資源簡介

第五章 三角函數 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：三角函數的概念
重點題型二：扇形的弧長與面積
重點題型三：同角三角函數基本關系
重點題型四：利用誘導公式化簡
重點題型五：三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
重點題型六：三角函數圖象變換
重點題型七：根據圖象求解析式
重點題型八：拼湊角
重點題型九：三角函數值域與最值
重點題型十：五點法作圖問題
重點題型十一：三角函數中零點（根）個數問題
重點題型十二：三角函數中零點（根）的代數和問題
重點題型一：三角函數的概念
典型例題
例題1．（2022·內蒙古·滿洲里市第一中學高二期末（文））若角的終邊過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2013·江蘇蘇州·高一階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于兩點．已知兩點的橫坐標分別是，．
（1）求的值；
（2）求的值．
例題3．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知角終邊經過點，求
同類題型演練
1．（2022·陜西安康·高二期末（文））在平面直角坐標系中，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上?！じ咭徽n時練習）在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于兩點，若兩點橫坐標分別為，求的值．
重點題型二：扇形的弧長與面積
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知一扇形的周長為，則當該扇形的面積取得最大時，圓心角大小為（ ）
A． B． C．1 D．2
例題2．（2022·河南開封·高二期末（理））斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數1，1，2，3，5，8，…為邊長比例的正方形拼成矩形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如圖，矩形是由若干符合上述特點的正方形拼接而成，其中，則圖中的斐波那契螺旋線的長度為（ ）
A．11π B．12π C．15π D．16π
例題3．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）如圖，扇形的半徑為，扇形的圓心角為，是扇形的內接矩形，設．
(1)求扇形的弧長及面積；
(2)用表示矩形的面積，并求當為何值時，矩形面積最大及其最大值．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）九章算術是中國古代的數學名著，其中方田一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在圓的半徑為，圓心角為，則此弧田的面積為__________．
2．（2022·江蘇省天一中學高一期末）若扇形的周長為定值，則當該扇形的圓心角______時，扇形的面積取得最大值，最大值為______.
重點題型三：同角三角函數基本關系
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·江西九江·高一期末）若，則的值是_____________．
同類題型演練
1．（2022·廣東揭陽·高二期末）已知，則＝（ ）
A． B．2 C． D．6
2．（2022·上海市第十中學高一期末）已知：，，則__________.
重點題型四：利用誘導公式化簡
典型例題
例題1．（2022·遼寧沈陽·高一期末）已知角的終邊上的一點，則的值為___________.
例題2．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
2．（2022·陜西漢中·高一期末）（1）計算的值；
（2）已知角的終邊過點（1，2），求的值．
重點題型五：三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
典型例題
例題1．（2022·河南濮陽·高一期末（理））已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．
C．函數的圖象關于直線對稱
D．函數在區間上單調遞增
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）將函數的圖象向左平移個單位長度得到一個偶函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））關于函數有下列四個結論：
①的值域為；
②在上單調遞減；
③的圖象關于直線于對稱；
④的最小正周期為．
上述結論中，正確命題的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例題4．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數，下列說法正確的有（ ）
①函數最小正周期為；
②定義域為
③圖象的所有對稱中心為；
④函數的單調遞增區間為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例題5．（多選）（2022·云南玉溪·高二期末）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．在區間單調遞增
C．的圖像關于點對稱 D．的圖像關于直線對稱
例題6．（多選）（2022·江西宜春·高一期末）已知函數，則 （ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．在區間上單調遞減
D．可以改寫成
同類題型演練
1．（多選）（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）將函數的圖象向左平移個單位得到函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為 B．的一條對稱軸為
C．是奇函數 D．在區間上單調遞增
2．（多選）（2022·山東濱州·二模）設函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．在單調遞減
C．的圖象關于直線對稱 D．的值城為
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．在上單調遞增
C．的圖象向左平移個單位長度后關于原點對稱
D．的圖象的對稱軸方程為
4．（多選）（2022·湖北·鄂州市鄂城區教學研究室高一期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）．
A．函數的定義域為
B．函數的最小正周期為
C．函數的單調遞增區間為，
D．函數的對稱中心為，
5．（2022·江西·高三階段練習（理））已知函數，若為偶函數，在區間內單調，則的最大值為_________.
6．（2022·云南·昆明一中高三開學考試）若函數的圖像關于直線對稱，則___________.
7．（2022·河南新鄉·高二期末（理））已知函數的最小正周期為π，f（x）圖象的一個對稱中心為，則φ＝________．
重點題型六：三角函數圖象變換
典型例題
例題1．（2022·河南·高三開學考試（文））將奇函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的曲線的對稱軸方程為（ ）．
A． B．
C． D．
例題2．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列四種變換方式中能將函數的圖象變為函數的圖象的是（ ）
A．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
B．向左平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍
C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位長度
D．每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度
例題3．（2022·山東淄博·高一期末）已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
例題4．（2022·全國·高一課時練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．若是函數的一個零點，則的最小值是______.
同類題型演練
1．（2022·河南南陽·高一期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知函數，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
3．（2022·河南·高二開學考試）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到偶函數的圖像，則的最小值是______．
4．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知函數（），將圖象上所有點向右平移個單位，得到奇函數的圖象，則常數的一個取值為____.
重點題型七：根據圖象求解析式
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）數學家傅里葉關于三角函數的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物的叫聲等都可以歸結為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數模型描述的．已知描述百靈鳥的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應的函數解析式是，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例題2．（2022·安徽·高三開學考試）如圖，某港口一天從6時到18時的水深曲線近似滿足函數.據此可知當天12時的水深為（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到（，，）的圖象如圖，則的解析式為_____．
例題4．（2022·全國·高一課時練習）如圖，函數的圖象與軸的交點為，且其圖象在軸右側的第一個最高點和第一個最低點的橫坐標分別為和.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數是奇函數，求的值.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）氣候變化是人類面臨的全球性問題，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉型．某校高一數學研究性學習小組同學研究課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從6時到14時的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數，如圖，則（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．，
D．若是偶函數，則的最小值為2
2．（2022·全國·高一課時練習）氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對生命系統形成威脅，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉型，力爭2030年前實現碳達峰，2060年前實現碳中和目標．某校高一數學研究性學習小組研究的課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從到的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數（，，），該函數圖象如圖，則（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．，
D．若是偶函數，則的最小值為2
3．（2022·全國·高一課時練習）（多選）已知函數（，）的圖象，如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．對任意的都有
D．在上單調遞減
4．（2022·全國·高一課時練習）如圖，在海岸線TO一側有一休閑游樂場，游樂場的其中一部分邊界為曲線段TDBS，該曲線段是函數，的圖象，圖象的最高點為，則曲線段TDBS對應的函數解析式為___________.若曲線段TDBS上的入口D到海岸線TO的距離為千米，現準備從入口D修一條筆直的景觀路到O，則景觀路DO的長為___________千米.
重點題型八：拼湊角
典型例題
例題1．（2022·江蘇蘇州·高一期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江西·二模（理））已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知，則的值為__________．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）已知,則__．
2．（2022·全國·高一專題練習）若，則的值為_____．
3．（2022·山東青島·高一期末）已知，則______．
重點題型九：三角函數值域與最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則（ ）
A．的最大值為3，最小值為1
B．的最大值為3，最小值為-1
C．的最大值為，最小值為
D．的最大值為，最小值為
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知當時，函數取得最大值，其中，，則______．
例題3．（2022·河北深州市中學高三階段練習）已知函數．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求在區間上的最大值和最小值．
同類題型演練
1．（2022·廣西貴港·高二期末（文））已知函數的最小正周期為，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則函數在區間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南保山·高一期末）已知函數．
(1)求函數的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
(2)當時，求的值域．
3．（2022·廣東·江門市第二中學高一期中）已知函數
(1)求的最小正周期；
(2)當時求的范圍；
(3)求在區間上的最大值和最小值．
重點題型十：五點法作圖問題
典型例題
例題1．（2022·四川·雅安中學高一開學考試）已知函數，將函數的圖象的橫坐標伸長為原來的4倍，再向右平移個單位長度后得到函數的圖象．
（1）在下列網格紙中畫出函數在上的大致圖象；
（2）求函數在上的單調遞減區間．
例題2．（2022·甘肅·張掖市第二中學高一階段練習）已知函數.
（Ⅰ）用“五點法”作出該函數在一個周期內的圖象簡圖；
（Ⅱ）請描述如何由函數的圖象通過變換得到的圖象.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）把函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，函數的圖象關于直線對稱，記函數.
（1）求函數的最小正周期和單調增區間；
（2）畫出函數在區間上的大致圖象.
2．（2022·湖北·高一期中）已知函數f(x)＝sin ωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期為π.
（1）求ω的值，并在下面提供的直角坐標系中畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象；
(2)函數y＝f(x)的圖象可由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到？
重點題型十一：三角函數中零點（根）個數問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）已知函數（，），最小正周期，．
(1)求函數的解析式及函數的單調遞增區間；
(2)函數在上有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示，且.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·江西景德鎮·高一期末）已知.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)當時，關于x的方程有兩個解，求a的取值范圍.
2．（2022·河北承德·高一階段練習）已知函數的部分圖像如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數在上有兩個零點，求的取值范圍．
3．（2022·遼寧·葫蘆島市第六高級中學高一階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數在上有兩個零點，求m的取值范圍．
重點題型十二：三角函數中零點（根）的代數和問題
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·高一期末）已知函數（，），周期，.
(1)求的解析式及成立的的取值范圍；
(2)函數在上有兩個不同的零點，，求實數的取值范圍及的值.
同類題型演練
1．（2022·北京外國語大學附屬上海閔行田園高級中學高一期中）已知函數 .
(1)求 的最小正周期;
(2)求函數 的嚴格單調增區間;
(3)若方程 在區間 上有兩個相異的實數根 ， 求實數 的取值范圍和 的值.
2．（2022·山東濟寧·高一期中）已知函數，任意相鄰兩個對稱軸之間的距離為，
(1)求的值并求函數的對稱軸方程、單調遞增區間；
(2)若方程在上有兩個不同的實根，求a的取值范圍和的值．
第五章 三角函數 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：三角函數的概念
重點題型二：扇形的弧長與面積
重點題型三：同角三角函數基本關系
重點題型四：利用誘導公式化簡
重點題型五：三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
重點題型六：三角函數圖象變換
重點題型七：根據圖象求解析式
重點題型八：拼湊角
重點題型九：三角函數值域與最值
重點題型十：五點法作圖問題
重點題型十一：三角函數中零點（根）個數問題
重點題型十二：三角函數中零點（根）的代數和問題
重點題型一：三角函數的概念
典型例題
例題1．（2022·內蒙古·滿洲里市第一中學高二期末（文））若角的終邊過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】角的終邊過點，則,
所以，.
故選：B.
例題2．（2013·江蘇蘇州·高一階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于兩點．已知兩點的橫坐標分別是，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
試題解析：由題意，得 2分
（1） 6分
（2）由（1）得 9分
又則 10分
14分
例題3．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知角終邊經過點，求
【答案】7
【詳解】因為角終邊經過點，則
又
同類題型演練
1．（2022·陜西安康·高二期末（文））在平面直角坐標系中，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，.
故選：B.
2．（2021·上海·高一課時練習）在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于兩點，若兩點橫坐標分別為，求的值．
【答案】
【詳解】因銳角終邊分別與單位圓相交于兩點，依題意得點，r=1，
由三角函數定義得，
于是得，
，
所以的值是.
重點題型二：扇形的弧長與面積
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知一扇形的周長為，則當該扇形的面積取得最大時，圓心角大小為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，
所以，
扇形面積，
當時，有最大值，此時圓心角，
故選：D
例題2．（2022·河南開封·高二期末（理））斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數1，1，2，3，5，8，…為邊長比例的正方形拼成矩形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如圖，矩形是由若干符合上述特點的正方形拼接而成，其中，則圖中的斐波那契螺旋線的長度為（ ）
A．11π B．12π C．15π D．16π
【答案】B
【詳解】不妨設正方形的邊長為，則，解得，
所以圖中斐波那契螺旋線的長度為．
故選：B．
例題3．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）如圖，扇形的半徑為，扇形的圓心角為，是扇形的內接矩形，設．
(1)求扇形的弧長及面積；
(2)用表示矩形的面積，并求當為何值時，矩形面積最大及其最大值．
【答案】(1)；
(2)（）；當時，矩形面積最大，其最大值為
(1)，
(2)，所以，
因為扇形的圓心角為，所以
，，
所以=（）
當
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）九章算術是中國古代的數學名著，其中方田一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在圓的半徑為，圓心角為，則此弧田的面積為__________．
【答案】
【詳解】依題意，等腰底邊，高，則的面積為，
而扇形的面積為，則有陰影部分的面積為，
所以此弧田的面積為.
故答案為：
2．（2022·江蘇省天一中學高一期末）若扇形的周長為定值，則當該扇形的圓心角______時，扇形的面積取得最大值，最大值為______.
【答案】 2
【詳解】設扇形的半徑為，則扇形的弧長為
故
扇形的面積
由二次函數的性質，當時，面積取得最大值為
此時，
故答案為：2，
重點題型三：同角三角函數基本關系
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，故，所以，，且，即.
所以，所以.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，
所以,
故選:A.
例題3．（2022·江西九江·高一期末）若，則的值是_____________．
【答案】
【詳解】解：因為，
所以，即，
解得，
所以，
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·廣東揭陽·高二期末）已知，則＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【詳解】因為
所以
故選：A
2．（2022·上海市第十中學高一期末）已知：，，則__________.
【答案】
【詳解】解：由，兩邊平方得：，
即，
因為，
所以，
所以，
兩式聯立得，
所以，
故答案為：
重點題型四：利用誘導公式化簡
典型例題
例題1．（2022·遼寧沈陽·高一期末）已知角的終邊上的一點，則的值為___________.
【答案】
【詳解】因為角的終邊上的一點，所以，
所以.
故答案為：.
例題2．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
（1）解：.
因為，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）解：因為，所以.
2．（2022·陜西漢中·高一期末）（1）計算的值；
（2）已知角的終邊過點（1，2），求的值．
【答案】（1）；（2）3.
【詳解】（1）
（2）∵角的終邊過點（1，2），，
．
重點題型五：三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
典型例題
例題1．（2022·河南濮陽·高一期末（理））已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．
C．函數的圖象關于直線對稱
D．函數在區間上單調遞增
【答案】C
【詳解】由圖象可得：A=2，最小正周期為，所以，
又
又,所以，所以.
對于A，，
所以是f(x)的一個對稱中心，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C不正確；
對于D，令，
解得：，令，
所以D正確.
故選：C.
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）將函數的圖象向左平移個單位長度得到一個偶函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，
將函數的圖象向左平移個單位長度，
得到函數的圖象，
因為函數為偶函數，則，
解得，
，則當時，取最小值.
故選：A.
例題3．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））關于函數有下列四個結論：
①的值域為；
②在上單調遞減；
③的圖象關于直線于對稱；
④的最小正周期為．
上述結論中，正確命題的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】，由得，
所以，
對于①：令則，又在上單調遞增，所以當時，，當時，，
所以f（x）的值域為[，2]，故①正確；
對于②：當時，，且在上單調遞減，又令且單調遞增，所以f（x）在[0，]上單調遞減，故②正確；
對于③：因為，，而，所以f（x）的圖象關于直線x＝對稱不成立，故③不正確；
對于④：因為，且的最小正周期是，所以 f（x）的最小正周期為π，故④正確.
故選：C.
例題4．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數，下列說法正確的有（ ）
①函數最小正周期為；
②定義域為
③圖象的所有對稱中心為；
④函數的單調遞增區間為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】對①，函數，可得的最小正周期為，所以①正確；
對②，令，解得，
即函數的定義域為，所以②錯誤；
對③，令，解得，所以函數的圖象關于點對稱，所以③正確；
對④，令，解得，故函數的單調遞增區間為，所以④正確；
故①③④正確；
故選：C
例題5．（多選）（2022·云南玉溪·高二期末）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．在區間單調遞增
C．的圖像關于點對稱 D．的圖像關于直線對稱
【答案】ACD
【詳解】對于A：.
因為為偶函數，所以為偶函數.故A正確；
對于B：當時，.
因為在上遞增，在上單減，所以在區間不單調.故B錯誤；
對于C：因為，所以的圖像關于點對稱.故C正確；
對于D：因為，所以的圖像關于直線對稱.故D正確；
故選：ACD.
例題6．（多選）（2022·江西宜春·高一期末）已知函數，則 （ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．在區間上單調遞減
D．可以改寫成
【答案】BC
【詳解】因為.
對于A選項，函數的最小正周期為，A錯；
對于B選項，，B對；
對于C選項，當時，，
所以，函數在區間上單調遞減，C對；
對于D選項，，D錯.
故選：BC.
同類題型演練
1．（多選）（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）將函數的圖象向左平移個單位得到函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為 B．的一條對稱軸為
C．是奇函數 D．在區間上單調遞增
【答案】AD
【詳解】解：將函數的圖象向左平移個單位得到函數.
A. 的最小正周期為，所以該選項正確；
B. 令，函數圖象的對稱軸不可能是，所以該選項錯誤；
C. 由于，所以函數不是奇函數，所以該選項錯誤；
D. 令，當時，，所以在區間上單調遞增，所以該選項正確.
故選：AD
2．（多選）（2022·山東濱州·二模）設函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．在單調遞減
C．的圖象關于直線對稱 D．的值城為
【答案】AD
【詳解】依題意，，則的最小正周期為，A正確；
當時，令，，
而函數在上單調遞減，在上單調遞減，因此，在上單調遞增，B不正確；
因，，即圖象上的點關于直線對稱點不在的圖象上，C不正確；
當時，，則，
當時，，因此，的值城為，D正確.
故選：AD
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．在上單調遞增
C．的圖象向左平移個單位長度后關于原點對稱
D．的圖象的對稱軸方程為
【答案】ACD
【詳解】A：，A正確；
B：，，所以在上不單調，所以B錯誤；
C：的圖象向左平移個單位長度得到：
，為奇函數，C正確.
D：由，得，D正確.
故選：ACD
4．（多選）（2022·湖北·鄂州市鄂城區教學研究室高一期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）．
A．函數的定義域為
B．函數的最小正周期為
C．函數的單調遞增區間為，
D．函數的對稱中心為，
【答案】AD
【詳解】由得，
所以函數的定義域為，故A正確；
函數的最小正周期為，故B錯誤；
由得，
函數的單調遞增區間為，故C錯誤；
由得,
所以函數的對稱中心為，故D正確.
故選：AD.
5．（2022·江西·高三階段練習（理））已知函數，若為偶函數，在區間內單調，則的最大值為_________.
【答案】4
【詳解】由于函數為偶函數，則滿足，故直線為函數圖像的一條對稱軸，所以，，則，，又，即，解得，又，當時，在單調遞增，滿足要求，所以，故的最大值為4.
故答案為：4
6．（2022·云南·昆明一中高三開學考試）若函數的圖像關于直線對稱，則___________.
【答案】
【詳解】解：因為函數的圖像關于直線對稱，
所以函數在時取得最值，
所以，結合輔助角公式得：，即，
整理得：，解得.
故答案為：
7．（2022·河南新鄉·高二期末（理））已知函數的最小正周期為π，f（x）圖象的一個對稱中心為，則φ＝________．
【答案】
【詳解】因為，所以，得ω＝1．因為f（x）圖象的一個對稱中心為，所以，所以，，得，．因為，所以，．
故答案為：.
重點題型六：三角函數圖象變換
典型例題
例題1．（2022·河南·高三開學考試（文））將奇函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的曲線的對稱軸方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為為奇函數，
所以，，
所以．
令，得．
故選：B.
例題2．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列四種變換方式中能將函數的圖象變為函數的圖象的是（ ）
A．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
B．向左平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍
C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位長度
D．每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度
【答案】AC
【詳解】，
對于A，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將每個點的橫坐標縮短為原來的，得到的圖象，故A正確；
對于B，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，故B錯誤；
對于C，將函數的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的，得到的圖象，再向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；
對于D，將函數的圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個單位長度，得到的圖象，故D錯誤．
故選：AC．
例題3．（2022·山東淄博·高一期末）已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【詳解】因為是奇函數，所以，即，
因為，所以，所以，
因為，
所以可把函數的圖象向右平移個單位長度.
故選：D.
例題4．（2022·全國·高一課時練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．若是函數的一個零點，則的最小值是______.
【答案】
【詳解】由題意，可知函數的圖象向左平移個單位長度，
可得函數的圖象，所以.
因為是函數的一個零點，所以，
即，所以，
因此有或，
解得或.
因為，所以當時，的最小值是；
當時，的最小值是.
綜上，的最小值是.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·河南南陽·高一期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，
得到函數的圖象，
再將所得圖象向右平移個單位長度，
得到函數的圖象，
因為，所以為偶函數，所以，
解得，又，所以的最小值為．
故選：D．
2．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知函數，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】B
【詳解】由于，
故只需將函數的圖象向左平移個單位長度，即得到，
也即的圖象，
故選：B
3．（2022·河南·高二開學考試）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到偶函數的圖像，則的最小值是______．
【答案】##
【詳解】由題意，得，
因為為偶函數，所以，，
解得，，又，
所以當時，取得最小值．
故答案為：.
4．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知函數（），將圖象上所有點向右平移個單位，得到奇函數的圖象，則常數的一個取值為____.
【答案】（滿足都正確）
【詳解】將圖象上所有點向右平移個單位，得：
，
又為奇函數，
，
即，
，
解得：，
常數的一個取值為.
故答案為：（滿足都正確）.
重點題型七：根據圖象求解析式
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）數學家傅里葉關于三角函數的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物的叫聲等都可以歸結為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數模型描述的．已知描述百靈鳥的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應的函數解析式是，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】由圖象可知，函數的最小正周期為，
則，所以．
因為，且函數在附近單調遞增，
所以，則，
因為，所以．
故選：C．
例題2．（2022·安徽·高三開學考試）如圖，某港口一天從6時到18時的水深曲線近似滿足函數.據此可知當天12時的水深為（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
【答案】A
【詳解】由圖象可知函數的最小值為2，所以，得，
周期，
所以，得，
所以，
因為函數圖象過點，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因為，所以，
所以，
所以，
故選：A
例題3．（2022·全國·高一課時練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到（，，）的圖象如圖，則的解析式為_____．
【答案】
【詳解】由題圖可知，，函數的最小正周期為，所以，所以．
又，所以，所以（），解得（）．
因為，所以，所以．將函數的圖象向右平移個單位長度后可得到函數的圖象，
故．
故答案為：.
例題4．（2022·全國·高一課時練習）如圖，函數的圖象與軸的交點為，且其圖象在軸右側的第一個最高點和第一個最低點的橫坐標分別為和.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數是奇函數，求的值.
【答案】(1)(2)
（1）解：由題意，知，∴，得，
∴，即.∵，∴或.
當時，函數在上先取得最小值，后取得最大值，不符合題意，∴，
∴函數的解析式為.
（2）解：由題意得，∵是奇函數，∴，
∴，得，又，∴.
當時，，
滿足，∴為奇函數，∴滿足題意.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）氣候變化是人類面臨的全球性問題，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉型．某校高一數學研究性學習小組同學研究課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從6時到14時的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數，如圖，則（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．，
D．若是偶函數，則的最小值為2
【答案】ACD
【詳解】根據題圖可知，所以，根據題圖可知，B選項錯誤．，，又因為，所以，因為，所以，所以，A選擇正確．
，
，
所以，C選項正確．
是偶函數，所以，，，所以當時，取得最小值2，D選項正確.
故選ACD．
2．（2022·全國·高一課時練習）氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對生命系統形成威脅，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉型，力爭2030年前實現碳達峰，2060年前實現碳中和目標．某校高一數學研究性學習小組研究的課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從到的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數（，，），該函數圖象如圖，則（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．，
D．若是偶函數，則的最小值為2
【答案】ACD
【詳解】根據題圖可知得所以．
根據題圖可知，，B錯誤．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正確．
，，所以，C正確．
因為是偶函數，所以，，得，，所以當時，取最小值，為2，D正確．
故選：ACD．
3．（2022·全國·高一課時練習）（多選）已知函數（，）的圖象，如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．對任意的都有
D．在上單調遞減
【答案】ABD
【詳解】由題圖知的最小正周期，則，所以．將代入得，
則（），得（）．
因為，所以，故A，B正確．
，當時，，不滿足對任意的都有，C錯誤．
因為，所以，故在上單調遞減，D正確．
故選：ABD．
4．（2022·全國·高一課時練習）如圖，在海岸線TO一側有一休閑游樂場，游樂場的其中一部分邊界為曲線段TDBS，該曲線段是函數，的圖象，圖象的最高點為，則曲線段TDBS對應的函數解析式為___________.若曲線段TDBS上的入口D到海岸線TO的距離為千米，現準備從入口D修一條筆直的景觀路到O，則景觀路DO的長為___________千米.
【答案】 且
【詳解】由題中圖象知：A=2，.
當x= -1時，，
所以，，解得，，又，
所以，則曲線段TDBS對應的函數解析式為，.
因為D到海岸線TO的距離為千米，設，顯然，
所以，即，
所以，或，，解得，或，，
又，所以，即，而另一點D與S重合，排除，
所以.
故答案為：且，
重點題型八：拼湊角
典型例題
例題1．（2022·江蘇蘇州·高一期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，可得：，所以，
故選：C
例題2．（2022·江西·二模（理））已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，且，，
可得，且 ，
解得，，
所以，
又因為，，
解得.
故選：C.
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知，則的值為__________．
【答案】
【詳解】因為，
所以．
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）已知,則__．
【答案】
【詳解】∵，
∴
.
故答案為：.
2．（2022·全國·高一專題練習）若，則的值為_____．
【答案】
【詳解】∵，∴，
即，
所以.
故答案為：.
3．（2022·山東青島·高一期末）已知，則______．
【答案】
【詳解】，
由.
故答案為：
重點題型九：三角函數值域與最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則（ ）
A．的最大值為3，最小值為1
B．的最大值為3，最小值為-1
C．的最大值為，最小值為
D．的最大值為，最小值為
【答案】C
【詳解】因為函數，
設，，
則，
所以，，
當時，；當時，.
故選：C
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知當時，函數取得最大值，其中，，則______．
【答案】##
【詳解】由題知當，，
即，，函數有最大值，
此時．
故答案為：
例題3．（2022·河北深州市中學高三階段練習）已知函數．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求在區間上的最大值和最小值．
【答案】(1)，最小正周期
(2)最大值為2，最小值為
（1），所以，的最小正周期為
（2）
因為，則，故當，即時取最大值，當，即時，取最小，
同類題型演練
1．（2022·廣西貴港·高二期末（文））已知函數的最小正周期為，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則函數在區間上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為的最小正周期為，
所以，即，
將函數的圖象向左平移個單位長度后，
得到函數的圖象，
當時，，
當時，即時，函數取得最大值，最大值為；
當時，即，函數取得最小值，最小值為，
所以函數的值域為.
故選：A.
2．（2022·云南保山·高一期末）已知函數．
(1)求函數的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
(2)當時，求的值域．
【答案】(1)最小正周期為，圖象的對稱軸方程為，
(2)
(1)
，
所以的最小正周期為，
由，得，
所以圖象的對稱軸方程為
(2)
由，得，
所以，
所以，
所以，
所以的值域
3．（2022·廣東·江門市第二中學高一期中）已知函數
(1)求的最小正周期；
(2)當時求的范圍；
(3)求在區間上的最大值和最小值．
【答案】(1)最小正周期為；
(2)；
(3)最大值為1，最小值為.
(1)，；
(2)對于函數單調遞增，
，；
(3)由（2）知，令，
則對于，根據正弦函數的圖象得：
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，；當時，；
重點題型十：五點法作圖問題
典型例題
例題1．（2022·四川·雅安中學高一開學考試）已知函數，將函數的圖象的橫坐標伸長為原來的4倍，再向右平移個單位長度后得到函數的圖象．
（1）在下列網格紙中畫出函數在上的大致圖象；
（2）求函數在上的單調遞減區間．
【答案】（1）答案見解析；（2）和．
【詳解】（1）將函數的圖像的橫坐標伸長為原來的4倍，
得到的圖像，
再向右平移個單位后，得到的圖象，
列表如下：
0
0 2 0
故函數在上的大致圖像如下圖所示：
（2）令（），
得（），
令，得，
令，得，
故函數在上的單調遞減區間為和．
例題2．（2022·甘肅·張掖市第二中學高一階段練習）已知函數.
（Ⅰ）用“五點法”作出該函數在一個周期內的圖象簡圖；
（Ⅱ）請描述如何由函數的圖象通過變換得到的圖象.
【答案】（Ⅰ）圖象見解析；（Ⅱ）答案不唯一，見解析.
【詳解】（Ⅰ）列表如下：
函數在一個周期內的圖象簡圖如下圖所示：
（Ⅱ）總共有種變換方式，如下所示：
方法一：先將函數的圖象向左平移個單位，將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，可得到函數的圖象；
方法二：先將函數的圖象向左平移個單位，將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，再將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，可得到函數的圖象；
方法三：先將函數的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，將所得圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，可得到函數的圖象；
方法四：先將函數的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象；
方法五：先將函數的圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象；
方法六：先將函數的圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，將所得圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，可得到函數的圖象.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）把函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，函數的圖象關于直線對稱，記函數.
（1）求函數的最小正周期和單調增區間；
（2）畫出函數在區間上的大致圖象.
【答案】（1），單調增區間是.（2）圖見解析
【詳解】（1）由題意知，
根據函數的圖象關于直線對稱，
得，
即，
又，所以，則，
則
，
則函數的最小正周期，
令，得，
故函數的單調增區間是.
（2）列表如下：
0 0 1
2 1 1 3 2
故在區間上的大致圖象是：
2．（2022·湖北·高一期中）已知函數f(x)＝sin ωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期為π.
（1）求ω的值，并在下面提供的直角坐標系中畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象；
(2)函數y＝f(x)的圖象可由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到？
【答案】(1)2 ，圖象見解析；(2)見解析.
【詳解】(1)函數可化為f(x)＝sin.
因為T＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin.
列表如下：
x 0 π
y 1 0 －1 0
畫出圖象如圖所示．
(2)將函數y＝sinx(x∈R)圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數y＝sin (x∈R)的圖象．
再將所得圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的 (縱坐標不變)，可得函數f(x)＝sin (x∈R)的圖象．
重點題型十一：三角函數中零點（根）個數問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）已知函數（，），最小正周期，．
(1)求函數的解析式及函數的單調遞增區間；
(2)函數在上有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
（1）解：由題意，函數，最小正周期，且，
可得，且，可得，
又由，所以，所以．
令，解得，
所以函數的單調遞增區間為．
（2）解：作出函數在上的圖象，
列表如下：
0
2 0
函數在上的圖象，如圖所示，
因為函數在上有兩個不同的零點，即直線與函數的圖象在上有兩個交點，結合圖象可得．
例題2．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示，且.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
（1）解：由圖知，
，
即
，
即，
，
；
（2）解：方程可轉化為，
即，，
設，
可轉化為有兩個不同的實數根，
和的圖象有兩個不同的交點，
如圖，由圖觀察可知，的取值范圍是，
故的取值范圍是.
同類題型演練
1．（2022·江西景德鎮·高一期末）已知.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)當時，關于x的方程有兩個解，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)
，
由正弦函數的單調性可得：，
解得：，
的單減區間為：；
(2)令，由得，
函數在單調遞增，單調遞減，
所以，
則，
要使方程在上有2個解，
只需方程在上有2個解，
所以.
2．（2022·河北承德·高一階段練習）已知函數的部分圖像如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數在上有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)由圖可知，
由，得，
得．
因為，所以，
得，
又，所以，
故．
(2)由題意可知，的圖像與直線有兩個交點．
因為，所以．
因為，，所以，
得，故的取值范圍為．
3．（2022·遼寧·葫蘆島市第六高級中學高一階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數在上有兩個零點，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
(1)由圖可得，，將點的坐標代入解析式可得，
結合圖象可得，，又因為，所以．
將點的坐標代入解析式可得，
結合圖象可得，，則，，
又因為，所以，
故．
(2)當時，，
令，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
，，．
若函數在上有兩個不相等的實數根，
故m的取值范圍為
重點題型十二：三角函數中零點（根）的代數和問題
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·高一期末）已知函數（，），周期，.
(1)求的解析式及成立的的取值范圍；
(2)函數在上有兩個不同的零點，，求實數的取值范圍及的值.
【答案】(1)，；
(2)答案見解析.
(1)由題可知，，
∴，又，
∴，
∴；
由，得，
∴，
∴；
(2)作出函數在上圖像
x 0
2 0 ﹣2 ﹣1
函數零點即函數與圖象交點橫坐標，
如圖可得，
當時，；當時，.
同類題型演練
1．（2022·北京外國語大學附屬上海閔行田園高級中學高一期中）已知函數 .
(1)求 的最小正周期;
(2)求函數 的嚴格單調增區間;
(3)若方程 在區間 上有兩個相異的實數根 ， 求實數 的取值范圍和 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)的取值范圍為，當時，，當時，
(1)
所以最小正周期
(2)由
解得
所以的單調增區間為
(3)因為，
由圖可知，的取值范圍為
因為在區間上的圖象關于對稱，
所以當時，
因為在區間上的圖象關于對稱，
所以當時，
2．（2022·山東濟寧·高一期中）已知函數，任意相鄰兩個對稱軸之間的距離為，
(1)求的值并求函數的對稱軸方程、單調遞增區間；
(2)若方程在上有兩個不同的實根，求a的取值范圍和的值．
【答案】(1)2，對稱軸方程為，，，
(2)的取值范圍是，
(1)
因為任意相鄰兩個對稱軸之間的距離為，∴周期，
，即，
由，解得，
∴對稱軸方程為，
由，得：，
所以的增區間為，，
(2)因為，，
方程即，
令，
方程的根的個數也即函數，圖象交點的個數，
由圖象可知，方程有兩個實根需滿足，所以．
即的取值范圍是.
由圖象，根據對稱性可知，.

展開更多......

收起↑