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第一章 集合與常用邏輯用語 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：集合的基本概念
重點(diǎn)題型二：集合間的基本關(guān)系
重點(diǎn)題型三：集合的基本運(yùn)算
重點(diǎn)題型四：簡易邏輯用語
第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法
①分類與整合思想②等價轉(zhuǎn)換思想③數(shù)形結(jié)合的思想
重點(diǎn)題型一：集合的基本概念
典型例題
1．集合中的元素個數(shù)是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
2．若集合中的元素都是非零實(shí)數(shù)，定義，若，且中有4個元素，則的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
3．用表示非空集合中元素個數(shù)，定義，若，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知集合P滿足，則集合P的個數(shù)有__________個；
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m＝________．
6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.
7．集合是單元素集合，則實(shí)數(shù)________
8．用表示費(fèi)控集合A的元素個數(shù)，若，，且，記滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為S，則____________.
9．已知集合.
（1）若A只有一個元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A；
（2）若A至多有兩個子集，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
10．已知關(guān)于的不等式的解集為.
（1）當(dāng)時，求集合；
（2）當(dāng)且時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
重點(diǎn)題型二：集合間的基本關(guān)系
典型例題
1．已知，，則的子集個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．集合的真子集的個數(shù)為15個，則實(shí)數(shù)的范圍（ ）
A． B． C． D．
3．若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，則B的真子集個數(shù)為（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
5．已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.
6．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為______.
7．集合，，．
(1)求；
(2)請從①，②，③這三個條件中任選一個作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
8．已知，集合，．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求a的取值范圍．
重點(diǎn)題型三：集合的基本運(yùn)算
典型例題
1．已知不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，若，則a值為（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
4．對于集合，，定義，，設(shè)，，則
A． B．
C． D．
5．設(shè)數(shù)集，，且集合M N都是集合的子集，如果把稱為非空集合的“長度”，那么集合的“長度”的取值范圍為___________.
6．設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：
①整數(shù)集是數(shù)域； ②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；
③數(shù)域必為無限集； ④存在無窮多個數(shù)域．
其中正確的命題的序號是_________．（把你認(rèn)為正確的命題的序號填填上）
7．集合，．若“”是“”的充分條件， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
8．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求的取值范圍．
9．設(shè)集合.
（1）若，求的值.
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
重點(diǎn)題型四：簡易邏輯用語
典型例題
1．“”是“為真命題”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
3．若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)
A． B．或
C．或 D．[－1,1]
4．若“”是“”的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5．已知命題P：若命題P是假命題，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．命題“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命題, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．a(chǎn) < 0或a ≥3 B．a(chǎn) 0或a ≥3 C．a(chǎn) < 0或a >3 D．07．已知：，：.若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
8． 已知：，，，且是的充分不必要條件，求的取值范圍．
9．（1）命題:“”，命題:“”，若“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）已知，，若是的必要而不充分必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分類與整合思想
1．（2021·河南·濮陽一高高一期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為___________.
2．（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為_________．
3．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一開學(xué)考試）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
4．（2018·安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若集合，且，則實(shí)數(shù)的取值集合為____．
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式的解集為A，若，則a的取值范圍為________.
6．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
等價轉(zhuǎn)換思想
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合和或，若是的充分條件，求的取值范圍．
2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)高二期末（文））已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．
3．（2022·河北·保定市第二十八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知集合，非空集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．
4．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知命題：“使成立”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A；
(2)設(shè)不等式的解集為B，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
5．（2022·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
數(shù)形結(jié)合的思想
1．（2022·全國·高一）某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參見數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人__________.
2．（2022·甘肅·二模（文））建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某班有名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有人，同時參加數(shù)學(xué)和英語興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有人，則同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人___________.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某班有學(xué)生55人，其中音樂愛好者34人，體育愛好者43人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則班級中即愛好體育又愛好音樂的有___________人．
第一章 集合與常用邏輯用語 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：集合的基本概念
重點(diǎn)題型二：集合間的基本關(guān)系
重點(diǎn)題型三：集合的基本運(yùn)算
重點(diǎn)題型四：簡易邏輯用語
第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法
①分類與整合思想②等價轉(zhuǎn)換思想③數(shù)形結(jié)合的思想
重點(diǎn)題型一：集合的基本概念
典型例題
1．集合中的元素個數(shù)是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】B
，
所以集合中的元素個數(shù)有4個，
故選：B.
2．若集合中的元素都是非零實(shí)數(shù)，定義，若，且中有4個元素，則的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
解：
根據(jù)定義，且中有4個元素，
，，，，，，
當(dāng)時，解得，不滿足條件，
當(dāng)時，解得，滿足條件，
當(dāng)時，解得，不滿足條件，
當(dāng)時，解得，不滿足條件，
當(dāng)時，解得，滿足條件，
當(dāng)時，解得，不滿足條件，
故選：.
3．用表示非空集合中元素個數(shù)，定義，若，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
集合中的方程，其
所以
因?yàn)槎x，且，
所以或，
即集合中的方程，有個根或者個根，
而當(dāng)時，方程一定有根，
所以集合中的方程，有個不同的根，
則需方程以及必須各有兩不同的根，
從而得到，
所以或.
故選：D.
4．已知集合P滿足，則集合P的個數(shù)有__________個；
【答案】8
由題意，集合中一定包含元素，元素是否在集合中分別有2種可能
由分步計數(shù)原理，集合P的個數(shù)有個
故答案為：8
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m＝________．
【答案】3
由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，經(jīng)驗(yàn)證，
當(dāng)m＝0或m＝2時，
不滿足集合中元素的互異性，
當(dāng)m＝3時，滿足題意，
故m＝3.
答案：3
6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.
【答案】0或1
當(dāng)k=0時，方程為2x+1=0,有且只有一解，符合題意；
當(dāng)k≠0時，方程有且僅有一個解等價于,解得k=1,
故答案為：0或1.
7．集合是單元素集合，則實(shí)數(shù)________
【答案】0，2或18
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，令，即，解得或
故答案為：0，2或18
8．用表示費(fèi)控集合A的元素個數(shù)，若，，且，記滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為S，則____________.
【答案】
當(dāng)時，
則，解得；
當(dāng)時，，
則，即；
實(shí)數(shù)a組成的集合為
故答案為：
9．已知集合.
（1）若A只有一個元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A；
（2）若A至多有兩個子集，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1），；，；（2）或
（1）①當(dāng)時，方程化為：，解得，
此時集合，滿足題意；
②當(dāng)時，方程有一個根，
，
解得：，
此時方程為，解得，
集合，符合題意，
綜上所述，時集合；時集合；
（2）至多有兩個子集，集合中元素個數(shù)最多1個，
①當(dāng)時，一元二次方程最多有1個實(shí)數(shù)根，
，
解得，
②當(dāng)時，由（1）可知，集合符合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或
10．已知關(guān)于的不等式的解集為.
（1）當(dāng)時，求集合；
（2）當(dāng)且時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或；（2）或
（1）當(dāng)時，，
所以或；
（2）因?yàn)椋裕没颍?br/>又因?yàn)椋圆怀闪ⅲ?br/>即，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍或
重點(diǎn)題型二：集合間的基本關(guān)系
典型例題
1．已知，，則的子集個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
，表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，
，表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，
中的元素為和圖象的交點(diǎn)，
聯(lián)立得到，，所以有2個交點(diǎn)，
所以的元素個數(shù)為2，其子集個數(shù)為個，
故選:C.
2．集合的真子集的個數(shù)為15個，則實(shí)數(shù)的范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由，可得，
又因?yàn)椋剩?br/>假設(shè)集合A中有n個元素，因此集合A有個真子集，即，
故,所以
故選：C
3．若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因?yàn)椋裕曰颍?br/>所以或，
當(dāng)時，不成立，所以，所以滿足，
當(dāng)時，因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕裕?br/>當(dāng)時，因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕裕?br/>綜上可知：.
故選：A.
4．已知，，則B的真子集個數(shù)為（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】A
由題：當(dāng)時，集合B中元素最小為2，當(dāng)時，集合B中元素最大為6，
又當(dāng)時，集合B中元素為3，當(dāng)時，集合B中元素為4，
當(dāng)時，集合B中元素為5，所以集合，
其子集個數(shù)為個，所以真子集31個.
故選：A
5．已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.
【答案】
解：分兩種情況考慮：
①若B不為空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，
②若B為空集，符合題意，可得：，
解得：.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
6．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】或或
因?yàn)椋曰颍裕?br/>當(dāng)時，，此時滿足，
當(dāng)時，因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋曰颍曰?
所以的取值為：或或.
故答案為：或或.
7．集合，，．
(1)求；
(2)請從①，②，③這三個條件中任選一個作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)，解得：，∴
，解得：，∴，
∴．
(2)選①：∵，∴
當(dāng)，即時，滿足題意；
當(dāng)，即時，；滿足，
∴綜上：或
選②：當(dāng)，即時，滿足題意；
當(dāng)，即時，或，解得或．
所以：或，
綜上：．或
選③：由題知：，
當(dāng)，即時，滿足題意；
當(dāng)，即時，；滿足，
∴綜上：或
8．已知，集合，．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．或
（1）當(dāng)時，
，
故；
（2）由知
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．或
重點(diǎn)題型三：集合的基本運(yùn)算
典型例題
1．已知不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
且，故
∵，∴，由題意可得：在上恒成立
即在上恒成立，故只需
，當(dāng)即時，，故，
故選：B．
2．已知，，若，則a值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
當(dāng)a=0時，，滿足條件；
當(dāng)時，，
則：或
則：或
故a的值為：.
故選：D
3．設(shè)集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】C
由，解得，因?yàn)椋?br/>所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
4．對于集合，，定義，，設(shè)，，則
A． B．
C． D．
【答案】C
因?yàn)椋?,,
所以
故選C．
5．設(shè)數(shù)集，，且集合M N都是集合的子集，如果把稱為非空集合的“長度”，那么集合的“長度”的取值范圍為___________.
【答案】
由“長度”的定義可知：集合的長度為，集合的長度為；
若集合的“長度”最小，則與分別位于集合的左右兩端，
的“長度”的最小值為
若集合的“長度”最大，則與分別重合的部分最多，
的“長度”的最大值為
則集合的“長度”的取值范圍為
故答案為：
6．設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：
①整數(shù)集是數(shù)域； ②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；
③數(shù)域必為無限集； ④存在無窮多個數(shù)域．
其中正確的命題的序號是_________．（把你認(rèn)為正確的命題的序號填填上）
【答案】③④
利用已知條件中數(shù)域的定義判斷各命題的真假，關(guān)鍵把握數(shù)域是對加減乘除四則運(yùn)算封閉．解：要滿足對四種運(yùn)算的封閉，只有一個個來檢驗(yàn)，如①對除法如 Z不滿足，所以排除；對②當(dāng)有理數(shù)集Q中多一個元素i則會出現(xiàn)1+i 該集合，所以它也不是一個數(shù)域；③④成立．故答案為③④．
7．集合，．若“”是“”的充分條件， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
“a＝1”是“”的充分條件的意思是說當(dāng)時，，現(xiàn)在，，由得或，即或，所以的范圍是.
8．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）.
（1），
或，
又∵，
；
（2），.
①當(dāng)時，滿足，此時，得；
②當(dāng)時，要，則，解得；
由①②可得，,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
9．設(shè)集合.
（1）若，求的值.
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.或
（1），
由，知
根據(jù)韋達(dá)定理得到 解得
（2），
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，利用韋達(dá)定理得到解得；
當(dāng)時，利用韋達(dá)定理得到無解；
當(dāng)時，由（1）知：；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：或
重點(diǎn)題型四：簡易邏輯用語
典型例題
1．“”是“為真命題”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
因?yàn)闉檎婷}，又對恒成立，
所以為真命題等價于，
所以“”不能推出“”，反之，“”能推出“”，
所以“”是“為真命題”的必要不充分條件.
故選：B
2．命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因?yàn)椤按嬖冢沟谩睘檎婷}，
所以，
因此上述命題得個充分不必要條件是.
故選：B.
3．若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)
A． B．或
C．或 D．[－1,1]
【答案】D
依題意可知，當(dāng)時，恒成立，所以，解得
，故選D．
4．若“”是“”的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】B
解：由得，由得，
若“”是“”的充分而不必要條件，
則，得.
故選B．
5．已知命題P：若命題P是假命題，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由題：命題P是假命題，其否定:為真命題，
即，解得.
故選：B
6．命題“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命題, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．a(chǎn) < 0或a ≥3 B．a(chǎn) 0或a ≥3 C．a(chǎn) < 0或a >3 D．0【答案】A
命題“恒成立”是假命題，即命題“，”是真命題.
當(dāng)時，不成立；
當(dāng)時，合乎題意；
當(dāng)時，則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
故選：A.
7．已知：，：.若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
對于：即
對于：，即
即
是的充分不必要條件：則，解得：
所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.
8． 已知：，，，且是的充分不必要條件，求的取值范圍．
【答案】
因?yàn)椋?br/>又因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，
即，又
所以的取值范圍為
9．（1）命題:“”，命題:“”，若“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）已知，，若是的必要而不充分必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
（1）若是真命題．則，因?yàn)椋裕蝗魹檎婷}，則方程有實(shí)根，所以，即或，真也真時 ，所以或，若“且”為假命題 ，即或
（2）由得．
所以“”：．
由得，
所以“”：．
由是的充分而不必要條件知
故的取值范圍為.
分類與整合思想
1．（2021·河南·濮陽一高高一期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為___________.
【答案】或0.
若，則或
當(dāng)時，，符合元素的互異性；
當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍去
若，則或
當(dāng)時，，符合元素的互異性；
當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍去；
故答案為：或0.
2．（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為_________．
【答案】##
因?yàn)榧希?br/>所以或
（1）當(dāng)時，此時，符合題意.
（2）當(dāng)時，解得或
當(dāng)時，與集合元素的互相性矛盾，舍去；
當(dāng)時，符合題意.
綜上可知實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為
故答案為：
3．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一開學(xué)考試）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
解：原不等式可變形為，
當(dāng)，即時，，滿足題意；
當(dāng)，即時，，所以，解得，所以；
當(dāng)，即時，，所以，解得.
綜上可得；
故答案為：
4．（2018·安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若集合，且，則實(shí)數(shù)的取值集合為____．
【答案】
由，得，解得或，
所以，
當(dāng)時，滿足，此時
當(dāng)時，即，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以或，
解得或，
綜上，，或，或，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為，
故答案為：
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式的解集為A，若，則a的取值范圍為________.
【答案】
因不等式的解集為A，且，
則當(dāng)時，，解得：，此時滿足，即，
當(dāng)時，不妨令()，則一元二次方程在上有兩個根，
于是有，解得或，解得：，
則有，綜合得：，
所以a的取值范圍為.
故答案為：
6．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】或
由題可得，集合，當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，若，則，且，即
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或
故答案為：或
等價轉(zhuǎn)換思想
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合和或，若是的充分條件，求的取值范圍．
【答案】
因?yàn)槭堑某浞謼l件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范圍為：.
2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)高二期末（文））已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，解得，
，，
當(dāng)，，所以.
(2)解： 因?yàn)椤啊笆恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，
所以，解得， 故的取值范圍為.
3．（2022·河北·保定市第二十八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知集合，非空集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
(1)∵，，
當(dāng)，，所以.
(2)因?yàn)椤啊笆恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以B A，
因?yàn)椋裕?
因?yàn)锽 A，所以，解得，
故的取值范圍為.
4．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知命題：“使成立”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A；
(2)設(shè)不等式的解集為B，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)(2)或
(1)由p為真命題可知，，
∴或，
所以
(2)，若是的充分不必要條件，即
若，則，，，解得，
所以
若，則，，，解得，
所以
綜上m的取值范圍是或
5．（2022·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
因“”是“”的充分不必要條件，于是得AB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
數(shù)形結(jié)合的思想
1．（2022·全國·高一）某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參見數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人__________.
【答案】
設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：
由圖可知：，解得，
所以同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.
故答案為：.
2．（2022·甘肅·二模（文））建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.
【答案】
由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某班有名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有人，同時參加數(shù)學(xué)和英語興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有人，則同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人___________.
【答案】
以集合、、表示分別參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：
設(shè)同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人，由圖可得，解得.
故答案為：.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.
【答案】3
把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，
觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，
因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，
因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短視頻的有(人)，
所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.
故答案為：3
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某班有學(xué)生55人，其中音樂愛好者34人，體育愛好者43人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則班級中即愛好體育又愛好音樂的有___________人．
【答案】26
由題意作出Venn圖，從而求解人數(shù)．
解：作Venn圖如圖，
，
，
；
故．
故答案為：26．

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