資源簡介

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：課前自我評(píng)估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型二：三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型三：三角函數(shù)模型在圓周運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型四：數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問題
知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)(,)中,各參數(shù)的物理意義
振幅 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離　　　
周期 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間
頻率 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)　　　
相位 時(shí)的相位稱為初相
知識(shí)點(diǎn)二：應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題的一般程序
應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題,首先要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,通過分析它的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型,解決問題的一般程序如下:
(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系.
(2)建模,分析題目特性,選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.
(3)求解,對(duì)所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論.
(4)還原,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答.
1．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·廣東省陽山縣陽山中學(xué)高一階段練習(xí)）把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.則函數(shù)的一個(gè)解析式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，則通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為______．
5．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高一階段練習(xí)）某城市一年中個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來表示，已知月份的月平均氣溫最高，為，月份的月平均氣溫最低，為，則月份的平均氣溫值為________.
重點(diǎn)題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高二期末）如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)的值為（ ）
A．-2 B．2 C． D．
例題2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若電流（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時(shí)的電流為______A．
例題3．（2022·全國·高一單元測試）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在（單位：）時(shí)相對(duì)于平衡位置(靜止時(shí)的位置)的高度（單位：）由關(guān)系式確定，其中，，．在一次振動(dòng)中，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為．且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為．
（1）求小球相對(duì)平衡位置的高度（單位：）和時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）小球在內(nèi)經(jīng)過最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次，求的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
2．（2022·吉林·延邊州教育學(xué)院一模（文））已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程是，該方程的部分圖象如圖．經(jīng)測量，振幅為．圖中的最高點(diǎn)D與最低點(diǎn)E，F(xiàn)為等腰三角形的頂點(diǎn)，則振動(dòng)的頻率是（ ）
A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz
重點(diǎn)題型二：三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）某市一年12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為，12月份的平均氣溫最低，為，則該市8月份的平均氣溫為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（=1，2，3，…，12）來表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為___________℃.
例題3．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，某摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度滿足，，已知摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處．則（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·浙江寧波·高一期末）某地一天的時(shí)間，單位：時(shí))隨氣溫變化的規(guī)隼可近似看成正弦函數(shù)的圖象，如圖所示.
（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試求的表達(dá)式.
（2）該地居民老張因身體不適在家休養(yǎng)，醫(yī)生建議其外出進(jìn)行活動(dòng)時(shí)，室外氣溫不低于，根據(jù)（1）中模型，老張?jiān)撊湛稍谀囊粫r(shí)段外出活動(dòng)，活動(dòng)時(shí)長最長不超過多長時(shí)間？
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人的血壓滿足函數(shù)解析式，其中為血壓，為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）紅河州個(gè)舊市是一個(gè)風(fēng)景優(yōu)美的宜居城市，如圖是個(gè)舊寶華公園的摩天輪，半徑為20米，圓心O距地面的高度為25米，摩天輪運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要10分鐘.摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.若游客在距離地面至少35米的高度能夠?qū)€(gè)舊市區(qū)美景盡收眼底，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)具有最佳視覺效果的時(shí)間長度（單位：分鐘）為（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.
參考數(shù)據(jù)：，.
重點(diǎn)題型三：三角函數(shù)模型在圓周運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）筒車是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個(gè)半徑為6m的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心距水面3m，設(shè)筒車上某個(gè)盛水筒，以剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間（單位：s）為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例題2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖指向位置.若初始位置為，秒針從(注：此時(shí))開始沿順時(shí)針方向走動(dòng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（多選）（2022·浙江衢州·高一期末）衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，則（ ）
A．點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒
B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面2米
C．在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)距水面超過2米
D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為
例題4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_____.
例題5．（2022·浙江寧波·高一期末）如圖所示，摩天輪的直徑為100m，最高點(diǎn)距離地面高度為110m，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要12min．
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)在甲進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙乙游客進(jìn)座艙（如圖所示，此時(shí)甲、乙分別位于、兩點(diǎn)，本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），以乙進(jìn)座艙后開始計(jì)時(shí)，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出時(shí)的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）一個(gè)半徑為5米的水輪示意圖，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪自點(diǎn)A開始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（單位：米）與時(shí)間x（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，，，則有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（多選）（2022·全國·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為
B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為
C．經(jīng)過10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米
D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過85米的時(shí)間為20分鐘
3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)以每秒的角速度從點(diǎn)出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到，再以每秒的角速度從點(diǎn)沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，則上述過程中動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為___________.
4．（2022·全國·高一）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從（注：此時(shí)）正常開始走時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為__________.
5．（2022·廣西·容縣高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖，A、B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B為的初始坐標(biāo)是，，質(zhì)點(diǎn)A以1弧度/秒的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)；質(zhì)點(diǎn)B以1弧度/秒的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作軸于，過點(diǎn)B作軸于．
（1）求經(jīng)過1秒后，的弧度數(shù)；
（2）求質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相遇所用的時(shí)間；
（3）記點(diǎn)與，間的距離為y，請(qǐng)寫出y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
重點(diǎn)題型四：數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下表是某市近30年來月平均氣溫（℃）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均氣溫 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高一）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深值（單位：）記錄表：
時(shí)刻
水深值
經(jīng)過長期觀測，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問該船在一天內(nèi)（）何時(shí)能進(jìn)入港口？
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng).習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱為潮流.早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的高潮叫潮，發(fā)生在晚上的高潮叫汐，這是潮汐名稱的由來.下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）.
時(shí)刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）單位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
時(shí)刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）單位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函數(shù)模型來近似地描述這些數(shù)據(jù)，則________.
2．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）某港口的海水深度y（單位：）是時(shí)間t（，單位：）的函數(shù)，記為.已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
經(jīng)長期觀察，的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的.
(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的函數(shù)解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底與水面的距離）為，若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間？
5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：課前自我評(píng)估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型二：三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型三：三角函數(shù)模型在圓周運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型四：數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問題
知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)(,)中,各參數(shù)的物理意義
振幅 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離　　　
周期 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間
頻率 它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)　　　
相位 時(shí)的相位稱為初相
知識(shí)點(diǎn)二：應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題的一般程序
應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題,首先要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,通過分析它的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型,解決問題的一般程序如下:
(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系.
(2)建模,分析題目特性,選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.
(3)求解,對(duì)所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論.
(4)還原,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答.
1．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓上以點(diǎn)為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由于表示距離，為非負(fù)數(shù)，所以BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.
點(diǎn)的初始位置為，在第四象限，
所以A選項(xiàng)符合，D選項(xiàng)不符合.
故選：A
2．（2022·廣東省陽山縣陽山中學(xué)高一階段練習(xí)）把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.則函數(shù)的一個(gè)解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：將函數(shù)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，再把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到.
故選：B
3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，則通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，可得，，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為.
故選D．
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為______．
【答案】
【詳解】由函數(shù)的圖象可得，且，故，
而，故，
解得，故，
故，
故答案為：.
5．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高一階段練習(xí)）某城市一年中個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來表示，已知月份的月平均氣溫最高，為，月份的月平均氣溫最低，為，則月份的平均氣溫值為________.
【答案】
【詳解】依題意知，，，
所以，
當(dāng)時(shí)，
，
故答案為：.
重點(diǎn)題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高二期末）如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)的值為（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，故，即，又，故，故，故當(dāng)時(shí)，
故選：D
例題2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若電流（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時(shí)的電流為______A．
【答案】 ##0.02 0
【詳解】由圖象，可知該函數(shù)的最小正周期是，
設(shè)，由函數(shù)的最小正周期是，
可知，
故時(shí)的電流是0A．
故答案為：；0.
例題3．（2022·全國·高一單元測試）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在（單位：）時(shí)相對(duì)于平衡位置(靜止時(shí)的位置)的高度（單位：）由關(guān)系式確定，其中，，．在一次振動(dòng)中，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為．且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為．
（1）求小球相對(duì)平衡位置的高度（單位：）和時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）小球在內(nèi)經(jīng)過最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【詳解】（1）因?yàn)樾∏蛘駝?dòng)過程中最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為，所以．
因?yàn)樵谝淮握駝?dòng)中，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為，所以周期為2，
即，所以．
所以，．
（2）由題意，當(dāng)時(shí)，小球第一次到達(dá)最高點(diǎn)，
以后每隔一個(gè)周期都出現(xiàn)一次最高點(diǎn)，
因?yàn)樾∏蛟趦?nèi)經(jīng)過最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次，
所以．
因?yàn)椋裕?br/>所以的取值范圍為．
（注：的取值范圍不考慮開閉）
同類題型演練
1．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)榫嚯xS（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，
所以單擺來回?cái)[動(dòng)的振幅為3和一次所需的時(shí)間為，
故選：A
2．（2022·吉林·延邊州教育學(xué)院一模（文））已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程是，該方程的部分圖象如圖．經(jīng)測量，振幅為．圖中的最高點(diǎn)D與最低點(diǎn)E，F(xiàn)為等腰三角形的頂點(diǎn)，則振動(dòng)的頻率是（ ）
A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz
【答案】B
【詳解】設(shè)該簡諧振動(dòng)的周期為，，
因?yàn)椋瑒t，
解得
，
故選：B
重點(diǎn)題型二：三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）某市一年12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為，12月份的平均氣溫最低，為，則該市8月份的平均氣溫為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可得：
即，解得：，
所以，
所以該市8月份的平均氣溫為，
故選：A.
例題2．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（=1，2，3，…，12）來表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為___________℃.
【答案】20.5##
【詳解】據(jù)題意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案為：20.5
例題3．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，某摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度滿足，，已知摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處．則（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意，A＝50，b＝60，T＝3；
故ω，
故y＝50sin（t+φ）+60；
則由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，
φ；
故y50sin（t）+60；
故選：C
例題4．（2022·浙江寧波·高一期末）某地一天的時(shí)間，單位：時(shí))隨氣溫變化的規(guī)隼可近似看成正弦函數(shù)的圖象，如圖所示.
（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試求的表達(dá)式.
（2）該地居民老張因身體不適在家休養(yǎng)，醫(yī)生建議其外出進(jìn)行活動(dòng)時(shí)，室外氣溫不低于，根據(jù)（1）中模型，老張?jiān)撊湛稍谀囊粫r(shí)段外出活動(dòng)，活動(dòng)時(shí)長最長不超過多長時(shí)間？
【答案】（1）；（2）老張可在外出活動(dòng)，活動(dòng)時(shí)長最長不超過小時(shí)；
【詳解】解：（1）依題意可得解得，又即，解得，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，即，所以，解得，因?yàn)椋裕?br/>（2）依題意令，即
所以
解得
因?yàn)?br/>所以，又
即老張可在外出活動(dòng)，活動(dòng)時(shí)長最長不超過小時(shí)；
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人的血壓滿足函數(shù)解析式，其中為血壓，為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【詳解】由題意得：函數(shù)的周期為，
所以頻率，
所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80．
故選：C
2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）紅河州個(gè)舊市是一個(gè)風(fēng)景優(yōu)美的宜居城市，如圖是個(gè)舊寶華公園的摩天輪，半徑為20米，圓心O距地面的高度為25米，摩天輪運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要10分鐘.摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.若游客在距離地面至少35米的高度能夠?qū)€(gè)舊市區(qū)美景盡收眼底，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)具有最佳視覺效果的時(shí)間長度（單位：分鐘）為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)點(diǎn)P距離地面高度h與時(shí)間t的函數(shù)
解析式為，
由題意，得，，，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
令，即，
故，即在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，
有分鐘會(huì)有這種最佳視覺效果.
故選：C.
3．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)，，，
(2)
(1)由圖象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)由圖象可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
，
即這一天時(shí)的最大溫差近似值為.
重點(diǎn)題型三：三角函數(shù)模型在圓周運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）筒車是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個(gè)半徑為6m的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心距水面3m，設(shè)筒車上某個(gè)盛水筒，以剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間（單位：s）為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【詳解】過O做OQ垂直水面，為最高點(diǎn)，如圖所示
由題意得，
所以，則，
所以，所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)要旋轉(zhuǎn)，即為個(gè)周期，
又筒車每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，可得周期為30秒，
所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)用時(shí)秒，
故選：D
例題2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖指向位置.若初始位置為，秒針從(注：此時(shí))開始沿順時(shí)針方向走動(dòng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】∵秒針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，而初始相位為且初始位置為，
∴，且秒針從(此時(shí))開始沿順時(shí)針方向走動(dòng)，
∴.
故選：C
例題3．（多選）（2022·浙江衢州·高一期末）衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，則（ ）
A．點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒
B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面2米
C．在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)距水面超過2米
D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為
【答案】ABD
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥水面于點(diǎn)C，作OA平行于水面交圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB⊥OA于點(diǎn)B，則因?yàn)樗喢?0秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，故轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（），且點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，t（秒）后，可知，又水輪半徑為4米，水輪中心O距離水面2米，即m，m，所以，所以，因?yàn)閙，所以，故，D選項(xiàng)正確；
點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)，令，解得：（s），A正確；
令，解得：，，當(dāng)時(shí)，（s），B選項(xiàng)正確；
，令，解得：，故有30s的時(shí)間點(diǎn)P距水面超過2米，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故答案為：ABD
例題4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_____.
【答案】
【詳解】設(shè)，
由題意可得，，，
因?yàn)闉樽畹忘c(diǎn)，
代入可得，，
，時(shí)，，
.
故答案為：
例題5．（2022·浙江寧波·高一期末）如圖所示，摩天輪的直徑為100m，最高點(diǎn)距離地面高度為110m，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要12min．
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)在甲進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙乙游客進(jìn)座艙（如圖所示，此時(shí)甲、乙分別位于、兩點(diǎn)，本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），以乙進(jìn)座艙后開始計(jì)時(shí)，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出時(shí)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，
(1)如圖，
以摩天輪中心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系．
由題意，摩天輪的角速度
所以甲所在的位置的縱坐標(biāo)
則
(2)
令甲、乙兩位游客距離地面的高度為、，則
，
令，得或
解得：．
同類題型演練
1．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）一個(gè)半徑為5米的水輪示意圖，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪自點(diǎn)A開始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（單位：米）與時(shí)間x（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，，，則有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】因?yàn)樗喿渣c(diǎn)A開始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，
函數(shù)周期，所以
由圖知，點(diǎn)P到水面距離的最大值為7，所以，得.
故選：A
2．（多選）（2022·全國·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為
B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為
C．經(jīng)過10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米
D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過85米的時(shí)間為20分鐘
【答案】CD
【詳解】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，
所以以O(shè)Q為終邊的角為，
所以點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的關(guān)系為，故A錯(cuò)誤；
由，得，所以不是對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；
經(jīng)過10分鐘，，故C正確；
由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.
故選：CD
3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)以每秒的角速度從點(diǎn)出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到，再以每秒的角速度從點(diǎn)沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，則上述過程中動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為___________.
【答案】
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在半徑為2的上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，終邊對(duì)應(yīng)的角度為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在半徑為1的下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，終邊對(duì)應(yīng)的角度為，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上：動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為，
故答案為：
4．（2022·全國·高一）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從（注：此時(shí)）正常開始走時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為__________.
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，由初始位置可得函數(shù)的初相位為，又函數(shù)周期是秒，且秒針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即，所以，即，所以.
故答案為：.
5．（2022·廣西·容縣高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖，A、B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B為的初始坐標(biāo)是，，質(zhì)點(diǎn)A以1弧度/秒的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)；質(zhì)點(diǎn)B以1弧度/秒的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作軸于，過點(diǎn)B作軸于．
（1）求經(jīng)過1秒后，的弧度數(shù)；
（2）求質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相遇所用的時(shí)間；
（3）記點(diǎn)與，間的距離為y，請(qǐng)寫出y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【詳解】解（1）經(jīng)過1秒后運(yùn)動(dòng)的角度為1，運(yùn)動(dòng)的角度為，
，
（2）設(shè)、第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是，
則．
（秒，即第一次相遇的時(shí)間為秒；
（3）由題意可得，，
.
重點(diǎn)題型四：數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下表是某市近30年來月平均氣溫（℃）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均氣溫 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值因此排除選項(xiàng)A，D；
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)y是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y是單調(diào)遞減的，由此排除選項(xiàng)B；
故選：C
例題2．（2022·全國·高一）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深值（單位：）記錄表：
時(shí)刻
水深值
經(jīng)過長期觀測，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問該船在一天內(nèi)（）何時(shí)能進(jìn)入港口？
【答案】(1)
(2)、和
(1)，，，；
由表格數(shù)據(jù)知：最小正周期，即，；
，，
解得：，又，，.
(2)由題意知：若該船能進(jìn)入港口，則需，
即，；
，，
則當(dāng)或或，即或或時(shí)，，
該船可在、和進(jìn)入港口.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng).習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱為潮流.早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的高潮叫潮，發(fā)生在晚上的高潮叫汐，這是潮汐名稱的由來.下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）.
時(shí)刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）單位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
時(shí)刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）單位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函數(shù)模型來近似地描述這些數(shù)據(jù)，則________.
【答案】##
【詳解】由表中某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系近似為函數(shù)，從表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的最大值為5.0，最小值為4.2，所以,解得，，故.
故答案為：或?qū)懗?
2．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）某港口的海水深度y（單位：）是時(shí)間t（，單位：）的函數(shù)，記為.已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
經(jīng)長期觀察，的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的.
(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的函數(shù)解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底與水面的距離）為，若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間？
【答案】(1)(2)小時(shí)
(1)解：根據(jù)題意得：
函數(shù)最小正周期，
∴，即.
∴.
(2)該船安全進(jìn)出港，需滿足
即，即
又
∴
又
∴ 或
∴該船在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過小時(shí).

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