資源簡介

5.6.2 函數的圖象（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用“五點法”作函數的圖象
重點題型二：三角函數的圖象變換
重點題型三：由的圖象確定其解析式(或參數值)
重點題型四：函數的圖象與性質的綜合應用
重點題型五：函數的圖象與三角恒等變換
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：五點法作圖
必備方法：五點法步驟
③
①
②
對于復合函數， 第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行） 第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。） 第三步：得到五個關鍵點為：，,,,
知識點二：三角函數圖象變換
參數,,對函數圖象的影響
1.對函數,的圖象的影響
2、()對函數圖象的影響
3、()對的圖象的影響
4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
知識點三：根據圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數法：記的最大值為,最小值為；則：，聯立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一關鍵點法：通過觀察圖象找出第一關鍵點，將第一關鍵點代入求解.
（第一關鍵點判斷方法：圖象呈上升狀態與平衡位置的交點,且該點離軸最近）
②最值代入法：通過觀察圖象的最高點（或者最低點）代入解析式求解.
③特殊點法：當圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點代入解析式求解，但用此法求解，若有多個答案注意根據條件取舍答案.
1．（2022·安徽省太和中學高三階段練習）已知函數，若的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
3．（2022·浙江·高三專題練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（理））將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像．若在上單調遞增，則m的取值可能為（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·上海·同濟大學第一附屬中學高一期中）將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為___________.
重點題型一：利用“五點法”作函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數.
(1)填寫上表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
(2)先將的圖象向上平移1個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，最后將得到的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求的對稱軸方程.
例題2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數.
(1)試用“五點法”畫出它的圖象；
列表：
作圖：
(2)求它的振幅、周期和初相.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學高一階段練習）已知函數．
（1）利用“五點法”畫出該函數在長度為一個周期上的簡圖．列表
作圖：
（2）說明該函數的圖象可由的圖象經過怎樣的變換得到．
2．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數
(1)求的最小正周期；
(2)填寫下面表格，并用“五點法”畫出在一個周期內的圖像．
重點題型二：三角函數的圖象變換
典型例題
例題1．（2022·上海市青浦高級中學高一期末）把函數的圖象向右平移個單位，得到的解析式是___________.
例題2．（2022·全國·模擬預測（文））要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
例題3．（2022·山西·太原五中高二階段練習）為了得到函數的圖像，只需要把函數的圖像上（ ）
A．各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
B．各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
C．各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
D．各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
例題4．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·遼寧大連·二模）將函數的圖像分別向左 向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數圖像的對稱軸重合，則的最小值為___________.
2．（2022·全國·高三專題練習）現將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2022·江西景德鎮·高一期中）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象與圖像重合，則的值可以為（ ）
A．－6 B．6 C．8 D．12
重點題型三：由的圖象確定其解析式(或參數值)
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍（縱坐標不變），再把所得的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的一個單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）函數（其中，）的部分圖象如圖所示，為得到的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
例題3．（2022·廣東·高三階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．直線是圖象的一條對稱軸
B．圖象的對稱中心為，
C．在區間上單調遞增
D．將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數的圖象
例題4．（多選）（2022·全國·高一單元測試）函數的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若把圖像上的所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，則函數在上是增函數
C．若把函數的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則函數是奇函數
D．，若恒成立，則的取值范圍為
例題5．（2022·湖北·宜昌市一中高一階段練習）函數的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，然后再將縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后得到函數的圖象.
（Ⅰ）求函數的解析式；
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）函數（，，）的部分圖像如圖所示，將的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像，則__________．
2．（2022·河南·新安縣第一高級中學模擬預測（理））函數的部分圖象如圖所示，若把的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則m的值可能為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2022·廣東廣雅中學高一期末）函數（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．是圖象的一個對稱中心
C．在區間上單調遞減
D．把圖象上所有點向右平移個單位長度后得到函數的圖象
4．（多選）（2022·廣東·惠來縣第一中學高一階段練習）函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數圖象的對稱軸為直線
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象
D．若在區間上的值域為，則實數的取值范圍為
5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）已知函數的圖像如圖所示.
(1)求的解析式；
(2)將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數，求函數在上的值域.
重點題型四：函數的圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·江西萍鄉·高一期末）函數的部分圖象如圖所示，其中軸.
(1)試寫出函數的解析式；
(2)將的圖象向左平移個單位得到函數的圖象.若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
例題2．（2022·上海市楊浦高級中學高一期中）已知函數的圖像如圖.
(1)根據圖像，求的表達式及嚴格增區間；
(2)將函數的圖像向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍得到的圖像，且關于的方程在上有解，求的取值范圍.
例題3．（2022·寧夏銀川·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式和單調增區間；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數的圖象，若關于的方程在區間上有兩個不同的解、，求的值及實數的取值范圍.
例題4．（2022·上海市松江二中高一期末）已知函數的部分圖像如圖所示.
(1)求函數的解析式，并求的單調遞增區間；
(2)將圖像上所有點先向右平移個單位，再將所得圖像上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到的圖像，記，是否同時存在實數和正整數，使得函數在上恰有2022個零點？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.
例題5．（2022·內蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求函數的解析式：
(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），然后將所得圖象上每一個點都向下平移1個單位（橫坐標不變），得到函數的圖象，若方程在上有實數根，求實數的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·江西九江·高一期末）設函數的最小正周期是，將其圖象向左平移后得到的圖象如圖所示．
(1)求的值和函數的單增區間；
(2)令，且，求函數的值域．
2．（2022·重慶八中高一期末）函數的一段圖象如下圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象.求直線與函數的圖象在內所有交點的橫坐標之和.
3．（2022·江蘇南通·高一期末）函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的π倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，若在上有兩個解，求a的取值范圍.
4．（2022·河北邯鄲·高一期末）已知函數，（其中，，）的圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式及其對稱軸方程；
(2)若的圖象向右平移個單位，再將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象，當時，方程有兩個不等的實根，，求實數的取值范圍.
重點題型五：函數的圖象與三角恒等變換
典型例題
例題1．（2022·陜西·銅川市第一中學高二期末（文））已知函數的部分圖像如圖所示．
(1)求函數 的解析式；
(2)若，，求的值．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數．設．求函數在上的值域．
同類題型演練
1．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）已知函數（其中，，，均為常數，且，，）的部分圖像如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若，，求的值域．
2．（2022·全國·高三專題練習）函數在一個周期內的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形．
（1）求的值及函數的單調減區間；
（2）若，且，求的值．
1．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
2．（2022·全國·高考真題（文））將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題（理））把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·江蘇·高考真題）將函數y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.
5.6.2 函數的圖象（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用“五點法”作函數的圖象
重點題型二：三角函數的圖象變換
重點題型三：由的圖象確定其解析式(或參數值)
重點題型四：函數的圖象與性質的綜合應用
重點題型五：函數的圖象與三角恒等變換
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：五點法作圖
必備方法：五點法步驟
③
①
②
對于復合函數， 第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行） 第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。） 第三步：得到五個關鍵點為：，,,,
知識點二：三角函數圖象變換
參數,,對函數圖象的影響
1.對函數,的圖象的影響
2、()對函數圖象的影響
3、()對的圖象的影響
4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
知識點三：根據圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數法：記的最大值為,最小值為；則：，聯立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一關鍵點法：通過觀察圖象找出第一關鍵點，將第一關鍵點代入求解.
（第一關鍵點判斷方法：圖象呈上升狀態與平衡位置的交點,且該點離軸最近）
②最值代入法：通過觀察圖象的最高點（或者最低點）代入解析式求解.
③特殊點法：當圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點代入解析式求解，但用此法求解，若有多個答案注意根據條件取舍答案.
1．（2022·安徽省太和中學高三階段練習）已知函數，若的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可知，，
則.所以.
所以,取,則.
故選:C
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．
故選：D.
3．（2022·浙江·高三專題練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：將函數的圖象向左平移個單位長度得到，
又所以.
故選：B
4．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（理））將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像．若在上單調遞增，則m的取值可能為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，
由，得，
則，，解得；
在四個選項中，只有B可以滿足要求；
故選：B．
5．（2022·上海·同濟大學第一附屬中學高一期中）將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為___________.
【答案】
【詳解】解：將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為.
故答案為：
重點題型一：利用“五點法”作函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數.
(1)填寫上表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
(2)先將的圖象向上平移1個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，最后將得到的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求的對稱軸方程.
【答案】(1)表格見解析，圖象見解析
(2)
（1）（1）由題意可得表格如下：
x 0
0 0
可得圖象如圖所示.
（2）將的圖象向上平移1個單位長度得到的圖象，
再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的可得到的圖象，
最后將得到的圖象向右平移個單位長度，
可得的圖象，
即，
令，解得，
所以的對稱軸方程是.
例題2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數.
(1)試用“五點法”畫出它的圖象；
列表：
作圖：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【答案】(1)答案見解析
(2)振幅為，周期，初相為
(1)列表如下：
0
0 2 0 0
描點連線并向左右兩邊分別擴展，得到如圖所示的函數圖象：
(2)由可知，振幅，初相為，
最小正周期.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學高一階段練習）已知函數．
（1）利用“五點法”畫出該函數在長度為一個周期上的簡圖．列表
作圖：
（2）說明該函數的圖象可由的圖象經過怎樣的變換得到．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析
【詳解】（1）列表
0
0 2 0 -2 0
作圖
（2）將圖象向左平移個長度單位，可得，
橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，可得，
縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變，可得.
2．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數
(1)求的最小正周期；
(2)填寫下面表格，并用“五點法”畫出在一個周期內的圖像．
【答案】(1)
(2)填表見解析；作圖見解析
（1） ，∴函數的最小正周期．
（2）由題意列表如下，
x
0
0 1 0 0
圖像如下：
重點題型二：三角函數的圖象變換
典型例題
例題1．（2022·上海市青浦高級中學高一期末）把函數的圖象向右平移個單位，得到的解析式是___________.
【答案】
【詳解】把函數的圖象向右平移個單位，
得到函數的圖象，即得到函數解析式為，
故答案為：
例題2．（2022·全國·模擬預測（文））要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【詳解】，
因此，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度.
故選：D.
例題3．（2022·山西·太原五中高二階段練習）為了得到函數的圖像，只需要把函數的圖像上（ ）
A．各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
B．各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
C．各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
D．各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
【答案】B
【詳解】對于A，函數的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖像，再向左平移個單位長度，得到函數的圖像，故A錯誤；
對于B， 函數的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖像，再向左平移個單位長度得到函數的圖像，故B正確；
對于C，函數的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的倍，得到函數的圖像再向左平移個單位長度得到函數的圖像，故C錯誤；
對于D， 函數的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的倍，得到函數的圖像再向左平移個單位長度得到函數的圖像，故D錯誤.
故選：B.
例題4．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，
再將圖象向左平移，得到的圖象，
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·遼寧大連·二模）將函數的圖像分別向左 向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數圖像的對稱軸重合，則的最小值為___________.
【答案】3
【詳解】將函數的圖象分別向左、向右各平移個單位長度后，
得到，
，
因為兩個函數圖象的對稱軸重合，
所以，Z，
所以，Z，
因為，所以當時，取得最小值為3．
故答案為：3．
2．（2022·全國·高三專題練習）現將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】向右平移 個單位長度得，再將所得圖像上所有點橫坐標變為原來倍，縱坐標不變，得：，所以
故答案為：A
3．（多選）（2022·江西景德鎮·高一期中）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象與圖像重合，則的值可以為（ ）
A．－6 B．6 C．8 D．12
【答案】ABD
【詳解】由題意可知，，
因為函數的圖象與圖像重合，
所以，解得.
當時，，故A正確；
當時，，故B正確；
當時，，故D正確；
故選：ABD.
重點題型三：由的圖象確定其解析式(或參數值)
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍（縱坐標不變），再把所得的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的一個單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】根據函數（，，）的部分圖象，可得，，∴．結合五點法作圖可得，∴，．
將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍（縱坐標不變），可得的圖象．再把所得的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到函數的圖象．令，求得，可得函數的單調遞增區間為，，令，可得一個增區間為.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）函數（其中，）的部分圖象如圖所示，為得到的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【詳解】由圖象可知，，函數的最小正周期為，，
，
，，，得，，
，
因此，只需將函數的圖象向右平移個單位可得到函數的圖象.
故選：D.
例題3．（2022·廣東·高三階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．直線是圖象的一條對稱軸
B．圖象的對稱中心為，
C．在區間上單調遞增
D．將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數的圖象
【答案】C
【詳解】由函數圖象可知，,最小正周期為 ，
所以 ，
將點代入函數解析式中，得：，結合，
所以，故，
對于A，當時，，故直線不是圖象的一條對稱軸，A錯誤;
對于B，令，則，
即圖象的對稱中心為，，故B錯誤；
對于C，當時，，由于正弦函數在上遞增，
故在區間上單調遞增，故C正確；
對于D，將的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，該函數不是奇函數，故D錯誤；
故選：C
例題4．（多選）（2022·全國·高一單元測試）函數的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若把圖像上的所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，則函數在上是增函數
C．若把函數的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則函數是奇函數
D．，若恒成立，則的取值范圍為
【答案】CD
【詳解】對于A，由圖像可知：的最小正周期，；
，，
解得：，又，，
，A錯誤；
對于B，圖像上的所有點的橫坐標變為原來的倍得：，
當時，，在上不單調，B錯誤；
對于C，的圖像向左平移個單位長度得：，
，即為奇函數，C正確；
對于D，，
由得：，
當時，，，
，，
即實數的取值范圍為，D正確.
故選：CD.
例題5．（2022·湖北·宜昌市一中高一階段練習）函數的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，然后再將縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后得到函數的圖象.
（Ⅰ）求函數的解析式；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】（Ⅰ）由圖知，解得，，
故，即．
由于，故，，
即的解析式為：
．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）函數（，，）的部分圖像如圖所示，將的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像，則__________．
【答案】
【詳解】由題圖可知：，，又，所以．
又，，又，所以令，得.
所以，所以．
故答案為：.
2．（2022·河南·新安縣第一高級中學模擬預測（理））函數的部分圖象如圖所示，若把的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則m的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圖可知，，因為圖像過，，所以，
解得，則，
根據圖像可知且，解得，
所以，；
把的圖象向左平移個單位長度后得到函數，
根據誘導公式可得，
解得，當時，.
故選：C.
3．（多選）（2022·廣東廣雅中學高一期末）函數（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．是圖象的一個對稱中心
C．在區間上單調遞減
D．把圖象上所有點向右平移個單位長度后得到函數的圖象
【答案】BC
【詳解】由題意知，，，所以周期，，
又，
所以，
故，
所以A錯誤，
又，故B正確.
因為，所以，由于正弦函數在其上單調遞減，
所以函數在上單調遞減，故C正確，
將圖象上所有點向右平移個單位長度后得到的圖象，故D不正確.
故選：BC.
4．（多選）（2022·廣東·惠來縣第一中學高一階段練習）函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數圖象的對稱軸為直線
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象
D．若在區間上的值域為，則實數的取值范圍為
【答案】ABD
【詳解】對于A選項，由圖可知，
設函數的最小正周期為，則，，，則，
由得，解得，
又，，，A正確；
對于B選項，由，得，B正確；
對于C選項，將函數的圖象向左平移個單位長度，
得的圖象，C錯誤；
對于D選項，由得，
由的圖象可知，要使函數在區間上的值域為，
則，解得，D正確.
故選：ABD.
5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）已知函數的圖像如圖所示.
(1)求的解析式；
(2)將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數，求函數在上的值域.
【答案】(1)(2)
(1)由圖可知，，，.
當時，，，，.
又，.綜上，的解析式為.
(2)由題可知，
當時，.
當時，取得；
當時，取得最大值，為.
在上的值域為.
重點題型四：函數的圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·江西萍鄉·高一期末）函數的部分圖象如圖所示，其中軸.
(1)試寫出函數的解析式；
(2)將的圖象向左平移個單位得到函數的圖象.若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
(1)由圖知，點M與N間的最大值對應的橫坐標為，
設的最小正周期為T，則，得，則，
把代入中，即，得，
因為，故，所以；
(2)由題知，，
由得：，
又中，即，故m的取值范圍是.
例題2．（2022·上海市楊浦高級中學高一期中）已知函數的圖像如圖.
(1)根據圖像，求的表達式及嚴格增區間；
(2)將函數的圖像向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍得到的圖像，且關于的方程在上有解，求的取值范圍.
【答案】(1)，增區間為；(2)[-1,2].
(1)根據函數的圖象，可得，
，所以，，
由五點法作圖，可得，
，故，
令，求得，Z，
的單調遞增區間，Z．
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到曲線的圖象，
把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍得到的圖象，
由在上有解，即在上有解，
因為，，
所以，
所以的取值范圍為．
例題3．（2022·寧夏銀川·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式和單調增區間；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數的圖象，若關于的方程在區間上有兩個不同的解、，求的值及實數的取值范圍.
【答案】(1)，增區間為；
(2)，.
(1)解：設的最小正周期為，由圖象可知，則，
故，
又，所以，即，
所以，所以，
因為，所以，所以，所以，
所以，
令，則，
故的單調增區間為.
(2)解：將函數的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得的圖象，
由，知，
由可得，由可得，
若關于的方程在區間上有兩個不同的解、，
則點、關于直線對稱，
故，所以，，
作出函數與函數在區間上的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，即當時，
函數與函數在區間上的圖象有兩個交點.
綜上所述，，實數的取值范圍是.
例題4．（2022·上海市松江二中高一期末）已知函數的部分圖像如圖所示.
(1)求函數的解析式，并求的單調遞增區間；
(2)將圖像上所有點先向右平移個單位，再將所得圖像上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到的圖像，記，是否同時存在實數和正整數，使得函數在上恰有2022個零點？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或3時，；時，
(1)由圖像可得：，解得：，所以，解得：.
所以.
又由圖像可得：，又因為，所以，
所以.
要求函數的單增區間，只需，
解得：，
即的單調遞增區間為.
(2)圖像上所有點先向右平移個單位得到，再將所得圖像上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到.
所以
若，則.
令，周期為，令.
作出的圖像如圖所示：
要使存在實數和正整數，使得函數在上恰有2022個零點，
只需：i.當或時，即或時，與在一個周期內只有1個公共點，此時，.
ii.當或，即或時，與在每一個周期內均有2個公共點，
只需.
例題5．（2022·內蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求函數的解析式：
(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），然后將所得圖象上每一個點都向下平移1個單位（橫坐標不變），得到函數的圖象，若方程在上有實數根，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由圖可得：，，又，，，
，又因為過點，
，，
，，解得，，
又，，
.
(2)解：將函數的圖象上所有的點向右平移個單位得到，
再將上每一個點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）得到，
最后將圖象上的每一個點都向下平移1個單位（橫坐標不變）得到，
即，
因為，所以，所以，
則，
因為方程在上有實數根，即與在上有交點，
所以.
同類題型演練
1．（2022·江西九江·高一期末）設函數的最小正周期是，將其圖象向左平移后得到的圖象如圖所示．
(1)求的值和函數的單增區間；
(2)令，且，求函數的值域．
【答案】(1)；
(2)
(1)因為，所以將的圖象向左平移后，所對應的式子為．
由圖象知，，所以
由，得到，
單增區間是
(2)．
因為，所以，
因此
故函數的值域是．
2．（2022·重慶八中高一期末）函數的一段圖象如下圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象.求直線與函數的圖象在內所有交點的橫坐標之和.
【答案】(1)
(2)
(1)由題圖知，，于是，
將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象.
于是
所以，
(2)由題意得
故
由，得
因為，所以
所以或或或，
所以，在給定區間內，所有交點的橫坐標之和為.
3．（2022·江蘇南通·高一期末）函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的π倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，若在上有兩個解，求a的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)或
(1)解：由題圖得，，
，
，
，，
，，
又，，，
令，，
解得，，
函數的單調遞減區間為，；
(2)解：將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，再將圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的π倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，
若在上有兩個解，則與的圖象在上有兩個不同的交點，
令，則作出函數在上的簡圖，
結合圖像可得或，
所以a的取值范圍為或.
4．（2022·河北邯鄲·高一期末）已知函數，（其中，，）的圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式及其對稱軸方程；
(2)若的圖象向右平移個單位，再將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象，當時，方程有兩個不等的實根，，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，對稱軸方程為
(2)
(1)由圖知，，，所以，，
由，即，故，，
所以，，又，所以，
故，
令則，
所以的對稱軸方程為.
(2)由題意可得，
因為，所以，
所以，
所以方程有兩個不等實根時，
的圖象與直線有兩個不同的交點，
作圖可得，所以.
故實數的取值范圍為.
重點題型五：函數的圖象與三角恒等變換
典型例題
例題1．（2022·陜西·銅川市第一中學高二期末（文））已知函數的部分圖像如圖所示．
(1)求函數 的解析式；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
（1）因為故由圖象可知 ,,則 ，又因為圖象過點 ，故，，故,則，由于，故，故函數 的解析式為；
（2）因為，所以，由得：，故，所以.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數．設．求函數在上的值域．
【答案】(1)
(2)
(1)由圖可知，，即，所以，
又，則可得，
因為，所以，
所以；
(2)由題，，
則
，
因為，所以，
則當時，，當，，
所以在上的值域為.
同類題型演練
1．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）已知函數（其中，，，均為常數，且，，）的部分圖像如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若，，求的值域．
【答案】(1)；
(2).
(1)由題圖且，則，，
，則且，又，故，
綜上，.
(2)由題設，，而，
所以，則，
故
2．（2022·全國·高三專題練習）函數在一個周期內的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形．
（1）求的值及函數的單調減區間；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），函數的單調遞減區間為；（2）.
【詳解】解：（1）
，
正三角形的高為，
，
函數的周期，，
函數.
令
所以
所以
所以函數的單調遞減區間為
（2），由（1）有，
即，由，知，，
．
．
1．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．
故選：D.
2．（2022·全國·高考真題（文））將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
3．（2021·全國·高考真題（理））把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，
根據已知得到了函數的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
4．（2020·江蘇·高考真題）將函數y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.
【答案】##
【詳解】
當時
故答案為：

展開更多......

收起↑