資源簡介

專題五　統計與概率
第一講　統計與統計案例、概率
微專題1　統計問題
保分題
1．解析：由已知可得這家餐館的好評率為
＝89%.故選C.
答案：C
2．解析：由題意知這些商品的價格如果按人民幣計算，價格是按美元計算的價格的7倍，
故按人民幣計，則平均數和方差分別為7×20＝140，72×50＝2 450.故選D.
答案：D
3．解析：由題意得92，93，95，95，97，98的平均值為＝95，A正確；
極差為98－92＝6，B正確；
方差為[(92－95)2＋(93－95)2＋(95－95)2＋(95－95)2＋(97－95)2＋(98－95)2]＝，C錯誤；
由于80%×6＝4.8，故第80百分位數為第5個數，即97，D正確．故選ABD.
答案：ABD
4．解析：設質量指標在區間[50，60)內的零件應抽取x個，則
＝，解得x＝60.故選C.
答案：C
提分題
[例1]　 (1) 解析：由頻率分布直方圖可知眾數為＝2.5，即x1＝2.5，
平均數x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，
顯然第一四分位數位于[2，3)之間，則0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，
所以x3(2) 解析：由兩個統計圖表可得參加演講的人數為50，占選取的學生的總數的10%，
所以選取的總人數為50÷10%＝500人，故選項A正確；
合唱社團的人數為200人，則合唱社團的人數占樣本總量的＝＝40%，故選B正確；
則選取的學生中參加機器人社團的人數占樣本總量的1－40%－20%－10%－15%＝15%，
所以選取的學生中參加機器人社團的學生數為500×15%＝75人，故選項C不正確；
選取的學生中參加合唱社團的人數為200，參加機器人社團人數為75人，
所以選取的學生中參加合唱社團的人數比參加機器人社團人數多125，選項D正確．故選ABD.
答案：A　
答案：ABD
[鞏固訓練1]　 (1) 解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數不相同，錯誤；
B：若第一組中位數為xi，則第二組的中位數為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯誤；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確；
D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.
(2) 解析：根據頻率和等于1得10a＝1－10×(0.005＋0.030＋0.035＋0.010)＝0.20，
解得a＝0.020，故A正確；
成績在區間[80，100]內的學生人數約為200×10×(0.035＋0.010)＝90，故B錯誤；
學生體能測試成績的平均數約為(55×0.005＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.035＋95×0.010)×10＝77.5，故C正確；
0．005×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.55<0.69，
0．005×10＋0.020×10＋0.030×10＋0.035×10＝0.9>0.69，
所以這組數據第69%分位數的估計值落在區間[80，90)內，
80＋×10＝84，故學生體能測試成績的69%分位數為84，故D正確．故選ACD.
答案：CD　
答案：ACD
微專題2　統計案例問題
保分題
1．解析：線性相關系數|r|越大，兩個變量的線性相關性越強，故A錯誤，B正確；
殘差平方和S2越小，則決定系數R2越大，從而兩個變量擬合的效果越好，
殘差平方和S2越大，則決定系數R2越小，從而兩個變量擬合的效果越差，故C、D錯誤．故選B.
答案：B
2．解析：＝＝4，
＝＝1.2m＋3.4，
又經驗回歸方程為y＝1.6x＋0.6，
所以1.2m＋3.4＝1.6×4＋0.6，解得m＝3.故選B.
答案：B
3．解析：由題意可知，χ2＝≈5.879>5.024，
所以在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下可以認為“學生對2022 年冬奧會的關注與性別有關”．故選C.
答案：C
提分題
[例2]　 (1) 解析：根據一元線性回歸模型中對隨機誤差e的假定，殘差應是均值為0、方差為σ2的隨機變量的觀測值．A圖表示殘差與觀測時間有線性關系，故A錯；
B圖表示殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，故B正確；
C圖表示殘差與觀測時間有非線性關系，故C錯；
D圖表示殘差的方差不是一個常數，隨著觀測時間變大而變大，故D錯．故選B.
(2)設男生人數為3x，則女生人數為x，且x∈N*，
可得列聯表如下：
男生 女生 合計
喜歡滑冰 2x
不喜歡滑冰 x
合計 3x x 4x
所以χ2＝＝，
因為有95%的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，
所以∈(3.841，5.024]，解得11.20所以33.60<3x≤43.95，結合選項只有36∈(33.60，43.95].故選C.
答案：B　
答案：C
[鞏固訓練2]　 (1) 解析：由題意，先分析物理課是否與性別有關：
根據表格數據，n＝800，a＝340，b＝110，c＝140，d＝210
∴χ2＝≈103.7，
結合題干表格數據，x0.005＝7.879，∴χ2>x0.005，
因此，有充分證據推斷選擇物理學科與性別有關．
再分析生物課是否與性別有關：
根據表格數據，n＝800，a＝150，b＝300，c＝150，d＝200，
∴χ2＝≈7.619，
結合題干表格數據，x0.005＝7.879，∴χ2因此，沒有充分證據推斷選擇生物學科與性別有關．故選C.
(2) 解析：由題意可得，＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(0.5＋0.8＋1＋1.2＋1.5)＝1，
則y與x的樣本相關系數
故A錯誤；
由y關于x的經驗回歸方程為＝0.28x＋恒過樣本中心點(3，1)，則有1＝0.28×3＋，解得＝0.16，故B正確，C正確；
由經驗回歸方程可預測6月份的碳酸鋰價格約為0.28×6＋0.16＝1.84，故D正確．故選BCD.
答案：C　
答案：BCD
微專題3 概率問題
保分題
1．解析：方法一　從2，3，4，5，6，7，8中隨機取2個不同的數有＝21(種)結果，其中這2個數互質的結果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為＝.故選D.
方法二　從2，3，4，5，6，7，8中隨機取2個不同的數有＝21(種)結果，其中這2個數不互質的結果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，所以所求概率為＝.故選D.
答案：D
2．解析：由題意得：×0.1＋×p＝0.525，
解得p＝0.95.故選D.
答案：D
3．解析：設事件A表示從第一箱中取一個零件，事件B表示取出的零件是次品，
則P(A|B)＝＝＝.故選D.
答案：D
4．解析：由小麥株高服從正態分布N(78，σ2)，得μ＝78，
所以P(X>80)＝＝0.10，
所以這2株小麥株高都超過80 cm的概率為0.12＝0.01.
答案：0.01
提分題
[例3]　 (1) 解析：報名兩個俱樂部的人數為50＋60－70＝40，
記“某人報足球俱樂部”為事件A，記“某人報乒乓球俱樂部”為事件B，
則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B∣A)＝＝＝0.8.故選A.
(2) 解析：兩個球都是紅球的概率為＝，故A正確；
兩個球中恰有1個紅球的概率為×(1－)＋(1－)×＝，故B正確；
兩個球不都是紅球的對立事件為兩個球都是紅球，
所以概率為1－＝，故C錯誤；
至少有1個紅球包含兩個球都是紅球、兩個球中恰有1個紅球，所以概率為＝，故D正確．故選C.
答案：A　
答案：C
[鞏固訓練3]　 (1) 解析：設A1表示該汽車是貨車，A2表示該汽車是客車，則P(A1)＝，P(A2)＝，
設B1表示貨車中途停車修理，B2表示客車中途停車修理，則P(B1)＝0.02，P(B2)＝0.01，
B表示一輛汽車中途停車修理，則P(B)＝P(A1B1)＋P(A2B2)，
今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為：
P(A1|B)＝＝＝＝0.8.故選A.
(2) 解析：考慮甲、乙在同一組，只需將其他四人分為兩組即可，分組方法種數為＝3，
將六人平均分為三組，每組兩人，則不同的分組方法種數為＝15，
因此，甲、乙不同組的概率為P＝1－＝.故選D.
答案：A　
答案：D
第二講　統計、統計案例與概率
微專題1　概率的綜合
保分題
(1) 解析：設三個項目比賽中甲學校獲勝分別為事件A，B，C，易知事件A，B，C相互獨立．甲學校獲得冠軍，對應事件A，B，C同時發生，或事件A，B，C中有兩個發生，故甲學校獲得冠軍的概率為
P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)
＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04
＝0.6.
(2) 解析：由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.
易知乙學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列為
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
提分題
[例1]　 (1) 解析：由題意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以隨機變量ξ的分布列如下表所示：
ξ 0 1 2 3
P
所以，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2) 解析：設B＝“任取一人新藥對其有效”，Ai＝“患者來自第i組”(i＝1，2，3，分別對應甲，乙，丙)，
則Ω＝A1且A1，A2，A3兩兩互斥，根據題意得：
P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.32，P(A3)＝0.28，
P(B|A1)＝0.64，P(B|A2)＝0.75，P(B|A3)＝0.8，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.4×0.64＋0.32×0.75＋0.28×0.8＝0.72，
任意選取一人，發現新藥對其有效，計算他來自于乙組的概率P(A2|B)＝＝＝＝，
所以，任意選取一人，發現新藥對其有效，則他來自乙組的概率為.
[鞏固訓練1]　解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.
P＝1－0.8＝0.2；
P＝0.8＝0.32；
P＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列為
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)v解析：由(1)知，E＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.
P＝1－0.6＝0.4；
P＝0.6＝0.12；
P＝0.8×0.6＝0.48.
所以E＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因為54.4<57.6，所以小明應選擇先回答B類問題．
微專題2　概率與頻率分布直方圖的綜合
保分題
(1) 解析：由頻率分布直方圖中數據知：平均成績
＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.
設中位數為x，則0.002×10＋0.016×10＋0.022×10＋0.030×(x－70)＝0.5，
解得x＝73.
(2) 解析：因為成績在[80，90)，[90，100]的學生人數所占比例為0.020∶0.010＝2∶1，
所以從成績在[80，90)，[90，100]的學生中應分別抽取4人，2人，
記抽取成績在[80，90)的4人為：a，b，c，d，抽取成績在[90，100]的2人為：E，F，
從這6人中隨機抽取2人的所有可能為：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F)，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F)，(c，d)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)，(E，F)，共15種，
抽取的2名志愿者中至少有一人的成績在[90，100]的是(a，E)，(a，F)，(b，E)，(b，F)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)，(E，F)，只有9種，
故這2名志愿者中至少有一人的成績在[90，100]的概率P＝＝.
提分題
[例2]　 (1) 解析：平均數＝(65×0.01＋75×0.03＋85×0.04＋95×0.02)×10＝82，
所以該校學生測試成績的平均數為82.
(2) 解析：由題意可知，從6道題中選4題共有
＝9；
所以甲能進復賽的概率為＝，則甲不能進復賽的概率為1－＝，
因為乙能答對6道題中的3道題，故乙能進復賽的情況共有＝3；
所以乙能進復賽的概率為＝，則乙不能進復賽的概率為1－＝；
依題可得，ξ的可能取值為0，1，2，
所以P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
則分布列為：
ξ 0 1 2
P
則E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
[鞏固訓練2]　解析：(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數為：
(11×0.02＋13×0.06＋15×0.18＋17×0.14＋19×0.06＋21×0.03＋23×0.01)×2＝16.16.
(2) 解析：由題意知X～N(16.16，5.79)，μ＝16.16，σ2＝5.79，σ＝≈2.41，
則μ－2σ＝11.34，μ＋2σ＝20.98，
故該校女生短跑成績在(11.34，20.98]內的概率P＝P(μ－2σ由題意可得Y～B(10，0.954 5)，
所以P(Y＝9)＝×0.954 59×(1－0.954 5)≈10×0.657 6×0.045 5＝0.299 208，
P(Y＝10)＝×0.954 510≈0.627 7，
所以P(Y≤8)＝1－P(Y＝9)－P(Y＝10)≈0.073.
微專題3　概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合
保分題
(1) 解析：根據抽查數據，該市100天空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值為＝0.64.
(2) 解析：根據抽查數據，可得2×2列聯表：
(3) 解析：根據(2)的列聯表得
K2＝≈7.484.
由于7.484>6.635，故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關．
提分題
[例3]　 (1) 解析：由題意得
K2＝＝24>6.635，
∴有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異．
(2) 解析：(ⅰ)證明：∵＝·＝···＝·，
·＝···＝·＝·，
∴R＝·.
解析：(ⅱ)由表格中的數據得
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
∴P(|B)＝1－P(A|B)＝，
P(|)＝1－P(A|)＝，
∴R＝·＝＝6.
[鞏固訓練3]　 (1) 解析：根據獲得的利潤統計數據，
可得＝＝6.5，
所以＝＝4－0.8×6.5＝－1.2，
所以y關于x的經驗回歸方程為＝0.8x－1.2.
(2) 解析：由題意，＝＝＝<<＝<，
所以“優秀投資額”有2個，“良好投資額”有1個，“不合格投資額”有3個．
隨機變量X的可能取值為4，3，2，1，0，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
微專題4　概率統計與數列的交匯
[例4]　 (1) 解析：記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B，則A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2) 解析：設第i次投籃的人是甲的概率為pi，由題意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，
所以pi＋1－＝(pi－)，
又p1－＝＝，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以pi－＝×()i－1，
所以pi＝×()i－1.
(3) 解析：設第i次投籃時甲投籃的次數為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
則E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝×()i－1，
所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＝.
[鞏固訓練4]　 (1) 解析：由題知，X1的所有可能取值為0、1、2，
P(X1＝0)＝＝，P(X1＝1)＝＝，P(X1＝2)＝＝，
所以，X1的分布列為
X1 0 1 2
P
所以，X1的數學期望E(X1)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2) 解析：由題知，
P(Xn＋1＝1)＝(1×)P(Xn＝0)＋()P(Xn＝1)＋(×1)P(Xn＝2)，
又P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＝1，
所以，P(Xn＋1＝1)＝[1－P(Xn＝1)－P(Xn＝2)]＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)，
整理得，P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)，
所以，P(Xn＋1＝1)－＝－，
又因為P(X1＝1)－＝－，
所以，數列是首項為－，公比為－的等比數列，
所以，P(Xn＝1)－＝－×(－)n－1，
所以，P(Xn＝1)＝×(－)n＋，即Pn＝＋.
微專題5　概率統計與導數的交匯
[例5]　解析：(1)
單位：箱
是否有不合 格品設備 無不合格品 有不合格品 合計
新 90 10 100
舊 75 25 100
合計 165 35 200
零假設為H0：有不合格品與新舊設備無關聯．
由列聯表可知χ2的觀測值
χ2＝＝≈7.792>6.635＝x0.01，
根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為箱中有不合格品與新舊設備有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.
(2) 解析：由題意，得f(p)＝p3(1－p)17，
則f′(p)＝[3p2(1－p)17－17p3(1－p)16]＝p2(1－p)16(3－20p)，
令f′(p)＝p2(1－p)16(3－20p)＝0，又0當p∈(0，)時，f′(p)>0，當p∈(，1)時，f′(p)<0，
所以f(p)最大時p的值p0＝.
(3) 解析：由(2)知p＝.
設Y表示余下的480件產品中不合格品的數量，依題意知Y～B(480，)，
所以E(Y)＝480×＝72.
若不對該箱余下的口罩做檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，則X＝0.2×20＋5Y，
所以E(X)＝0.2×20＋5×E(Y)＝364.
如果對余下的產品做檢驗，這一箱產品所需要的檢驗費為0.2×500＝100(元)．
364遠大于100，所以應該對余下的480個口罩進行檢驗．
[鞏固訓練5]　 (1) 解析：依題意有χ2＝≈6.061<6.635，
∴沒有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關．
(2) 解析：由題意得：該地區每名密切接觸者感染病毒的概率為＝，
設隨機抽取的4人中至多有2人感染病毒為事件A，則P(A)＝)2()2＝；
(3) 解析：f(p)＝(1－p)p＋(1－p)2p＝p(1－p)(2－p)＝p3－3p2＋2p
則f′(p)＝3p2－6p＋2,
令f′(p)＝0，則p1＝，p2＝(舍去)，
當00，函數f(p)在(0，)上單調遞增，
當所以，當p＝時，該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的可能性最大．(共83張PPT)
統計與概率
1．[2023·福建廈門模擬]某餐館在A網站有200條評價，好評率為90%，在B網站有100條評價，好評率為87%.綜合考慮這兩個網站的信息，這家餐館的好評率為(　　)
A．88%　 B．88.5%　 C．89%　 D．89.5%
答案：C
2．[2023·河南安陽三模]小明在跨境電商平臺上從國外購買了幾件商品，這些商品的價格如果按美元計，則平均數為20，方差為50，如果按人民幣計(匯率按1美元＝7元人民幣)，則平均數和方差分別為(　　)
A．20，50 B．140，350
C．140，700 D．140，2 450
答案：D
解析：由題意知這些商品的價格如果按人民幣計算，價格是按美元計算的價格的7倍，
故按人民幣計，則平均數和方差分別為7×20＝140，72×50＝2 450.故選D.
3．[2023·江蘇鹽城三模](多選)隨機抽取6位影迷對電影《長津湖》的評分，得到一組樣本數據如下：92，93，95，95，97，98，則下列關于該樣本的說法中正確的有(　　)
A．均值為95 B．極差為6
C．方差為26 D．第80百分位數為97
答案：ABD
4．[2023·天津南開二模]某車間從生產的一批零件中隨機抽取了1 000個進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得到此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示．若用分層抽樣的方法從質量指標在區間[40，70)的零件中抽取170個進行再次檢測，則質量指標在區間[50，60)內的零件應抽取(　　)
A．30個　　B．40個　　
C．60個　　D．70個
答案：C
(1)[2023·山東濱州二模]某組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，設該組樣本數據的眾數、平均數、第一四分位數分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(注：同一組中數據用該組區間中點值近似代替)(　　)
A．x3C．x1答案：A　
(2)[2023·廣東深圳二模](多選)光明學校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校所有學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學生中隨機選取一部分學生(這部分學生人數少于全校學生人數)進行調查，并將調查結果繪制成了如下兩個不完整的統計圖：則(　　)
A．選取的這部分學生的總人數為500人
B．合唱社團的人數占樣本總量的40%
C．選取的學生中參加機器人社團的學生數為78人
D．選取的學生中參加合唱社團的人數比參加機器人社團人數多125
答案：ABD
技法領悟
眾數、中位數、平均數與直方圖的關系
1．眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標．
2．中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標．
3．平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標之積的和．
[鞏固訓練1]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷](多選)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數，則(　　)
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同
B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同
D．兩組樣本數據的樣本極差相同
答案：CD　
解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數不相同，錯誤；
B：若第一組中位數為xi，則第二組的中位數為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯誤；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確；
D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.
(2)[2023·安徽銅陵三模](多選)近年來，加強青少年體育鍛煉，重視體質健康已經在社會形成高度共識，某校為了了解學生的身體素質狀況，舉行了一場身體素質體能測試，以便對體能不達標的學生進行有效的訓練，促進他們體能的提升，現從全部測試成績中隨機抽取200名學生的測試成績，進行適當分組后，畫出如下頻率分布直方圖，則(　　)
A．a＝0.020
B．在被抽取的學生中，成績在區間[80，100]內的學生有70人
C．估計全校學生體能測試成績的平均數為77.5
D．估計全校學生體能測試成績的69%分位數為84
答案：ACD
答案：B
解析：線性相關系數|r|越大，兩個變量的線性相關性越強，故A錯誤，B正確；
殘差平方和S2越小，則決定系數R2越大，從而兩個變量擬合的效果越好，
殘差平方和S2越大，則決定系數R2越小，從而兩個變量擬合的效果越差，故C、D錯誤．故選B.
2．[2023·遼寧實驗中學模擬]已知x，y的對應值如下表所示：
若y與x線性相關，且經驗回歸方程為y＝1.6x＋0.6，則m＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
x 0 2 4 6 8
y 1 m＋1 2m＋1 3m＋3 11
答案：B
答案：C
(1)[2023·河北石家莊三模]觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是(　　)
答案：B　
解析：根據一元線性回歸模型中對隨機誤差e的假定，殘差應是均值為0、方差為σ2的隨機變量的觀測值．A圖表示殘差與觀測時間有線性關系，故A錯；
B圖表示殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，故B正確；
C圖表示殘差與觀測時間有非線性關系，故C錯；
D圖表示殘差的方差不是一個常數，隨著觀測時間變大而變大，故D錯．故選B.
答案：C
男生 女生 合計
喜歡滑冰 2x
不喜歡滑冰 x
合計 3x x 4x
答案：C　
答案：BCD
答案：D
2．[2023·安徽亳州一中模擬]在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1可能被錯誤的接收為1或0.已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號為1時，接收為1和0的概率分別為p和1－p.假設發送信號0和1是等可能的．已知接收到1的概率為0.525，則p的值為(　　)
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
答案：D
答案：D
4．[2023·河南鄭州模擬]已知某小麥品種的株高X(單位：cm)服從正態分布N(78，σ2)，且P(760.01
3.(1)[2023·全國甲卷]有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為(　　)
A．0.8　　B．0.4　　C．0.2　　D．0.1
答案：A　
答案：C
技法領悟
求復雜事件概率的兩種方法
1．直接法：正確分析復雜事件的構成，將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發生的積事件或一獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解．
2．間接法：當復雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．
[鞏固訓練3]　(1)[2023·湖北武昌實驗中學模擬]設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為(　　)
A．0.8　　B．0.6　　C．0.5　　D．0.3
答案：A　
答案：D
第二講　統計、統計案例與概率——大題備考
高考試題對統計、統計案例與概率的考查主要圍繞五個方面：一是概率的綜合、二是概率與頻率分布直方圖的綜合、三是概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合、四是概率統計與數列的交匯、五是概率統計與導數的交匯．
微專題1　概率的綜合
[2022·全國甲卷]甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
解析：由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.
易知乙學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列為
則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
1.[2023·河北保定一模]在過去三年防疫攻堅戰中，我國的中醫中藥起到了舉世矚目的作用．某公司收到國家藥品監督管理局簽發的散寒化濕顆粒《藥品注冊證書》，散寒化濕顆粒是依據第六版至第九版《新型冠狀病毒肺炎診療方案》中的“寒濕疫方”研制的中藥新藥．初期為試驗這種新藥對新冠病毒的有效率，把該藥分發給患有相關疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服藥后有效，從這10位患者中選取3人，以ξ表示選取的人中服藥后有效的人數，求ξ的分布列和數學期望；
ξ 0 1 2 3
P
(2)若有3組志愿者參加試驗，甲，乙，丙組志愿者人數分別占總數的40%，32%，28%，服藥后，甲組的有效率為64%，乙組的有效率為75%，丙組的有效率為80%，從中任意選取一人，發現新藥對其有效，計算他來自乙組的概率．
技法領悟
1．明確隨機變量的可能有哪些，且每一個取值所表示的意義．
2．要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率．
3．均值能反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩個隨機變量均值相同，則可通過分析兩個變量的方差來作出決策．
[鞏固訓練1]　[2021·新高考Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
微專題2　概率與頻率分布直方圖的綜合　
[2023·河南鄭州模擬]2023 U．I.M.F1摩托艇世界錦標賽中國鄭州大獎賽于2023年4月29日～30日在鄭東新區龍湖水域舉辦．這場世界矚目的國際體育賽事在風光迤邐的龍湖上演繹了速度與激情，全面展示了鄭州現代化國家中心城市的活力與魅力．為讓更多的人了解體育運動項目和體育精神，某大學社團舉辦了相關項目的知識競賽，并從中隨機抽取了100名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中成績的平均數和中位數(同一組數據用該組區間的中點值代替)；

(2)若先采用分層抽樣的方法從成績在[80，90)，[90，100]的學生中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人為賽事志愿者，求這2名志愿者中至少有一人的成績在[90，100]的概率．
2.[2023·黑龍江大慶實驗中學模擬]某學校為了解學生對航天知識的知曉情況，在全校學生中開展了航天知識測試(滿分100分)，隨機抽取了100名學生的測試成績，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，估計該校學生測試成績的平均數；



(2)從測試成績在[90，100]的同學中再次選拔進入復賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者才可以進入復賽．現有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立．記甲、乙兩人中進入復賽的人數為ξ，求ξ的分布列及期望．
ξ 0 1 2
P
技法領悟
解決此類問題時，準確的把題中所涉及的事件分解，明確所求問題所屬事件類型是關鍵．
[鞏固訓練2]　[2023·河北滄州模擬]據相關機構調查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標(如肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等)自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發展，到2019年中小學生在肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等多項指標出現好轉，但肥胖、近視等問題依然嚴重，體育事業任重道遠．某初中學校為提高學生身體素質，日常組織學生參加中短跑鍛煉，學校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統計她們的成績(單位：秒)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區間包含左端點，不包含右端點)．
(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數；(同一組的數據用該組區間的中點值為代表)

解析：(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數為：
(11×0.02＋13×0.06＋15×0.18＋17×0.14＋19×0.06＋21×0.03＋23×0.01)×2＝16.16.
微專題3　概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合
　[2020·新高考Ⅰ卷]為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：
(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；
(2)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
3.[2022·新高考Ⅰ卷]一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數據：
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
技法領悟
1．對于線性回歸、獨立性檢驗問題，只要熟悉公式，認真計算，就能得分．
2．對于概率問題，要弄清概率模型，正確區分二項分布與超幾何分布．
A充電樁投資金額x/萬元 3 4 6 7 9 10
所獲利潤y/百萬元 1.5 2 3 4.5 6 7
(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關系，求其經驗回歸方程；
X 0 1 2 3 4
P
微專題4　概率統計與數列的交匯
4.[2023·新高考Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第i次投籃的人是甲的概率；
技法領悟
概率問題與數列的交匯，綜合性較強，主要有以下類型
1．求通項公式：關鍵是找出概率Pn或數學期望E(Xn)的遞推關系式，然后根據構造法(一般構造等比數列)，求出通項公式．
2．求和：主要是數列中的公式求和、錯位求和、裂項求和．
3．利用等差、等比數列的性質，研究單調性、最值．
[鞏固訓練4]　[2023·山東煙臺三模]現有甲、乙兩個袋子，每個袋子中均裝有大小、形狀、質地完全相同的2個黑球和1個紅球，若每次分別從兩個袋子中隨機摸出1個球互相交換后放袋子中，重復進行n(n∈N*)次此操作．記第n次操作后，甲袋子中紅球的個數為Xn.
(1)求X1的分布列和數學期望；
X1 0 1 2
P
(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1個紅球的概率Pn.
微專題5　概率統計與導數的交匯
　5.[2023·河北張家口一模]某醫療用品生產商用新舊兩臺設備生產防護口罩，產品成箱包裝，每箱500個．
(1)若從新舊兩臺設備生產的產品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設備生產的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數據，填寫完成2×2列聯表，并依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備”有關聯？
單位：箱
是否有不合格品
設備 無不合格品 有不合格品 合計
新
舊
合計
是否有不合
格品設備 無不合格品 有不合格品 合計
新 90 10 100
舊 75 25 100
合計 165 35 200
(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有口罩做檢驗．設每個口罩為不合格品的概率都為p(0α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
技法領悟
解決有關概率的最大(最小)問題往往利用函數的導數或不等式來實現．
[鞏固訓練5]　[2023·江蘇揚州模擬]今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區猴痘地方性流行國家較多．我國目前為止尚無猴痘病例報告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現的猴痘病毒防控提前做出部署．同時國家衛生健康委員會同國家中醫藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5～21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據此，援非中國醫療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫學觀察21天．在醫學觀察期結束后發現密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫學觀察結束后，統計了感染病毒情況，得到下面的列聯表：
接種天花疫
苗與否/人數 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗 30 60
接種天花疫苗 20 90
(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；
(2)以樣本中結束醫學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現從該國所有結束醫學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數統計，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；
α 0.1 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635專題五　統計與概率
第一講　統計與統計案例、概率——小題備考
微專題1　統計問題
　常考常用結論
1．直方圖的兩個結論
(1)小長方形的面積＝組距×＝頻率．
(2)各小長方形的面積之和等于1.
2．統計中的四個數字特征
(1)眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據．
(2)中位數：樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數．
(3)平均數：樣本數據的算術平均數，即＝(x1＋x2＋…＋xn).
(4)方差與標準差
方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
標準差：
s＝.
1．[2023·福建廈門模擬]某餐館在A網站有200條評價，好評率為90%，在B網站有100條評價，好評率為87%.綜合考慮這兩個網站的信息，這家餐館的好評率為(　　)
A．88%　 B．88.5%　 C．89%　 D．89.5%
2．[2023·河南安陽三模]小明在跨境電商平臺上從國外購買了幾件商品，這些商品的價格如果按美元計，則平均數為20，方差為50，如果按人民幣計(匯率按1美元＝7元人民幣)，則平均數和方差分別為(　　)
A．20，50 B．140，350
C．140，700 D．140，2 450
3．[2023·江蘇鹽城三模](多選)隨機抽取6位影迷對電影《長津湖》的評分，得到一組樣本數據如下：92，93，95，95，97，98，則下列關于該樣本的說法中正確的有(　　)
A．均值為95 B．極差為6
C．方差為26 D．第80百分位數為97
4．[2023·天津南開二模]某車間從生產的一批零件中隨機抽取了1 000個進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得到此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示．若用分層抽樣的方法從質量指標在區間[40，70)的零件中抽取170個進行再次檢測，則質量指標在區間[50，60)內的零件應抽取(　　)
A．30個　　B．40個　　C．60個　　D．70個
(1)[2023·山東濱州二模]某組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，設該組樣本數據的眾數、平均數、第一四分位數分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(注：同一組中數據用該組區間中點值近似代替)(　　)
A．x3C．x1(2)[2023·廣東深圳二模](多選)光明學校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校所有學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學生中隨機選取一部分學生(這部分學生人數少于全校學生人數)進行調查，并將調查結果繪制成了如下兩個不完整的統計圖：則(　　)
A．選取的這部分學生的總人數為500人
B．合唱社團的人數占樣本總量的40%
C．選取的學生中參加機器人社團的學生數為78人
D．選取的學生中參加合唱社團的人數比參加機器人社團人數多125
技法領悟
眾數、中位數、平均數與直方圖的關系
1．眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標．
2．中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標．
3．平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標之積的和．
[鞏固訓練1]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷](多選)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數，則(　　)
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同
B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同
D．兩組樣本數據的樣本極差相同
(2)[2023·安徽銅陵三模](多選)近年來，加強青少年體育鍛煉，重視體質健康已經在社會形成高度共識，某校為了了解學生的身體素質狀況，舉行了一場身體素質體能測試，以便對體能不達標的學生進行有效的訓練，促進他們體能的提升，現從全部測試成績中隨機抽取200名學生的測試成績，進行適當分組后，畫出如下頻率分布直方圖，則(　　)
A．a＝0.020
B．在被抽取的學生中，成績在區間[80，100]內的學生有70人
C．估計全校學生體能測試成績的平均數為77.5
D．估計全校學生體能測試成績的69%分位數為84
微專題2　統計案例問題
常考常用結論
1．方程＝x＋是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數，回歸方程的斜率和截距分別為＝＝，＝－，(，)是樣本中心點，回歸直線過樣本中心點．
2．(1)正相關與負相關就看回歸直線的斜率，斜率為正則為正相關，斜率為負則為負相關．
(2)樣本相關系數
r＝具有以下性質：r>0表示兩個變量正相關，r<0表示兩個變量負相關；|r|≤1，且|r|越接近于1，線性相關程度越強，|r|越接近于0，線性相關程度越弱．
3．“卡方公式”：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
1.[2023·江蘇天一中學模擬]對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數據，第一組對應的相關系數，殘差平方和，決定系數分別為r1，S，R，第二組對應的相關系數，殘差平方和，決定系數分別為r2，S，R，則(　　)
A．若r1>r2，則第一組變量比第二組的線性相關關系強
B．若r>r，則第一組變量比第二組的線性相關關系強
C．若S>S，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好
D．若R>R，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好
2．[2023·遼寧實驗中學模擬]已知x，y的對應值如下表所示：
x 0 2 4 6 8
y 1 m＋1 2m＋1 3m＋3 11
若y與x線性相關，且經驗回歸方程為y＝1.6x＋0.6，則m＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
3．某高中調查學生對2022年冬奧會的關注是否與性別有關，隨機抽樣調查150人，進行獨立性檢驗，經計算得χ2＝≈5.879，臨界值表如下：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
xα 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
則下列說法中正確的是(　　)
A．有97.5%的把握認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別無關”
B．有99%的把握認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別有關”
C．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下可以認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別有關”
D．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下可以認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別無關”
2.(1)[2023·河北石家莊三模]觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是(　　)
(2)北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運動的熱潮．某高校在本校學生中對“喜歡滑冰是否與性別有關”做了一次調查，參與調查的學生中，男生人數是女生人數的3倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據獨立性檢驗的方法，有95%的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，則參與調查的男生人數可能為(　　)
參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數據：
α 0.10 0.05 0.025 0.010
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
A.12　　　B．18　　　C．36　　　D．48
技法領悟
1．求經驗回歸方程的關鍵
(1)正確理解，的計算公式并能準確地進行運算．
(2)根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過經驗回歸方程估計和預測變量的值．
2．獨立性檢驗的關鍵
(1)根據2×2列聯表準確計算χ2，若2×2列聯表沒有列出來，要先列出此表．
(2)χ2的觀測值越大，對應假設事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．
[鞏固訓練2]　(1)在新高考改革中，山東省新高考實行的是6選3的3＋3模式，即語數外三門為必考科目，然后從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門課中選考3門．某校高二學生選課情況如下列聯表一和列聯表二(單位：人)
選物理 不選物理 總計
男生 340 110 450
女生 140 210 350
總計 480 320 800
表一
選生物 不選生物 總計
男生 150 300 450
女生 150 200 350
總計 300 500 800
表二
試根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析物理和生物選課與性別是否有關(　　)
附：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥xα)
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A.選物理與性別有關，選生物與性別有關
B．選物理與性別無關，選生物與性別有關
C．選物理與性別有關，選生物與性別無關
D．選物理與性別無關，選生物與性別無關
(2)[2023·重慶萬州模擬](多選)新能源汽車的核心部件是動力電池，碳酸鋰是動力電池的主要成分．從2021年底開始，碳酸鋰的價格一直升高，下表是2022年我國某企業前5個月購買碳酸鋰價格與月份的統計數據．
月份代碼x 1 2 3 4 5
碳酸鋰價格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
若y關于x的經驗回歸方程為＝0.28x＋，則下列說法中正確的有(　　)
A．y與x的樣本相關系數r<0
B．＝0.16
C．經驗回歸方程＝0.28x＋經過點(3，1)
D．由經驗回歸方程可預測6月份的碳酸鋰價格約為1.84
微專題3　概率問題
常考常用結論
1．古典概型的概率公式
P(A)＝
2．條件概率
P(B|A)＝＝
4．相互獨立事件的概率：P(AB)＝P(A)P(B)
5．二項分布：
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k；E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)
6．超幾何分布：
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
E(X)＝np＝
7．正態分布：
若X～N(μ，σ2)，則如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．
1.[2022·新高考Ⅰ卷]從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．[2023·安徽亳州一中模擬]在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1可能被錯誤的接收為1或0.已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號為1時，接收為1和0的概率分別為p和1－p.假設發送信號0和1是等可能的．已知接收到1的概率為0.525，則p的值為(　　)
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
3．[2023·河北唐山三模]假設有兩箱零件，第一箱內裝有5件，其中有2件次品；第二箱內裝有10件，其中有3件次品．現從兩箱中隨機挑選1箱，然后從該箱中隨機取1個零件，若取到的是次品，則這件次品是從第一箱中取出的概率為(　　)
A． B． C． D．
4．[2023·河南鄭州模擬]已知某小麥品種的株高X(單位：cm)服從正態分布N(78，σ2)，且P(763.(1)[2023·全國甲卷]有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為(　　)
A．0.8　　B．0.4　　C．0.2　　D．0.1
(2)已知從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，現從兩袋中各模出一個球，下列結論錯誤的是(　　)
A．兩個球都是紅球的概率為
B．兩個球中恰有1個紅球的概率為
C．兩個球不都是紅球的概率為
D．至少有1個紅球的概率為
技法領悟
求復雜事件概率的兩種方法
1．直接法：正確分析復雜事件的構成，將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發生的積事件或一獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解．
2．間接法：當復雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．
[鞏固訓練3]　(1)[2023·湖北武昌實驗中學模擬]設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為(　　)
A．0.8　　B．0.6　　C．0.5　　D．0.3
(2)[2023·河南安陽三模]為了應對即將到來的汛期，某地防汛指揮部抽調6名專業人員(包括甲、乙兩人)平均分成三組，對當地三處重點水利工程進行防汛安全檢查，則甲、乙不同組的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
第二講　統計、統計案例與概率——大題備考
高考試題對統計、統計案例與概率的考查主要圍繞五個方面：一是概率的綜合、二是概率與頻率分布直方圖的綜合、三是概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合、四是概率統計與數列的交匯、五是概率統計與導數的交匯．
微專題1　概率的綜合
[2022·全國甲卷]甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
1.[2023·河北保定一模]在過去三年防疫攻堅戰中，我國的中醫中藥起到了舉世矚目的作用．某公司收到國家藥品監督管理局簽發的散寒化濕顆粒《藥品注冊證書》，散寒化濕顆粒是依據第六版至第九版《新型冠狀病毒肺炎診療方案》中的“寒濕疫方”研制的中藥新藥．初期為試驗這種新藥對新冠病毒的有效率，把該藥分發給患有相關疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服藥后有效，從這10位患者中選取3人，以ξ表示選取的人中服藥后有效的人數，求ξ的分布列和數學期望；
(2)若有3組志愿者參加試驗，甲，乙，丙組志愿者人數分別占總數的40%，32%，28%，服藥后，甲組的有效率為64%，乙組的有效率為75%，丙組的有效率為80%，從中任意選取一人，發現新藥對其有效，計算他來自乙組的概率．
技法領悟
1．明確隨機變量的可能有哪些，且每一個取值所表示的意義．
2．要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率．
3．均值能反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩個隨機變量均值相同，則可通過分析兩個變量的方差來作出決策．
[鞏固訓練1]　[2021·新高考Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
微專題2　概率與頻率分布直方圖的綜合　
　
[2023·河南鄭州模擬]2023 U．I.M.F1摩托艇世界錦標賽中國鄭州大獎賽于2023年4月29日～30日在鄭東新區龍湖水域舉辦．這場世界矚目的國際體育賽事在風光迤邐的龍湖上演繹了速度與激情，全面展示了鄭州現代化國家中心城市的活力與魅力．為讓更多的人了解體育運動項目和體育精神，某大學社團舉辦了相關項目的知識競賽，并從中隨機抽取了100名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中成績的平均數和中位數(同一組數據用該組區間的中點值代替)；
(2)若先采用分層抽樣的方法從成績在[80，90)，[90，100]的學生中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人為賽事志愿者，求這2名志愿者中至少有一人的成績在[90，100]的概率．
2.[2023·黑龍江大慶實驗中學模擬]某學校為了解學生對航天知識的知曉情況，在全校學生中開展了航天知識測試(滿分100分)，隨機抽取了100名學生的測試成績，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，估計該校學生測試成績的平均數；
(2)從測試成績在[90，100]的同學中再次選拔進入復賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者才可以進入復賽．現有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立．記甲、乙兩人中進入復賽的人數為ξ，求ξ的分布列及期望．
技法領悟
解決此類問題時，準確的把題中所涉及的事件分解，明確所求問題所屬事件類型是關鍵．
[鞏固訓練2]　[2023·河北滄州模擬]據相關機構調查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標(如肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等)自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發展，到2019年中小學生在肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等多項指標出現好轉，但肥胖、近視等問題依然嚴重，體育事業任重道遠．某初中學校為提高學生身體素質，日常組織學生參加中短跑鍛煉，學校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統計她們的成績(單位：秒)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區間包含左端點，不包含右端點)．
(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數；(同一組的數據用該組區間的中點值為代表)
(2)由頻率分布直方圖，可以認為該校女生的短跑成績X～N(μ，σ2)，其中μ近似為女生短跑平均成績，σ2近似為樣本方差s2，經計算得s2＝5.79，若從該校女生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在(11.34，20.98]內的人數為Y，求P(Y≤8)(結果保留2個有效數字)．
附參考數據：≈2.41，隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ微專題3　概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合
　[2020·新高考Ⅰ卷]為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：
(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；
(2)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表：
(3)根據(2)中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
3.[2022·新高考Ⅰ卷]一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.
(ⅰ)證明：R＝·；
(ⅱ)利用該調查數據，給出P(A|B)，P(A|)的估計值，并利用(ⅰ)的結果給出R的估計值．
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
技法領悟
1．對于線性回歸、獨立性檢驗問題，只要熟悉公式，認真計算，就能得分．
2．對于概率問題，要弄清概率模型，正確區分二項分布與超幾何分布．
A充電樁投資金額x/萬元 3 4 6 7 9 10
所獲利潤y/百萬元 1.5 2 3 4.5 6 7
(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關系，求其經驗回歸方程；
(2)若規定所獲利潤y與投資金額x的比值不低于，則稱對應的投入額為“優秀投資額”．記2分，所獲利潤y與投資金額x的比值低于且大于，則稱對應的投入額為“良好投資額”，記1分，所獲利潤y與投資金額x的比值不超過，則稱對應的投入額為“不合格投資額”，記0分，現從表中6個投資金額中任意選2個，用X表示記分之和，求X的分布列及數學期望．
微專題4　概率統計與數列的交匯
4.[2023·新高考Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第i次投籃的人是甲的概率；
技法領悟
概率問題與數列的交匯，綜合性較強，主要有以下類型
1．求通項公式：關鍵是找出概率Pn或數學期望E(Xn)的遞推關系式，然后根據構造法(一般構造等比數列)，求出通項公式．
2．求和：主要是數列中的公式求和、錯位求和、裂項求和．
3．利用等差、等比數列的性質，研究單調性、最值．
[鞏固訓練4]　[2023·山東煙臺三模]現有甲、乙兩個袋子，每個袋子中均裝有大小、形狀、質地完全相同的2個黑球和1個紅球，若每次分別從兩個袋子中隨機摸出1個球互相交換后放袋子中，重復進行n(n∈N*)次此操作．記第n次操作后，甲袋子中紅球的個數為Xn.
(1)求X1的分布列和數學期望；
(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1個紅球的概率Pn.
微專題5　概率統計與導數的交匯
　5.[2023·河北張家口一模]某醫療用品生產商用新舊兩臺設備生產防護口罩，產品成箱包裝，每箱500個．
(1)若從新舊兩臺設備生產的產品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設備生產的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數據，填寫完成2×2列聯表，并依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備”有關聯？
單位：箱
是否有不合格品 設備 無不合格品 有不合格品 合計
新
舊
合計
(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有口罩做檢驗．設每個口罩為不合格品的概率都為p(0(3)現對一箱產品檢驗了20個，結果恰有3個不合格品，以(2)中確定的p0作為p的值．已知每個口罩的檢驗費用為0.2元，若有不合格品進入用戶手中，則生產商要為每個不合格品支付5元的賠償費用．以檢驗費用與賠償費用之和的期望為決策依據，是否要對這箱產品余下的480個口罩做檢驗？
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
技法領悟
解決有關概率的最大(最小)問題往往利用函數的導數或不等式來實現．
[鞏固訓練5]　[2023·江蘇揚州模擬]今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區猴痘地方性流行國家較多．我國目前為止尚無猴痘病例報告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現的猴痘病毒防控提前做出部署．同時國家衛生健康委員會同國家中醫藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5～21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據此，援非中國醫療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫學觀察21天．在醫學觀察期結束后發現密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫學觀察結束后，統計了感染病毒情況，得到下面的列聯表：
接種天花疫 苗與否/人數 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗 30 60
接種天花疫苗 20 90
(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；
(2)以樣本中結束醫學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現從該國所有結束醫學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數統計，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；
(3)該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排查．在排查期間，發現一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0附：χ2＝
α 0.1 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635

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