資源簡介

8.5 空間直線、平面的平行
本節課知識點目錄：
基本事實4的應用
等角定理的應用
直線平行有關的計算
直線與平面平行的判定定理的應用
直線與平面平行性質定理的應用
線面平行有關計算。
平面與平面平行的判定定理
平面與平面平行性質定理的應用
面面平行的計算
平行關系求最值與范圍
聯考與聯賽題選
一、基本事實4的應用
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言
符號語言 直線a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用 證明兩條直線平行
說明 基本事實4表述的性質通常叫做平行線的傳遞性
【典型例題】
【例1】如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點，則下列說法正確的是
A． B． C． D．
【例2】如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
【例3】在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例4】在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接各邊中點E，F，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（ ）
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【例5】在正方體中，，分別是平面，平面的中心，，分別是線段，的中點，則直線與直線的位置關系是
A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直
【例6】如圖,在四面體中,分別是的中點,則下列說法中不正確的是
A．四點共面 B．
C． D．四邊形為梯形
【例7】如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).
8.5 空間直線、平面的平行（精練）-2021-2022學年高一數學一隅三反系列（人教A版2019必修第二冊）
【例8】已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．
【對點實戰】
1.已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定
2.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F，G，H分別是邊AC，CD，BD，AB的中點，且AD=BC，那么四邊形EFGH是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3.如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是_____.
5.已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，若， 證明:四邊形EFGH為梯形.
6.如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且，.
（1）證明：E，F，G，H四點共面.
（2）m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？
二、等角定理的應用
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
【典型例題】
【例1】已知，則等于
A． B．或 C． D．以上答案都不對
【例2】不在同一個平面內的兩個三角形的三組對應邊分別平行，則這兩個三角形（ ）
A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似
【例3】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結論正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
【例4】已知,,則與的位置關系是
A．相交 B．異面 C．平行 D．以上均有可能
【例5】若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB與不平行 D．OB與不一定平行
【例6】空間中有兩個角、，且角、的兩邊分別平行.若，則________.
【例7】如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.
【對點實戰】
1.設和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.
2.長方體中，分別為棱的中點.
（1）求證：；
（2）求證：.
3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．
（1）求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；
（2）求證：∠BMC＝∠B1M1C1．
4.在長方體中，求證：
（1）；
（2）.
三、線線平行有關的計算
利用線面平行的性質定理找線線平行，利用線線平行得對應線段成比例即可求線段長度．
【典型例題】
【例1】已知在三棱錐中，分別是的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能確定
【例3】如圖，空間四邊形中，分別是△和△的重心，若，則___.
【例4】如圖，△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA'，BB'，CC'交于同一點O，且.
（1）求證:A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC;
（2）求的值.
【例5】在長方體中，底面是邊長為的正方形，高為，分別是邊與的中點.
（1）求證：四邊形是等腰梯形；
（2）求梯形的面積.
四、直線與平面平行的判定定理的應用
文字語言 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號語言 a α，b α，a∥b a∥α
圖形語言
【典型例題】
【例1】過平面外的直線l作一組平面與相交，若所得交線分別為a，b，c…，則這些交線的位置關系為（ ）
A．相交于同一點 B．相交但交于不同的點
C．平行 D．平行或相交于同一點
【例2】下列命題中正確的個數是（ ）
①若直線a上有無數個點不在平面α內，則a∥α；
②若直線a∥平面α，則直線a與平面α內的任意一條直線都平行；
③若直線a∥直線b，直線b∥平面α，則直線a∥平面α；
④若直線a∥平面α，則直線a與平面α內的任意一條直線都沒有公共點.
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】若直線a不平行于平面，則下列結論正確的是（ ）
A．內的所有直線均與直線a異面 B．直線a與平面有公共點
C．內不存在與a平行的直線 D．內的直線均與a相交
【例4】．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則（　?。?br/>A．BD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
【例5】在三棱錐A－BCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，則直線AC與平面DEF的位置關系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．直線AC在平面DEF內 D．不能確定
【例6】如圖，下列正三棱柱中，若、、分別為其所在棱的中點，則不能得出平面的是
A． B．
C． D．
【例7】下列四個正方體圖形中，，為正方體的兩個頂點，，，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【對點實戰】
1.下列說法正確的是
A．若直線l平行于平面α內的無數條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線a∥b，b α，則a∥α
D．若直線a∥b，b α，那么直線a平行于α內的無數條直線
2.在五棱臺ABCDE A1B1C1D1E1中，F，G分別是AA1和BB1上的點，且，則FG與平面ABCDE的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．FG 平面ABCDE D．無法判斷
3.如圖，在正方體中， 分別是 的中點，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如圖，正方體中，E為的中點，則下列直線中與平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
5.如圖，在以下四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
6.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設的中點為M，的中點為N，下列結論正確的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
7.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，點，，分別在線段，，上，，分別是，的中點，，則（ ）
A．直線與直線平行 B．直線與直線相交
C．直線與直線相交 D．直線與平面平行
五、直線與平面平行性質定理的應用
文字語言 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號語言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】若α、β是兩個相交平面，點A不在α內，也不在β內，則過點A且與α和β都平行的直線（ ）
A．只有1條 B．只有2條 C．只有4條 D．有無數條
【例2】如圖．四棱錐的底面為正方形，空間中存在點E，滿足，則點E可能位于（ ）
A．平面與平面的交線上 B．平面與平面的交線上
C．直線上 D．直線上
【例3】一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面交線的位置關系是（ ）
A．異面 B．相交 C．不能確定 D．平行
【例4】如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：
①平面；
②平面；
③平面；
④直線交于一點.
其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
【例6】．已知空間直線不在平面內，則“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【例7】若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（ ）
A．0條 B．1條
C．2條 D．4條
【對點實戰】
1.已知α和β是兩個不同平面如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
2.已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3.已知直線和平面，下列說法正確的是（ ）
A．如果，那么平行于經過的任意一個平面．
B．如果，那么平行于平面內的任意一條直線．
C．若，則 ．
D．若且，則．
4.如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
六、線面平行有關的計算
【典型例題】
【例1】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，若點F在線段上，且滿足平面，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點E在BB1上，動點F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，則三棱錐O－AEF的體積（ ）
A．與x，y都有關
B．與x，y都無關
C．與x有關，與y無關
D．與y有關，與x無關
【例3】如圖，直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，，點、、、、分別是邊、、、、的中點，動點在四邊形內部運動，并且始終有平面，則動點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【例4】如圖，幾何體是一個三棱臺，在、、、、、個頂點中取個點確定平面，平面，且，則所取的這個點可以是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【例5】如圖，為平行四邊形所在平面外一點，為上一點，且，為上一點，當平面時，（ ）
A． B． C． D．
【例6】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，Q為AD的中點，點M在線段PC上，，若平面MQB，則t等于（ ）
A． B． C． D．
【例7】在正方體中，M是的中點，過M在平面內作直線交于N，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【例8】四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在線段PC上，，平面，則實數t的值為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.正方體的棱長為1，是的中點，點在上，則等于多少時，平面（ ）
A．1 B． C． D．
2.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1＝（　?。?br/>A．2 B．
C． D．1
3.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，交于點O，E為的中點，F在上，，∥平面，則的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．2
4.如圖，已知圓錐的頂點為，是底面圓的直徑，點在底面圓上且，點為劣弧的中點，過直線作平面，使得直線平面，設平面與交于點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
七、平面與平面平行的判定定理的應用
文字語言 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】設為兩個不同的平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一條直線
D．內的任何直線都與平行
【例2】設是直線，是平面，則能推出的條件是（ ）
A．存在一條直線，， B．存在一條直線，，
C．存在一個平面，， D．存在一個平面，，
【例3】下列命題正確的是（ ）
A．一個平面內兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
B．如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D．如果一個平面內的無數條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
【例4】六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有（ ）
A．1對 B．2對
C．3對 D．4對
【例5】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【例6】如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【對點實戰】
1.設為兩個平面，則下列條件可以推出的是（ ）
A．平行于同一條直線 B．內有無數條直線與平行
C．內有兩條相交直線與平行 D．內有三個不共線的點到的距離相等
2.已知是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面與平面平行的是（ ）
A．內有無窮多條直線與平行
B．直線////
C．直線滿足//////
D．異面直線滿足，且////
3.在正方體中，下列四對截面彼此平行的是（ ）
A．平面與平面 B．平面與平面
C．平面與平面 D．平面與平面
4.下列命題：①一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，必與另外一個平面相交；②如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面；③夾在兩個平行平面間的平行線段相等，其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
5.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，，則“與為異面直線”是“”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
八、平面與平面平行的性質定理的應用
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】若平面平面，，則與的位置關系是（ ）
A．與相交 B．與平行
C．在內 D．無法判定
【例2】已知直線，兩個不重合的平面.若//，，則下列四個結論中正確的是（ ）
①與內的所有直線平行； ②與內的無數條直線平行；
③與內任何一條直線都不垂直； ④與沒有公共點.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【例3】在三棱臺中，點在上，且，點是三角形內（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（ ）
A．三角形邊界的一部分 B．一個點
C．線段的一部分 D．圓的一部分
【例4】下列說法正確的個數是（ ）
①兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線段平行；
②如果一條直線和兩個平行平面中的一個平行，那么它和另一個平面也平行；
③平行直線被三個平行平面截得的線段對應成比例.
A．1 B．2 C．3 D．0
【對點實戰】
1.設，表示不同的直線，，表示不同的平面，且，．則“”是“且”的（ ）
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2.若平面α∥平面β，直線a α，點M∈β，則過點M的所有直線中（ ）
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線
D．有且只有一條與a平行的直線
3.已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
九、面面平行的計算
線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉化，要注意轉化思想的靈活運用
【典型例題】
【例1】如圖所示，正方體，E在上，F在上，且，過E作交BD于H，則平面EFH與平面的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能
【例2】如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點，點P在平面內，若直線平面，則與滿足題意的P構成的平面截正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知正方體的棱長為2，點在棱上，過點作該正方體的截面，當截面平行于平面且面積為時，線段的長為（ ）
A． B．1 C． D．
【例4】在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是（ ）
A．平面 B．直線
C．線段，但只含1個端點 D．圓
【例5】棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，且，是邊的中點，動點在四棱錐表面上運動，并且總保持平面，則動點的軌跡周長為（ ）
A． B． C． D．
十、平行關系求最值與范圍
【典型例題】
【例1】如圖所示，在正方體中，點是平面內一點，且，則的最大值為．
A． B． C．2 D．
【例2】如圖，在三角形中，上有一點滿足，將沿折起使得，若平面分別交邊，，，于點，，，，且平面，平面則當四邊形對角線的平方和取最小值時，（ ）

A． B． C． D．
【例3】圖，在長方體中，，，，點M是棱的中點，點N在棱上，且滿足，P是側面四邊形內一動點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例4】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【例5】點分別是棱長為2的正方體中棱的中點，動點在正方形 (包括邊界)內運動.若面，則的長度范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例6】在棱長為2的正方體中，為的中點.當點在平面內運動時，有平面，則線段的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【對點實戰】
1.如圖所示，在正方形中，分別為的中點，點是底面內一點，且平面,則的最大值是
A． B． C． D．
2.如圖，正方體的棱長為，是棱的中點，是側面內一點，若平面，且長度的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
3.已知正四面體的棱長為，平面與棱、均平行，則截此正四面體所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，在棱長為1的正方體中，P為正方形內（包括邊界）的一動點，E，F分別為棱的中點，若直線與平面無公共點，則線段的長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】在三棱柱中，點E、F、H、K分別為、、、的中點，G為的重心，有一動點P在三棱柱的面上移動，使得該棱柱恰有5條棱與平面平行，則以下各點中，在點P的軌跡上的點是（ ）
A．H B．K C．G D．
【例2】如圖，已知四面體ABCD的各條棱長均等于4，E，F分別是棱AD、BC的中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（　?。?br/>A． B．4 C． D．6
8.5 空間直線、平面的平行
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基本事實4的應用
等角定理的應用
直線平行有關的計算
直線與平面平行的判定定理的應用
直線與平面平行性質定理的應用
線面平行有關計算。
平面與平面平行的判定定理
平面與平面平行性質定理的應用
面面平行的計算
平行關系求最值與范圍
聯考與聯賽題選
一、基本事實4的應用
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言
符號語言 直線a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用 證明兩條直線平行
說明 基本事實4表述的性質通常叫做平行線的傳遞性
【典型例題】
【例1】如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點，則下列說法正確的是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意結合三角形中位線的性質可得：，
由平行公理可得：.本題選擇C選項.
【例2】如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行
【答案】A
【分析】假設，通過平行線的傳遞性推出與題中條件相反的結論來說明直線與直線一定不平行；當與平行時，選項C正確；當與平行時，選項D正確.
【詳解】假設，則由，知，
這與直線與直線不平行矛盾，所以直線與直線不平行.故選：A.
【例3】在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.
【詳解】解：連接CF，C1F1，與棱AB平行的有，共有5條，
故選：D.
【例4】在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接各邊中點E，F，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（ ）
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【答案】D
【分析】根據空間四邊形中各點的位置，結合中位線的性質可得EFGH是平行四邊形，再由AC=BD即可判斷四邊形EFGH的形狀.
【詳解】如圖所示，空間四邊形ABCD中，連接AC，BD可得一個三棱錐，
將四個中點連接，得到四邊形EFGH，由中位線的性質及基本性質4知，EH∥FG，EF∥HG；
∴四邊形EFGH是平行四邊形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，
∴四邊形EFGH是菱形.故選：D
【例5】在正方體中，，分別是平面，平面的中心，，分別是線段，的中點，則直線與直線的位置關系是
A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直
【答案】C
利用中位線性質說明它們都與平行．
【詳解】如圖，連接，則分別為的中點.由三角形的中位線定理知，所以.故選：C.
【例6】如圖,在四面體中,分別是的中點,則下列說法中不正確的是
A．四點共面 B．
C． D．四邊形為梯形
【答案】D
根據題意及中位線定理和等角定理可以一一判斷.
【詳解】由中位線定理,易知,,,.
于A,由基本事實易得P,所以四點共面,故A中的說法正確；
對于B,根據等角定理,得,故B中的說法正確；
對于C,由等角定理,知,,所以,故C中的說法正確；
由三角形的中位線定理知,,,,所以,所以四邊形為平行四邊形,故D中的說法不正確.故選D.
【例7】如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).
8.5 空間直線、平面的平行（精練）-2021-2022學年高一數學一隅三反系列（人教A版2019必修第二冊）
【答案】①②
【分析】根據正方體的結構特征，以及兩直線的位置關系的判定方法，即可求解.
【詳解】根據正方體的結構特征，可得①②中RS與PQ均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中RS和PQ是是異面直線.故答案為：①②.
【例8】已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．
【答案】證明見解析
【分析】連接AC，利用正方體的性質，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結合M，N分別是CD，AD的中點，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.
【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質可知：AA′=CC′，AA′CC′，
∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分別是CD，AD的中點，
∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．
【對點實戰】
1.已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定
【答案】A
【分析】由平行直線的傳遞性可得答案.
【詳解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選：A.
2.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F，G，H分別是邊AC，CD，BD，AB的中點，且AD=BC，那么四邊形EFGH是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】先證明是平行四邊形，再證明是菱形.
【詳解】因為分別是的中點，所以，且，
同理，且，，且，，且，
又，可得四邊形為菱形.故選：C.
3.如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
【答案】B
【分析】由E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，結合正方體的結構特征，即可求解.
【詳解】由于E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，
因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD, BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.
4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是_____.
【答案】平行
【分析】由題設易知EF∥BC，根據棱柱的結構特征即可判斷EF與B1C1的位置關系.
【詳解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.故答案為：平行
5.已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，若， 證明:四邊形EFGH為梯形.
【答案】證明見解析
【分析】根據，得到EH∥BD且EH=BD，同理得到FG∥BD且FG=BD，再利用平行關系的傳遞性證明.
【詳解】證明：如圖，在ABD中，因為，所以EH∥BD且EH=BD.
在BCD中，因為，所以FG∥BD且FG=BD，所以EH∥FG且EH>FG，
所以四邊形EFGH為梯形.
6.如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且，.
（1）證明：E，F，G，H四點共面.
（2）m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？
【答案】（1）見解析（2）當時，四邊形EFGH是平行四邊形.
（1）根據平行線分線段成比例的性質,可得和,即可根據空間中平行線的傳遞性證明,即可得E,F,G,H四點共面.
（2）根據平行線分線段成比例,分別用和及表示出和,由平行四邊形對邊相等即可求得.
【詳解】（1）證明：連接BD因為,所以
又,所以。所以所以E,F,G,H四點共面
（2）當時,四邊形EFGH為平行四邊形。由（1）可知。因為
所以同理可得由可得
得故當時,四邊形EFGH是平行四邊形
二、等角定理的應用
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
【典型例題】
【例1】已知，則等于
A． B．或 C． D．以上答案都不對
【答案】B
【詳解】∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同.
∴∠PQR＝30°或150°，故選B.
【例2】不在同一個平面內的兩個三角形的三組對應邊分別平行，則這兩個三角形（ ）
A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似
【答案】C
【分析】根據等角定理，即可判斷選項.
【詳解】根據等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C
【例3】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結論正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
【答案】D
【詳解】如圖，
；當時，且，與的方向相同，與是不一定平行，如上圖所示，故選D.
【例4】已知,,則與的位置關系是
A．相交 B．異面 C．平行 D．以上均有可能
【答案】D
根據題意畫出圖形，即可判斷與的位置關系.
【詳解】如圖所示,,,則與的位置關系是平行 相交或異面.

故選：D.
【例5】若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB與不平行 D．OB與不一定平行
【答案】D
【分析】畫出圖形，當滿足題目中的條件時，出現的情況有哪些，即可得出結論．
【詳解】解：如圖，；
當∠AOB=∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行． 故選：D．
【例6】空間中有兩個角、，且角、的兩邊分別平行.若，則________.
【答案】或
【分析】根據等角定理可得出結論.
【詳解】因為角與兩邊對應平行，但方向不確定，所以與相等或互補，故或.
故答案為：或.
【例7】如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】通過平行以及長度關系證明，，然后根據等角定理證明.
【詳解】證明：因為，分別是，的中點，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
同理可證，又與方向相同，所以.
【對點實戰】
1.設和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.
【答案】45°或135°##135°或45°
【分析】根據等角定理即可得到答案.
【詳解】根據等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.
故答案為：45°或135°.
2.長方體中，分別為棱的中點.
（1）求證：；
（2）求證：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，可得，再證明四邊形為平行四邊形，得，從而得；（2）根據等角定理證明即可.
【詳解】證明：（1）如圖，取的中點，連接.
在矩形中，易得，因為，，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.在矩形中，易得，.
所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.
（2）因為，，又與的對應邊方向相同，
所以.
3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．
（1）求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；
（2）求證：∠BMC＝∠B1M1C1．
【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析．
【分析】（1）利用正方體的性質，根據平行四邊形的定義與性質證明即可；（2）根據正方體的性質以及平行四邊形的性質可證明，從而可得結果.
【詳解】（1）在正方形ADD1A1中，M、M1分別為AD、A1D1的中點，∴MM1∥AA1，MM1=AA1．
又∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．
（2）法一：由（1）知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM．同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，
∴C1M1∥CM．由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由（1）知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM．
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM．
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1．∴∠BMC＝∠B1M1C1．
4.在長方體中，求證：
（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據，且方向相同可證得結論；
（2）根據，且方向相同可證得結論.
【詳解】
（1）由長方體的性質可得：，，且方向相同，
由等角定理可得：.
（2）由長方體的性質可得：，，
四邊形為平行四邊形，，，且方向相同，
由等角定理可得：.
三、線線平行有關的計算
利用線面平行的性質定理找線線平行，利用線線平行得對應線段成比例即可求線段長度．
【典型例題】
【例1】已知在三棱錐中，分別是的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，
取的中點，連接、，在中，∵，，∴，同理可得，在中，∵三角形兩邊之和大于第三邊即，∴，即，故選D.
【例2】已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能確定
【答案】B
【分析】根據中位線定理判斷四邊形EFGH是平行四邊形，再由計算可得解.
【詳解】如圖所示，由三角形中位線的性質可得,.
所以四邊形EFGH是平行四邊形，
因為，
所以 .
故選：B.
【例3】如圖，空間四邊形中，分別是△和△的重心，若，則___.
【答案】##
【分析】連接并延長交于，連接并延長交于，再連接，，可知，，從而可求出答案.
【詳解】連接并延長交于，連接并延長交于，再連接，，
∴，
∴，
又∵，∴.
故答案為：.
【例4】如圖，△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA'，BB'，CC'交于同一點O，且.
（1）求證:A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC;
（2）求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據等比例的性質，即可證明結論；
（2）由（1）易知△ABC∽△A'B'C'，進而利用相似比求的值.
【詳解】(1)∵AA'∩BB'=O且，
∴AB∥A'B'，同理，AC∥A'C'，BC∥B'C'.
(2)∵A'B'∥AB，A'C'∥AC，由圖知：AB和A'B'，AC和A'C'方向相反，
∴∠BAC=∠B'A'C'，同理，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴，
∴.
【例5】在長方體中，底面是邊長為的正方形，高為，分別是邊與的中點.
（1）求證：四邊形是等腰梯形；
（2）求梯形的面積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）連接，由三角形中位線性質可證得，證得四邊形為梯形；利用三角形全等可證得，由此得到結論；
（2）利用勾股定理可求得等腰梯形的上下底和高，由梯形面積公式可求得結果.
【詳解】（1）證明：連接，則是的中位線，則有.
又，，四點共面，且四邊形為梯形；
，，梯形等腰梯形.
（2）由題意得：，，，
等腰梯形的高，
梯形的面積.
四、直線與平面平行的判定定理的應用
文字語言 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號語言 a α，b α，a∥b a∥α
圖形語言
【典型例題】
【例1】過平面外的直線l作一組平面與相交，若所得交線分別為a，b，c…，則這些交線的位置關系為（ ）
A．相交于同一點 B．相交但交于不同的點
C．平行 D．平行或相交于同一點
【答案】D
【分析】對于的位置關系進行分類討論，由此確定正確選項.
【詳解】當時，根據線面平行的性質定理以及平行公理可知：所得交線平行.
當時，所得交線交于同一點.
所以所得交線平行或相交于同一點.
故選：D
【例2】下列命題中正確的個數是（ ）
①若直線a上有無數個點不在平面α內，則a∥α；
②若直線a∥平面α，則直線a與平面α內的任意一條直線都平行；
③若直線a∥直線b，直線b∥平面α，則直線a∥平面α；
④若直線a∥平面α，則直線a與平面α內的任意一條直線都沒有公共點.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】對于①，由線面位置關系的定義判斷，對于②，由線面平行的性質判斷，對于C，由線面平行的判定定理判斷，對于D，由線面平行的定義判斷
【詳解】對于①，若直線a上有無數個點不在平面α內，則直線a可能與平面α相交，也可能與平面α平行，所以①錯誤，
對于②，當直線a∥平面α時，直線a與平面α內直線平行或異面，所以②錯誤，
對于③，當直線a∥直線b，直線b∥平面α，則直線a∥平面α，或直線a在平面α內，所以③錯誤，
對于④，當直線a∥平面α時，則直線a與平面α無公共點，所以直線a與平面α內的任意一條直線都沒有公共點，所以④正確，
故選：B
【例3】若直線a不平行于平面，則下列結論正確的是（ ）
A．內的所有直線均與直線a異面 B．直線a與平面有公共點
C．內不存在與a平行的直線 D．內的直線均與a相交
【答案】B
【分析】根據題意可得直線a與平面相交或在平面內，結合線面的位置關系依次判斷選項即可.
【詳解】若直線a不平行與平面，則直線a與平面相交或在平面內.
A：內的所有直線均與直線a異面錯誤，也可能相交，故A錯誤；
B：直線a與平面相交或直線a在平面內都有公共點，故B正確；
C：平面內不存在與a平行的直線，錯誤，
當直線a在平面內就存在與a平行的直線，故C錯誤；
D：平面內的直線均與a相交，錯誤，也可能異面，故D錯誤.
故選：B
【例4】．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則（　　）
A．BD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
【答案】B
【分析】先判斷四邊形EFGH的形狀，再去判斷線面是否平行即可解決.
【詳解】△ABD中，AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，則EFBD，且
△BCD中，，則HGBD，且
則，則四邊形EFGH是梯形.故選B.
下面看四個平行的判斷是否正確.
平面,平面，則BD平面EFGH.判斷正確；
平面,平面，則EF平面BCD.判斷正確；
平面,平面，則HG平面ABD.判斷正確；
梯形EFGH中，，與的延長線會交于一點，則直線EH與平面ADC的位置關系為相交.
故選：B
【例5】在三棱錐A－BCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，則直線AC與平面DEF的位置關系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．直線AC在平面DEF內 D．不能確定
【答案】A
【詳解】因為AE︰EB＝CF︰FB，所以,因為,選A.
【例6】如圖，下列正三棱柱中，若、、分別為其所在棱的中點，則不能得出平面的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的性質對各選項中平面是否成立進行判斷.
【詳解】在A、B選項中，、分別為、的中點，則，
在正三棱柱中，，，平面，平面，則平面，A、B選項正確；
在C選項中，如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，同理可證，在正三棱柱中，，，同理可證，則四邊形為平行四邊形，則與平面相交，C選項錯誤；
在D選項中，在正三棱柱中，，且、分別為、的中點，，則四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，D選項正確.故選C.
【例7】下列四個正方體圖形中，，為正方體的兩個頂點，，，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
用面面平行的性質判斷①的正確性.利用線面相交來判斷②③的正確性，利用線線平行來判斷④的正確性.
【詳解】對于①，連接如圖所示，由于，根據面面平行的性質定理可知平面平面，所以平面.
對于②，連接交于，由于是的中點，不是的中點，所以在平面內與相交，所以直線與平面相交.
對于③，連接，則，而與相交，即與平面相交，所以與平面相交.
對于④，連接，則，由線面平行的判定定理可知平面.
綜上所述，能得出平面的圖形的序號是①④.
故選：C
【對點實戰】
1.下列說法正確的是
A．若直線l平行于平面α內的無數條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線a∥b，b α，則a∥α
D．若直線a∥b，b α，那么直線a平行于α內的無數條直線
【答案】D
【分析】結合線面平行的判定定理，逐個分析即可．
【詳解】選項A中，直線l α時也可以滿足條件，但l不平行于α，所以選項A錯誤；直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況，所以選項B錯誤；選項C中缺少直線a不在平面α內這一條件，不能證明a∥α；選項D正確．
2.在五棱臺ABCDE A1B1C1D1E1中，F，G分別是AA1和BB1上的點，且，則FG與平面ABCDE的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．FG 平面ABCDE D．無法判斷
【答案】A
【分析】由線面平行的判定定理得結論．
【詳解】五棱臺中，AB∥A1B1，∴四邊形AA1B1B是梯形， ∵，∴FG∥AB. 而FG平面ABCDE，AB 平面ABCDE.∴FG∥平面ABCDE.
故選：A.
3.如圖，在正方體中， 分別是 的中點，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】分析：記AC∩BD=O，則MN∥OD1，利用線面平行的判定可得MN∥平面BD1D．
詳解：A：和是異面直線，故選項不正確；
B：和是異面直線，故選項不正確；
C：記AC∩BD=O．∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別C1D1，BC是的中點，∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=CD，∴MNOD1為平行四邊形，∴MN∥OD1，∵MN 平面BD1D，OD1 平面BD1D，∴MN∥平面BD1D．
D：由C知，而面和面相交，故選項不正確；
故答案為C.
4.如圖，正方體中，E為的中點，則下列直線中與平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【答案】C
【分析】根據線面平行的判定定理即可得出答案.
【詳解】解：對于A，因為直線與平面AEC交于點，故不平行；
對于B，因為直線與平面AEC交于點，故不平行；
對于C，在正方體中，因為E為的中點，為的中點，所以，
又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；
對于D，因為平面AEC，故不平行.
故選：C.
5.如圖，在以下四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
根據圖形直接判斷A選項中直線與平面的位置關系；連接，可判斷出B選項中直線與平面的位置關系；連接，可判斷出C選項中直線與平面的位置關系；利用線面平行的判定定理可判斷出D選項中直線與平面的位置關系.
【詳解】對于A選項，由圖形可知，直線與平面相交；
對于B選項，如下圖所示，連接，
在正方體中，，所以，直線與平面相交；
對于C選項，如下圖所示，連接，
在正方體中，，所以，直線與平面相交；
對于D選項，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，
所以，，
平面，平面，平面.
故選：D.
6.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設的中點為M，的中點為N，下列結論正確的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】C
根據題意，得到正方體的直觀圖及其各點的標記字母，取FH的中點O,連接ON,BO，可以證明MN‖BO,利用BO與平面ABE的關系可以判定MN與平面ABE的關系，進而對選擇支A作出判定；根據MN與平面BCF的關系，利用面面平行的性質可以判定MN與平面ADE的關系，進而對選擇支B作出判定；利用線面平行的判定定理可以證明MN與平面BDE的平行關系，進而判定C；利用M,N在平面CDEF的兩側，可以判定MN與平面CDE的關系，進而對D作出判定.
【詳解】根據題意，得到正方體的直觀圖及其各點的標記字母如圖所示，取FH的中點O,連接ON,BO，
易知ON與BM平行且相等，四邊形ONMB為平行四邊形，MN‖BO,
∵BO與平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN與平面ABE相交，故A錯誤；
∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN與平面ADE相交，故B錯誤；
∵BO 平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN 平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正確；
顯然M,N在平面CDEF的兩側，所以MN與平面CDEF相交，故D錯誤.
故選：C.
7.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，點，，分別在線段，，上，，分別是，的中點，，則（ ）
A．直線與直線平行 B．直線與直線相交
C．直線與直線相交 D．直線與平面平行
【答案】D
【分析】在平面中找到一條與直線平行的直線，進而判斷直線與，，，平面的位置關系．
【詳解】如圖，連接，交于點，由四邊形是平行四邊形，得為，的中點，
因為，分別是，的中點，所以，
連接，交于點，可得，
取線段的中點，連接，則，
又，所以，連接，則，所以，
因此直線不與直線平行，與直線異面，與直線異面，與平面平行，故選：D．
五、直線與平面平行性質定理的應用
文字語言 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號語言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】若α、β是兩個相交平面，點A不在α內，也不在β內，則過點A且與α和β都平行的直線（ ）
A．只有1條 B．只有2條 C．只有4條 D．有無數條
【答案】A
【分析】由平面的基本性質和線面平行的判定定理給出存在性的證明；利用線面平行的性質定理，并結合判定定理證明唯一性．
【詳解】設,∵∴A l,則A、l確定一個平面γ，在γ內有且只有一條過A于l平行的直線，記作a，
由于，由線面平行的判定定理得a∥α，a∥β，由此證明了存在性；
假設過A平行α，β的直線還有一條，記為b，則a∩b=A.過b作平面M與α相交于m,過b作平面N與β相交于直線n,
(適當調整，可以使m,n都不與l重合)，由線面平行的性質定理可得b∥m,b∥n,
由平行公理得m∥n,∵m β，n β，∴m∥β，又∵m α，α∩β=l,由線面平行的性質定理得m∥l,
從而b∥l,又∵a∥l,∴a∥b,這與a∩b=A矛盾，由此證明了唯一性.故過點A且與α和β都平行的直線有且只有一條.故選：A.
【例2】如圖．四棱錐的底面為正方形，空間中存在點E，滿足，則點E可能位于（ ）
A．平面與平面的交線上 B．平面與平面的交線上
C．直線上 D．直線上
【答案】A
【分析】利用線面平行的判定定理與性質定理即可得到答案.
【詳解】設平面平面，
因為，所以平面，由線面平行的性質定理知，；
又，所以與重合，即點E位于平面與平面的交線上.故選：A．
【例3】一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面交線的位置關系是（ ）
A．異面 B．相交 C．不能確定 D．平行
【答案】D
【分析】由題意設，然后過直線作平面與都相交，利用線面平行的性質定理與判定定理，即可求解.
【詳解】設，過作平面與都相交，記，則有，,.
故選:D
【例4】如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：
①平面；
②平面；
③平面；
④直線交于一點.
其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】依題意可得且，且，即可得到平面，再判斷與為相交直線，即可判斷②③，由四邊形為梯形，所以與必相交，設交點為，即可得到，從而判斷④；
【詳解】解：因為，所以且，又分別為的中點，所以且，則，又平面，平面，所以平面，
因為為的中點，為的一個三等分點，所以與為相交直線，故與平面必不平行，也不平行平面，因為為梯形，所以與必相交，設交點為，
又平面，平面，則是平面與平面的一個交點，
所以，即直線交于一點，故選：B.
【例5】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
【答案】A
【分析】先證明EF//平面ABCD，再證明EF//GH，即得證.
【詳解】由長方體的性質知，,平面,平面,
所以EF//平面ABCD，∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF//GH.
又EF//AB，∴GH//AB.故選：A
【例6】．已知空間直線不在平面內，則“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】根據充分條件、必要條件及線面平行的的性質判斷即可.
【詳解】若，則直線任意一點到平面的距離都相等，所以直線上有兩個點到平面的距離相等，正確；
若直線上有兩個點到平面的距離相等，則兩點可能在平面異側，其中點在平面上即可，所以推不出，
綜上知，“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的充分不必要條件.
故選：A
【例7】若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（ ）
A．0條 B．1條
C．2條 D．4條
【答案】C
【分析】由平行四邊形的性質有兩對邊平行且相等，再應用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行的性質、判定即可知有幾條棱與平面α平行.
【詳解】如下圖示，若平面α即為面為平行四邊形，即且，且，
又面，面，則面，而面，面面，
∴，由線面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α.
∴該三棱錐與平面α平行的棱有、，共2條.
故選：C
【對點實戰】
1.已知α和β是兩個不同平面如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
【答案】A
【分析】先證明EF//平面ABCD，再證明EF//GH，即得證.
【詳解】由長方體的性質知，,平面,平面,
所以EF//平面ABCD，∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF//GH.
又EF//AB，∴GH//AB.故選：A
2.已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據直線和平面平行的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【詳解】點不在直線、上，
若直線、互相平行，則過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，
若過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：
若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立
則“過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，
故選：．
3.已知直線和平面，下列說法正確的是（ ）
A．如果，那么平行于經過的任意一個平面．
B．如果，那么平行于平面內的任意一條直線．
C．若，則 ．
D．若且，則．
【答案】D
【分析】A,D選項考查線面平行的判斷，A選項缺少條件，D選項正確；B選項是線面平行推線線平行，需要借助另外一個面；C選項中，平行于同一個面的兩條線沒有特定的位置關系
【詳解】選項A中，由推出平行于經過的任意一個平面，需要增加一個條件，即不在所在的面內，A選項沒有這一限制條件，所以A錯誤
選項B中，，，，則，所以不是平行于面內所有的線，只能平行于面面的交線，所以B錯誤
選項C中，兩條直線分別平行于面，這兩條直線的位置關系是任意的，不能推出平行，所以C錯誤
選項D為證明線面平行的判定定理，條件充分，正確
故選：D
4.如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據正方體的性質相應作出完整的截面，然后根據正方體的性質及線面平行的判定即可得解.
【詳解】對于A，由正方體的性質可得，可得直線平面ABC，能滿足；
對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質可得MNAD，可得直線MN平面ABC，能滿足；
對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質可得MNBD，可得直線MN平面ABC，能滿足；
對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內，不能得出平行，不能滿足.
故選：D.
六、線面平行有關的計算
【典型例題】
【例1】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，若點F在線段上，且滿足平面，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】結合線面平行的性質定理證得，結合三角形的重心求得.
【詳解】由于平面，平面，平面平面，
根據線面平行的性質定理可知.由于點D，E分別為棱的中點，點G為的交點，
所以是三角形的重心，所以.故選：C
【例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點E在BB1上，動點F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，則三棱錐O－AEF的體積（ ）
A．與x，y都有關
B．與x，y都無關
C．與x有關，與y無關
D．與y有關，與x無關
【答案】B
【分析】利用等體積法，結合棱錐的體積計算公式，即可容易判斷和選擇.
【詳解】因為（為點到平面的距離），
連接，因為//面面，故//面，
則點為定值；
因為//，故點到的距離為定值，又為定值，
故△AOF的面積是定值；
故為定值，與都無關.
故選：.
【例3】如圖，直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，，點、、、、分別是邊、、、、的中點，動點在四邊形內部運動，并且始終有平面，則動點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】分析：先根據線面平行判定定理以及性質定理確定軌跡，即為兩平面交線，再根據條件求結果.
詳解：因為AC,所以平面；取中點N,因為,所以平面，從而平面平面,即動點的軌跡為線段HF,因此長度為4，
選A.
【例4】如圖，幾何體是一個三棱臺，在、、、、、個頂點中取個點確定平面，平面，且，則所取的這個點可以是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】C
【分析】由題意可得出平面，由直線與平面平行的性質定理可知，當平面時，有，從而可得出正確選項.
【詳解】由于幾何體是三棱臺，則，又平面，平面，所以，平面，
當平面，平面平面時，由直線與平面平行的性質定理可知，選項C符合要求，故選C.
【例5】如圖，為平行四邊形所在平面外一點，為上一點，且，為上一點，當平面時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接交于點，運用線面平行的性質定理，可得，再由平行線分線段成比例定理，可得結論．
【詳解】連接交于點，連接．
平面，平面，平面平面，，，
故選：B．
【例6】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，Q為AD的中點，點M在線段PC上，，若平面MQB，則t等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
連接交于，連接，根據線面平行的性質得，即可得到，即可求解.
【詳解】連接交于，連接，如圖：
底面ABCD為菱形，Q為AD的中點，所以與相似，，
因為平面MQB，平面，平面與平面MQB交線為，根據線面平行的性質可知：，
在中，，，即.故選：A
【例7】在正方體中，M是的中點，過M在平面內作直線交于N，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接、，，連接，取的中點，連接，根據正方體的性質可得，再由線面平行的性質得到，從而得到，即可得解；
【詳解】解：連接、，，連接，取的中點，連接，
在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面平面，所以，所以，因為是的中點，所以為的中點，所以，即
故選：A
【例8】四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在線段PC上，，平面，則實數t的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，證明MN//PA，再借助比例式即可作答.
【詳解】四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，
因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，
而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，
連接MN，如圖，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以實數t的值為.故選：C
【對點實戰】
1.正方體的棱長為1，是的中點，點在上，則等于多少時，平面（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，過點作交于，再根據幾何關系即可得答案.
【詳解】解：如圖，連接，過點作交于，
因為是的中點，所以是的中點，由正方體的性質易得，所以，
因為平面，平面，所以平面，此時是的中點，故.
故選：B
2.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1＝（　?。?br/>A．2 B．
C． D．1
【答案】D
【分析】首先根據線面平行的性質定理，作輔助線，找到包含的平面與平面的交線，即可計算的值.
【詳解】連結，交于點，連結和，，因為平面，又平面，且平面平面，所以，又點是的中點，所以是的中點，所以
故選：D
3.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，交于點O，E為的中點，F在上，，∥平面，則的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】根據，得到，利用平面，得到，結合比例式的性質，得到，即可求解.
【詳解】解：設與交于點，連接，如圖所示，因為為的中點，則，
由四邊形是菱形，可得，則，所以，所以，
又因為平面，平面，平面平面，
所以，所以.故選：C.
4.如圖，已知圓錐的頂點為，是底面圓的直徑，點在底面圓上且，點為劣弧的中點，過直線作平面，使得直線平面，設平面與交于點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接交于點，連接，根據線面平行的性質定理知，再根據平行線分線段成比例定理得到，然后根據圓的性質得到，進而得，即可求出的值.
【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，則平面平面，又平面，所以，所以.因為是底面圓的直徑，，點為劣弧的中點，連接，所以，所以，易得，所以，則.
故選：B.
七、平面與平面平行的判定定理的應用
文字語言 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】設為兩個不同的平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一條直線
D．內的任何直線都與平行
【答案】D
【分析】根據面面平行、相交的知識確定正確選項.
【詳解】A選項，內有無數條直線與平行，與可能相交，A選項錯誤.
B選項，垂直于同一平面，與可能相交，B選項錯誤.
C選項，平行于同一條直線，與可能相交，C選項錯誤.
D選項，內的任何直線都與平行，則，D選項正確.
故選：D
【例2】設是直線，是平面，則能推出的條件是（ ）
A．存在一條直線，， B．存在一條直線，，
C．存在一個平面，， D．存在一個平面，，
【答案】C
【分析】利用可得到ABD的反例，利用面面平行性質知C正確.
【詳解】對于A，若，可滿足，，但無法得到，A錯誤；
對于B，若，可滿足，，但無法得到，B錯誤；
對于C，由面面平行的性質知：若，，則，C正確；
對于D，若，可滿足，，但無法得到，D錯誤.
故選：C.
【例3】下列命題正確的是（ ）
A．一個平面內兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
B．如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D．如果一個平面內的無數條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
【答案】B
【分析】根據面面平行的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】對于A選項，這兩個平面可能相交，故A選項錯誤.
對于B選項，如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，正確，故B選項正確.
對于C選項，這兩個平面可能相交，故C選項錯誤.
對于D選項，這兩個平面可能相交，故D選項錯誤.
故選：B
【例4】六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有（ ）
A．1對 B．2對
C．3對 D．4對
【答案】D
【分析】根據六棱柱的性質確定正確選項.
【詳解】由于六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，
所以上下底面平行，側面有對相互平行的面，
故有對.故選：D
【例5】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】D
【分析】根據題意，結合圖形，分別判斷選項中的命題是否正確即可．
【詳解】易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項A錯誤；
易知EF∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；
因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；
對于，平面平面，理由是：
由，，，分別是棱，，，的中點，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故選：．
【例6】如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
延拓過點三點的平面，再根據平面與平面的判定定理，即可容易判斷選擇.
【詳解】由題意可知經過P、Q、R三點的平面即為平面，如下圖所示：
對選項：可知N在經過P、Q、R三點的平面上，所以B、C錯誤；
對：MC1與是相交直線，所以A不正確；
對：因為//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面故選：.
【對點實戰】
1.設為兩個平面，則下列條件可以推出的是（ ）
A．平行于同一條直線 B．內有無數條直線與平行
C．內有兩條相交直線與平行 D．內有三個不共線的點到的距離相等
【答案】C
【分析】根據面面平行的判定定理馬上知道選項C正確，其余選項可借助反例排除.
【詳解】利用正方體模型（其中用一個平行上下底面的截面平分正方體體積）構建反例，如圖，直線和正方體的左側面和下底面平行，顯然左側面和下底面不平行（這里直線是上底面和右側面的交線），故A不對；不難找到無數條左側面里的線，讓其平行下底面，故B不對；很容易在左側面上棱找到兩個點，下棱找到一個點，這三個點到截面的距離相等，但截面和左側面不平行，故D不對；C選項根據面面平行判定定理可知其正確.
故選：C.
2.已知是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面與平面平行的是（ ）
A．內有無窮多條直線與平行
B．直線////
C．直線滿足//////
D．異面直線滿足，且////
【答案】D采用逐一驗證法，根據面面平行的判定定理，可得結果.
【詳解】A錯內有無窮多條直線與平行，平面與平面可能平行，也可能相交，
B錯若直線////，則平面與平面可能平行，也可能相交，
C錯若//////，則平面與平面可能平行，也可能相交，
D正確當異面直線滿足，且////時，可在上取一點，過點在內作直線//，
由線面平行的判定定理，得//，異面，所以 相交，再由面面平行的判定定理，得//，
故選：D.
3.在正方體中，下列四對截面彼此平行的是（ ）
A．平面與平面 B．平面與平面
C．平面與平面 D．平面與平面
【答案】A
【分析】根據正方體的平行關系，可證平面與平面平行，可得出結論.
【詳解】如圖，正方體，
所以四邊形是平行四邊形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因為平面，
所以平面平面.
故選：A
4.下列命題：①一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，必與另外一個平面相交；②如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面；③夾在兩個平行平面間的平行線段相等，其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【分析】根據面面平行的性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】根據面面平行的性質，可得：
對于①中，一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另外一個平面相交，所以是正確的；
對于②中，如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面，所以是正確的；
對于③，若兩平面平行，則夾在兩個平行平面間的平行線段是相等的，所以是正確的.
故選：C.
5.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，，則“與為異面直線”是“”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用異面直線與平行平面之間的關系即可判斷出結論.
【詳解】由，，，則“與為異面直線” ，或與相交；
反之不成立，可能．
所以 “與為異面直線”是“”的既不充分不必要條件．
故選：D.
八、平面與平面平行的性質定理的應用
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】若平面平面，，則與的位置關系是（ ）
A．與相交 B．與平行
C．在內 D．無法判定
【答案】B
【分析】利用面面平行的性質定理即可得解.
【詳解】，，利用線面平行的性質定理可得.
故選：B
【例2】已知直線，兩個不重合的平面.若//，，則下列四個結論中正確的是（ ）
①與內的所有直線平行； ②與內的無數條直線平行；
③與內任何一條直線都不垂直； ④與沒有公共點.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】B
根據面面平行的性質以及定義，可得結果.
【詳解】由面面平行的性質知①錯誤；
由面面平行的性質知②正確；
與內的直線可能異面垂直，故③錯；
由面面平行的定義知④正確.
故選：B
【例3】在三棱臺中，點在上，且，點是三角形內（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（ ）
A．三角形邊界的一部分 B．一個點
C．線段的一部分 D．圓的一部分
【答案】C
【分析】過作交于，連接，證明平面平面，得，即得結論．
【詳解】如圖，過作交于，連接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不與重合，否則沒有平面），
故選：C．
【例4】下列說法正確的個數是（ ）
①兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線段平行；
②如果一條直線和兩個平行平面中的一個平行，那么它和另一個平面也平行；
③平行直線被三個平行平面截得的線段對應成比例.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】夾在兩平行平面間的線段相等，位置不能確定，可判定①；直線與平面平行，該直線必須在平面外，可判定②；根據面面平行的性質定理，可判定③.
【詳解】①錯誤，這兩條相等的線段可能平行相交或異面；
②錯誤，直線可能在另一個平面內；
③正確.，設分別與交于，因為確定平面，且平面分別與平行平面交于，所以，四邊形為平行四邊形，，所以③正確..故選：A.
【對點實戰】
1.設，表示不同的直線，，表示不同的平面，且，．則“”是“且”的（ ）
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據條件判斷命題“若，則且”的真假，命題“若且，則”的真假即可判斷作答.
【詳解】依題意，因，，，由平面與平面平行的性質可得且，即命題：“若，則且”是真命題，
當，，且時，若直線，相交，必有，若，平面與可能相交，即命題“若且，則”是假命題，
綜上得“”是“且”的充分但不必要條件.
故選：A
2.若平面α∥平面β，直線a α，點M∈β，則過點M的所有直線中（ ）
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線
D．有且只有一條與a平行的直線
【答案】D
【分析】根據面面平行的性質定理得一條平行線，再用反證法說明只有一條．
【詳解】顯然，過點和直線確定平面為，設，又，
由于α∥β，所以，
假設平面內過還有一個直線與平行，即，則，但有公共點，矛盾，因此過M有且只有一條直線與a平行，
故選：D．
3.已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點M做平面的平行截面，再求四邊形面積即可.
【詳解】
如圖所示 E、F、G、M分別是、、、的中點，
則，，所以平面，平面，且，
所以平面 平面，故點P的軌跡為矩形.
，所以，所以.故選：A
九、面面平行的計算
線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉化，要注意轉化思想的靈活運用
【典型例題】
【例1】如圖所示，正方體，E在上，F在上，且，過E作交BD于H，則平面EFH與平面的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根據面面平行的判定定理：由線線平行推出面面平行.
【詳解】在平面中，因為，所以，
由正方體，，所以，
又因為，平面，平面，
平面，平面，，，
所以平面EFH//平面。故選: A.
【例2】如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點，點P在平面內，若直線平面，則與滿足題意的P構成的平面截正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據線面平行的判定定理、面面平行的判定定理進行求解即可.
【詳解】如圖，連接，
因為E，F，G分別為的中點，
所以平面，則平面，
因為，所以同理得平面，
又，得平面平面，
所以點P在直線上，則與滿足題意的P構成的平面截正方體的截面為，
在中，有，所以．
故選：D
【例3】已知正方體的棱長為2，點在棱上，過點作該正方體的截面，當截面平行于平面且面積為時，線段的長為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】過點作，的平行線，分別交棱，于點，，連接，，即可得到為截面，且為等邊三角形，再根據截面面積求出的長度，即可求出；
【詳解】解：如圖，過點作，的平行線，分別交棱，于點，，連接，，因為，所以，面，面，所以面
因為，所以，面，面，所以面
又，面，所以面 面，則為截面，
易知是等邊三角形，則，解得，∴.
故選：A.
【例4】在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是（ ）
A．平面 B．直線
C．線段，但只含1個端點 D．圓
【答案】C
利用面面平行的判定定理構造平面平面，由此確定點的軌跡.
【詳解】過D作DN∥A1C1，交B1C1于N，連結BN，由于平面,平面，所以平面.∵在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，且平面,平面，
∴平面.∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，
∵點M是內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，
∴M的軌跡是線段DN，且M與D不重合，∴動點M的軌跡是線段，但只含1個端點.故選：C
【例5】棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，且，是邊的中點，動點在四棱錐表面上運動，并且總保持平面，則動點的軌跡周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過E作平面平面，可得動點的軌跡周長即為的周長，求出即可.
【詳解】取中點，中點，連接，
因為是中點，，平面，平面，平面，
因為是中點，，平面，平面，平面，
，平面平面，所以平面中任意直線平行于平面，則平面，
又在四棱錐表面上運動，所以動點的軌跡周長即為的周長，
因為四邊形是邊長為的菱形且，所以，則，
又，所以，,則所以的周長為.
故選：A.
十、平行關系求最值與范圍
【典型例題】
【例1】如圖所示，在正方體中，點是平面內一點，且，則的最大值為．
A． B． C．2 D．
【答案】D
【詳解】
正方體中，連接，，交于點，則點滿足條件；
證明如下，連接，交于點，連接，，則，且，
∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，且平面，
∴平面，同理，平面，∴當在直線上時，都滿足，
∴是最大值．故選項是正確的．
【例2】如圖，在三角形中，上有一點滿足，將沿折起使得，若平面分別交邊，，，于點，，，，且平面，平面則當四邊形對角線的平方和取最小值時，（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易得，，設，易得，，得，從而得到，，平行四邊形中，，從而得到最小時的值，得到答案.
【詳解】平面，平面，平面平面，所以，同理
設，平面，平面，平面平面，
所以，同理所以，因為，
所以，，在平行四邊形中，，
又，當時，取得最小值.故選：B.
【例3】圖，在長方體中，，，，點M是棱的中點，點N在棱上，且滿足，P是側面四邊形內一動點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
取中點，在上取點，使，連結、、，則平面平面，由此推導出線段，當與的中點重合時，線段長度取最小值，當與點或點重合時，線段長度取最大值或，由此能求出線段長度的取值范圍．
【詳解】取中點，在上取點，使，連結、、，
則平面平面，是側面四邊形內一動點（含邊界），平面，
線段，當與的中點重合時，線段長度取最小值，
當與點或點重合時，線段長度取最大值或，在長方體中，，，，
點是棱的中點，點在棱上，且滿足，，，
．線段長度的取值范圍是，．
故選：D．
【例4】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【答案】A
分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，可證平面AMN∥平面BDEF，得P點在線段MN上．由此可判斷當P在MN的中點時，AP最小；當P與M或N重合時，AP最大．然后求解直角三角形得答案．
【詳解】如圖所示，分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，連接B1D1，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN 平面BDEF，EF 平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB為平行四邊形，則AN∥FB，而AN 平面BDEF，FB 平面BDEF，則AN∥平面BDEF．
又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1內一點，且AP∥平面BDEF，∴P點在線段MN上．在Rt△AA1M中，AM，同理，在Rt△AA1N中，求得AN，則△AMN為等腰三角形．當P在MN的中點時，AP最小為，當P與M或N重合時，AP最大為．
∴線段AP長度的取值范圍是．故選：A．
【例5】點分別是棱長為2的正方體中棱的中點，動點在正方形 (包括邊界)內運動.若面，則的長度范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，分別取的中點，連接，則可證得平面‖平面，從而可得點在上，從而可求出的長度范圍
【詳解】解：如圖，分別取的中點，連接，，則‖，因為是的中點，所以‖，所以‖，因為平面，平面，所以‖平面，
因為是的中點，是的中點，所以‖，，因為‖，，
所以‖，，所以四邊形為平行四邊形，所以‖，，因為平面，平面，
所以‖平面，因為，所以平面‖平面，因為平面平面，
所以點在上運動，使面，因為的棱長為2，
所以所以當點與或重合時，最長，當點在的中點時，最短，
的最小值為，所以的長度范圍是，
故選：B
【例6】在棱長為2的正方體中，為的中點.當點在平面內運動時，有平面，則線段的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】CD中點P，中點Q，連接PQ、PN、QN，根據面面平行的判定定理，可證平面平面，即M在平面內，根據題意，可得點M在線段PQ上，在中，分別求得各個邊長，根據余弦定理，求得，根據三角函數的定義，即可求得答案.
【詳解】取CD中點P，中點Q，連接PQ、PN、QN，如圖所示：
因為P、N分別為CD、BC中點，所以，
同理，P、Q分別為CD、中點，所以，又，平面PQN，，平面，所以平面平面，因為平面，
所以平面，又點在平面內運動，所以點M在平面和平面的交線上，即，
在中，，，，
所以，所以，
所以N點到PQ的最小距離.所以線段的最小值為.故選：B
【對點實戰】
1.如圖所示，在正方形中，分別為的中點，點是底面內一點，且平面,則的最大值是
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得，點位于過點且與平面平行的平面上，
如圖所示，取的中點，連結，
由正方形的性質可知：，由為平行四邊形可知，
由面面平行的判定定理可得：平面平面，
據此可得，點位于直線上，
如圖所示，由平面可得，
則，當有最大值時，取得最小值，
即點是的中點時滿足題意，結合正方體的性質可得此時的值是.
本題選擇D選項.
2.如圖，正方體的棱長為，是棱的中點，是側面內一點，若平面，且長度的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，交于點，交于點，計算得出，計算出、，根據已知條件可求得、的值，進而可求得的值.
【詳解】如圖，過點作，交于點，交于點，則底面.
連接、，平面，平面，，
所以，.
，平面，平面，平面，
平面，平面，，平面平面，
又平面，平面，
平面平面，平面，.
為中點，為中點，則為中點.
在線段上，，則，
，得，
則，所以，.
故選：B.
3.已知正四面體的棱長為，平面與棱、均平行，則截此正四面體所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中點，連接、，證明出，設平面分別交、、、于、、、，連接、、、，證明出四邊形為矩形，設，可得出，利用基本不等式可求得截面面積的最大值.
【詳解】取的中點，連接、，
因為為等邊三角形，為的中點，所以，，同理可得，
，平面，平面，.
設平面分別交、、、于、、、，連接、、、，
平面，平面，平面平面，，
同理可證，，同理可證，所以，四邊形為平行四邊形，
，，則平行四邊形為矩形，設，則，
因為，則，，同理可得，
所以，矩形的面積為，
當且僅當時，等號成立，因此，截面面積的最大值為.故選：A.
4.如圖，在棱長為1的正方體中，P為正方形內（包括邊界）的一動點，E，F分別為棱的中點，若直線與平面無公共點，則線段的長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】取的中點為，可證得平面平面，P在正方形內（包括邊界）的軌跡為線段，由，可得為的中點時最小，從而得解.
【詳解】如圖所示，取的中點為，連接,
因為E，F分別為棱的中點，所以，
所以四點共面，直線與平面無公共點，所以平面，
因為為的中點，所以,平面，所以平面，
正方體中，，平面，所以平面，又，所以平面平面，
P在正方形內（包括邊界）的軌跡為線段，因為，所以當為的中點時最小.
此時，，所以.故選：B.
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】在三棱柱中，點E、F、H、K分別為、、、的中點，G為的重心，有一動點P在三棱柱的面上移動，使得該棱柱恰有5條棱與平面平行，則以下各點中，在點P的軌跡上的點是（ ）
A．H B．K C．G D．
【答案】B
【分析】先根據題意畫出圖形，然后根據線面平行的知識依次對四個選項進行分析即可得解.
【詳解】如圖：
若P與H重合，則上下底面均與平面平行，則該棱柱恰有6條棱與平面平行，不符合題意；
若P與K重合，則側棱、、與平面平行，且、與平面
平行，則該棱柱恰有5條棱與平面平行，符合題意；
若P與G重合，則該棱柱僅有棱、與平面平行，不符合題意；
若P與重合，則該棱柱僅有棱、與平面平行，不符合題意，
綜上，在點P的軌跡上的點是K.故選：B.
【例2】如圖，已知四面體ABCD的各條棱長均等于4，E，F分別是棱AD、BC的中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（　　）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
將正四面體補成正方體，由此可得截面為平行四邊形，且，且，利用基本不等式即可求出結論．
【詳解】解：將正四面體補成正方體如圖，
可得平面，且正方形邊長為，
由于，故截面為平行四邊形，且，又，，且，
∴，∴，當且僅當時取等號，故選：B．

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