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第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求函數(shù)的定義域
重點題型二：求函數(shù)的值域
重點題型三：分段函數(shù)
重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應用
重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應用
重點題型六：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小
重點題型七：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式
第三部分：數(shù)學思想與方法
數(shù)形結(jié)合的思想
分類討論的思想
轉(zhuǎn)化與化歸的思想
函數(shù)與方程的思想
第四部分：數(shù)學核心素養(yǎng)
直觀想象
數(shù)學抽象
邏輯推理
重點題型一：求函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·北京東城·高二期末）函數(shù)的定義域為___________.
例題2．（2022·江西·南昌市八一中學高二期末（文））已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則的定義域為　　
A． B． C． D．
例題4．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)取值范圍是______.
題型歸類練
1．（2022·湖南·高一課時練習）求函數(shù)的定義域．
2．（2022·陜西·西安鐵一中濱河高級中學高三階段練習（理））若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函數(shù)的定義域為R”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．
重點題型二：求函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的值域
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）；
（8） （9）； （10）.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.
例題3．（2022·新疆·烏市八中高二期末（文））設，，若對于任意，總存在，使得 成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型歸類練
1．（多選）（2022·江蘇·高一）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，已知在上的值域為，則在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
5．（2022·全國·高一課時練習）設的值域為，則實數(shù)的值組成的集合是___________．
6．（2022·全國·高三專題練習）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“孿生函數(shù)”共有______個.
重點題型三：分段函數(shù)
典型例題
例題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期末）已知，則=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，若，則實數(shù)＝（ ）
A． B． C．2 D．9
例題3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知實數(shù)函數(shù)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例題5．（2022·遼寧·撫順一中高二階段練習）已知函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)，且在上的值域為，則的取值范圍為______．
題型歸類練
1．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知函數(shù)若，則（ ）
A．或1 B． C．1 D．3
2．（2022·新疆·三模（文））已知函數(shù)則，則（ ）
A．0或1 B．或1 C．0或 D．或
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．
4．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，其中，若在上單調(diào)遞減，則________；若，則_________.
5．（2022·全國·高一專題練習）求函數(shù)在－的最值.
6．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學高二階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應用
典型例題
例題1．（2022·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求的值；
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
例題2．（2022·江蘇·高一單元測試）設函數(shù)
(1)畫出函數(shù)圖像（畫在答題卡上，標出關鍵點坐標）；
例題3．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）已知函數(shù).
(1)根據(jù)絕對值和分段函數(shù)知識，將寫成分段函數(shù)；
(2)在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；
(3)若在區(qū)間上，滿足，求實數(shù)的取值范圍.
題型歸類練
1．（2021·河北·高一階段練習）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示.
(1)請作出函數(shù)在上的圖象；
(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期中（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，
(1)當時，求解析式；
(2)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的值域.
3．（2021·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的解析式；
(3)把函數(shù)圖象補充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應用
角度1：單調(diào)性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．
例題3．（2022·全國·高一）已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
角度2：最大（小）值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）在上的最小值為______．
例題2．（2022·全國·高一）已知函數(shù) (，)在時取得最小值，則＝________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為_______．
例題4．（2022·江蘇·高一）設函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
角度3：奇偶性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象關于_________對稱．
例題2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，則___．
例題3．（2022·四川達州·高一期末（理））定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
題型歸類練
1．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.
2．（2022·四川南充·高一期末）定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為___________.
3．（2022·廣西桂林·高二開學考試（理））若函數(shù)在處取得最小值，則m＝（　　）
A． B． C．4 D．5
4．（2022·全國·高三專題練習（文））函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．
5．（2022·全國·高三專題練習（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為_____.
6．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·貴州·凱里一中高一期中）函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
8．（2022·全國·高一專題練習）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.
9．（2022·全國·高一專題練習）已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．
10．（2022·山西省長治市第二中學校高二階段練習）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值.
重點題型六：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小
典型例題
例題1．（2022·云南·高二期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習（文））已知偶函數(shù)的定義域為，當時，單調(diào)遞增，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
題型歸類練
1．（2022·全國·高一專題練習）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·海淀實驗中學高一期中）設函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C． D．符號不確定
3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型七：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式
典型例題
例題1．（2022·河北張家口·高一期末）設奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）若定義域為R的函數(shù)滿足，且，，有，則的解集為（　　）
A． B．
C． D．
題型歸類練
1．（2022·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學高一階段練習）已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
數(shù)形結(jié)合的思想
1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．設是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的整數(shù)解的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．設函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意的，且，都有，又，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
分類討論的思想
1．二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值0.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設，且在的最小值為，求的值.
2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象．
(1)補充完整圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；
(2)寫出函數(shù)的解析式；
(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．
3．已知函數(shù)
(1)當時，解關于的不等式
(2)函數(shù)在的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)和的值．
轉(zhuǎn)化與化歸的思想
1．已知函數(shù)f(x)對 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；
(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；
(3)當x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
2．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)是奇函數(shù)，當時，.
(1)求的值及的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
函數(shù)與方程的思想
1．已知函數(shù)．
(1)解不等式：；
(2)求函數(shù)的值域．
2．求下列函數(shù)的值域：
（1）；
3．求下列兩個函數(shù)的值域：
（1）；
直觀想象
1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在x軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全函數(shù)的圖象并求的值；
(2)求函數(shù)的解析式．
2．已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
數(shù)學抽象
1．（多選）設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的有（ ）
A． B．函數(shù)為奇函數(shù)
C． D．函數(shù)的值域為
2．（多選）德國數(shù)學家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認識，也使數(shù)學家們更加認可函數(shù)的對應說定義，下列關于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（ ）
A． B．是奇函數(shù)
C．的值域是 D．
邏輯推理
1．設，已知，．
（1）若是奇函數(shù)，求的值；
（2）當時，證明：；
（3）設對任意的，及任意的，存在實數(shù)滿足，求的范圍．
2．設函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，
（1）求和的值
（2）如果，求的取值范圍
第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求函數(shù)的定義域
重點題型二：求函數(shù)的值域
重點題型三：分段函數(shù)
重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應用
重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應用
重點題型六：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小
重點題型七：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式
第三部分：數(shù)學思想與方法
數(shù)形結(jié)合的思想
分類討論的思想
轉(zhuǎn)化與化歸的思想
函數(shù)與方程的思想
第四部分：數(shù)學核心素養(yǎng)
直觀想象
數(shù)學抽象
邏輯推理
重點題型一：求函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·北京東城·高二期末）函數(shù)的定義域為___________.
【答案】
由可知： ，故，
即函數(shù)的定義域為，
故答案為：
例題2．（2022·江西·南昌市八一中學高二期末（文））已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因為函數(shù)的定義域為，故，
所以的定義域為，
故函數(shù)中的需滿足：，
故，故函數(shù)的定義域為.
故選：C
例題3．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則的定義域為　　
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，函數(shù)滿足，即，
所以函數(shù)滿足且，解得，
即函數(shù)的定義域為，故選B．
例題4．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)取值范圍是______.
【答案】
函數(shù)的定義域為，即恒成立.
當時，易知成立.
當時，需滿足：
綜上所述：
故答案為
題型歸類練
1．（2022·湖南·高一課時練習）求函數(shù)的定義域．
【答案】
由題意知，解得或，
所以定義域為.
2．（2022·陜西·西安鐵一中濱河高級中學高三階段練習（理））若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由條件可知：，所以，所以定義域為，
故選：C.
3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函數(shù)的定義域為R”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
因為函數(shù)的定義域為R，所以對任意恒成立.
i.時，對任意恒成立；
ii. 時，只需，解得：；
所以.
記集合,.
因為A B,所以“”是“函數(shù)的定義域為R”的充分不必要條件.
故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．
【答案】
當時，，即定義域為R；
當，要使的定義域為R，則在上恒成立，
∴，解得，
綜上，有，
故答案為：
重點題型二：求函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的值域
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）；
（8） （9）； （10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
解：（1）分式函數(shù)，
定義域為，故，所有，
故值域為；
（2）函數(shù)中，分母，
則，故值域為；
（3）函數(shù)中，令得，
易見函數(shù)和都是減函數(shù)，
故函數(shù)在時是遞減的，故時，
故值域為；
（4），
故值域為且；
（5），
而，，
，，
即，故值域為；
（6）函數(shù)，定義域為，令，
所以，所以，對稱軸方程為，
所以時，函數(shù)，故值域為；
（7）由題意得，解得，
則，
故，，，
由y的非負性知，，故函數(shù)的值域為；
（8）函數(shù)，定義域為，，故，即值域為；
（9）函數(shù)，定義域為，
故，所有，故值域為；
（10）函數(shù)，
令，則由知，，，
根據(jù)對勾函數(shù)在遞減，在遞增,
可知時，，故值域為.
方法點睛：
求函數(shù)值域常見方法：
（1）單調(diào)性法：判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域（包括常見一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對勾函數(shù)等）；
（2）換元法：將復雜函數(shù)通過換元法轉(zhuǎn)化到常見函數(shù)上，結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域；
（3）判別式法：分式函數(shù)分子分母的最高次冪為二次時，可整理成關于函數(shù)值的二次方程，方程有解，判別式大于等于零，即解得的取值范圍，得到值域.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)函數(shù)定義域為，
對任意都成立，
當時，顯然不恒成立，不合題意；
當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，需滿足，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為
(2)函數(shù)值域為，
能取遍所有正數(shù)，
1：，解得，
2：， 符合題意
實數(shù)的取值范圍為
例題3．（2022·新疆·烏市八中高二期末（文））設，，若對于任意，總存在，使得 成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，
當時，，
當時，，
由，即，所以，
∴，故，
又因為，且，．
由遞增，可得，
對于任意，總存在，使得成立，
可得，
可得
∴．
故選：C．
題型歸類練
1．（多選）（2022·江蘇·高一）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
解：因為，開口向上，對稱軸為
所以，當和時，函數(shù)值為，當時函數(shù)值為，
因為函數(shù)的定義域為，值域為，
所以，
所以的值可能的選項是：ABC
故選：ABC
2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令，則且
又因為，
所以，所以，
即函數(shù)的值域為，
故選：B.
3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
A.當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，，當且僅當，即時，等號成立；故錯誤；
B. ，故錯誤；
C. ，故錯誤；
D. ，當且僅當，即時，等號成立，故正確
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習）定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，已知在上的值域為，則在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
因為定義在R上的函數(shù)對一切實數(shù)x、y都滿足，且，
令，可得，
再令，可得，
又在上的值域為，因此在上的值域為
則在R上的值域是.
故選：C
5．（2022·全國·高一課時練習）設的值域為，則實數(shù)的值組成的集合是___________．
【答案】
因為函數(shù)的值域為[0，＋∞)，
設函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋3，當時，顯然不成立；
當，二次函數(shù)開口向下，有最大值，值域不為[0，＋∞)，不成立；
當，二次函數(shù)開口向上，要保證值域為[0，＋∞)，則最小值要小于等于0
，解得a≥3.
故答案為：[3，＋∞)
6．（2022·全國·高三專題練習）若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“孿生函數(shù)”共有______個.
【答案】9
由題：函數(shù)解析式為，值域為，
考慮集合
則自變量必須在三個集合中每個集合里至少取一個元素形成定義域，
在中至少取一個元素共3種取法，在中只有一種取法，
在中至少取一個元素共3種取法，
則由乘法原理得不同的定義域有種情況，
所以“孿生函數(shù)”共有9個.
故答案為：9
重點題型三：分段函數(shù)
典型例題
例題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期末）已知，則=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
.
故選：B
例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，若，則實數(shù)＝（ ）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
函數(shù)，
，則，
即，解可得：.
故選：C
例題3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為且在上單調(diào)遞增，
所以，解得，即
故選：B
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知實數(shù)函數(shù)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意，實數(shù)函數(shù)，
當時，則且，
可得，，
所以，解得；
當時，則且，
可得，，
所以，此時無解，
綜上可得，實數(shù)的值為.
故選：A.
例題5．（2022·遼寧·撫順一中高二階段練習）已知函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)，且在上的值域為，則的取值范圍為______．
【答案】
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為在上單調(diào)，
所以或．
若，則，故．
當時，令函數(shù)，
易知在上單調(diào)遞增，則，即，不符合題意．
若，則，故．
當時，令函數(shù)，
根據(jù)對稱性可知，，
則．
故答案為：
題型歸類練
1．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知函數(shù)若，則（ ）
A．或1 B． C．1 D．3
【答案】B
根據(jù)題意得或，
解得
故選：B
2．（2022·新疆·三模（文））已知函數(shù)則，則（ ）
A．0或1 B．或1 C．0或 D．或
【答案】D
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，有，
當時，，當且僅當時取等號，即時取等號，
因此有，
令，則，因此，或，
當時，即，顯然，因此，
當時，即，顯然，因此，
綜上所述：或，
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．
【答案】 ##
由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
4．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，其中，若在上單調(diào)遞減，則________；若，則_________.
【答案】
解：因為在上單調(diào)遞減
即，解得：
當，即時，由
得：，無解
當，即時，由
得：，解得：或（舍去）
所以
故答案為：，.
5．（2022·全國·高一專題練習）求函數(shù)在－的最值.
【答案】最大值是，最小值是.
在上遞增，
對稱軸是，
在上遞減，在上遞增，
，，，，
所以當時，函數(shù)最大值是；當時，函數(shù)最小值是.
6．（多選）（2022·湖南·長沙市南雅中學高二階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AB
解：由題意可得，解得，
∴整數(shù)a的取值為或．
故選：AB
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【答案】(1)3或-2
(2)
(1)當時，，
解得或（舍去）；
當時，，
解得.
∴m的值為3或-2.
(2)對任意實數(shù)，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
重點題型四：函數(shù)圖象的畫法及應用
典型例題
例題1．（2022·四川自貢·高一期中）已知函數(shù)
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求的值；
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)圖像見解析；(2)；(3)和.
(1)
(2)；
(3)由(1)得到的圖像可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
例題2．（2022·江蘇·高一單元測試）設函數(shù)
(1)畫出函數(shù)圖像（畫在答題卡上，標出關鍵點坐標）；
【答案】(1)圖象見解析；(2)答案見解析.
(1) -2 -1 0 1 2
3 2 3 2 3
圖象如下圖示：
例題3．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）已知函數(shù).
(1)根據(jù)絕對值和分段函數(shù)知識，將寫成分段函數(shù)；
(2)在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域．（不要求證明）；
(3)若在區(qū)間上，滿足，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)圖象見解析；單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間；值域為
(3)
(1).
(2)的圖象如下圖所示：
由圖可知：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，值域為：.
(3)由（2）可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由得，
解得：.
題型歸類練
1．（2021·河北·高一階段練習）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示.
(1)請作出函數(shù)在上的圖象；
(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.
【答案】(1)答案見解析
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，最大值為2，最小值為-2.
(1)畫圖如圖：
(2)根據(jù)函數(shù)圖象，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
的最大值為2，
的最小值為-2.
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期中（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，
(1)當時，求解析式；
(2)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的值域.
【答案】(1)
(2)圖象見解析，值域為
(1)當時，，則，
為上的偶函數(shù)，，
即當時，.
(2)由（1）得：，
當時，；當時，；
結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得圖象如下圖所示，
的值域為.
3．（2021·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的解析式；
(3)把函數(shù)圖象補充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】(1)
(2)
(3)圖象見解析；單調(diào)遞增區(qū)間為和
(1)是上的奇函數(shù)，，
，；
(2)當時，，，
；
又，；
(3)圖象如下圖所示：
結(jié)合圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
重點題型五：函數(shù)性質(zhì)的應用
角度1：單調(diào)性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.
【答案】
，
解得.
函數(shù)的對稱軸為，開口向下，
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．
【答案】
由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
即且，即且，
解得且或，即
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高一）已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依題意奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，
，
.
故選：B
角度2：最大（小）值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）在上的最小值為______．
【答案】0
解: 根據(jù)題意在上為增函數(shù)，
則在上的最小值為．
故答案為：0.
例題2．（2022·全國·高一）已知函數(shù) (，)在時取得最小值，則＝________.
【答案】36
f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，
在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時取得最小值，
由題意知＝3，∴a＝36.
故答案為：
例題3．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為_______．
【答案】2
設，則，
所以原函數(shù)可化為：，
由二次函數(shù)性質(zhì)，當時，函數(shù)取最大值2.
故答案為：2.
例題4．（2022·江蘇·高一）設函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
由，則，
因為，所以，
則，
又，當且僅當時等號成立，所以，
所以，即實數(shù)m的取值范圍是，
故答案為：
角度3：奇偶性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象關于_________對稱．
【答案】原點
要使函數(shù)有意義，則，得，
解得或，則定義域關于原點對稱．
此時，則函數(shù)，
，
函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱
例題2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，則___．
【答案】
解：為奇函數(shù)，當時，，
.
故答案為：.
例題3．（2022·四川達州·高一期末（理））定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因為為的偶函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)在在上單調(diào)遞減，
所以當時，，，
當時，，，
當時，，，
當時，，，
又當或或時，，
所以的解集為，
故選：A.
題型歸類練
1．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.
【答案】##
函數(shù)是由函數(shù)和組成的復合函數(shù)，
，解得或，
函數(shù)的定義域是或，
因為函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞增，
由復合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
故答案為：.
2．（2022·四川南充·高一期末）定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
解：是定義在上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)
在定義域上是減函數(shù)，且
，即
故可知，即可解得
實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
3．（2022·廣西桂林·高二開學考試（理））若函數(shù)在處取得最小值，則m＝（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
，
∵ ，
當 時， ， 單調(diào)遞減，
當 時， ， 單調(diào)遞增，
∴在x=4時，取得最小值，m=4；
故選：C.
4．（2022·全國·高三專題練習（文））函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．
【答案】
∵函數(shù)
∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)
∴當時，函數(shù)取得最小值，為.
故答案為：.
5．（2022·全國·高三專題練習（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為_____.
【答案】
∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，
又∵，，∴，∴時，，
設，則，則，則，
即當x＞0時，，∴f（x）在上單調(diào)遞減，
∴在上的最大值為．
故答案為：
6．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
所以在上的最大值是．
，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，則，即，
所以，所以實數(shù)k的取值范圍是．
故選:D．
7．（2022·貴州·凱里一中高一期中）函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
【答案】
因為
所以是偶函數(shù)，作出的圖象如下：
由得，，
∴．
故答案為：
8．（2022·全國·高一專題練習）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
因為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，
則在上是增函數(shù)，且，
不等式化為： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案為：
9．（2022·全國·高一專題練習）已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．
【答案】，
解析： 以代替條件等式中的，則有，
又，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
故．
又，
聯(lián)立可得，．
10．（2022·山西省長治市第二中學校高二階段練習）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
(1)因為為冪函數(shù)
所以
因為為偶函數(shù)
所以 故的解析式.
(2)由（1）知，
當即時，，即
當即時，即
綜上所述：或
重點題型六：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定函數(shù)值的大小
典型例題
例題1．（2022·云南·高二期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由題設，，又在上單調(diào)遞增，
∴.
故選：C.
例題2．（2022·全國·高三專題練習（文））已知偶函數(shù)的定義域為，當時，單調(diào)遞增，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為為偶函數(shù)，所以，．又當時，單調(diào)遞增，且，所以，即．
故選：B．
題型歸類練
1．（2022·全國·高一專題練習）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
為偶函數(shù)，；
在上是減函數(shù)，，
即.
故選：B.
2．（2022·北京·海淀實驗中學高一期中）設函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C． D．符號不確定
【答案】B
因為函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，
所以由可得，所以，即，
故選：B
3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為，所以二次函數(shù)的對稱軸為，
又因為，所以，
又，所以.
故選：B.
重點題型七：應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式
典型例題
例題1．（2022·河北張家口·高一期末）設奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
為奇函數(shù)，；
又在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，；
，即；
當時，，；當時，，；
的解集為或.
故選：D.
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）若定義域為R的函數(shù)滿足，且，，有，則的解集為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題設知：關于直線x＝2對稱且在上單調(diào)遞減．
由，得：，
所以，解得．
故選：A
題型歸類練
1．（2022·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學高一階段練習）已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為的定義域為,關于原點對稱，且，
所以是偶函數(shù)，
故由可得，
當時，是增函數(shù)，
所以，解得，
故選：B
2．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，而，
因，則當時，，即，解得，
當時，，即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：B
3．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
當時，的對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.函數(shù)在x=0處連續(xù)
又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.
因為，由，可得，
又因為在上單調(diào)遞增，所以有，解得.
故選：D
數(shù)形結(jié)合的思想
1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題意得，偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且,
作出函數(shù)的大致圖像如下：
不等式等價于或，
數(shù)形結(jié)合可知不等式的解集為：
故選：A.
2．設是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的整數(shù)解的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根據(jù)題目描述，可得的大致圖像如上圖所示，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，
所以或或
解得或．綜上，原不等式的解集為，
即整數(shù)解的個數(shù)是．
故選：D
3．設函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
為上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，，
，在內(nèi)為減函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖像，
由，得，
由圖可知，不等式的解集為
故選：A
4．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意的，且，都有，又，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由題可得函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，過點，由此作出函數(shù)圖像如下
所以即看哪些點在二四象限或坐標軸上
故不等式的解為.
故選：C.
分類討論的思想
1．二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值0.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設，且在的最小值為，求的值.
【答案】(1)
(2)的值為或
(1)依題意，二次函數(shù)，開口向上，對稱軸，
所以，
所以.
(2)，開口向上，對稱軸，
當時，.
當時，（舍去）.
當時，.
綜上所述，的值為或.
2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象．
(1)補充完整圖象并寫出函數(shù)的增區(qū)間；
(2)寫出函數(shù)的解析式；
(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．
【答案】(1)圖見解析，遞增區(qū)間為和
(2)
(3)
(1)解：因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，
由對稱性即可補充完整圖象，如圖所示：
由圖可知，函數(shù)的遞增區(qū)間為和；
(2)解：根據(jù)題意，當時，，所以，
因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，
所以，
(3)解：當時，，對稱軸為，
當，即時，在上遞增，所以；
當，即時，在上遞減，所以；
當，即時，在上遞減，在上遞增，所以，
綜上，函數(shù)的最小值．
3．已知函數(shù)
(1)當時，解關于的不等式
(2)函數(shù)在的最大值為0，最小值是-4，求實數(shù)和的值．
【答案】(1)；
(2)或.
(1)不等式為，即，
由可得；由可得或，
故原不等式解集為.
(2)因為
由于，由題意或，
若時， 則，且或，
當時，，不滿足題意，舍去；
當時，；
若，則，且或
當時，，
當，符合題意；
當，與題設矛盾，故舍去；
當時，；
綜上所述：或，符合題意.
轉(zhuǎn)化與化歸的思想
1．已知函數(shù)f(x)對 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；
(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；
(3)當x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析；
(2)函數(shù)為R上的減函數(shù)，證明見解析；
(3)．
(1)因為函數(shù)的定義域為R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
(2)不妨設，所以，而，所以，，即，故函數(shù)為R上的減函數(shù)．
(3)由（1）可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而，所以，故原不等式可等價于，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，所以，又，所以，而，當且僅當時取等號，所以，即實數(shù)m的取值范圍為．
2．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)是奇函數(shù)，當時，.
(1)求的值及的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(1)當時，，則；
為上的奇函數(shù)，，，
.
(2)由得：，
為上的增函數(shù)，，
即在上恒成立，
當，即時，不恒成立，不合題意；
當時，，解得：；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
函數(shù)與方程的思想
1．已知函數(shù)．
(1)解不等式：；
(2)求函數(shù)的值域．
【答案】(1).
(2).
(1)由題意，，又
∴，即，
∴或，故解集為.
(2)令，可得，
當時，有；
當時，有，又為一元二次方程且在內(nèi)有實數(shù)解，
∴，解得：且，
綜上，，
∴的值域為．
2．求下列函數(shù)的值域：
（1）；
【答案】（1）；
（1）由題，得，
整理，得，
當時，；
當時， 方程有實根，，
即，解得，或，
綜上，所以值域為：.
3．求下列兩個函數(shù)的值域：
（1）；
【答案】（1）；
（1）函數(shù)化為，
可知關于的該方程一定有解，
當時，，滿足題意，
當時，則，
解得且，
綜上，，
的值域為；
直觀想象
1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在x軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全函數(shù)的圖象并求的值；
(2)求函數(shù)的解析式．
【答案】(1)作圖見解析，-3
(2)
(1)圖象如圖：
．
(2)因為為奇函數(shù)，則，
設，則，，
，
故的解析式為
2．已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)-3
(2)
(1)設，則，所以．
又因為為奇函數(shù)，所以，
于是時，，
所以．
(2)函數(shù)的圖像如圖所示：
要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，
所以，
故實數(shù)a的取值范圍是．
數(shù)學抽象
1．（多選）設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的有（ ）
A． B．函數(shù)為奇函數(shù)
C． D．函數(shù)的值域為
【答案】AD
對于A，，故A正確.
對于B，取，則，而，
故，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯誤.
對于C，則，故C錯誤.
對于D，由C的判斷可知，為周期函數(shù)，且周期為，
當時，則
當時，則，
當時，，
當時，，
故當時，則有，故函數(shù)的值域為，故D正確.
故選：AD．
2．（多選）德國數(shù)學家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認識，也使數(shù)學家們更加認可函數(shù)的對應說定義，下列關于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（ ）
A． B．是奇函數(shù)
C．的值域是 D．
【答案】ACD
由題意可知，.
對于A選項，，則，A選項正確；
對于B選項，當，則，則，
當時，則，則，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B選項錯誤；
對于C選項，由于，所以，函數(shù)的值域為，C選項正確；
對于D選項，當時，則，所以，，
當時，，所以，，D選項正確.
故選：ACD.
邏輯推理
1．設，已知，．
（1）若是奇函數(shù)，求的值；
（2）當時，證明：；
（3）設對任意的，及任意的，存在實數(shù)滿足，求的范圍．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．
（1）由題意，函數(shù)時奇函數(shù)，可得，可得，
當時，函數(shù)，可得,
所以為奇函數(shù)，滿足題意，所以．
（2）當時，令，
則
，
所以．
（3）先求的值域，
由，可得，得到，
即，解得．
所以．
又由任意的，當時，可得，
所以，所以，
即．
2．設函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，
（1）求和的值
（2）如果，求的取值范圍
【答案】（1）；（2）.
解：（1）令，則，∴
又即：∴
（2）∴
∴，又由，又由是定義在上的減函數(shù)，得：
，解得：.
∴的取值范圍為.

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