資源簡介

5.4.3正切函數的性質與圖象（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：正切函數的定義域與值域問題
角度1：正切函數的定義域
角度2：正切函數的值域
重點題型二：正切函數的單調性及其應用
角度1：求正切函數的單調區間
角度2：單調性的應用
重點題型三：正切函數的周期性與奇偶性
重點題型四：正切函數圖象的對稱性
重點題型五：與正切（型）函數有關的值域（最值）問題
重點題型六：正切函數圖象與性質的綜合應用
第四部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：正切函數的圖象
知識點二：正切（型）函數的性質
正切函數 正切型函數
定義域 由
值域
周期性
奇偶性 奇函數 當時是奇函數
單調性 在，上單調遞增 當,時，由，解出單調增區間
對稱性 對稱中心：；無對稱軸 令：，對稱中心為：，無對稱軸
1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高一期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·云南昭通·高一期末）函數的定義域為___________.
5．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則的一個值可以是___________.
重點題型一：正切函數的定義域與值域問題
角度1：正切函數的定義域
典型例題
例題1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數的定義域為__________．
例題2．（2022·安徽·涇縣中學高一開學考試）函數的定義域為___________.
同類題型演練
1．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高一期中）函數的定義域為______．
2．（2022·吉林·長春外國語學校高一期末）函數的定義域為_____________________.
3．（2022·廣東·陽江市第三中學高一期中）函數的定義域是______________
角度2：正切函數的值域
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）函數，的值域為________．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）求函數，的最大值和最小值.
同類題型演練
1．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）函數在上的最小值為__________.
2．（2022·全國·高一課前預習）求函數，的值域．
重點題型二：正切函數的單調性及其應用
角度1：求正切函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·上海市仙霞高級中學高一期中）函數的單調增區間是______.
例題2．（2022·廣東·韶關市田家炳中學高一期末）（1）求函數的單調遞增區間；
同類題型演練
1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數的一個單調遞增區間是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·廣東深圳·高三階段練習）若函數的最小正周期為，則下列區間中單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·高一課時練習）求函數的定義域和單調區間．
角度2：單調性的應用
典型例題
例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·北京·高一期末）函數在區間上為增函數，則實數的一個取值可以為___________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習（文））若函數在上單調遞減，且在上的最大值為，則___________.
例題4．（2022·上海市奉賢中學高一期中）已知函數在內是嚴格減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）利用函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，．
2．（2022·全國·高一課時練習）若函數在區間上是增函數，則實數a的取值范圍是______．
重點題型三：正切函數的周期性與奇偶性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課前預習）函數是（ ）
A．周期為的奇函數 B．周期為的偶函數
C．周期為的奇函數 D．周期為的偶函數
例題2．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期是______．
例題3．（2022·上海·華東政法大學附屬中學高一期中）函數，的最小正周期為，則實數______．
同類題型演練
1．（2022·江蘇省鎮江中學高一階段練習）已知函數的最小正周期為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·山西太原·高一期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是最小正周期為的偶函數 B．是最小正周期為的偶函數
C．是最小正周期為的奇函數 D．是最小正周期為的奇函數
3．（2022·上海·華師大二附中高一期中）函數，若，則的值為________
重點題型四：正切函數圖象的對稱性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，則“函數的圖象關于原點對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）函數圖象的一個對稱中心為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第三十中學高一期中）曲線的對稱中心可能是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（多選）（2022·江西·景德鎮一中高一期中）函數的對稱中心可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則的一個值可以是___________.
3．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））函數的圖象的對稱中心為______．
4．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））函數圖象的一個對稱中心的坐標是______．
重點題型五：與正切（型）函數有關的值域（最值）問題
典型例題
例題1．（2022·江西·模擬預測（文））函數的最大值為________．
例題2．（2022·安徽·碭山中學高一期中）函數，的值域為______．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域為_______________.
重點題型六：正切函數圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數，若在區間上的最大值是，則_______；若在區間上單調遞增，則的取值范圍是___________．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數．
（1）當時，求的最小正周期及單調區間；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知.
（1）求的最小正周期；
（2）若是奇函數，則應滿足什么條件？并求出滿足的值.
1．（2021·寧夏·銀川一中模擬預測（文））函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域為
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞增
3．（多選）（2021·山東濰坊·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若的最小正周期是，則
B．當時，的一個對稱中心為
C．當時，
D．若在區間上單調遞增，則的取值范圍為
4．（2021·河南·三模）函數的最小正周期為___________.
5．（2021·寧夏·海原縣第一中學二模（文））已知函數的最小正周期為，則ω=___________.
5.4.3正切函數的性質與圖象（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：正切函數的定義域與值域問題
角度1：正切函數的定義域
角度2：正切函數的值域
重點題型二：正切函數的單調性及其應用
角度1：求正切函數的單調區間
角度2：單調性的應用
重點題型三：正切函數的周期性與奇偶性
重點題型四：正切函數圖象的對稱性
重點題型五：與正切（型）函數有關的值域（最值）問題
重點題型六：正切函數圖象與性質的綜合應用
第四部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：正切函數的圖象
知識點二：正切（型）函數的性質
正切函數 正切型函數
定義域 由
值域
周期性
奇偶性 奇函數 當時是奇函數
單調性 在，上單調遞增 當,時，由，解出單調增區間
對稱性 對稱中心：；無對稱軸 令：，對稱中心為：，無對稱軸
1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由函數的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，
則有的周期，解得，
于是得，
所以的圖像的對稱中心橫坐標方程滿足，（），
解得，（）,可知為其一個對稱中心.
故選：C
2．（2022·全國·高一）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得，
函數在上單調遞增且，
在上單調遞增且，
因為，
所以，
所以.
故選：A.
3．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高一期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】根據正切函數性質可知，
當時，函數單調遞增，
即，
故選：C.
4．（2022·云南昭通·高一期末）函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】若使函數有意義，需滿足：，
解得；
故答案為：
5．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則的一個值可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：因為的圖象關于點中心對稱，所以，，
則，.
當時，
故答案為：
重點題型一：正切函數的定義域與值域問題
角度1：正切函數的定義域
典型例題
例題1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數的定義域為__________．
【答案】
【詳解】解：由題意得.
解得.
故答案為：
例題2．（2022·安徽·涇縣中學高一開學考試）函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】解：由，有，
可得，，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高一期中）函數的定義域為______．
【答案】
【詳解】令，，可得，，
故函數的定義域為．
故答案為：
2．（2022·吉林·長春外國語學校高一期末）函數的定義域為_____________________.
【答案】
【詳解】由，解得
即函數的定義域為
故答案為：
3．（2022·廣東·陽江市第三中學高一期中）函數的定義域是______________
【答案】
【詳解】函數的定義域滿足
即，所以函數的定義域為
故答案為：
角度2：正切函數的值域
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）函數，的值域為________．
【答案】
【詳解】y＝tan(π－x)＝－tan x，在上為減函數，所以值域為(－，1)．
故答案為：(－，1).
例題2．（2022·全國·高一課時練習）求函數，的最大值和最小值.
【答案】，
【詳解】因為函數在上是增函數，
所以當時，，
當時，.
同類題型演練
1．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）函數在上的最小值為__________.
【答案】
【詳解】正切函數在給定的定義域內單調遞增，
則函數的最小值為.
2．（2022·全國·高一課前預習）求函數，的值域．
【答案】(1,].
【詳解】由得,從而
,即,
所求函數的值域為(].
重點題型二：正切函數的單調性及其應用
角度1：求正切函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·上海市仙霞高級中學高一期中）函數的單調增區間是______.
【答案】
【詳解】解：令，
得，
所以函數的單調增區間是.
故答案為：.
例題2．（2022·廣東·韶關市田家炳中學高一期末）（1）求函數的單調遞增區間；
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）由，得
，
所以函數的增區間為，
同類題型演練
1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數的一個單調遞增區間是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為在區間上單調遞增.
所以
所以的單調遞增區間為.
當時: 區間為：.
故選：A.
2．（2022·廣東深圳·高三階段練習）若函數的最小正周期為，則下列區間中單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】作出函數的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數的最小正周期為，且其增區間為，
對于函數，其最小正周期為，可得，則，
由，解得，其中，
所以，的單調遞增區間為，
所以，函數在上遞減，在上不單調，在上遞增，在上遞減.
故選：C
3．（2022·湖南·高一課時練習）求函數的定義域和單調區間．
【答案】定義域為，單調遞減區間為，無單調遞增區間；
【詳解】解：因為，所以，令，解得，所以函數的定義域為；
令，解得，所以函數的單調遞減區間為，無單調遞增區間；
角度2：單調性的應用
典型例題
例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【詳解】對于A，因為，函數在上單調遞增，所以．故A正確；
對于B, ．故B不正確；
對于C，，．又，函數在上單調遞增，所以，即．故C不正確；
對于D，，．
又，函數在上單調遞增，
所以，即．故D正確.
故選：AD.
例題2．（2022·北京·高一期末）函數在區間上為增函數，則實數的一個取值可以為___________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：因為正切函數的單調遞增區間為，，
又函數在區間上為增函數，
所以.
故答案為：（答案不唯一）
例題3．（2022·全國·高三專題練習（文））若函數在上單調遞減，且在上的最大值為，則___________.
【答案】##-0.25
【詳解】因為函數在上單調遞減，
所以，，則，
又因為函數在上的最大值為，
所以，即，
所以.
故答案為：
例題4．（2022·上海市奉賢中學高一期中）已知函數在內是嚴格減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為函數存在減區間，則
由，可得，
由題意函數在內是嚴格減函數，
可得且滿足，解得.
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）利用函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)
(2)
(1)因為在上單調遞增，
而，
所以
(2)因為在上單調遞增，
因為，
而，
所以，
即.
2．（2022·全國·高一課時練習）若函數在區間上是增函數，則實數a的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】解：因為，所以，
所以，解得，即．
故答案為：
重點題型三：正切函數的周期性與奇偶性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課前預習）函數是（ ）
A．周期為的奇函數 B．周期為的偶函數
C．周期為的奇函數 D．周期為的偶函數
【答案】D
【詳解】∵的周期為，定義域為
加上絕對值符號后，周期未改變，
又，
∴為偶函數.
故選：D．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期是______．
【答案】##
【詳解】由正切函數的圖象與性質知：與的最小周期均為，
與的圖象如圖所示，

所以函數與最小正周期也一樣，
函數的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案為：
例題3．（2022·上海·華東政法大學附屬中學高一期中）函數，的最小正周期為，則實數______．
【答案】##0.5
【詳解】由題可知，，
∴.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·江蘇省鎮江中學高一階段練習）已知函數的最小正周期為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由題意，.
故選：B
2．（2022·山西太原·高一期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是最小正周期為的偶函數 B．是最小正周期為的偶函數
C．是最小正周期為的奇函數 D．是最小正周期為的奇函數
【答案】C
【詳解】解：的最小正周期為,
令，
所以函數的定義域關于原點對稱.
又，
所以函數是奇函數.
故選：C
3．（2022·上海·華師大二附中高一期中）函數，若，則的值為________
【答案】0
【詳解】因為，且，
所以，得，
所以，
故答案為：0
重點題型四：正切函數圖象的對稱性
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，則“函數的圖象關于原點對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】的圖象關于原點對稱，故，
因為可以推出，
但推不出，
所以“函數的圖象關于原點對稱”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）函數圖象的一個對稱中心為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，得，
所以的對稱中心為，取時，得.
故選：A
例題3．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第三十中學高一期中）曲線的對稱中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】由，，
得，，
當時，，故D正確；
當時，，故B正確；
當時，，故C正確；
由得，故A不正確.
故選：BCD
同類題型演練
1．（多選）（2022·江西·景德鎮一中高一期中）函數的對稱中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】對于函數，令，求得，，
∴函數的對稱中心為，，
取，得對稱中心為；
取，得對稱中心為；
不可能是，.
故選：BC．
2．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則的一個值可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：因為的圖象關于點中心對稱，所以，，
則，.
當時，
故答案為：
3．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））函數的圖象的對稱中心為______．
【答案】
【詳解】令，解得，
所以函數的對稱中心為.
故答案為：.
4．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））函數圖象的一個對稱中心的坐標是______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】令，解得,則圖象的對稱中心的坐標是．
當時，，則是圖像的一個對稱中心．
故答案為：（答案不唯一）.
重點題型五：與正切（型）函數有關的值域（最值）問題
典型例題
例題1．（2022·江西·模擬預測（文））函數的最大值為________．
【答案】##
【詳解】解：∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．
故答案為：
例題2．（2022·安徽·碭山中學高一期中）函數，的值域為______．
【答案】
【詳解】因為，所以，
，
則當時，，
當時，，
所以函數的值域為.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域為_______________.
【答案】
【詳解】由得，，
故當時，有最小值，當時，有最大值.
故答案為：.
重點題型六：正切函數圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數，若在區間上的最大值是，則_______；若在區間上單調遞增，則的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】因為，且在此區間上的最大值是，所以．
因為f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=．
由，得．
令，得，即在區間上單調遞增．
又因為在區間上單調遞增，所以<，即．
所以的取值范圍是．
故答案為：1，
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數．
（1）當時，求的最小正周期及單調區間；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）4，，；（2）.
【詳解】（1）當時，的最小正周期,故最小正周期為4；
要求的單調區間，只需，解得：，
故的增區間為，，無單減區間.
（2）∵，∴函數的周期．∵在上恒成立，∴在上為嚴格增函數，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知.
（1）求的最小正周期；
（2）若是奇函數，則應滿足什么條件？并求出滿足的值.
【答案】（1）；（2），.
【詳解】（1）因為函數，
所以函數的最小正周期為；
（2）
若是奇函數，則，
解得，
令，解得，且，
所以，0，1，2.
故.
1．（2021·寧夏·銀川一中模擬預測（文））函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由，
則
所以，即函數是偶函數
故排除A，C，
當時，，排除D.
故選：B
2．（多選）（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域為
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞增
【答案】BCD
【詳解】由題意，函數，可得的最小正周期為，所以A不正確；
令，解得，
即函數的定義域為，所以B正確；
令，解得，
當時，可得，所以函數的圖象關于點對稱，所以C正確；
由，可得，根據正切函數的性質，可得函數在上單調遞增，所以D正確.
故選：BCD.
3．（多選）（2021·山東濰坊·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若的最小正周期是，則
B．當時，的一個對稱中心為
C．當時，
D．若在區間上單調遞增，則的取值范圍為
【答案】BCD
【詳解】對于A.若函數 的最小正周期是2π，則 ，解得，所以選項A錯誤；
對于B，時，函數，則，所以是f（x）的一個對稱中心，選項B正確；
對于C, 時，函數，且，，
由 ，得，所以，選項C正確；
對于D，令，，
因為f(x)在區間上單調遞增,所以，解得 ，
又ω＞0，所以，即 的取值范圍是，選項D正確．
故選：BCD．
4．（2021·河南·三模）函數的最小正周期為___________.
【答案】
【詳解】由題可知，的最小正周期.
故答案為：
5．（2021·寧夏·海原縣第一中學二模（文））已知函數的最小正周期為，則ω=___________.
【答案】
【詳解】函數的最小正周期為，故
故答案為：2

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