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第四章 指數函數與對數函數 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：有關指數、對數的運算
重點題型二：數的大小比較問題
重點題型三：定義域問題
重點題型四：值域問題
重點題型五：指數（型）函數的圖象與性質
重點題型六：對數（型）函數的圖象與性質
重點題型七：函數與方程
重點題型八：函數模型及其應用
重點題型九：指數函數、對數函數與其它函數的交融
第三部分：數學思想與方法
數形結合的思想
分類討論的思想
換元的思想
轉化與化歸的思想
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：有關指數、對數的運算
典型例題
例題1．化簡求值：
(1);
(2)
例題2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
題型歸類練
1．計算：
(1)
(2).
2．化簡求值：
(1)；
(2)．
重點題型二：數的大小比較問題
典型例題
例題1．已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
例題2．已知，，，則實數的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
例題3．若，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型歸類練
1．設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
重點題型三：定義域問題
典型例題
例題1．函數的定義域為________.
例題2．已知函數，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
題型歸類練
1．求函數的定義域．
2．求下列函數的定義域：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
重點題型四：值域問題
典型例題
例題1．設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是_______．
例題2．已知是定義在上的奇函數，當時，，函數如果對于任意的，總存在，使得，則實數的取值范圍是__________．
例題3．已知函數為偶函數，如有．
(1)求k的值；
(2)對任意，存在使得成立，求實數a的取值范圍．
例題4．求解下列問題：
(1)設函數，且，求的解析式及定義域．
(2)已知函數，若函數（且的圖象所過定點的縱坐標為．
①求函數的定義域；
②求函數的值域．
題型歸類練
1．求下列函數的值域:
(1)；
(2).
2．設定義在上的奇函數（且，）
(1)已知，函數，，求的值域；
求實數的取值范圍．
3．已知函數，．
(1)當，且時，求函數的值域；
(2)若函數在的最小值為，求實數的值；
4．已知函數的定義域是，設
(1)求的解析式及定義域；
(2)若，求函數的最大值和最小值．
5．已知函數.
(1)若求的定義域；
(2)若的定義域為，求實數的取值范圍；
(3)若的值域為，求實數的取值范圍.
6．已知冪函數是奇函數，且f(x)在（0，+∞）為嚴格增函數
(1)求m的值，并確定f(x)的解析式；
(2)求，的最值
重點題型五：指數（型）函數的圖象與性質
典型例題
例題1．函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．冪函數在上單調遞增，則的圖象過定點（ ）
A． B． C． D．
例題3．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
例題4．（1）已知函數．
①求函數的定義域、值域；
②確定函數的單調區間．
（2）畫出函數的圖象，并依據圖象指出它的相關性質．
例題5．已知函數（為常數）是定義在上的奇函數.
(1)求函數的解析式；
(2)判斷函數的單調性，并用定義證明；
(3)若函數滿足，求實數的取值范圍.
題型歸類練
1．在同一坐標系中，函數與函數的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知表示a，b中的最小值，則函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函數，若函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．函數（，且）的圖象恒過定點，在冪函數的圖象上，則=_______；
5．若函數與（且）的圖象經過同一個定點，則的值是________.
6．已知函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍為______.
7．冬季來臨，為了預防流行性感冒，某工廠對廠區進行藥物噴灑消毒，廠區空氣中每立方米的藥物含量y(單位:克)隨時間x(單位:小時)的變化情況如圖所示，在藥物的噴灑過程中，y與x成冪函數關系;藥物噴灑完畢后，y與x的函數關系為y=(0(1)寫出從藥物噴灑開始，y與x的函數關系式;
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.0001克以下時，工人才可以進入廠區，那么從藥物噴灑開始，至少需要經過多少小時后，工人才能回到廠區
8．已知函數(，且)是指數函數.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
重點題型六：對數（型）函數的圖象與性質
典型例題
例題1．在同一直角坐標系中，函數，（且）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．已知函數，給出下述論述，其中正確的是（ ）
A．當時，的定義域為
B．一定有最小值
C．當時，的定義域為
D．若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是
例題3．若函數在區間單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題4．已知函數，若是上的單調遞增函數，則的取值范圍是__________．
例題5．對于函數，解答下列問題：
(1)若函數定義域為，求實數的取值范圍；
(2)若函數在內為增函數，求實數的取值范圍．
例題6．已知函數，其中且
(1)求的值并寫出函數的解析式；
(2)求函數的定義域，再判斷并證明函數的奇偶性；
(3)已知在定義域上是單調遞減函數，求使的的取值范圍．
題型歸類練
1．函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知對于任意的，都有成立，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(且）的圖象恒過定點，若點也在函數的圖象上，則__________．
4．已知f（x）＝在區間[2，＋∞）上為減函數，則實數a的取值范圍是________．
5．已知函數f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
(1)求f（x）的定義域．
(2)是否存在實數a，使函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
6．已知函數，．
(1)求函數的定義域，并判斷其在定義域上單調性無需證明；
(2)若對任意的，，恒成立，求的取值范圍．
7．已知函數
(1)當時，判斷函數的奇偶性并證明；
(2)解不等式
8．已知函數（且）是定義在上的偶函數，且，.
(1)求的解析式；
(2)判斷函數的單調性，無需證明；
(3)對于任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍.
重點題型七：函數與方程
典型例題
例題1．若關于的方程在區間上有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．已知，若方程有四個不同的解，且，則的最大值是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣12
例題3．已知函數為上的偶函數，當時，，若函數有3個零點，則實數的取值集合為__________．
例題4．已知函數，滿足，且當時，都有．
(1)求的解析式，并畫出的圖象
(2)利用圖象討論方程實根情況.
例題5．已知函數，若方程有三個不等的實數根，則實數的取值范圍是___________；若互不相等的實數滿足，則的取值范圍是___________.
題型歸類練
1．已知函數函數有三個不同的零點，，，且，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．a的取值范圍為 D．的取值范圍為
2．（多選）已知函數，若關于的方程恰有三個不同實數解，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．函數有且僅有1個零點，則m的取值范圍為_______.
4．對于定義在上的函數，若存在實數，使得，則稱是函數的一個不動點.已知，，.
(1)當時，求的不動點；
(2)若函數有兩個不動點，，且.求實數的取值范圍；
(3)若對，，使得，求實數的取值范圍.
5．已知函數，其中，
（1）若函數在單調，則實數的范圍是__________；
（2）若存在互不相等的三個實數，，，使得，則函數的值域為__________.
6．已知函數，若存在實數.滿足，且，則___________，的取值范圍是___________.
重點題型八：函數模型及其應用
典型例題
例題1．“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進步”的是“退步”的倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%，那么大約經過（ ）天后“進步”的是“退步”的一萬倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
例題2．年，全世界范圍內都受到“新冠”疫情的影響，了解某些細菌 病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播 保護環境有極其重要的意義.某科研團隊在培養基中放入一定量某種細菌進行研究．經過分鐘菌落的覆蓋面積為，經過分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；現菌落的覆蓋面積（單位：）與經過時間（單位：）的關系有兩個函數模型與可供選擇.
（參考數據：，，，，，，）
(1)試判斷哪個函數模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；
(2)在理想狀態下，至少經過多久培養基中菌落面積能超過？（結果保留到整數）
題型歸類練
1．（1）計算．
（2）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：）與時間t（單位：月）的關系為．若浮萍蔓延到、、所經過的時間分別是，寫出一種滿足的關系式，并說明理由．
2．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現了傳染性更強的“德爾塔”、“拉姆達”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環境的影響，時而也會出現一些散發病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松.某科研機構對某變異毒株在一特定環境下進行觀測，每隔單位時間進行一次記錄，用表示經過單位時間的個數，用表示此變異毒株的數量，單位為萬個，得到如下觀測數據：
1 2 3 4 5 6
（萬個） 10 50 250
若該變異毒株的數量（單位：萬個）與經過個單位時間的關系有兩個函數模型與可供選擇.
(1)判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經過多少個單位時間該病毒的數量不少于1億個. （參考數據：）
重點題型九：指數函數、對數函數與其它函數的交融
典型例題
例題1．已知函數，.
(1)證明：為偶函數；
(2)若函數，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
例題2．已知定義域為R的函數是奇函數.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
例題3．已知函數在區間上有最大值和最小值設．
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求實數的取值范圍．
例題4．已知函數是偶函數．
(1)求的解析式；
(2)設函數，其中，若方程存在實數解，求實數的取值范圍．
題型歸類練
1．設函數（且）是奇函數．
(1)求常數的值；
(2)若，試判斷函數的單調性，并加以證明；
(3)若已知，且函數在區間上的最小值為，求實數的值．
2．對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①在內是單調增函數；②當定義域是時，的值域是，則稱是該函數的“翻倍區間”．
(1)證明：是函數的一個“翻倍區間”；
(2)判斷函數是否存在“翻倍區間”？若存在，求出所有“翻倍區間”；若不存在，請說明理由；
(3)已知函數有“翻倍區間”，求實數的取值范圍．
3．已知偶函數且圖象過定點且定義域．
(1)求實數的值，及函數的解析式；
(2)當時，求函數的值域．
4．已知函數且的圖像恒過定點，且點又在函數的圖像上．
(1)若，求的值
(2)若函數在區間上的圖像總在圖像上方，求實數的取值范圍．
第三部分：數學思想與方法
數形結合的思想
典型例題
例題1．已知函數，若有四個不等實根，且，求的取值范圍（ ）
A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）
C．[－，－3) D．[－，－3]
例題2．已知函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍( )
A． B． C．(0，1) D．
例題3．若方程，且有兩個不同實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題4．若函數零點為，函數零點為，則___________.
分類討論的思想
典型例題
例題1．已知函數且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值為，求的值.
例題2．已知函數在區間[0，2]的最大值比最小值大，求實數的值.
例題3．已知且，
(1)求函數的解析式，并判斷其奇偶性和單調性：
(2)當的定義域為時，解關于的不等式.
例題4．已知函數（且）.
(1)若，求的單調區間；
(2)若在區間上是增函數，求實數的取值范圍.
換元的思想
典型例題
例題1．已知函數，且，求函數的值域．
例題2．已知函數（且）是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)若，，且在上的最小值為，求實數的值.
例題3．設函數是定義在上的奇函數，且當時，.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求實數的取值范圍.
轉化與化歸的思想
典型例題
例題1．已知函數，
(1)若方程在上有實數根，求實數的取值范圍；
(2)當時，若對任意的總存在使成立，求實數的取值范圍.
例題2．已知函數
(1)畫出函數的圖像，寫出函數的單調區間；
(2)求滿足的的值；
(3)如果方程有三個解，求實數的范圍.
例題3．已知函數.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范圍；
(3)畫出函數的圖象，若函數的圖象與直線有三個交點，求的取值范圍．
例題4．已知函數.其中實數.
(1)若對任意都有值成立，求實數a的取值范圍；
(2)當的值域為時，函數在區間上有三個零點，求的取值范圍.
第四章 指數函數與對數函數 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：有關指數、對數的運算
重點題型二：數的大小比較問題
重點題型三：定義域問題
重點題型四：值域問題
重點題型五：指數（型）函數的圖象與性質
重點題型六：對數（型）函數的圖象與性質
重點題型七：函數與方程
重點題型八：函數模型及其應用
重點題型九：指數函數、對數函數與其它函數的交融
第三部分：數學思想與方法
數形結合的思想
分類討論的思想
換元的思想
轉化與化歸的思想
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：有關指數、對數的運算
典型例題
例題1．化簡求值：
(1);
(2)
【答案】(1) (2)1
(1)原式= =
==.
(2)原式=
.
例題2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）81；（2）6.
（1）原式；
（2）由，而，
則，故.
題型歸類練
1．計算：
(1)
(2).
【答案】(1)；(2).
(1)解：
.
(2)解：
.
2．化簡求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)0
(1)解：
；
(2)解：
.
重點題型二：數的大小比較問題
典型例題
例題1．已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于，
故，
故選：C
例題2．已知，，，則實數的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，，
則，所以；
，，所以，則.
所以
故選：C.
例題3．若，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因為，所以，
故選：A.
題型歸類練
1．設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為在上為增函數，且，
所以，
因為，所以，即，
令（），得，
所以在上遞增，
所以，所以，
令，則，即，即，
所以，
故選：D
2．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題意可得：，
故，
故選：A
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函數在上單調遞增，，則，
函數在R上單調遞減，，，而，
所以.
故選：D
重點題型三：定義域問題
典型例題
例題1．函數的定義域為________.
【答案】
由題意，要使函數有意義，則滿足，
解得，即函數的定義域為.
故答案為：.
例題2．已知函數，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
要使有意義，則
即，解得，
所以函數的定義域為.
要使有意義，則，解得且，
所以函數的定義域為.
故選：B.
題型歸類練
1．求函數的定義域．
【答案】且
解：由得且，
∴函數的定義域為且.
2．求下列函數的定義域：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
(1)要使函數有意義，需滿足，解得
故函數定義域為
(2)要使函數有意義，需滿足，即，解得
故函數定義域為
(3)要使函數有意義，需滿足，即
故函數定義域為
(4)要使函數有意義，需滿足，即，解得
故函數定義域為
重點題型四：值域問題
典型例題
例題1．設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是_______．
【答案】
解：由，得，
即，
，，
則，
，則，即．
故答案為：
例題2．已知是定義在上的奇函數，當時，，函數如果對于任意的，總存在，使得，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
若對于，，使得，則等價為
是定義在上的奇函數，，當時，，則當時，，
，，，則滿足，解得.
故答案為：
例題3．已知函數為偶函數，如有．
(1)求k的值；
(2)對任意，存在使得成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)因為函數為偶函數，所以，
，
即k的值為1.
(2)由（1）知，，
因為對任意，存在使得成立，
所以，設，，
，，所以根據對勾函數的性質可得在上單調遞增，
即，
所以在上有解，即在上有解．
即，
設，因為，所以值域為，
所以，即．
例題4．求解下列問題：
(1)設函數，且，求的解析式及定義域．
(2)已知函數，若函數（且的圖象所過定點的縱坐標為．
①求函數的定義域；
②求函數的值域．
【答案】(1)，定義域為(2)①；②
(1)依題意函數，且，
，，
，此時，
所以，定義域為.
(2)①過定點，則，
所以，
，即的定義域為.
②
，
由于，所以，，
所以的值域為.
題型歸類練
1．求下列函數的值域:
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
(1)設，
所以，又在上是增函數，
所以，即，
所以函數的值域為.
(2)因為，
所以能取到所有正實數.
對于，在時值域為，
所以函數的值域為.
2．設定義在上的奇函數（且，）
(1)已知，函數，，求的值域；
求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(1)解：∵是定義域為上的奇函數，
故，得，
此時，，，
即是上的奇函數．
又，即，
解得或（舍去），
∴，
令，
易知在上為增函數，∴，
∴，
當時，有最大值；
當時，有最小值-2，
故的值域是．
3．已知函數，．
(1)當，且時，求函數的值域；
(2)若函數在的最小值為，求實數的值；
【答案】(1)(2)
(1)當時，；
令，則當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，，的值域為.
(2)令，則當時，，
，對稱軸為；
當，即時，在上單調遞增，，
解得：（舍）；
當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得：（舍）或；
當，即時，在上單調遞減，，
解得：（舍）；
綜上所述：.
4．已知函數的定義域是，設
(1)求的解析式及定義域；
(2)若，求函數的最大值和最小值．
【答案】(1)g（x）=22x-2x+2，定義域為[0，1]
(2)最大值為-3，最小值為-4
(1)解：因為函數，
所以f（2x）=22x,f（x+2）=2x+2，
所以g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2，
∵f（x）=2x的定義域是[0，3]，
∴，
解得0≤x≤1，
∴g（x）的定義域為[0，1]．
(2)由（1）得g（x）=22x-2x+2，
設2x=t，則t∈[1，2]，
∴g（t）=t2-4t=，
∴g（t）在[1，2]上單調遞減，
∴g（t）max=g（1）=-3，g（t）min=g（2）=-4．
∴函數g（x）的最大值為-3，最小值為-4．
5．已知函數.
(1)若求的定義域；
(2)若的定義域為，求實數的取值范圍；
(3)若的值域為，求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
(1)若，則，
所以，解得
因此定義域為；
(2)若的定義域為，則對恒成立.
① 當，即，
若，符合題意；
若，，不符題意.
②當時，由題意得，解得.
綜上所述，；
(3)若的值域為, 則對能取到全部正實數，
① 當，即，
若，不符合題意；
若，，符合題意.
②當時，由題意得，解之得.
綜上所述，.
6．已知冪函數是奇函數，且f(x)在（0，+∞）為嚴格增函數
(1)求m的值，并確定f(x)的解析式；
(2)求，的最值
【答案】(1)，
(2)，
(1)因為冪函數 ，在（0，+∞）為嚴格增函數
所以，即，
解得，又，所以或，
當時，，滿足，因此是奇函數；
當時， ，顯然是偶函數；
所以，；
(2)因為，所以，
令，因為，所以，
所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
因此；
又當時，；當時，，因此
重點題型五：指數（型）函數的圖象與性質
典型例題
例題1．函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
當時，，函數單調遞增，且圖象向下平移個單位，故AB錯誤；
當時，，函數單調遞減，且圖象向下平移個單位，故C 正確D錯誤；
故選：C
例題2．冪函數在上單調遞增，則的圖象過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因為冪函數在上單調遞增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的圖象過定點
故選：D
例題3．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】D
由題意，函數在上單調遞減，
需滿足 ，解得 ，
故選：D
例題4．（1）已知函數．
①求函數的定義域、值域；
②確定函數的單調區間．
（2）畫出函數的圖象，并依據圖象指出它的相關性質．
【答案】（1）①定義為，值域為；②在上是減函數，在上是增函數；（2）答案見解析.
（1）①設，
由及的定義域都是，故函數的定義為．
∵，
∴，又，故原函數值域為．
②函數在上增函數，即對任意且，有，
而，即，
所以原函數在上是減函數，同理：原函數在上是增函數.
（2），圖象和性質如下，
①對稱性：對稱軸為；
②單調性：在上單調遞減，在上單調遞增；
③定義域為R，值域：.
例題5．已知函數（為常數）是定義在上的奇函數.
(1)求函數的解析式；
(2)判斷函數的單調性，并用定義證明；
(3)若函數滿足，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)在上單調遞減，證明見解析
(3)
(1)解：因為是定義在上的奇函數，所以，
即，即，所以，即；解得，
所以
(2)解：函數是上的減函數
證明：在上任取,，設，
因為，所以，則，
所以
即
所以在上單調遞減
(3)解：因為是定義在上的奇函數
所以可化為
又在上單調遞減，
所以
解得
題型歸類練
1．在同一坐標系中，函數與函數的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：函數的是指數函數，且，排除選項C，
如果，二次函數的開口方向向上，二次函數的圖象經過原點，并且有另一個零點：，
所以B正確；
對稱軸在x軸左側，C不正確；
如果，二次函數有一個零點，所以D不正確．
故選：B．
2．已知表示a，b中的最小值，則函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由題意，
結合指數函數的圖像可知，選項C的圖像正確
故選：C
3．已知函數，若函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因函數在R上是嚴格減函數，則函數在上單調遞減，
并且有，于是得，解得：，
所以實數a的取值范圍是.
故選：D
4．函數（，且）的圖象恒過定點，在冪函數的圖象上，則=_______；
【答案】27
解：因為函數（，且）的圖象恒過定點，
所以由指數型函數性質得，
因為在冪函數的圖象上
所以，解得，
所以，.
故答案為：
5．若函數與（且）的圖象經過同一個定點，則的值是________.
【答案】25
函數圖象過定點，函數圖象過定點，
依題意，，解得，則
所以的值是25.
故答案為：25
6．已知函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍為______.
【答案】
解：令，
因為函數在區間上是嚴格增函數，又在R上單調遞增，
所以在區間上是增函數，
因為的單調增區間為，
所以，
所以．
故答案為：.
7．冬季來臨，為了預防流行性感冒，某工廠對廠區進行藥物噴灑消毒，廠區空氣中每立方米的藥物含量y(單位:克)隨時間x(單位:小時)的變化情況如圖所示，在藥物的噴灑過程中，y與x成冪函數關系;藥物噴灑完畢后，y與x的函數關系為y=(0(1)寫出從藥物噴灑開始，y與x的函數關系式;
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.0001克以下時，工人才可以進入廠區，那么從藥物噴灑開始，至少需要經過多少小時后，工人才能回到廠區
【答案】(1)
(2)至少需要經過1.1小時后工人才能回到廠區
(1)解：由于在藥物的噴灑過程中，與成冪函數關系，
故設，將點代入得：
，解得，
則當，；
藥物的噴灑后，又將點代入中，
，解得，
所以則當時，.
綜合；
(2)由題，應該在藥物噴灑完成，藥物釋放一定時間方可進入廠區，
所以有，即解得，
8．已知函數(，且)是指數函數.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
【答案】(1)，(2)答案見解析
(1)解：因為(，且)是指數函數，
所以，，
所以，；
(2)解：由（1）得(，且)，
①當時，在R上單調遞增，
則由，
可得，解得；
②當時，在R上單調遞減，
則由，
可得，解得，
綜上可知，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
重點題型六：對數（型）函數的圖象與性質
典型例題
例題1．在同一直角坐標系中，函數，（且）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
當時，函數過定點且單調遞減，則函數過定點且單調遞增，函數過定點且單調遞減，C符合；
當時，函數過定點且單調遞增，則函數過定點且單調遞減，函數過定點且單調遞增，各選項均不符合.
故選：C.
例題2．已知函數，給出下述論述，其中正確的是（ ）
A．當時，的定義域為
B．一定有最小值
C．當時，的定義域為
D．若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是
【答案】A
對A，當時，解有，故A正確；
對B，當時，，此時，，
此時值域為，故B錯誤；
對C，由A，的定義域為，故C錯誤；
對D，若在區間上單調遞增，此時在上單調遞增，所以對稱軸，解得，但當時，在處無定義，故D錯誤.
故選：A.
例題3．若函數在區間單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為在單調遞減，
所以，函數在單調遞減，且函數值非負，
所以函數在是單調遞增且，
故 ，解得，
故選：C
例題4．已知函數，若是上的單調遞增函數，則的取值范圍是__________．
【答案】
因函數是上的單調遞增函數，因此有，解得，
所以.
故答案為：
例題5．對于函數，解答下列問題：
(1)若函數定義域為，求實數的取值范圍；
(2)若函數在內為增函數，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
(1)函數定義域為，即恒成立，
當時，不恒成立，不滿足題意，
當時，則，解得：，
綜上，實數的取值范圍為；
(2)若函數在內為增函數，
則在為減函數，且在的函數值為正，
，解得：，故實數的取值范圍是．
例題6．已知函數，其中且
(1)求的值并寫出函數的解析式；
(2)求函數的定義域，再判斷并證明函數的奇偶性；
(3)已知在定義域上是單調遞減函數，求使的的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2), 奇函數，證明見解析；
(3)
(1)由，
，解得 ，.
(2)由得，，解得，
所以函數的定義域為，該定義域關于原點對稱，
又 ，
即，所以函數在上為奇函數.
(3)由在定義域上單調遞減，，得，又，所以.
題型歸類練
1．函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為，，
所以，
故函數是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除AB，
當時，，排除選項C，
故選：D
2．已知對于任意的，都有成立，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為，所以關于對稱，
因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，
因為，所以，即，所以，
即，解得，
故選：C.
3．已知函數(且）的圖象恒過定點，若點也在函數的圖象上，則__________．
【答案】
解：由題意函數的圖象恒過定點，故得，
又點也在函數的圖象上，
，解得，
故答案為：．
4．已知f（x）＝在區間[2，＋∞）上為減函數，則實數a的取值范圍是________．
【答案】（－4，4]
二次函數的對稱軸為x＝，
由已知，應有≤2，且滿足當x≥2時y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4故答案為：（－4，4]
5．已知函數f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
(1)求f（x）的定義域．
(2)是否存在實數a，使函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)由題意可得3﹣ax＞0，即ax＜3，
因為a＞0，所以解得．
故f（x）的定義域為；
(2)假設存在實數a，使函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為2．
設函數g（x）＝3﹣ax，由a＞0，得﹣a＜0，
所以g（x）在區間[1，2]上為減函數且g（x）＞0恒成立，
則g（2）＞0，解得0＜a，
又因為f（x）在區間[1，2]上單調遞減，
所以a＞1，即，
又因為f（x）在區間[1，2]上的最大值為2，
所以f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2，
整理得a2+a﹣3＝0，解得．
因為，所以，
所以存在實數，使函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為2．
6．已知函數，．
(1)求函數的定義域，并判斷其在定義域上單調性無需證明；
(2)若對任意的，，恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)，單調遞增；
(2)
(1)，
，
，
在上單調遞增；
(2)由題意：，而，，
對于恒成立，
，令，，
即對于恒成立，
令，
．
即的取值范圍為．
7．已知函數
(1)當時，判斷函數的奇偶性并證明；
(2)解不等式
【答案】(1)奇函數，證明見解析
(2)答案見解析
(1)當時，是奇函數，
當時，的定義域滿足，解得
所以的定義域為 ，
因為
所以是奇函數
(2)由，則，即，
不等式等價于，
，
①當即時， ；
②當即時，不等式的解集為 ；
③當即時， ，
綜上所述：當時，；
當時，不等式的解集為；
當時， .
8．已知函數（且）是定義在上的偶函數，且，.
(1)求的解析式；
(2)判斷函數的單調性，無需證明；
(3)對于任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)在上單調遞增，在上單調遞減
(3)
(1)∵函數是定義在上的偶函數，
∴，
整理得，∴，
又∵，可得，
∴或，∴.
(2)函數在上單調遞增，在上單調遞減
（任取，且，則
當時，，即，所以在上單調遞減，
當時，，即，所以在上單調遞增，）
(3)由（2）知，函數在上為增函數，在上單調遞減，
∴，
故對于任意的，存在，使得成立，
即存在，，
等價于存在，使得成立，
∴，即，
又函數在上單調遞減，
∴在上的最小值為，
∴，即實數的取值范圍為.
重點題型七：函數與方程
典型例題
例題1．若關于的方程在區間上有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為在區間上為單調遞減函數，
所以，即，
解得.
故選：B.
例題2．已知，若方程有四個不同的解，且，則的最大值是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣12
【答案】C
解：作出函數 的圖象如圖所示：
因為方程 有四個不同的解，，，，且，
，關于對稱，即，，
則，即，
則，即，則，
故，
當時，，解得，
當時，，解得，
故，
又函數，在時為減函數，
故時，取最大值為，
故選：C
例題3．已知函數為上的偶函數，當時，，若函數有3個零點，則實數的取值集合為__________．
【答案】
解：設，則，所以，
因為為上的偶函數，所以，所以，
所以，
當時，由有且只有1個正實根，
可得，結合函數圖象可得，
由偶函數圖象對稱性知也符合題意，
綜上可得；
故答案為：
例題4．已知函數，滿足，且當時，都有．
(1)求的解析式，并畫出的圖象
(2)利用圖象討論方程實根情況.
【答案】(1)，圖象見解析
(2)答案見解析
(1)解：由，得，
又當時，都有，則，，所以，
所以聯立方程求解得，
，
函數的圖象如圖所示：
.
(2)解：由函數的圖象可知：
當或時，方程有1個實根；
當或時，方程有2個實根；
當時，方程有3個實根.
例題5．已知函數，若方程有三個不等的實數根，則實數的取值范圍是___________；若互不相等的實數滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】 ，
解：因為函數，
畫出分段函數的圖象，如圖所示：
由圖象知，若方程有三個不等的實數根，則實數的取值范圍是，
令互不相等的實數，，滿足，，
則，，，，
則，
又，
所以，．
故答案為：；，．
題型歸類練
1．已知函數函數有三個不同的零點，，，且，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．a的取值范圍為 D．的取值范圍為
【答案】D
有三個不同的零點，即方程有三個不同的解，
的圖象如圖所示，結合圖象可得，，，
由二次函數的對稱性，可得，
故的取值范圍為，
故選：D.
2．（多選）已知函數，若關于的方程恰有三個不同實數解，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
作出函數的圖象，如圖所示，
關于的方程恰有三個不同實數解，
則與有三個交點，且橫坐標分別為，
當時，對稱軸的方程為，且，
結合圖象，可得且，即，
當時，，且，
所以，則，可得，
所以，
令，
可得，
因為，可得且，則，
即，所以函數在區間上為單調遞增函數，
所以，
又由，所以，
即的取值范圍為，
結合選項，取值可能是和.
故選：AB.
3．函數有且僅有1個零點，則m的取值范圍為_______.
【答案】或
∵函數有且僅有1個零點，
∴函數的圖象與直線有一個交點，
由圖可得或，
∴或.
故答案為：或.
4．對于定義在上的函數，若存在實數，使得，則稱是函數的一個不動點.已知，，.
(1)當時，求的不動點；
(2)若函數有兩個不動點，，且.求實數的取值范圍；
(3)若對，，使得，求實數的取值范圍.
【答案】(1)和(2)(3)
(1)當時,.
由,得方程,即.
所以的不動點為和.
(2)由,得方程.
由題知,方程有兩個根,所以.
令,得.
因為,所以.
所以,所以
滿足.
所以實數的取值范圍為.
(3)(3)設,因為,所以.
則.
當.
因為對,使得.
所以,在上恒成立.
即,在上恒成立.
所以,即實數的取值范圍為.
5．已知函數，其中，
（1）若函數在單調，則實數的范圍是__________；
（2）若存在互不相等的三個實數，，，使得，則函數的值域為__________.
【答案】
（1）當時，，在單調遞增，當時，，其對稱軸為，所以在
上單調遞增，若函數在單調，則，
解得.
（2）若存在互不相等的三個實數，，，使得，
則的圖象如圖所示：
則，即，解得或(舍去).
對于函數，令，，所以，
其對稱軸為，所以在上單調遞減，所以，則函數的值域為.
故答案為：，.
6．已知函數，若存在實數.滿足，且，則___________，的取值范圍是___________.
【答案】 1
作出函數的圖象，如圖，
因為，
所以由圖可知，，即，，且，
，
在上單調遞增，
，
即的取值范圍是.
故答案為：1；
重點題型八：函數模型及其應用
典型例題
例題1．“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進步”的是“退步”的倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%，那么大約經過（ ）天后“進步”的是“退步”的一萬倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
設經過天“進步“的值是“退步”的值的10000倍,
則，
即，
,
故選：D．
例題2．年，全世界范圍內都受到“新冠”疫情的影響，了解某些細菌 病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播 保護環境有極其重要的意義.某科研團隊在培養基中放入一定量某種細菌進行研究．經過分鐘菌落的覆蓋面積為，經過分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；現菌落的覆蓋面積（單位：）與經過時間（單位：）的關系有兩個函數模型與可供選擇.
（參考數據：，，，，，，）
(1)試判斷哪個函數模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；
(2)在理想狀態下，至少經過多久培養基中菌落面積能超過？（結果保留到整數）
【答案】(1)應選模型為，理由見解析；
(2)
(1)的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢，
應選模型為；
則，解得：，，又，
函數模型為；
(2)由題意得：，即，，
，，
至少經過培養基中菌落面積能超過.
題型歸類練
1．（1）計算．
（2）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：）與時間t（單位：月）的關系為．若浮萍蔓延到、、所經過的時間分別是，寫出一種滿足的關系式，并說明理由．
【答案】（1）3；（2）．（或），理由見解析
（1）
（2）將點的坐標代入函數的解析式，得，所以函數的解析式為．
由題意可得，，，
∵，∴，
即，所以．
也可由，知.
2．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現了傳染性更強的“德爾塔”、“拉姆達”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環境的影響，時而也會出現一些散發病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松.某科研機構對某變異毒株在一特定環境下進行觀測，每隔單位時間進行一次記錄，用表示經過單位時間的個數，用表示此變異毒株的數量，單位為萬個，得到如下觀測數據：
1 2 3 4 5 6
（萬個） 10 50 250
若該變異毒株的數量（單位：萬個）與經過個單位時間的關系有兩個函數模型與可供選擇.
(1)判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經過多少個單位時間該病毒的數量不少于1億個. （參考數據：）
【答案】(1)選擇函數更合適，解析式為(2)11個單位
(1)若選，將，和，代入得
，解得
得
將代入，，不符合題意
若選，將，和，代入得
，解得
得
將代入得，符合題意
綜上：所以選擇函數更合適，解析式為
(2)解：設至少需要個單位時間，
則，即
兩邊取對數：
因為，所以的最小值為11
至少經過11個單位時間不少于1億個
重點題型九：指數函數、對數函數與其它函數的交融
典型例題
例題1．已知函數，.
(1)證明：為偶函數；
(2)若函數，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(1)證明：定義域為，
，
即為，
則為偶函數；
(2)解：
，
當時，，
令，則，，
當時，即，在上單調遞增，
所以時，，解得，
當時即，時，，
解得：不成立；
當時，即，在上單調遞減，所以時，，
解得不成立．
故存在滿足條件的．
例題2．已知定義域為R的函數是奇函數.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
(1)因為函數為奇函數，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函數.
(2)∵，
所以在上單調遞減，且為奇函數，
由，得，
所以，
設，，
則，又，
所以，即，
故實數m的取值范圍.
例題3．已知函數在區間上有最大值和最小值設．
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)的對稱軸為在直線，開口向上，
在區間上是增函數，
，解得．
(2)由(1)可得，則，
，
在上有解，
即在上有解，
在上有解，
令，則，
，，記，
不等式在上有解，
小于在上的最大值即可，
在上先減后增，
，，
，
．
例題4．已知函數是偶函數．
(1)求的解析式；
(2)設函數，其中，若方程存在實數解，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
(1)是偶函數，
，，
即對恒成立，
即對恒成立，
對恒成立，
不恒為0，，
．
(2)方程存在實數解，即方程存在實數解，
又對數函數在上單調遞增，
即方程存在實數解，
令，則，
方程化為，
即關于t的方程存在正數解，
∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，
∴方程存在正數解，即函數y＝m與函數，t＞2圖像有交點.
，當且僅當，即時，等號成立，
∴根據對勾函數的圖像性質可知，
即實數的取值范圍為.
題型歸類練
1．設函數（且）是奇函數．
(1)求常數的值；
(2)若，試判斷函數的單調性，并加以證明；
(3)若已知，且函數在區間上的最小值為，求實數的值．
【答案】(1)1
(2)在R上遞增，證明見解析
(3)m
(1)∵（且）是奇函數．
∴，即，解得．
(2)∵（且），
當時，在R上遞增．
理由如下：設，則
，
由于，則，即，
，即，
則當時，在R上遞增．
(3)∵，∴，
即，
解得或（舍去）．
∴
令，
∵，
∴，
∴
當時，，解得，不成立舍去．
當時，，解得m，滿足條件，
∴m．
2．對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①在內是單調增函數；②當定義域是時，的值域是，則稱是該函數的“翻倍區間”．
(1)證明：是函數的一個“翻倍區間”；
(2)判斷函數是否存在“翻倍區間”？若存在，求出所有“翻倍區間”；若不存在，請說明理由；
(3)已知函數有“翻倍區間”，求實數的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
(3)
(1)證明：由函數在上單調增函數知，的值域為，
故是函數的一個“翻倍區間”；
(2)假設存在一個“翻倍區間”，由函數是上的單調增函數，有
解得，，
由知所有“翻倍區間”為；
(3)由函數有“翻倍區間”知，為上的單調增函數，
而，
可得，解得，
由知可得，是方程的兩個根，
等價于方程在上有兩個不等實根或者在上有兩個不等實根，
即方程在上有兩個不等實根或者在上有兩個不等實根，
則有或，
解得或，
綜上，實數的取值范圍為．
3．已知偶函數且圖象過定點且定義域．
(1)求實數的值，及函數的解析式；
(2)當時，求函數的值域．
【答案】(1) ；；
(2)
(1)函數且過定點，
，
又函數 為偶函數，那么 ，
，且定義域為 ， ，
；
(2)，， ，
解得：，
令，則，
函數
，
當，函數為增函數，
當即 時，取最小值，
當即時，取最大值，
故函數的值域為 ．
4．已知函數且的圖像恒過定點，且點又在函數的圖像上．
(1)若，求的值
(2)若函數在區間上的圖像總在圖像上方，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)，
當時，，
則函數圖像恒過定點，
又在函數圖像上，
則，得
由，則，
令，則，
即，，
，，
即，得．
(2)，
函數在區間上的圖像總在直線圖像上方，
則在區間上恒成立，
即在區間上恒成立，
令，則，
函數的對稱軸為，
，即，在區間上單調遞增，
，
則，
又，；
，即，
函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，
則，
則，
又，所以；
，即，在區間上單調遞減，
，即，
又，無解，
綜上所述，實數的取值范圍為．
第三部分：數學思想與方法
數形結合的思想
典型例題
例題1．已知函數，若有四個不等實根，且，求的取值范圍（ ）
A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）
C．[－，－3) D．[－，－3]
【答案】C
作出函數和的圖象如下圖所示：
由于二次函數的圖象關于直線對稱，所以，，
由，得，即，
所以，，可得，
由圖象知，當時，直線與函數的圖象有四個交點，
所以，，即，即，
，得，
由于函數在區間上為減函數，
.
故選：C.
例題2．已知函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍( )
A． B． C．(0，1) D．
【答案】C
∵有3個零點，
∴有三個實根，
即直線與的圖像有三個交點.
作出圖像，
由圖可知，實數的取值范圍是(0，1).
故選：C.
例題3．若方程，且有兩個不同實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意可知，方程有兩個不同實數根，
等價于函數與的圖象有兩個不同的交點，
當時，如圖所示，
由圖可知，當時，函數與的圖象有兩個不同的交點，滿足題意
當時，如圖所示
由圖可知，當時，函數與的圖象有且僅有一個交點，
不滿足題意,
綜上所示，實數的取值范圍為．
故選：D．
例題4．若函數零點為，函數零點為，則___________.
【答案】2
令，得：；令，得：；
所以分別為和與的圖像交點的橫坐標，如圖所示：
所以，.
因為和互為反函數，所以和的圖像關于y=x對稱，所以A、B兩點關于y=x對稱.
又A、B兩點均在的圖像上，所以，所以2.
故答案為：2
分類討論的思想
典型例題
例題1．已知函數且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值為，求的值.
【答案】(1)；(2)或.
(1)因為的定義域為關于原點對稱，
，
所以為奇函數，故.
(2)，
若，則單調遞減，單調遞增，
可得為減函數，
當時，，
解得：，符合題意；
若，則單調遞增，單調遞減，
可得為增函數，
當時，
解得：，符合題意，
綜上所述：的值為或.
例題2．已知函數在區間[0，2]的最大值比最小值大，求實數的值.
【答案】或
當時，在上單調遞減，
，得，
又；
當時，在上單調遞增，
，得 ，
又；
綜上所述，或.
例題3．已知且，
(1)求函數的解析式，并判斷其奇偶性和單調性：
(2)當的定義域為時，解關于的不等式.
【答案】(1) ,為奇函數.; 當時,在上單調遞增; 當時,在上單調遞減
(2)時，不等式的解集為;當時，不等式的解集為
(1)設，則，所以
所以
由，故為奇函數.
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時,在上單調遞增
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時,在上單調遞減
(2)的定義域為，所以解得
由為奇函數，則由，可得
由當時,在上單調遞增，則，解得或
所以當時，不等式的解集為
當時,在上單調遞減，則解得
所以當時，不等式的解集為
例題4．已知函數（且）.
(1)若，求的單調區間；
(2)若在區間上是增函數，求實數的取值范圍.
【答案】(1)減區間為，增區間為(2)
(1)當時，，
由得：或，
所以函數的定義域為，
令，則，
因為在上遞減，在上遞增，在上遞增，
所以函數的減區間為，增區間為.
(2)令，易知，且，則函數的圖象為開口向上，
對稱軸為的拋物線，
①當時，要使函數在區間上是增函數，
則在上單調遞減，且，
則，解得；
②當時，要使函數在區間上是增函數，
則在上單調遞增，且，
即，解得，符合題意，所以.
綜上①②所述：實數的取值范圍為.
換元的思想
典型例題
例題1．已知函數，且，求函數的值域．
【答案】
解：∵，∴，
∴，
令，則，且，易知在[1，4]上單調遞增，
∴，即，
即函數的值域為.
例題2．已知函數（且）是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)若，，且在上的最小值為，求實數的值.
【答案】(1)；
(2).
(1)解：因為函數為奇函數，則，
即，整理可得對任意的恒成立，
則，解得.
(2)解：當時，由（1）可知，
因為函數、均為上的增函數，所以，，即，
令，則，
所以，，
令，其中，
二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線.
①當時，即時，函數在上單調遞增，
此時，，不合乎題意；
②當時，即當時，，解得，合乎題意；
③當時，即當時，函數在上單調遞減，
此時，，解得，不合乎題意.
綜上所述，.
例題3．設函數是定義在上的奇函數，且當時，.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)因為函數是定義在上的奇函數，所以，且，
設，則，所以，所以，
所以.
(2)若，使得，由（1）知即，使得，
令，則轉化為在有解，
令，
設，則，
因為，所以，所以，即
在時是單調遞增函數，所以，
所以，
所以實數的取值范圍是.
轉化與化歸的思想
典型例題
例題1．已知函數，
(1)若方程在上有實數根，求實數的取值范圍；
(2)當時，若對任意的總存在使成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)方程在上有實數根，即在上有實數根，
即函數的圖像與直線 在上有交點，
在單調遞減，所以，
所以，解得，
故所求實數的取值范圍是 .
(2)若對任意的，總存在使成立，
只需函數的值域為函數的值域的子集.
的值域為
下求的值域.
當時，為常數，不符合題意舍去；
當時，需，解得 ，
當時，需，解得 ，
綜上，的取值范圍為
例題2．已知函數
(1)畫出函數的圖像，寫出函數的單調區間；
(2)求滿足的的值；
(3)如果方程有三個解，求實數的范圍.
【答案】(1)作圖見解析，遞增區間為和，遞減區間為；
(2)，，(3)
(1)
函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減增；
所以函數的遞增區間為和，遞減區間為；
(2)當時，
由得，符合題意.
當時，
由得，符合題意.
當時，
由得，符合題意.
所以滿足的的值為：，，
(3)當時，
再結合（1）所畫函數圖像得.
例題3．已知函數.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范圍；
(3)畫出函數的圖象，若函數的圖象與直線有三個交點，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)(3)圖象見解析，
(1)解：由題意可得，則.
(2)解：當時，由，得，解得，此時；
當時，由，可得，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
(3)解：作出函數的圖象如下圖所示：
由圖象可知，當時，函數的圖象與直線有三個交點，
因此，實數的取值范圍是.
例題4．已知函數.其中實數.
(1)若對任意都有值成立，求實數a的取值范圍；
(2)當的值域為時，函數在區間上有三個零點，求m的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)即，
整理得在上恒成立
又，
當且僅當，即時等號成立
故；
(2)因為函數的值域為
則，得（負值舍去）
故，
作出，的圖像如下：
令，
則，
，
要函數在區間上有三個零點，
則或
解得.

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