線和一個點
【答案】C
【分析】根據空間中平面的確定方法依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，若三點共線，則三點無法確定一個平面，A錯誤；
對于B，空間中相交于一點的三條直線，可能確定一個平面，也可能確定三個不同的平面，B錯誤；
對于C，兩條平行直線可以確定唯一的一個平面，C正確；
對于D，若一個點在直線上，則無法確定一個平面，D錯誤.
故選：C.
2.下列命題：
（1）若空間四點共面，則其中必有三點共線；
（2）若空間有三點共線，則此四點必共面；
（3）若空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面；
（4）若空間四點不共面，則其中任意三點不共線.
其中正確的命題有（ ）個.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】對四個命題利用空間四個點的位置關系分別分析解答．
【詳解】解：對于①，空間四點共面，如平面四邊形，其中任何三點不共線；故①錯誤；
對于②，空間四點中有三點共線，根據不共線的三點確定一個平面，得到此四點必共面；故②正確；
對于③，空間四點中任何三點不共線，則此四點可能共面，如平面四邊形；故③錯誤；
對于④，空間四點不共面，如果任意三點有共線的，那么此四個點就共面，與已知矛盾．故④正確，
所以正確的命題有2個.
故選：C.
3.自行車停放時將后輪旁邊的撐子放下，自行車就停穩了，這里用到了（　?。?br/>A．兩條平行直線確定一個平面
B．兩條相交直線確定一個平面
C．不共線的三點確定一個平面
D．三點確定一個平面
【答案】C
【分析】結合確定一個平面的方法確定正確選項.
【詳解】自行車的前后輪與腳撐分別接觸地面，使得自行車穩定，
此時自行車與地面的三個接觸點不在同一條線上，即不共線的三點確定一個平面．
故選：C．
4.下列命題中正確的是（ ）
A．經過三點確定一個平面
B．經過兩條平行直線確定一個平面
C．經過一條直線和一個點確定一個平面
D．四邊形確定一個平面
【答案】B
【分析】根據平面的有關知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】對于選項A：經過不共線的三點確定一個平面，故選項A錯誤，
對于選項B：兩條平行直線唯一確定一個平面，故選項B正確，
對于選項C：經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故選項C錯誤，
對于選項D：因為空間四邊形不在一個平面內，故選項D錯誤.
故選：B
5.．“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號表述是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據點與線、點與面、線與面關系的集合表示方法，結合排除法，即知正確選項.
【詳解】由點線、點面關系用表示，線面關系用表示，排除A、C、D；
故選：B
6.以下四個命題中，正確命題的個數是（ ）
①不共面的四點中，任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】結合點線面的空間位置關系逐項分析即可求出結果.
【詳解】①假設任意三點共線，由于一條直線與直線外的一點確定一個平面，故四點共面，因此與不共面的四點矛盾，故假設不成立，即不共面的四點中，任意三點不共線，顯然是正確的；②若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面，故不正確；③構造長方體或正方體，如圖，顯然b，c異面，故不正確；④空間四邊形中四條線段不共面，故不正確．故正確的個數為1.
故選：B.
7.如圖，平面平面，直線，過三點確定的平面為，則平面的交線必過（ ）
A．點 B．點 C．點，但不過點 D．點和點
【答案】D
【分析】根據平面的基本性質及推論推導即可
【詳解】由題意知，，，∴，又，
∴，即在平面與平面的交線上，又，，
∴點C在平面與平面的交線上，即平面的交線必過點和點
故選：D.
三、點、線確定平面
證明點、線共面問題的常用方法
(1)先證部分點、線確定一平面，再整其余點、線屬于該平面
(2)可以通過不同點、線確定兩個平面，再用歸謬法證明重合
【典型例題】
【例1】過空間任意一點引三條直線，它們所確定的平面個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】根據三條直線是否在同一個平面內分兩種情況討論可得答案.
【詳解】過空間任意一點引三條直線，當三條直線在同一個平面內時，它們所確定的平面個數是；
當三條直線不在同一個平面內時，它們所確定的平面個數是.
故選：D
【例2】從同一點引出的4條直線可以確定個平面，則不可能取的值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】分當4條直線中任何三條都不共面時，當4條直線中由三條都共面時，當4條直線中共面時，三種情況討論即可得出答案.
【詳解】解：A：當4條直線中任何三條都不共面時，如四棱錐的四條側棱，此時4條直線可以確定個平面，所以不選A．
B：當4條直線中有三條都共面時，此時4條直線可以確定個平面，所以不選B．
C條直線在空間中的位置關系有：任何三條都不共面；有三條都共面；4條直線共面，所以不存在其他的位置關系，所以選C．
D：當4條直線共面時，此時4條直線只可以確定1個平面，所以不選D．
故選：C．
【例3】已知空間中有五個點，如果點在同一個平面內，點在同一個平面內，那么這五個點（ ）
A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不對
【答案】B
【分析】根據點、線、面關系，根據題意五點可以共面也可能不共面，即可得解.
【詳解】設點在同一個平面內，
若，則五點共面，
若，且，這種情況五點不共面，
故選：B
【例4】在空間內，可以確定一個平面的條件是（ ）
A．兩兩相交的三條直線，且有三個不同的交點
B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交
C．三個點
D．兩條直線
【答案】A
【分析】根據確定平面的依據，分別判斷選項.
【詳解】A. 兩兩相交的三條直線，且有三個不同的交點，可以確定一個平面，故A正確；
B.由兩條直線異面，第三條直線與它們分別相交，這樣就不能確定一個平面，故B錯誤；
C.只有不在同一條直線的三個點才能確定一個平面，故C錯誤；
D.兩條相交直線或兩條平行直線可以確定一個平面，如果是兩條異面直線，就不能確定一個平面，故D錯誤.
故選：A
【例5】下列條件中，能夠確定一個平面的是（ ）
A．兩個點 B．三個點
C．一條直線和一個點 D．兩條相交直線
【答案】D
【分析】兩個點能確定一條直線，但一條直線不能確定一個平面，可判斷A；若三個點共線，則不能確定一個平面，可判斷B；若點在直線上，則一條直線和一個點不能確定一個平面，可判斷C；兩條直線能確定一個平面，可判斷D.
【詳解】解：對于A，兩個點能確定一條直線，但一條直線不能確定一個平面，所以兩個點不能確定一個平面；
對于B，三個不共線的點可以確定一個平面，若三個點共線，則不能確定一個平面，故B不能；
對于C，一條直線和這條直線外一點能確定一個平面，若這個點在直線上，則不能確定一個平面，故C不能；
對于D，兩條相交直線能確定一個平面，故D能.
故選：D.
【例6】空間內不同的四個點，“無任何三點共線”是“四點不共面”的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【分析】根據充分，必要條件的定義，判斷選項.
【詳解】平行四邊形中無任何三點共線，但是四點共面，反過來，若四點不共面，連結四點，構成空間四邊形，無任何三點共線，所以“無任何三點共線”是“四點不共面”的必要不充分條件.
故選：C
【例7】如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點.求證：三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】根據平面與平面相交的性質,進而判斷另外一個點在交線上,即可證明三點共線.
【詳解】證明：如圖,連接,則
∵∴四邊形為平行四邊形.又,平面
則平面∵平面平面∴故三點共線.
【對點實戰】
1.下列命題正確的是（ ）
A．一條直線和一個點確定一個平面
B．圓心和圓上兩點可以確定一個平面
C．兩個平面相交，存在特殊位置關系使它們只有一個公共點
D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合
【答案】D
【分析】直接利用平面的定義和性質的應用，即可一一驗證．
【詳解】解：對于選項：若該點在直線上，則可以確定無數個平面，故錯誤，
對于選項：當圓心和圓上的兩點滿足三點共線時，確定的平面有無數個，故錯誤．
對于選項：如果兩個平面相交有一個交點，則必有無數個公共點，故錯誤．
對于選項：不共線的三個點確定一個平面，因此兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合，正確.
故選：．
2.下列命題正確的是（　?。?br/>A．三點確定一個平面
B．一條直線和一個點確定一個平面
C．兩條不平行的直線確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
【答案】D
【分析】根據已知條件，利用平面的基本性質，以及推論，逐一判斷即可：
對選項A，取特殊位置，三點共線否定結論
對選項B：利用平面公理進行判斷；
對選項C：取異面直線，否定結論；
對選項D，利用兩條平行線確定一個平面，進行判斷.
【詳解】對選項A，當三點共線時，不能確定一個平面，故A錯誤；
對選項B：一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B錯誤；
對選項C：如果這兩條直線異面，則不可以確定一個平面，故C錯誤；
對選項D，梯形的上底和下底是一對平行線，可以確定一個平面，故D正確.
故選：D.
3.一個平面經過空間四點中的三點，這樣的平面個數最多為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據題意討論兩種情況，由公理2以及推論、符合條件的幾何體進行判斷．
【詳解】根據題意知，當空間四點中有三點共線時，則四個點確定1個平面；
當空間四點中沒有三點共線時，，四點不共面，如三棱錐的頂點和底面上的頂點，則四個點確定4個平面．
所以這樣的平面個數最多為4個.
故選：C．
4.經過同一條直線上的3個點的平面（ ）
A．有且僅有1個 B．有無數個 C．不存在 D．有且僅有3個
【答案】B
【分析】以這條直線為軸心，任意旋轉角度的無數個平面都滿足這個條件．
【詳解】解：∵空間中不在同一條直線上的三個點確定一個平面，
∴在同一直線上的三個點的平面，就是以這條直線為軸心，任意旋轉角度的無數個平面都滿足這個條件，
∴有無數個平面，
故選：B．
5.空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根據平面的性質進行歸納推理．前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個平面與前三個平面所分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個平面最多能將空間分成的區域數．
【詳解】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數為．
故選：C．
5.(1)不共面的四點可以確定幾個平面？
(2)三條直線兩兩平行，但不共面，它們可以確定幾個平面？
(3)共點的三條直線可以確定幾個平面？
【答案】4；3；1或3.
【分析】(1)不共面的四點就一定不存在三個點共線的情況，由于不共線的三個點確定一個平面，從4個點中任取3個點都可以確定一個平面，利用組合數寫出結果；
(2)兩條平行線可以確定一個平面，從而三條直線兩兩平行但不共面，三條直線中的兩條即可確定一個平面；
(3)共交點的三條直線，當它們共面時可以確定1個平面，它們不共面時任意兩條可以確定一個平面．
【詳解】(1)不共線的三個點確定一個平面，不共面的四點就一定不存在三個點共線的情況，
從4個點中任取3個點都可以確定一個平面，共有種結果，
故不共面的四點可以確定4個平面；
(2)兩條平行線可以確定一個平面，
三條直線兩兩平行但不共面，它們可以確定個平面；
(3)共交點的三條直線至少可以確定1個平面，最多可能確定個平面．
6.如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點是的中點.
（1）線段上是否存在一點，使得點，，，共面，存在請證明，不存在請說明理由；
（2）若，求三棱錐的體積.
【答案】（1）存在，證明見解析；（2）.
（1）根據四點共面的條件，直接判斷點的位置；（2）利用點是的中點，轉化，求三棱錐的體積.
【詳解】證明：（1）存在的中點滿足條件.
連接，，則是三角形的中位線，
所以，又由已知
所以，所以，，，四點共面.
（2）因為是的中點，所以
由（1）知，所以，
四、證明點共線問題
證明多點共線通常用基本事實3，即兩相交平面交線的唯一性．通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．
【典型例題】
【例1】在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，若EF∩HG=P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上
B．一定在直線AC上
C．在直線AC或BD上
D．不在直線AC上，也不在直線BD上
【答案】B
【分析】先說明點P在平面ABC，且在平面ACD上，進而得到答案.
【詳解】如圖，
∵EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD．
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC.
故選：B．
【例2】在長方體中，是與的交點，長方體體對角線交截面于點P.求證：三點在同一條直線上.
【答案】證明見解析
【分析】根據公理3，進行判斷三點共線；根據公理1可知∈平面，因此得到答案．
【詳解】因為∈平面，∈平面，
∈平面，∈平面，
所以平面∩平面.
又因為∩平面，
所以直線平面，
所以平面，
所以直線，
即三點在同一條直線上．
【例3】如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且
(1)求證：四點共面；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；
（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結論.
(1)
連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
為平面與平面的一個公共點.
又平面平面，即三點共線.
【例4】如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，求證：點P在直線DE上.
【答案】證明見解析.
【分析】易證P∈平面ABC，又P∈α，可證面ABC∩平面α的交線為DE，進而求證
【詳解】證明：
因為P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直線DE.
所以點P在直線DE上.
【例5】如圖所示，在四邊形中，已知，直線，，，分別與平面相交于點，，，．求證：，，，四點共線．
【答案】見解析
【分析】根據推論3及公理2可知，兩條平行直線AB和CD可以確定一個平面ABCD，并且平面ABCD與平面α的所有的公共點應該在一條直線上，根據題意，這些公共點即E，G，H，F四點，所以這四點必定共線．
【詳解】證明：∵，∴，確定一個平面．
又∵，，∴，，
即為平面與的一個公共點．
同理可證，，均為平面與的公共點．
∵兩個平面有公共點，∴它們有且只有一條通過公共點的公共直線，
∴，，，四點共線．
【對點實戰】
1.已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】推導出P，Q，R都在平面ABC與平面α的交線上，即可證明.
【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點共線.法二：∵AP∩AR＝A，
∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線.
2.如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．
【答案】證明見解析
將三點共線轉化為證明兩面的交線問題，利用兩面相交有且只有一條交線，即兩面的公共點都在交線上.
【詳解】證明：如圖，連接，，則，因為，，
所以四邊形為平行四邊形，又，平面，
則平面，因為平面平面，
所以．即，，三點共線．
3.已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：
（1）D，B，E，F四點共面.
（2）若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；
【分析】（1）求證EF∥BD，再由兩條平行線可以確定平面即可求證；
（2）利用公理2說明三點在兩個平面的交線上即可.
【詳解】（1）連接B1D1，如下圖所示：
因為E，F分別為D1C1，C1B1的中點，
所以EF∥B1D1，又因為B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF與BD共面，
所以E，F，B，D四點共面.即證.
（2）因為AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因為A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三點共線，即證.
4.如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點.求證：三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】根據平面與平面相交的性質,進而判斷另外一個點在交線上,即可證明三點共線.
【詳解】證明：如圖,連接,則
∵∴四邊形為平行四邊形.又,平面
則平面∵平面平面∴故三點共線.
五、證明線共點問題
證明三線共點問題，可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．
【典型例題】
【例1】在空間四邊形中，在上分別取E，F，G，H四點，如果交于一點P，則（ ）
A．P一定在直線上
B．P一定在直線上
C．P在直線或上
D．P既不在直線上，也不在直線上
【答案】B
【分析】由題設知面，結合已知條件有面、面，進而可判斷P所在的位置.
【詳解】由題意知：面，又交于一點P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：點P一定在直線上.
故選：B.
【例2】平面內條直線沒有四條直線共點，最多三條直線平行，至少有幾個交點（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
【答案】C
【分析】根據已知條件，可以有二組三條直線平行，再分析如何增加兩條直線使交點最少，作圖即可求解.
【詳解】因為最多三條直線平行，可以有二組三條直線平行，
如圖，，這條線共有個交點，
如圖交點分別為，
若要使交點最少可以使過兩組平行線的三個交點，此時沒有增加新的交點，
因為平面內條直線沒有四條直線共點，不能過三條線的公共點，
比如不能過圖中的，
由于不能過點為了保證交點最少，可以過兩條直線的交點，
最少增加個新的交點，如圖點，
所以至少有個交點，
故選：C.
例3】如圖，正方體中，，分別為，的中點．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）若，，與平面交于點，求證：三點共線．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）證明EF∥BD即可得出結論；
（2）只需說明三點都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共點即可得出結論．
【詳解】證明：（1）連接，
在正方體中，∵，分別為，的中點，
∴是的中位線，∴，
又因為，∴
∴四邊形為梯形，即，，，四點共面．
（2）在正方體中，，，
∴是平面與平面的交線，
又因為交平面于點，
∴是平面與平面的一個公共點．
因為兩平面相交的所有公共點都在這兩個平面的交線上，
∴三點共線．
【例4】如圖，在三棱錐中，E，F分別是PA，AB的中點，G，H分別是PC，BC上的點，且．
（1）證明：E，F，G，H四點共面．
（2）證明：三條直線EG，FH，AC交于一點．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）利用三角形中對應邊成比例，證得，，進而得到，即可得出結果．
（2）由，可知EG，FH必相交于一點，設為點O,平面平面，通過證明，即可．
【詳解】證明：（1）在中，因為E，F分別是PA，AB的中點，
所以．
在中，因為，
所以，從而．
所以，即E，F，G，H四點共面．
（2）由（1）知，，，
所以EG，FH必相交于一點，設為點O．
因為平面PAC，所以平面PAC．
同理平面ABC，即O是平面PAC與平面ABC的公共點．
因為平面平面，
所以，即三直線EG，FH，AC交于一點．
【例5】如圖，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求證：，l共點（相交于一點）.
【答案】證明見解析.
【分析】利用平面公理2可以證明三線共點：設直線直線，先證明M為的公共點，再證明，從而可以證明，l共點.
【詳解】因為梯形中，，所以是梯形的兩腰.
所以直線必相交于一點.
設直線直線.
又因為，所以.
所以.
又因為，所以，
即，l共點（相交于一點）
【例6】如圖，設不全等的與不在同一個平面內，且、、，求證：、、三線共點．
【答案】證明見解析
【分析】本題首先可根據題意設，則與相交，然后令交點為，根據平面、平面得出點在兩平面的交線上，最后根據兩平面的交線為即可證得結論.
【詳解】因為與不在同一個平面內且不全等，
所以可設，則四邊形為梯形，與相交，
令其交點為，則，，
因為平面，平面，
所以點在平面與平面的交線上，
因為平面與平面的交線為，
所以，、、三線共點.
【對點實戰】
1.如圖，在四面體ABCD中，E， G分別為BC， AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求證：EF， GH， BD交于一點．
【答案】證明見解析
【分析】利用基本事實4和基本事實2可證三線共點.
【詳解】證明　連接GE， HF.
因為E， G分別為BC， AB中點， 所以.
因為DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
從而GE∥HF且，故G， E， F， H四點共面且四邊形為梯形，
因為EF與GH不能平行，設EF∩GH＝O，則O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一點．
2.空間四邊形中，、、、分別是、、、上的點，已知和交于點，求證：、、三線共點．
【答案】證明見解析
【分析】根據空間中點線面的公理證明即可
【詳解】因為、相交于點，
則點，且．
又由題意，面，面
則點面，面，又平面平面，
則點必在面與面的交線上，即，
所以、、三線共點．
3.如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且．求證：
（1）、、、四點共面；
（2）與的交點在直線上．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）由平行關系轉化，可得，即可證明四點共面；（2）由條件證明與的交點既在平面上，又在平面上，即可證明.
【詳解】證明（1）∵，∴．
∵，分別為，的中點，
∴，∴，∴，，，四點共面．
（2）∵，不是，的中點，
∴，且，故為梯形．
∴與必相交，設交點為，
∴平面，平面，
∴平面，且平面，
∴，即與的交點在直線上．
4.已知棱長為1的正方體，、、、、、分別相應棱的中點如圖所示
（1）求證：、、、、、六點共面；
（2）求證：、、三線共點；
（3）求幾何體的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.
【分析】（1）連接，，證出，根據兩條平行線確定一個平面，再證出，即證.
（2）利用線共點定理即可證明.
（3）利用棱臺的體積公式，采用間接法即可求解.
【詳解】（1）證明：連接，，有已知，
又
∴
設兩線確定的平面為
即點，，，
在平面內延長交直線于點，
由與全等，可得
在平面內延長交直線于點，同理可得
∴，重合，∴，∴同理可證
綜上、、、、、共面
（2）證明：設，則平面，平面，
∵平面平面，
∴，∴、、三線共點；
（3）解：∵，
∴
∴
5.如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：
（1）E，C，D1，F四點共面；
（2）CE，D1F，DA三線共點．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
（1）利用三角形的中位線證明，從而得到四點共面；
（2）根據平面的性質，證明點P∈平面ABCD，點P∈平面ADD1A1平面，從而證明CE，D1F，DA三線共點.
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接EF，CD1，A1B.
E，F分別是AB，AA1的中點，EF∥BA1.
又A1B∥D1C，EF∥CD1，
E，C，D1，F四點共面．
（2）證明：EF∥CD1，EFCE與D1F必相交，設交點為P，如圖所示．
則由P∈CE，CE 平面ABCD，P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
P∈直線DA，CE，D1F，DA三線共點．
六、做截面與交線
（1）平行線法
（2）相交直線法
【典型例題】
【例1】如圖，在正方體中，若P為棱的中點，判斷平面與平面ABCD是否相交．如果相交，作出這兩個平面的交線．
【答案】見解析
【分析】根據基本事實2可作兩個平面的交線.
【詳解】平面與平面ABCD相交，
如圖，連接、并延長交于，連接，
則平面平面.
【例2】已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點，作出過，，三點的截面.
【答案】圖象見解析
【詳解】
【例3】如圖，在長方體中，P為棱的中點．
(1)畫出平面PAC與平面ABCD的交線；
(2)畫出平面與平面ABCD的交線．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】(1)平面PAC與平面ABCD的交線為AC；
(2)延長交于點E，連接CE，則CE為平面與平面ABCD的交線.
(1)
平面PAC與平面ABCD的交線為AC，如圖(1).
(2)
延長交于點E，連接CE，
則CE為平面與平面ABCD的交線，如圖(2).
【例4】已知正方體，，分別是棱，的中點．
（Ⅰ）畫出平面與平面的交線，并說明理由；
（Ⅱ）設為直線與平面的交點，求證：，，三點共線．
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）利用平面的基本性質即可得到；
（Ⅱ）由題可知點平面，平面，即可證明.
【詳解】（Ⅰ）如圖所示，直線即為平面與平面的交線，
理由如下：
在正方體中，
∵，分別是棱，的中點，
平面，平面，且與不平行，
∴在平面內分別延長，，
則與必相交于一點，不妨設為點，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
即為平面和平面的公共點，
又∵為平面和平面的公共點，連接，
∴直線即為平面與平面的交線．
（Ⅱ）證明：如圖所示，在正方體中，
∵，且，
∴四邊形為平行四邊形，
∵為直線與平面的交點，
∴，又∵平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
∴，，三點共線．
【例5】如圖，正方體的棱長為分別是的中點，設過三點的平面與交于點．
（1）畫出過三點的平面與平面的交線，以及與平面的交線；
（2）求的長．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【分析】（1）根據兩點確定一條直線，由題目所給交點，再確定一個交點即可得到面面交線；
（2）如圖所示，根據所給數據利用勾股定理即可得解.
【詳解】（1）設三點確定的平面為，則與平面的交線為直線，
設，則是與平面的交線，，連接，則是所要畫的平面與平面的交線．
（2）正方體棱長為，
又，
所以．
在中，，
所以．
【例6】如圖，在邊長為1的正方體中，分別是的中點．
（1）作出過點與正方體的截面；（不必說明畫法和理由）
（2）求點到平面的距離．
【答案】（1）圖見解析；（2）
【分析】（1）根據平面與平面相交成線這一基本事實，作出過點與正方體
的截面；
（2）根據三棱錐體積公式，結合，利用線面平行的性質，根據勾股定理的逆定理，進行求解即可.
【詳解】（1）截面如圖所示．
（2）∵，平面，∴平面，
則點到平面的距離等于點到平面的距離．在中，，
所以，所以，∴．
∵，∴，∴，
∴，即點到平面的距離為．
【例7】如圖①，正方體的棱長為，為線段的中點，為線段上的動點，過點、、的平面截該正方體所得的截面記為.
（1）若，請在圖①中作出截面（保留尺規作圖痕跡）；
（2）若（如圖②），試求截面將正方體分割所成的上半部分的體積與下半部分的體積之比.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】（1）根據平面的基本性質作出截面即可；
（2）由平面基本性質得出截面，再由錐體的體積公式得出，最后求出與之比.
【詳解】（1）延長交延長線于點，此時，延長交于點
延長交延長線于點，連接，并延長交于點，連接
此時五邊形就是截面
（2）當為的中點時，再由，可知，的延長線交于點，此時截面為四邊形
因此
【例8】如圖，已知直三棱柱中，，，，，，分別為棱，的中點， 為線段的中點
（1）試在圖中畫出過，，三點的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出該多邊形的周長；
（2）該截面分三棱柱成兩部分，求其中較小那部分幾何體的體積.
【答案】（1）作圖見解析，；（2）.
【分析】（1）取中點，連接、、，易知，得到截面為梯形求解；
（2）連接，，分別求得，，再比較即可.
【詳解】（1）如圖所示：
取中點，連接、、，
則，即四點共面，
則梯形為所求截面的多邊形.
則，
，
，
，
所以該多邊形的周長為.
（2）連接，，
，
，
而，
所以其中較小那部分幾何體的體積為 .
【對點實戰】
1.在正方體中，試畫出平面與平面的交線．
【答案】答案見解析
【分析】找出兩個平面的兩個公共點，連線即可.
【詳解】根據公理，只要找到兩平面的兩個公共點即可．
如圖，設.
，平面，平面，
又，平面，平面，
所以，是平面與平面的公共點，
而點顯然也是平面與平面的公共點．
連接，根據公理知是平面與平面的交線．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，試畫出平面ABC與平面α，β的交線.
【答案】答案見解析
【分析】延長BA交l于D，則AB是平面ABC與α的交線，CD是平面ABC與β的交線.
【詳解】α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC與α的交線，
延長BA交l于D，則D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC與β的交線，
則對應的圖示如圖.
3.在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面. 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點.
（1）證明：共面；
（2）求截面的面積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
（1）證明，利用兩條平行線確定一個平面即可證明四點共面.
（2）由題意知截面為等腰梯形，求出高為，利用梯形的面積公式即可求解.
【詳解】⑴證明：連結，在正方體中，，又，
四點共面.
⑵根據題意，結合線面面面平行的性質，得到滿足條件的截面為等腰梯形，
由正方體的棱長為1，可求得該梯形的上底為，下底為，
高為，
利用梯形的面積公式可求得.
4.如圖所示，正方體中，，分別為和的中點，畫出平面和平面的交線．
【答案】見解析
【分析】找到交線上的兩個公共點，根據公理三即可得到結果.
【詳解】如圖所示，在平面內延長，交的延長線于一點，則平面．因為平面，所以平面，所以是平面-與平面的一個公共點．又是兩平面的一個公共點，所以為兩平面的交線．
5.如圖，有一塊正四棱柱的木料，E，F分別為，的中點，，．
（1）作出過B，E，F的平面與正四棱柱木料的截面，并求出該截面的周長；
（2）求點到平面BEF的距離．
【答案】（1）作圖見解析，；（2）.
【分析】（1）連接AC，過點B作直線MN，分別交直線DC，DA的延長線于N，M兩點，連接EM，FN分別交，與P，Q兩點，連接PB，BQ，則五邊形EPBQF為所求截面.分別求出各邊，即可求出五邊形EPBQF周長
（2）利用等體積法求到平面BEF的距離.
【詳解】（1）連接AC，過點B作直線MN，分別交直線DC，DA的延長線于N，M兩點，連接EM，FN分別交，與P，Q兩點，連接PB，BQ，則五邊形EPBQF為所求截面.
在正方形中，，在中，，，故，，由，故，
故，，故，
同理，可求得，，故五邊形EPBQF周長為：，
則截面周長為.
（2）分別取AD，DC的中點R，T，連接ER，FT，在中，
在，，同理
求得等腰的面積為，求得的面積為
設到平面BEF的距離為h，由，得，
故，故到平面BEF的距離為.
6.如圖，正四面體棱長為6．
（1）求正四面體的體積；
（2）若是側面內的一點，過點作一個截面，使得與都與截面平行，作出截面與正四面體各面的交線，并寫出作法．
【答案】（1）；（2）答案見解析.
【分析】（1）本題可作中心，連接，，然后求出長以及的面積，即可求出四面體的體積；
（2）本題可借助作平行線的方式繪出截面.
【詳解】（1）如圖，作中心，連接，，則平面，
因為正四面體棱長為，所以，
則，
因為的面積，
所以四面體的體積為.
（2）如圖，
在平面內過點作與平行的直線，分別與、相交于點、，
在平面內過點作與平行的直線，與相交于點，
在平面內過點作與平行的直線，與相交于點，連結，
則截面與正四面體各面的交線分別為、、、．
結束

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