資源簡介

5.5.2簡單的三角恒等變換（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用半角公式、萬能公式求值
重點題型二：簡單的三角恒等變換
重點題型三：輔助角公式的應用
重點題型四：三角函數的實際應用
第四部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：半角公式
①
②
③
知識點二：輔助角公式：
(其中)
知識點三：萬能公式
①
②
③
1．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）化簡求值：_______.
3．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）____．
4．（2022·全國·模擬預測（理））函數的最大值為______．
5．（2022·全國·高一課時練習）已知，求的值.
重點題型一：利用半角公式、萬能公式求值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）設，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一單元測試）已知，，則
A． B． C． D．
例題3．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則___________.
例題5．（2022·全國·高一課時練習）已知且，求：
(1)； (2)．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知，若是第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2022·全國·高一課時練習）tan（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）已知，且為鈍角，則的值為___________.
4．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知，___________.
重點題型二：簡單的三角恒等變換
典型例題
例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）設的終邊在第二象限，則的值可能為（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
例題2．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）求證：.
2．（2022·全國·高一課時練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
重點題型三：輔助角公式的應用
典型例題
例題1．（2022·河南南陽·高一期末）化簡=（ ）
A．1 B． C． D．2
例題2．（2022·全國·高一課時練習）求值：____________．
例題3．（2022·江蘇·金沙中學高一階段練習）函數在區間上的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·北京亦莊實驗中學高一期末）已知的最大值是2，則在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
例題5．（2022·上海市第十中學高一期末）已知函數（）.求函數的最小正周期及在區間上的最大值和最小值.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高一期末）已知函數，則的（ ）
A．最小正周期為，最小值為 B．最小正周期為，最小值為
C．最小正周期為，最小值為 D．最小正周期為，最小值為
2．（多選）（2022·全國·高一單元測試）已知函數，則下列說法中正確的是（ ）
A．的最大值為2 B．的最小正周期為
C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于點對稱
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）（多選）若，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高一課時練習）當函數取得最大值時，____________．
5．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，，求函數的值域．
重點題型四：三角函數的實際應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）如圖，銳角（單位為弧度）的終邊與單位圓交于點，作軸于點
(1)利用單位圓中的三角函數線證明：當時，；
(2)求的周長與面積之和的取值范圍.
例題2．（2022·山東青島·高一期末）如圖所示，已知是半徑為，中心角為的扇形，為弧上一動點，四邊形是矩形，．
(1)求矩形的面積的最大值及取得最大值時的值；
同類題型演練
1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的內角分別為A，B，C，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范圍．
2．（2022·全國·高一專題練習）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內接矩形，為上一動點，問：點在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．
1．（2022·江西·上饒市第一中學二模（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·模擬預測（理））（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．
4．（2022·新疆·二模（理））已知，，則__________．
5．（2022·北京·高考真題）若函數的一個零點為，則________；________．
5.5.2簡單的三角恒等變換（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用半角公式、萬能公式求值
重點題型二：簡單的三角恒等變換
重點題型三：輔助角公式的應用
重點題型四：三角函數的實際應用
第四部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：半角公式
①
②
③
知識點二：輔助角公式：
(其中)
知識點三：萬能公式
①
②
③
1．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵，∴，∵，
∴由半角公式可得.
故選：B
2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）化簡求值：_______.
【答案】
【詳解】解：，
故答案為：
3．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）____．
【答案】
【詳解】
又
故答案為：或
4．（2022·全國·模擬預測（理））函數的最大值為______．
【答案】2
【詳解】
故函數的最大值為2
故答案為：2
5．（2022·全國·高一課時練習）已知，求的值.
【答案】
【詳解】∵，∴，
.
∴.
重點題型一：利用半角公式、萬能公式求值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）設，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，則，則，
所以.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高一單元測試）已知，，則
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，，，，，
故選D.
例題3．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】方法一：∵，，
∴.
方法二：∵，，
∴的終邊落在第一象限，的終邊落在第一或第三象限，即，
∴
故選：C
例題4．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則___________.
【答案】5
【詳解】由，得，解得或.
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，，
∴.
故答案為：5
例題5．（2022·全國·高一課時練習）已知且，求：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
（1）因為，所以，于是．
設．
．
（2） ．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知，若是第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因為，所以，
又是第二象限角，所以，
所以.
故選：B．
2．（多選）（2022·全國·高一課時練習）tan（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】因為tan，故A 正確；
，故B錯誤；
∵sin2α＝1﹣cos2α
∴tan，故C正確，D錯誤；
故選：AC.
3．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）已知，且為鈍角，則的值為___________.
【答案】
【詳解】因為為鈍角，即，
所以，
又，所以
故答案為：.
4．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知，___________.
【答案】
【詳解】因為，所以.
所以.
故答案為：
重點題型二：簡單的三角恒等變換
典型例題
例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）設的終邊在第二象限，則的值可能為（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】AB
【詳解】∵的終邊在第二象限，
∴，，
∴，，
，
故當，時，
，
當，時，
，.
故選：AB
例題2．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】(1)；(2).
（1）由，所以；
（2）
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）求證：.
【答案】證明見解析.
【詳解】由，知：
左式右式 ，故等式得證.
2．（2022·全國·高一課時練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
（1）因為，，且，
得，，，，，
從而．
（2）．
重點題型三：輔助角公式的應用
典型例題
例題1．（2022·河南南陽·高一期末）化簡=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】
.
故選：C.
例題2．（2022·全國·高一課時練習）求值：____________．
【答案】
【詳解】．
故答案為：
例題3．（2022·江蘇·金沙中學高一階段練習）函數在區間上的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，
，
，
令，得，，
，，
在上的零點為
故選：B
例題4．（2022·北京亦莊實驗中學高一期末）已知的最大值是2，則在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據輔助角公式可得
，其中.
由的最大值為2可得,解得.
∴
.
∵，∴.
∴當，即時，取得最大值.
故
.
故選:C.
例題5．（2022·上海市第十中學高一期末）已知函數（）.求函數的最小正周期及在區間上的最大值和最小值.
【答案】，的最大值為2，最小值為-1.
【詳解】解：函數，
，
，
所以函數的最小正周期，
因為，
所以，
所以，
所以的最大值為2，最小值為-1.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高一期末）已知函數，則的（ ）
A．最小正周期為，最小值為 B．最小正周期為，最小值為
C．最小正周期為，最小值為 D．最小正周期為，最小值為
【答案】B
【詳解】因為，
所以最小正周期為,最小值為.
故選：B.
2．（多選）（2022·全國·高一單元測試）已知函數，則下列說法中正確的是（ ）
A．的最大值為2 B．的最小正周期為
C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于點對稱
【答案】ABC
【詳解】因為，
所以的最大值為2，故A正確.
最小正周期是，故B正確.
將代入，可得，則其圖像關于直線對稱，故C正確.
當時，，所以的圖像關于點對稱．故D錯誤.
故選: ABC.
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）（多選）若，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【詳解】因為
，，故，
故的值可能為．故B，C錯誤.
故選：AD.
4．（2022·全國·高一課時練習）當函數取得最大值時，____________．
【答案】##
【詳解】，且，
∴，
∴當，即時，函數取最大值2．
故答案為：
5．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，，求函數的值域．
【答案】．
【詳解】由題意得，
因為，所以，所以，
則，
所以函數的值域為．
重點題型四：三角函數的實際應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）如圖，銳角（單位為弧度）的終邊與單位圓交于點，作軸于點
(1)利用單位圓中的三角函數線證明：當時，；
(2)求的周長與面積之和的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）由題圖可知，，，
在中，，即
所以當時，；
（2）的周長為.
的面積為，
記的周長與面積之和為L，則，
設，，
因為，，
所以，即，
且，則，
所以
易知函數在上單調遞增，故，
得，即的周長與面積之和的取值范圍為
例題2．（2022·山東青島·高一期末）如圖所示，已知是半徑為，中心角為的扇形，為弧上一動點，四邊形是矩形，．
(1)求矩形的面積的最大值及取得最大值時的值；
【答案】(1)當時，；(2).
(1)因為，
所以，則，
又，所以，
所以
，
，則，
故當時，即當時，函數取得最大值，.
同類題型演練
1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的內角分別為A，B，C，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：因為，
所以，解得或，
由于，所以，可得；
(2)解：
，
因為，所以，則，
所以，
所以的取值范圍是.
2．（2022·全國·高一專題練習）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內接矩形，為上一動點，問：點在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．
【答案】當為中點時，矩形的面積取到最大值
【詳解】如圖，在中，設，則
在中，，所以．
所以
設矩形的面積為，則
由于，所以當，即時，．
因此，當時，矩形的面積最大，最大面積為．
1．（2022·江西·上饒市第一中學二模（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，得
，
，，
，
所以.
故選：A.
2．（2022·全國·模擬預測（理））（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【詳解】解：由題得.
故選：C
3．（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．
【答案】
【詳解】，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則．
故答案為：；．
4．（2022·新疆·二模（理））已知，，則__________．
【答案】##
【詳解】解：由，，得，
所以．
故答案為：
5．（2022·北京·高考真題）若函數的一個零點為，則________；________．
【答案】 1
【詳解】∵，∴
∴
故答案為：1，

展開更多......

收起↑