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8.4.2空間中點線面位置關(guān)系
本節(jié)課知識點目錄：
判斷異面直線位置關(guān)系
異面直線的圖像應(yīng)用
判斷直線與平面位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)用
判斷平面與平面位置關(guān)系
平面與平面的位置關(guān)系應(yīng)用
綜述：
一、空間兩條直線的三種位置關(guān)系
1.
2.異面直線
(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．
(2)異面直線的畫法(唯一一對平面法)
也可以通過如圖①②③所示來表示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．
(3)判斷兩直線為異面直線的方法
①定義法；②兩直線既不平行也不相交．
求異面直線所成的角度：平移法，解三角形。
二、直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數(shù)個公共點 有且只有一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
三、平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數(shù)個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
一、判斷異面直線：定義
【典型例題】
【例1】己知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例2】下列圖形中，能確定直線a，b是異面直線的是( )
A．B．C． D．
【例3】若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．l至少與a，b中一條相交
B．l至多與a，b中一條相交
C．l至少與a，b中一條平行
D．l必與a，b中一條相交，與另一條平行
【例4】若，，則直線，的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或異面 B．平行或相交 C．相交或異面 D．平行、相交或異面
【例5】若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交
【例6】若直線，直線，則直線a與b的位置關(guān)系是
A．相交 B．異面 C．異面或平行 D．平行
【對點實戰(zhàn)】
1.異面直線是指（ ）
A．空間中兩條不相交的直線 B．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線
C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線 D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
2.若異面直線分別在平面內(nèi)，且，則直線l（ ）
A．與直線都相交
B．至少與中的一條相交
C．至多與中的一條相交
D．與中的一條相交，另一條平行
3.已知三條直線，，滿足：與平行，與異面，則與（ ）
A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
4.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．一定平行 B．一定異面 C．相交或異面 D．一定相交
5.若直線平面，直線，則（ ）
A． B．與異面 C．與相交 D．與沒有公共點
二、異面直線的圖像應(yīng)用
【典型例題】
【例1】如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．GH和MN是平行直線；GH和EF是相交直線
B．GH和MN是平行直線；MN和EF是相交直線
C．GH和MN是相交直線；GH和EF是異面直線
D．GH和EF是異面直線；MN和EF也是異面直線
【例2】三棱錐的6條棱中，異面直線有（　　）
A．4對 B．3對 C．2對 D．1對
【例3】空間中，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角的大小關(guān)系為（ ）
A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．互余
【例4】如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】空間中垂直于同一條直線的兩條直線（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．以上均有可能
【例6】一條直線與兩條平行線中的一條異面且垂直，則它與另一條的位置關(guān)系不可能的是（ ）
A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直
【例7】若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（ ）
A．異面或平行 B．異面或相交
C．異面 D．相交、平行或異面
【例8】若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（ ）
A．不存在過點O且與直線a，b都相交的直線
B．過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交
C．過點O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交
D．過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交
【對點實戰(zhàn)】
1.空間中的兩條直線若不平行，就一定相交 （ ）
A．對 B．錯
2.如圖，長方體的棱所在直線與直線為異面直線的條數(shù)是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.正方體的一條對角線與正方體的棱可組成n對異面直線，則n等于
A．2 B．3 C．6 D．12
4.已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則a與b是異面直線 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面
5.已知直線a，如果直線b同時滿足：（1）與a異面；（2）與a所成的角是；（3）與a的距離為2021，這樣的直線b有（ ）條．
A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)條
6.知直線a，如果直線b同時滿足：（1）與a異面；（2）與a所成的角是；（3）與a的距離為2021，這樣的直線b有（ ）條．
A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)條
7．在正方體的一個面所在的平面內(nèi)任意畫一條直線，則與它異面的正方體的棱的條數(shù)不可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8.已知正方體記過點A且與三直線 、所成的角都相等的直線的條數(shù)為,過點 與三個平面 所成角都相等的直線的條數(shù)為則（ ）
A． B． C． D．
三、直線和平面的位置關(guān)系判斷
【典型例題】
【例1】直線與平面不平行，則（ ）
A．與相交
B．
C．與相交或
D．以上結(jié)論都不對平行于同一個平面
【例2】已知點A∈直線l，又A∈平面，則（ ）
A． B． C． D．或
【例3】若直線不平行于平面，且，則（ ）
A．內(nèi)的所有直線與異面 B．內(nèi)的所有直線與都相交
C．內(nèi)存在唯一的直線與平行 D．內(nèi)不存在與平行的直線
【例4】已知直線a，b與平面，若a平行，b在內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．a(chǎn)與b是異面直線 C． D．以上情況都有可能
【例5】若直線a，b是異面直線，，則b與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C． D．平行或相交
【例6】若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．內(nèi)的所有直線均與直線a異面 B．內(nèi)不存在與直線a平行的直線
C．直線a與平面有公共點 D．內(nèi)的直線均與a平行
【對點實戰(zhàn)】
1.若直線與平面有兩個公共點，則與的位置關(guān)系是（ ）
A． B． C．與相交 D．
2.空間中，直線a與平面的位置關(guān)系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．直線在平面內(nèi)
3.如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線（ ）
A．只和這個平面內(nèi)的一條直線平行 B．只和這個平面內(nèi)的兩相交直線不相交
C．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行 D．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交
4.若直線與平面平行，直線，則與位置關(guān)系：（ ）
A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點
5.平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行、相交或異面
6.若a,b是異面直線，且a∥平面α，則b和α的位置關(guān)系是
A．平行 B．相交
C．b在α內(nèi) D．平行、相交或b在α內(nèi)
四、直線和平面位置關(guān)系應(yīng)用
【典型例題】
【例1】若直線與平面相交于點，則下列說法不正確的是（ ）
A．平面內(nèi)存在與垂直的直線
B．平面內(nèi)存在與平行的直線
C．平面內(nèi)存在與相交的直線
D．平面內(nèi)存在與異面的直線
【例2】下列說法正確是（ ）
A．若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則
B．若直線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意一條直線無公共點
C．若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行
D．若直線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直
【例3】已知直線m 平面α，P m，Q∈m，則（ ）
A．P α，Q∈α B．P∈α，Q α C．P α，Q α D．Q∈α
【例4】下列說法正確的是（ ）
A．若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則
B．若直線在平面外,則
C．若直線,則
D．若直線，則直線平行于內(nèi)的無數(shù)條直線
【例5】若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．直線a上的點到平面α的距離相等
B．直線a平行于平面α內(nèi)的所有直線
C．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行
D．平面α內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a成90°角
【例6】已知是平面的一條斜線，直線，則（ ）
A．存在唯一的一條直線，使得 B．存在無限多條直線，使得
C．存在唯一的一條直線，使得 D．存在無限多條直線，使得
【例7】．已知a b為異面直線，則下列命題正確的是（ ）
A．過直線a b外一點P一定可以作一條與a b都平行的直線
B．過直線a b外一點P一定可以作一個與a b都平行的平面
C．過直線a一定可以作一個與直線b平行的平面
D．過直線a一定可以作一個與直線b垂直的平面
【對點實戰(zhàn)】
1.已知平面平面，直線，直線，那么a與b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行、異面或相交
2.若直線不平行于平面，且不在平面內(nèi)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．與內(nèi)的所有直線異面
B．內(nèi)不存在與平行的直線
C．內(nèi)存在唯一的直線與平行
D．內(nèi)的直線與都相交
3.已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線（ ）
A．只有一條，不在平面α內(nèi)
B．只有一條，且在平面α內(nèi)
C．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)
D．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)
4.如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設(shè)過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
5，已知直線和平面，，則“”是“直線上存在不同兩點到平面的距離相等”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6.下列說法正確的是（ ）
A．直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線，直線，則a∥α
D．若直線a∥b，，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線
五、平面和平面位置關(guān)系判定
【典型例題】
【例1】平面與平面平行，且直線，下列命題中正確的是（ ）
A．與內(nèi)的所有直線垂直 B．與內(nèi)的所有直線異面
C．與內(nèi)的所有直線平行 D．與內(nèi)的無數(shù)條直線平行
【例2】在四棱臺中，平面與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
【例3】分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直
【例4】已知三個平面，，，其中，，，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．b，c是異面直線 B．
C． D．
【例5】若平面平面，平面平面，則（ ）
A．
B．
C．與相交但不垂直
D．以上都有可能
【例6】已知平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，那么
A．α∥β B．α與β相交 C．α與β重合 D．α∥β或α與β相交
【例7】平面與平面平行的條件可以是（ ）
A．內(nèi)有無窮多條直線與平行 B．直線，
C．直線，直線，且， D．內(nèi)的任何直線都與平行
【對點實戰(zhàn)】
1.若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的兩條直線
A．平行 B．異面 C．相交 D．平行或異面
2.已知是兩個不同的平面，直線，則“中任意一條直線均不與l相交”是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3.已知是平面外的一條直線，則下列命題中真命題的個數(shù)是（ ）
①在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線平行； ②在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線垂直；
③在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線異面； ④一定存在過直線且與垂直的平面.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.下列命題正確的是（ ）
A．如果兩個平面有無數(shù)個公共點，那么它們相交或重合
B．過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個平面與另一條直線平行
C．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行
D．如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線平行
5.已知點是平面外一點，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．過只能作一條直線與平面垂直 B．過只能作一條直線與平面平行
C．過只能作一個平面與平面平行 D．過可作無數(shù)個平面與平面垂直
6.下列說法中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．平行于同一平面的兩個平面平行
C．一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
六、平面和平面位置關(guān)系應(yīng)用
【典型例題】
【例1】設(shè)是給定的平面，，是不在內(nèi)的任意兩點，則（ ）
A．一定存在過直線的平面與平面垂直
B．在內(nèi)一定存在直線與直線平行
C．在內(nèi)一定存在直線與直線相交
D．在內(nèi)一定存在直線與直線垂直
【例2】若直線m與不重合的平面α、β所成的角相等為θ，則α與β________．
【例3】在空間中，給出下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為___________.
①過平面外的兩點，有且只有一個平面與平面垂直；
②若平面內(nèi)有不共線三點到平面的距離都相等，則；
③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.
【例4】若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線
B．若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β
D．若m，n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行
【例5】已知經(jīng)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸的給定平面，，是圓柱側(cè)面上且不在平面上的兩點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．一定存在直線，且與異面
B．一定存在直線，且
C．一定存在平面，且
D．一定存在平面，且
【例6】已知，，是三個不同的平面，，.則下列命題成立的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【例7】已知是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【例8】
【對點實戰(zhàn)】
1.以下四個命題正確的為（ ）
A．在空間中，與不共面的四點，，，距離相等的平面有4個
B．正方體12條棱中有48對異面直線
C．平行同一個平面的兩條直線平行
D．如果兩個相交平面同時和第三個平面垂直，則它們的交線垂直第三個平面．
2.已知直線，及平面，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，且，則
B．若，，且，則
C．若，，且，則
D．若，，且，則
3.設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，是直線，下列命題中正確的命題有（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；
B．若α上有不共線的三點到β的距離相等，則βα；
C．若⊥α，β，則α⊥β；
D．若⊥α，，則βα.
4.下列命題正確的是___________．（填寫所有正確命題的序號）
①過已知平面外的一條直線，一定能作出與已知平面平行的平面；
②過已知平面外的一條直線，一定能作出與已知平面垂直的平面；
③過已知平面外的一點，有且只有一個平面與已知平面平行；
④過已知平面外的一點，有且只有一個平面與已知平面垂直．
5.．（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關(guān)系；
（2）已知一個平面內(nèi)有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關(guān)系．
8.4.2空間中點線面位置關(guān)系
本節(jié)課知識點目錄：
判斷異面直線位置關(guān)系
異面直線的圖像應(yīng)用
判斷直線與平面位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)用
判斷平面與平面位置關(guān)系
平面與平面的位置關(guān)系應(yīng)用
綜述：
一、空間兩條直線的三種位置關(guān)系
1.
2.異面直線
(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．
(2)異面直線的畫法(唯一一對平面法)
也可以通過如圖①②③所示來表示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．
(3)判斷兩直線為異面直線的方法
①定義法；②兩直線既不平行也不相交．
求異面直線所成的角度：平移法，解三角形。
二、直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數(shù)個公共點 有且只有一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
三、平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數(shù)個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
一、判斷異面直線：定義
【典型例題】
【例1】己知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由直線與沒有公共點表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.
【詳解】“直線與沒有公共點”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒有公共點”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【例2】下列圖形中，能確定直線a，b是異面直線的是( )
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此題考查異面直線的判定，通過圖形判斷是否平行或有交點，若既不平行，又沒有交點，則稱為異面.
【詳解】A中a、b兩直線在平面內(nèi)無交點，但可能在被平面遮住的部分有交點，故A錯；
B中a、b兩直線在平面內(nèi)無交點，但在平面上方有一個交點，故B錯；
C中a、b兩直線在平面內(nèi)無交點，在平面外也無交點且不平行，故C對；
D中a、b兩直線在平面內(nèi)有交點，故D不對.
故選：C.
【例3】若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．l至少與a，b中一條相交
B．l至多與a，b中一條相交
C．l至少與a，b中一條平行
D．l必與a，b中一條相交，與另一條平行
【答案】A
【分析】此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.
【詳解】因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.
若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對；
當a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.
故選：A.
【例4】若，，則直線，的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或異面 B．平行或相交 C．相交或異面 D．平行、相交或異面
【答案】D
【分析】利用條件，聯(lián)系立方體即可得出結(jié)論.
【詳解】解：如圖所示，設(shè)平面為平面
若，，故，，，相交；
若，，故，，，異面；
若，，故，，，平行.
故選：D
【例5】若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交
【答案】D
根據(jù)異面直線所成角判斷.
【詳解】因為、為異面直線，所以、所成的角為銳角或直角，
因為直線與平行，所以與所成的角為銳角或直角，所以與的位置關(guān)系是異面或相交，
故選：D
【例6】若直線，直線，則直線a與b的位置關(guān)系是
A．相交 B．異面 C．異面或平行 D．平行
【答案】C
【分析】由題意，直線a∥α，可得直線與面沒有公共點，故直線與面的線 沒有公共點，由此關(guān)系即可得出直線a與b的位置關(guān)系．
【詳解】由題意直線a∥α，直線b α，可得直線a，b一定沒有公共點，故兩直線的位置關(guān)系可以是異面或平行
故選C.
【點睛】
【對點實戰(zhàn)】
1.異面直線是指（ ）
A．空間中兩條不相交的直線 B．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線
C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線 D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷．
【詳解】異面直線是既不平行也不相交的兩條直線，即為不同在任何一個平面的兩條直線，
故選：D．
2.若異面直線分別在平面內(nèi)，且，則直線l（ ）
A．與直線都相交
B．至少與中的一條相交
C．至多與中的一條相交
D．與中的一條相交，另一條平行
【答案】B
利用空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，分析判斷即可得答案.
【詳解】因為，所以，
則與a平行或相交，與b平行或相交，
又為異面直線，所以不能與同時平行，即與可都相交，也可能與一條相交，
所以A、C、D錯誤，
故選：B
3.已知三條直線，，滿足：與平行，與異面，則與（ ）
A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
【答案】C
利用正方體的棱與棱的位置關(guān)系及異面直線的定義即可得出ABD錯誤，再利用反證法結(jié)合平行公理即可得到與不可能平行.
【詳解】如圖所示：
與可能異面，也可能相交，不可能平行．用反證法證明一定不平行，假設(shè)，又，則，這與已知與異面矛盾，所以假設(shè)不成立，故與不可能平行.
故選：C.
4.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．一定平行 B．一定異面 C．相交或異面 D．一定相交
【答案】C
根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系分別判斷即可
【詳解】解：在空間中分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是異面或相交，
故選：C
5.若直線平面，直線，則（ ）
A． B．與異面 C．與相交 D．與沒有公共點
【答案】D
【分析】若直線平面，直線，則或與異面，然后可分析出答案.
【詳解】若直線平面，直線，則或與異面，故與沒有公共點
故選：D
二、異面直線的圖像應(yīng)用
【典型例題】
【例1】如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．GH和MN是平行直線；GH和EF是相交直線
B．GH和MN是平行直線；MN和EF是相交直線
C．GH和MN是相交直線；GH和EF是異面直線
D．GH和EF是異面直線；MN和EF也是異面直線
【答案】B
【分析】結(jié)合平行直線、異面直線、相交直線的知識判斷出正確選項.
【詳解】∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN.
由異面直線的定義可知，GH與EF異面.延長EF，MN，二者可以相交，故EF與MN為相交直線.
故選：B.
【例2】三棱錐的6條棱中，異面直線有（　?。?br/>A．4對 B．3對 C．2對 D．1對
【答案】B
【分析】結(jié)合異面直線的知識確定正確選項.
【詳解】考慮三棱錐ABCD，可得直線AB與直線CD、直線AC與直線BD、
直線AD與直線BC均為異面直線，共三對．故選：B
【例3】空間中，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角的大小關(guān)系為（ ）
A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．互余
【答案】C
【分析】根據(jù)等角定理即可求解.
【詳解】由等角定理可知：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
故選：C.
【例4】如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正方體的性質(zhì)、異面直線的定義即可判斷出結(jié)論．
【詳解】解：A 中，，B中，，C中，與為異面直線，D中，與相交．
故選：C．
【例5】空間中垂直于同一條直線的兩條直線（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．以上均有可能
【答案】D
【分析】在正方體里對題干條件一一分析即可得到.
【詳解】如圖所示， ，，相交；
，，平行；
，，互為異面直線；
故選：D.
【例6】一條直線與兩條平行線中的一條異面且垂直，則它與另一條的位置關(guān)系不可能的是（ ）
A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系，分析判斷，即可得答案.
【詳解】若該直線與兩平行線中另一條也平行，則三條直線都平行，不滿足該直線與其中一條平行線垂直，
所以該直線與另一條線不可能平行，
故選：B
【例7】若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（ ）
A．異面或平行 B．異面或相交
C．異面 D．相交、平行或異面
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可容易判斷.
【詳解】a和b是異面直線，b和c是異面直線，根據(jù)異面直線的定義可得：
可以是異面直線，如下所示：
也可以相交也可以平行
故選：.
【例8】若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（ ）
A．不存在過點O且與直線a，b都相交的直線
B．過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交
C．過點O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交
D．過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交
【答案】D
【分析】設(shè)直線與點確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.
【詳解】點是空間中不在直線，上的任意一點，設(shè)直線與點確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.
(1)若直線與平面相交（如圖1），記，
①若，則不存在過點且與直線，都相交的直線；
②若與不平行，則直線即為過點且與直線，都相交的直線.
（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點且與直線，都相交的直線.
綜上所述，過點至多有一條直線與直線，都相交.
故選：D.
【對點實戰(zhàn)】
1.空間中的兩條直線若不平行，就一定相交 （ ）
A．對 B．錯
【答案】B
【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系確定正確選項.
【詳解】兩條直線若不平行，則可能相交或異面.
故選：B
2.如圖，長方體的棱所在直線與直線為異面直線的條數(shù)是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】畫出圖形，根據(jù)異面直線的定義即可數(shù)出.
【詳解】如圖，在正方體中與棱所在直線是異面直線的有 ，共6條．
故選：C.
3.正方體的一條對角線與正方體的棱可組成n對異面直線，則n等于
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【詳解】本題考查異面直線的判定．
點撥:12條棱中，去掉共面的，剩下就是異面直線．
解答：因為從正方體的一條對角線的一個頂點出發(fā)有三條棱，它們都與對角線共面，
故與對角線異面的直線條數(shù)為：12-3-3=6.
4.已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則a與b是異面直線 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面
【答案】D
【分析】直接利用直線和平面的位置關(guān)系和異面直線的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【詳解】已知，為不同的平面，，，為不同的直線，
對于A：若，，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故A錯誤；
對于B：若與是異面直線，與是異面直線，則與也可能是異面直線或平行直線，故B錯誤；
對于C：若，不同在平面內(nèi)，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故C錯誤；
對于D：根據(jù)異面直線的定義，若，不同在任何一個平面內(nèi)，則與是異面直線，故D正確．
故選：D
5.已知直線a，如果直線b同時滿足：（1）與a異面；（2）與a所成的角是；（3）與a的距離為2021，這樣的直線b有（ ）條．
A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)條
【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫出圖形分析可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意可作圖如下，其中，
則平面內(nèi)任意一條與平行的直線都滿足要求，故這樣的直線有無數(shù)條.
故選：D.
6.知直線a，如果直線b同時滿足：（1）與a異面；（2）與a所成的角是；（3）與a的距離為2021，這樣的直線b有（ ）條．
A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)條
【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫出圖形分析可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意可作圖如下，其中，
則平面內(nèi)任意一條與平行的直線都滿足要求，故這樣的直線有無數(shù)條.
故選：D.
33．在正方體的一個面所在的平面內(nèi)任意畫一條直線，則與它異面的正方體的棱的條數(shù)不可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線的定義及直線的位置關(guān)系，逐一分析，即可得答案.
【詳解】當直線在AB位置時，與其異面直線有，共4條，
當直線在位置時，除外，其他8條直線均與其異面，
當直線在GH位置時，，與其異面直線有共6條，
當直線在AH位置時，與其異面直線有，共7條，
所以不可能是5條，故選：D
7.已知正方體記過點A且與三直線 、所成的角都相等的直線的條數(shù)為,過點 與三個平面 所成角都相等的直線的條數(shù)為則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征、空間中線線角、線面角定義,即可得到答案.
【詳解】作圖如下:
過點A與三條直線所成角都相等的直線有：,
過A作的平行線,過A作的平行線，過A作的平行線,共4條,故；
過點A與三個平面所成角都相等的直線分兩類：
第一類：通過點A位于三條棱之間的直線有一條體對角線;
第二類：在圖形外部和每面所成角和另兩個面所成角相等,有3條；
故.故選D
三、直線和平面的位置關(guān)系判斷
【典型例題】
【例1】直線與平面不平行，則（ ）
A．與相交
B．
C．與相交或
D．以上結(jié)論都不對平行于同一個平面
【答案】C
【分析】利用空間中直線與平面的位置關(guān)系，即可判斷.
【詳解】解：因為空間中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平面相交及直線在平面內(nèi)，
因直線與平面不平行，所以直線與平面的位置關(guān)系是：直線與平面相交或．
故選：C．
【例2】已知點A∈直線l，又A∈平面，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷．
【詳解】點A∈直線l，又A∈平面，則與平面至少有一個公共點，所以或．
故選：D．
【例3】若直線不平行于平面，且，則（ ）
A．內(nèi)的所有直線與異面 B．內(nèi)的所有直線與都相交
C．內(nèi)存在唯一的直線與平行 D．內(nèi)不存在與平行的直線
【答案】D
【分析】首先根據(jù)題意得到直線與平面相交，從而得到直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系為：相交和異面，再依次判斷選項即可.
【詳解】因為直線不平行于平面，且，所以直線與平面相交，
所以直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系為：相交和異面，
所以D正確.故選：D
【例4】已知直線a，b與平面，若a平行，b在內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．a(chǎn)與b是異面直線 C． D．以上情況都有可能
【答案】D
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷可得；
【詳解】解：因為，，則，或與是異面直線或，
故選：D
【例5】若直線a，b是異面直線，，則b與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C． D．平行或相交
【答案】D
利用線面的位置關(guān)系判斷.
【詳解】因為直線a，b是異面直線，且，
所以直線b不可能在平面內(nèi)，
所以b與平面的位置關(guān)系是平行或相交，
故選：D．
【例6】若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．內(nèi)的所有直線均與直線a異面 B．內(nèi)不存在與直線a平行的直線
C．直線a與平面有公共點 D．內(nèi)的直線均與a平行
【答案】C
【分析】就直線、與相交分類討論即可得正確選項.
【詳解】因為直線a不平行于平面，故或與相交，
若，則內(nèi)的直線均與a共面，A錯，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，也有無數(shù)條直線與相交，故B、D錯誤，
而直線a與平面有無數(shù)個公共點，故C正確.
若與相交，此時直線a與平面有一個公共點，故C正確.
故選：C.
【對點實戰(zhàn)】
1.若直線與平面有兩個公共點，則與的位置關(guān)系是（ ）
A． B． C．與相交 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線與平面之間的位置關(guān)系即可得出選項.
【詳解】若直線與平面有兩個公共點，
則直線在平面內(nèi)，即.
故選：A
2.空間中，直線a與平面的位置關(guān)系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．直線在平面內(nèi)
【答案】C
【分析】根據(jù)線面、線線位置關(guān)系確定正確選項.
【詳解】由于異面是兩條直線的位置關(guān)系，不是直線與平面的位置關(guān)系，所以直線a與平面的位置關(guān)系不可能是異面.
故選：C.
3.如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線（ ）
A．只和這個平面內(nèi)的一條直線平行 B．只和這個平面內(nèi)的兩相交直線不相交
C．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行 D．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交
【答案】D
由線面平行的性質(zhì)逐項判斷即可得解.
【詳解】若一條直線和一個平面平行，則該直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，故A錯誤；
該直線與平面內(nèi)的所有直線平行或者異面，故B、C錯誤，D正確.
故選：D.
4.若直線與平面平行，直線，則與位置關(guān)系：（ ）
A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點
【答案】D
根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)可判斷.
【詳解】若直線與平面平行，直線，則直線與可能平行或異面，不可能相交，即沒有公共點.
故選：D.
5.平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行、相交或異面
【答案】D
【分析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及線線位置關(guān)系的分類及定義，可由已知兩直線平行于同一平面，得到兩直線的位置關(guān)系．
【詳解】解：若，且，則與可能平行，也可能相交，也有可能異面
故平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交或異面，
故選：D．
6.若a,b是異面直線，且a∥平面α，則b和α的位置關(guān)系是
A．平行 B．相交
C．b在α內(nèi) D．平行、相交或b在α內(nèi)
【答案】D
【詳解】試題分析：因為a,b是異面直線，且a∥平面α，當直線a∥平面α，直線b在平面α內(nèi)，∴a∥b，或a與b異面，那么結(jié)合線面的位置關(guān)系和異面直線的概念可知，則b和α的位置關(guān)系是平行、相交或b在α內(nèi)．故選D.
考點：本題主要是考查線面的位置關(guān)系的運用．
點評：解決該試題的關(guān)鍵是理解線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，然后根據(jù)異面直線的概念可知直線b與平面α的位置關(guān)系．
四、直線和平面位置關(guān)系應(yīng)用
【典型例題】
【例1】若直線與平面相交于點，則下列說法不正確的是（ ）
A．平面內(nèi)存在與垂直的直線
B．平面內(nèi)存在與平行的直線
C．平面內(nèi)存在與相交的直線
D．平面內(nèi)存在與異面的直線
【答案】B
【分析】由直線與平面的位置關(guān)系和直線與直線的位置關(guān)系逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，若直線在平面內(nèi)的射影為直線，則在平面內(nèi)與直線的直線與直線垂直，所以A正確，
對于B，若平面內(nèi)存在與平行的直線，則由線面平行的判定定理可得直線與平面平行，與已知矛盾，所以B錯誤，
對于C，在平面內(nèi)過點的直線都與直線相交，所以C正確，
對于D，在平面內(nèi)不過點的直線都與直線異面，所以D正確，
故選：B
【例2】下列說法正確是（ ）
A．若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則
B．若直線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意一條直線無公共點
C．若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行
D．若直線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直
【答案】D
【分析】利用平面的基本性質(zhì)，根據(jù)各選項中的線面關(guān)系，判斷正誤即可.
【詳解】A：若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則或直線與平面相交于一點，錯誤；
B：若直線與平面垂直，則與平面內(nèi)過垂足的直線都有公共點，錯誤；
C：若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條與這個平面平行或在該平面內(nèi)，錯誤；
D：若直線與平面垂直，由線面垂直的性質(zhì)知：與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，正確；
故選：D.
【例3】已知直線m 平面α，P m，Q∈m，則（ ）
A．P α，Q∈α B．P∈α，Q α C．P α，Q α D．Q∈α
【答案】D
【分析】根據(jù)點、線、面之間的位置關(guān)系直接進行判斷.
【詳解】根據(jù)題意知Q∈α，點P可能在平面內(nèi)也可能在平面外.
故選：D
【例4】下列說法正確的是（ ）
A．若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則
B．若直線在平面外,則
C．若直線,則
D．若直線，則直線平行于內(nèi)的無數(shù)條直線
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定定理逐個判斷可得答案.
【詳解】對于,若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則或,故不正確;
對于,若直線在平面外,則或與相交,故不正確;
對于,若直線,則或,故不正確;
對于,若直線，則直線平行于內(nèi)的無數(shù)條直線,是正確的.
故選:D
【例5】若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．直線a上的點到平面α的距離相等
B．直線a平行于平面α內(nèi)的所有直線
C．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行
D．平面α內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a成90°角
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.
【詳解】若，則直線上任意一點到平面的距離均相等，正確；
若，則平面內(nèi)存在無數(shù)條平行直線與直線平行，但與其平行直線相交的直線與直線異面，故錯誤，正確；
若，則在平面內(nèi)垂直于直線的平行直線的直線與直線成角，這樣的直線有無數(shù)條，正確.
故選：
【例6】已知是平面的一條斜線，直線，則（ ）
A．存在唯一的一條直線，使得 B．存在無限多條直線，使得
C．存在唯一的一條直線，使得 D．存在無限多條直線，使得
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為是平面的一條斜線，直線，畫出圖形如下：
顯然在平面內(nèi)必存在直線與直線垂直，
且平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線平行，
故存在無限多條直線，使得.
故選：B
【例7】．已知a b為異面直線，則下列命題正確的是（ ）
A．過直線a b外一點P一定可以作一條與a b都平行的直線
B．過直線a b外一點P一定可以作一個與a b都平行的平面
C．過直線a一定可以作一個與直線b平行的平面
D．過直線a一定可以作一個與直線b垂直的平面
【答案】C
【分析】A、用反證法說明a，b為異面直線時，過a，b外一點P引條直線l與a、b不能都平行；
B、當a，b為異面直線時，過兩直線外一點P作平面，該平面可能與a，b都平行，這樣的平面也可能不存在；
C、當a，b為異面直線時，過a作與b平行的平面有且只有一個；
D、當a，b為異面直線時，過a作一個平面可能與b垂直也可能與b不垂直.
【詳解】對于A：當a，b為異面直線，假設(shè)過a，b外一點P引一條直線l與a，b都平行，即l∥a， l∥b，則a∥b，這與a、b是異面直線相矛盾，∴假設(shè)不成立.故A錯誤；
對于B：a，b為異面直線，∴a，b不平行.∴過P作a的平行線有且只有一條，設(shè)為c，過P作b的平行線有且只有一條設(shè)為d，則a、b的平行線只能組成一個平面，設(shè)為平面A.
①如果c恰好和b相交或者d與a相交，即當a或者b正好在A平面內(nèi)時，過P且與a、b都平行的平面不存在；②如果c不與b相交或者d不與a相交，過P且與a、b都平行的平面有且只有一個.故B錯誤；
對于C：∵a、b為異面直線，∴a、b不平行，在a上任取一點P，過點P作直線c∥b，c是唯一的.又a∩c=P，∴由a、c確定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴.C正確.
對于D：∵a、b為異面直線，但a與b不一定垂直，過a作一個平面可能與b垂直，也可能與b平行，故D錯誤.
故選：C.
【對點實戰(zhàn)】
1.已知平面平面，直線，直線，那么a與b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行、異面或相交
【答案】D
【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷．
【詳解】平面平面，直線，直線，間可能相交，可能平行，也可能異面．如正方體中，上下底面都與平面平行，上下底面兩個正方形的邊所在直線都與平面平行，這些直線間，，，與異面．
故選：D．
2.若直線不平行于平面，且不在平面內(nèi)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．與內(nèi)的所有直線異面
B．內(nèi)不存在與平行的直線
C．內(nèi)存在唯一的直線與平行
D．內(nèi)的直線與都相交
【答案】B
【分析】作出示意圖，可判斷AD選項的正誤，利用反證法可判斷BC選項的正誤.
【詳解】因為直線與平面不平行，也不在內(nèi)，所以直線與平面相交，設(shè)，
假設(shè)內(nèi)存在直線，使得，由于，，則，與題設(shè)條件矛盾，
故內(nèi)不存在與平行的直線，B對，C錯；
如下圖所示：
直線與平面內(nèi)所有過點的直線都相交，直線與平面內(nèi)所有不過點的直線都異面，
AD選項均錯.
故選：B.
3.已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線（ ）
A．只有一條，不在平面α內(nèi)
B．只有一條，且在平面α內(nèi)
C．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)
D．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)
【答案】B
【分析】通過假設(shè)過點且平行于的直線有兩條與，由平行公理可得，這與矛盾.
【詳解】假設(shè)過點P且平行于的直線有兩條與，∴且，
由平行公理得，這與兩條直線與相交與點相矛盾.
故選：B.
4.如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設(shè)過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B．在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C．在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D．平面截正方體所得的截面為五邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得 交平面于點， 交平面于點， 交平面于點，
故不存在某條棱與平面平行，即可以判斷選項A錯誤；
由六個面的12條面對角線與平面都相交，即可判斷選項B錯誤；
體對角線全部與面相交，即可判斷選項C錯誤；
補全圖形可得平面截正方體所得的截面為五邊形，即可以判斷選項D正確.
【詳解】對于選項A，交平面于點，平面，
都不與平面平行，交平面于點，平面，
都不與平面平行， 交平面于點，平面，
都不與平面平行，故A錯誤；
觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面都相交，故B錯誤；
四條體對角線全部與面都相交，故C錯誤.
如下圖，取中點為，易得，取中點為，連接，易得，
再取中點為，連接，則，，
是平面與正方體底面的交線，延長，與的延長線交于，連接，交于，
則可得五邊形即為平面交正方體的截面，
故D正確；
故選：D.
5，已知直線和平面，，則“”是“直線上存在不同兩點到平面的距離相等”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】當直線和平面相交或者時，直線上都存在不同兩點到平面的距離相等，根據(jù)這一條即可判斷出選項.
【詳解】若，則直線上存在不同兩點到平面的距離相等；但若“直線上存在不同兩點到平面的距離相等”時，直線和平面不一定平行，也可能相交，即當直線和平面相交或者時，直線上都存在不同兩點到平面的距離相等，故“”是“直線上存在不同兩點到平面的距離相等”的充分不必要條件.
故選：A.
6.下列說法正確的是（ ）
A．直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線，直線，則a∥α
D．若直線a∥b，，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線
【答案】D
根據(jù)直線與平面平行的判定及相關(guān)性質(zhì)，一一驗證各選項即可得出答案.
【詳解】解：A項，若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l可能平行于平面α，也可能位于平面α內(nèi)，故A項錯誤；
B項，直線a在平面α外，則直線a與平面α可能平行，也可能相交，故B錯誤；
C項，直線，所以a可能與平面α相交或與平面α平行,故C項錯誤；
D項，直線a∥b,,當a∥α?xí)r,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行；當時,除了直線a本身,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行,因此直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,故D項正確.
故選：D.
五、平面和平面位置關(guān)系判定
【典型例題】
【例1】平面與平面平行，且直線，下列命題中正確的是（ ）
A．與內(nèi)的所有直線垂直 B．與內(nèi)的所有直線異面
C．與內(nèi)的所有直線平行 D．與內(nèi)的無數(shù)條直線平行
【答案】D
由面面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合空間兩直線的位置關(guān)系，即可判斷．
【詳解】由于平面與平面平行，且直線，
則，沒有公共點，，內(nèi)的直線也沒有公共點，
它們可以平行或異面，
則，，錯誤，正確．
故選：．
【例2】在四棱臺中，平面與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
【答案】A
【分析】根據(jù)棱臺的定義即可得出結(jié)果.
【詳解】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面與平面一定相交.
故選：A.
【例3】分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個平面平行的定義可知兩個平行平面沒有公共點，由此可知兩條直線沒有公共點，不可能相交，故正確，
【詳解】因為兩個平面平行，所以兩個平面沒有公共點，
所以分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線沒有公共點，不可能相交，故正確，
又分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線可能平行、異面和垂直.
故選：B.
【例4】已知三個平面，，，其中，，，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．b，c是異面直線 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系直接判斷.
【詳解】，，同理，，又，，且，
故，，故選：B.
【例5】若平面平面，平面平面，則（ ）
A．
B．
C．與相交但不垂直
D．以上都有可能
【答案】D
【分析】以正方體為模型可得D正確.
【詳解】在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底面垂直，故選D.
【例6】已知平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，那么
A．α∥β B．α與β相交 C．α與β重合 D．α∥β或α與β相交
【答案】D
【詳解】試題分析：由題意當兩個平面平行時符合平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，
當兩平面相交時，在α平面內(nèi)作與交線平行的直線，也有平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行．
故為D．
【例7】平面與平面平行的條件可以是（ ）
A．內(nèi)有無窮多條直線與平行 B．直線，
C．直線，直線，且， D．內(nèi)的任何直線都與平行
【答案】D
【分析】由題意利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：當內(nèi)有無窮多條直線與平行時，與可能平行，也可能相交，故A錯誤．
當直線，時，與可能平行也可能相交，故B錯誤．
當直線，直線，且，，如果，都平行，的交線時滿足條件，但是與相交，故C錯誤．
當內(nèi)的任何直線都與 平行時，由兩個平面平行的定義可得，這兩個平面平行，故D正確；
故選：D．
【對點實戰(zhàn)】
1.若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的兩條直線
A．平行 B．異面 C．相交 D．平行或異面
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線分別在兩平行平面內(nèi)，可得兩直線無交點，進而可得出結(jié)果.
【詳解】因為兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的兩條直線無交點，
因此兩直線平行或異面.
故選D
2.已知是兩個不同的平面，直線，則“中任意一條直線均不與l相交”是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義判斷即可.
【詳解】中任意一條直線均不與l相交不能推出；
可以推出中任意一條直線均不與l相交，
故“中任意一條直線均不與l相交”是的必要不充分條件.
故選：B.
3.已知是平面外的一條直線，則下列命題中真命題的個數(shù)是（ ）
①在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線平行； ②在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線垂直；
③在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線異面； ④一定存在過直線且與垂直的平面.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系對4個命題逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】①，當與相交時，內(nèi)不存在直線與直線平行，①錯誤.
②，在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線垂直，正確.
③，在內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線異面，正確.
④，當與相交且線面角時，不存在過直線且與垂直的平面，④錯誤.
所以真命題有個.
故選：B
4.下列命題正確的是（ ）
A．如果兩個平面有無數(shù)個公共點，那么它們相交或重合
B．過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個平面與另一條直線平行
C．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行
D．如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線平行
【答案】A
【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論（公理1，2，3及推論），逐一分析四個命題的真假，可得答案．
【詳解】對于A，如果兩個平面有無數(shù)個公共點，如果公共點共線則它們相交或如果公共點不共線則它們重合，故A正確；
對于B，把一條直線平移與另一直線相交，那么兩條相交直線確定一個平面，所以只有一個，而不是無數(shù)個，故B錯誤；
對于C，如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條直線與這個平面平行或在平面內(nèi)，故C錯誤；
對于D，將同一平面的兩條相交直線中的一條平移到另一平面，則這兩條直線不平行，故D錯誤.
故選:A.
5.已知點是平面外一點，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．過只能作一條直線與平面垂直 B．過只能作一條直線與平面平行
C．過只能作一個平面與平面平行 D．過可作無數(shù)個平面與平面垂直
【答案】B
【分析】將點和面放置在正方體中，視平面為正方體中的平面，結(jié)合正方體中的線面關(guān)系對選項進行判定，取出反例說明不正確的，正確的證明一下即可．
【詳解】解：如圖在正方體中，過只能作直線與平面垂直，故A對；過直線由無數(shù)個平面，則過可作無數(shù)個平面與平面垂直，故D對；
由平面平面，在平面中，由無數(shù)條直線過點，故過由無數(shù)條直線與平面平行，故B錯：
過只能作平面一個平面與平面平行，故C對.
故選：B．
6.下列說法中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．平行于同一平面的兩個平面平行
C．一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
【答案】A
【分析】根據(jù)空間線面間的位置關(guān)系判斷．
【詳解】平行于同一直線兩個平面可能平行，也可能相交，A錯；
平行于同一平面的兩個平面平行，B正確；
由面面平行的性質(zhì)定理知一個平面與兩個平行平面相交，交線平行，一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交，CD正確．
故選：A．
六、平面和平面位置關(guān)系應(yīng)用
【典型例題】
【例1】設(shè)是給定的平面，，是不在內(nèi)的任意兩點，則（ ）
A．一定存在過直線的平面與平面垂直
B．在內(nèi)一定存在直線與直線平行
C．在內(nèi)一定存在直線與直線相交
D．在內(nèi)一定存在直線與直線垂直
【答案】AD
【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系、面面關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當直線AB與垂直時，過AB的所有平面都與垂直；
當直線AB與不垂直時（無論相交還是平行），設(shè)A，B在平面內(nèi)的射影為點和，
則直線和平行，且它們都垂直于平面，直線和所在的平面與垂直，正確；
對于B，當與相交時，內(nèi)不存在直線與平行，否則直線AB與平行，故B錯誤；
對于C，當與平行時，內(nèi)所有直線與都沒有交點，故C錯誤；
對于D，選項A中確定的平面與平面的交線記為m，則平面內(nèi)所有與m垂直的直線都與平面垂直，于是也和直線AB垂直，故D正確．
故選：AD．
【例2】若直線m與不重合的平面α、β所成的角相等為θ，則α與β________．
【答案】平行或相交.
【分析】由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合圖形可得答案.
【詳解】如下圖正方體中，直線平面，直線平面，平面平面；
如下圖是直線與平面所成的角，是直線與平面所成的角，
，平面與平面相交，
所以直線m與不重合的平面α、β所成的角相等為θ，則α與β平行或相交，
故答案為：平行或相交.
【例3】在空間中，給出下面四個命題，其中真命題的個數(shù)為___________.
①過平面外的兩點，有且只有一個平面與平面垂直；
②若平面內(nèi)有不共線三點到平面的距離都相等，則；
③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.
【答案】.
【分析】由平面外兩點的連線與平面垂直時，過兩點有無數(shù)個平面與平面垂直，可判定①不正確；由只有當不共線的三點在平面的同側(cè)時，才能得到，可判定②不正確；根據(jù)線面垂直的定義，可判定③不正確；根據(jù)兩異面直線的射影的情況，可判定④不正確.
【詳解】對于①中，當平面外兩點的連線與平面垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面垂直，所以①不正確；
對于②中，只有當不共線的三點在平面的同側(cè)時，才能得到，所以②不正確；
對于③中，只有直線與平面內(nèi)的任意直線垂直時，才能得到，所以③不正確；
對于④中，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以④不正確，
綜上可得，正確命題的個數(shù)為0個.
故答案為：
【例4】若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線
B．若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β
D．若m，n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行
【答案】B
【分析】根據(jù)線線、線面、面面關(guān)系，逐一判斷即可.
【詳解】解：對于A：m，n可為相交直線，故A不正確；
對于B：若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線，故B正確；
對于C：n可以平行β，也可以在β內(nèi)，故C不正確；
對于D：m，n也可能異面，故D不正確．
故選：B.
【例5】已知經(jīng)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸的給定平面，，是圓柱側(cè)面上且不在平面上的兩點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．一定存在直線，且與異面
B．一定存在直線，且
C．一定存在平面，且
D．一定存在平面，且
【答案】D
【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷.
【詳解】由已知得直線與平面可能平行，也可能相交，
所以一定存在直線，且與異面，A選項正確；
一定存在直線，且，B選項正確；
一定存在平面，且，C選項正確；
當直線與平面相交時，不存在存在平面，且，D選項錯誤；
故選：D.
【例6】已知，，是三個不同的平面，，.則下列命題成立的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據(jù)線面以及面面關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】對A，平面和可以相交，
對B，根據(jù)定理，一個平面和另外兩個平行平面相交，則交線平行，故B正確；
對C，平面內(nèi)的一條直線和令一個平面內(nèi)的一條直線垂直，
不能證明線面垂直，即不能證明面面垂直，故C錯誤，
對D，若兩個面垂直，第三個平面和該兩個面相交，交線并不一定垂直，故D錯誤.
故選：B
【例7】已知是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，對各選項逐一分析即可得答案.
【詳解】解：對A：若，則或與相交，故選項A錯誤；
對B：若，則或與相交或與異面，故選項B錯誤；
對C：若，則，故選項C正確；
對D：若，則或與相交，故選項D錯誤；
故選：C.
【例8】
【對點實戰(zhàn)】
1.以下四個命題正確的為（ ）
A．在空間中，與不共面的四點，，，距離相等的平面有4個
B．正方體12條棱中有48對異面直線
C．平行同一個平面的兩條直線平行
D．如果兩個相交平面同時和第三個平面垂直，則它們的交線垂直第三個平面．
【答案】D
【分析】直接利用點和面的位置關(guān)系，異面直線的定義，線面的位置關(guān)系判斷即可
【詳解】解：對于A，在空間四邊形中，到四個頂點距離相等的平面有：過四面體的高的中點與高垂直的平面，這樣的平面有4個，還有過對棱公垂線中點且與公垂線垂直的平面，為、這樣的平面有3個，所以在空間中，與不共面的四點，，，距離相等的平面有7個，所以A錯誤；
對于B，正方體12長棱中有對異面直線，所以B錯誤；
對于C，平行于同一平面的兩條直線平行或相交或異面，所以C錯誤；
對于D，如果兩個相交平面同時和第三個平面垂直，則它們的交線都垂直于這兩個平面與第三個平面的交線，所以它們的交線垂直第三個平面，所以D正確，
故選：D
2.已知直線，及平面，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，且，則
B．若，，且，則
C．若，，且，則
D．若，，且，則
【答案】D
【分析】利用線面平行、垂直的判定定理，面面平行、垂直的判定定理，即可得出結(jié)論．
【詳解】若，，且，∴，，∴，故A不正確；
若，，且，則或，故B不正確；
若，，且，則有可能，不一定，所以C不正確；
若，，且可以判斷是正確的，故D正確，
故選：D．
3.設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，是直線，下列命題中正確的命題有（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；
B．若α上有不共線的三點到β的距離相等，則βα；
C．若⊥α，β，則α⊥β；
D．若⊥α，，則βα.
【答案】CD
【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系可判定選項.
【詳解】解：若α⊥β，β⊥γ，則α與γ可相交可平行，可垂直，所以A不正確；
若α上有不共線的三點到β的距離相等，則βα或β與α相交，所以B不正確；
若⊥α，β，則β內(nèi)存在與平行的直線，且⊥α，由面面垂直的判定定理可知則α⊥β，所以C正確；
若⊥α，，且β，α不重合，所以βα，所以D正確.
故選：CD.
4.下列命題正確的是___________．（填寫所有正確命題的序號）
①過已知平面外的一條直線，一定能作出與已知平面平行的平面；
②過已知平面外的一條直線，一定能作出與已知平面垂直的平面；
③過已知平面外的一點，有且只有一個平面與已知平面平行；
④過已知平面外的一點，有且只有一個平面與已知平面垂直．
【答案】②③
利用直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合面面平行、面面垂直的關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】若直線與已知平面相交，則過該直線無法作出與已知平面平行的平面，故①錯；
過平面外的一點，可以作出無數(shù)個平面與已知平面垂直，故④錯；只有②③正確．
故答案為：②③
5.．（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關(guān)系；
（2）已知一個平面內(nèi)有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關(guān)系．
【答案】（1）平行或相交；（2）平行或相交.
【分析】（1）分平面外的一條直線上有兩點在平面的同側(cè)或異側(cè)時判斷；
（2）分平面內(nèi)的三點在另一平面的同側(cè)或平面內(nèi)有兩個點在另一平面的同側(cè)，另一個點在另一個平面的異側(cè)時判斷.
【詳解】（1）當平面外的一條直線上有兩點在平面的同側(cè)時,直線與平面平行,
當平面外的一條直線上有兩點在平面的異側(cè)時,直線與平面相交,
綜上：這條直線與該平面的平行或相交；
（2）當平面內(nèi)的三點在另一平面的同側(cè)時，這兩個平面平行；
當平面內(nèi)有兩個點在另一平面的同側(cè)，另一個點在另一個平面的異側(cè)時，這兩個平面相交；
綜上：這兩個平面平行或相交.

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