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不等式相關解題技巧
（基本不等式鏈、權方和不等式、兩類糖水不等式）
技法01 基本不等式鏈的應用及解題技巧
例1．（2022·全國·統考高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
由基本不等式鏈: , 可得（R），
對于AB
由可變形為，，
解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
對于C
【法一】由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確
【法二】由 ,得 ,
又因為 ,所以 ,即 .
【法三】 ,
又因為 ,所以 .
【答案】：BC．
1．（2023·湖北·模擬預測）（多選）若，，，則下列不等式中對一切滿足條件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式及其變形公式和“1”的靈活運用即可求解.
【詳解】解：對A選項：，，，
，即（當且僅當時等號成立），故A選項正確；
對B選項：，而成立，
成立，故B選項正確；
對C選項：，
（當且僅當時等號成立），故C選項正確；
對D選項：，（當且僅當時等號成立），
，故D選項錯誤.
故選：ABC.
2．（2023·廣東汕頭·金山中學校考三模）（多選）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】對于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；對于C，利用，求出，結合的范圍，利用二次函數的性質即可求得.
【詳解】對于A，，即，當且僅當時等號成立，所以A正確；
對于B， ，，
又，則，當且僅當時等號成立，所以B錯誤；
對于C，，，所以，
則，并且時等號成立.，所以C正確；
對于D，，所以，
則，
當且僅當，即時等號成立， 所以D正確.
故選：ACD.
3．（2023·江蘇模擬）（多選）已知實數x，y滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根據基本不等式可判斷ABC；將題設配方可得，結合進行求解即可判斷D.
【詳解】對于A，由
當且僅當時等號成立，即，故A錯誤；
對于B，由，得，
即，
當且僅當時等號成立，即，故B正確；
對于C，由，得，
當且僅當時等號成立，即，故C正確；
對于D，由，得，
即，即，故D正確.
故選：BCD.
技法02 權方和不等式的應用及解題技巧
例2．（2023·浙江模擬）已知，且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．9 D．
因為，所以
由權方和不等式 可得
當且僅當，即時，等號成立．
【答案】C
1．（2023·四川·校聯考一模）已知正數x，y滿足，則的最小值是 .
【答案】
【分析】將轉化為，然后利用基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，即，
因為正實數，所以，，
所以，
當且僅當等號成立.
故答案為：.
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）設且，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】結合已知條件并由乘“1”法將變形為，再由基本不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，，
所以，
因為，
所以由基本不等式得，
當且僅當即時，等號成立，
綜上所述：的最小值是.
故答案為：.
3．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）已知正數x，y滿足，若恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】首先對關系式進行恒等變換, 進一步整理得 , 最后利用基本不等式的應用求出結果.
【詳解】已知正數 滿足 ,
所以 ,所以:
則:
，當且僅當時，取等號；
要使 恒成立, 只需滿足 即可,
故 .
故答案為: .
技法03 普通型糖水不等式的應用及解題技巧
例3-1．（2023·湖南長沙·長郡中學校考二模）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【法一】由糖水不等式的倒數形式， , 則有:
【法二】，故B正確；
因為，所以有，故A錯誤；
，故C正確；
，故D正確．
【答案】BCD
例3-2．（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a【法一】
,
又 ，
用排除法, 選 A 。
【法二】 ，
若,
但 ,
綜上所述，.
【法三】
由題意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
綜上所述，.
【答案】A
1．（2022·江蘇階段練習）生活經驗告訴我們，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設全部溶于水），糖水會更甜，于是得出一個不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（ ）
A．若，，則與大小關系不隨m的變化而變化
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】ACD
【分析】根據“糖水不等式”，即可判斷A；作差比較即可判斷B；若，則，再根據“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質即可判斷D.
【詳解】解：對于A，根據“糖水不等式”，若，則，故A正確；
對于B，，因為，，
所以，故，即，故B錯誤；
對于C，若，則，
根據“糖水不等式”， ，即，故C正確；
對于D，若，則，
所以，
所以，即，故D正確.
故選：ACD
若等比數列前 項和為 , 比較 與 的大小
【答案】
【解析】
;
故 。
證明: 中,
【解析】在 中, 根據正弦定理可知:
同理可得: ,
技法04 對數型糖水不等式的應用及解題技巧
例4．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】對數型糖水不等式
因為 , 所以 . 在上述推論中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 選 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知條件 , 可得 . 同公式 (2) 的證明過程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
綜上, , 選 A.
比較 的大小？
【解析】根據對數型糖水不等式得
2. 比較大小: 與 ？
【答案】
【法一】 。
【法二】 。
【法三】對數型糖水不等式直接可得
3．（2022·安徽黃山·統考一模）下列不等式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A選項，用分析法證明，分析出即證，兩邊平方后得到，即證，A正確；
B選項，兩邊取對數后，構造，，求導得到其單調性，得證；
C選項，結合正弦二倍角公式，即證，構造，，求導后得到其單調性，從而得到，C錯誤；
D選項，兩邊取對數后即證，構造，，求導后得到其單調性，從而證明出，D正確.
【詳解】要證，即證，兩邊平方得：
，即證，即證，顯然成立，故，A正確；
要證，兩邊取對數得：，即證，
構造，，
在上恒成立，
故在上單調遞減，
所以，即，所以，B正確；
因為，
其中，要證，即證，即，
構造，，
在上恒成立，
所以在上單調遞增
故，即，C錯誤；
D選項，兩邊取對數得：，
構造，，
，
令，
則在上恒成立，故在上單調遞增，
故，即，
所以在上恒成立，
所以在上單調遞增，
故，結論得證，D正確.
故選：C
【點睛】構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小，本題中BCD三個選項比較大小，都需要變形后，構造出適當函數進行比較大小.不等式相關解題技巧
（基本不等式鏈、權方和不等式、兩類糖水不等式）
技法01 基本不等式鏈的應用及解題技巧
例1．（2022·全國·統考高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
由基本不等式鏈: , 可得（R），
對于AB
由可變形為，，
解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
對于C
【法一】由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確
【法二】由 ,得 ,
又因為 ,所以 ,即 .
【法三】 ,
又因為 ,所以 .
【答案】：BC．
1．（2023·湖北·模擬預測）（多選）若，，，則下列不等式中對一切滿足條件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東汕頭·金山中學校考三模）（多選）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江蘇模擬）（多選）已知實數x，y滿足，則（ ）
A． B． C． D．
技法02 權方和不等式的應用及解題技巧
例2．（2023·浙江模擬）已知，且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．9 D．
因為，所以
由權方和不等式 可得
當且僅當，即時，等號成立．
【答案】C
1．（2023·四川·校聯考一模）已知正數x，y滿足，則的最小值是 .
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）設且，則的最小值是 ．
3．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）已知正數x，y滿足，若恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
技法03 普通型糖水不等式的應用及解題技巧
例3-1．（2023·湖南長沙·長郡中學校考二模）已知實數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【法一】由糖水不等式的倒數形式， , 則有:
【法二】，故B正確；
因為，所以有，故A錯誤；
，故C正確；
，故D正確．
【答案】BCD
例3-2．（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a【法一】
,
又 ，
用排除法, 選 A .
【法二】 ，
若,
但 ,
綜上所述，.
【法三】
由題意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
綜上所述，.
【答案】A
1．（2022·江蘇階段練習）生活經驗告訴我們，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設全部溶于水），糖水會更甜，于是得出一個不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（ ）
A．若，，則與大小關系不隨m的變化而變化
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
2. 若等比數列前 項和為 , 比較 與 的大小.
3. 證明: 中,
技法04 對數型糖水不等式的應用及解題技巧
例4．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】對數型糖水不等式
因為 , 所以 . 在上述推論中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 選 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知條件 , 可得 . 同公式 (2) 的證明過程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
綜上, , 選 A.
1. 比較 的大小？
2. 比較大小: 與 ？
3．（2022·安徽黃山·統考一模）下列不等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．

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