資源簡介

第二章 一元二次函數、方程和不等式 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一： 不等關系和不等式性質的認知
重點題型二：一元二次（分式）不等式
重點題型三：基本不等式及其應用
角度1：利用基本不等式求函數和代數式的最值
角度2:應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值
角度3：含有多個變量的條件最值問題
重點題型四：與基本不等式有關的恒成立問題
重點題型五：不等式與實際問題的關聯
第三部分：數學思想與方法
函數與方程的思想
分類討論思想
化歸與轉化的思想
重點題型一： 不等關系和不等式性質的認知
1．（2022·河南河南·高二期末（文））若，c為實數，則下列不等關系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·九江縣第一中學高二期中（文））若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山西·朔州市平魯區李林中學高一階段練習）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）如果那么下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·高一課時練習）如果，則有（用“>”或“<”填空）：
（1）______； （2）______．
（3）______； （4）______1．
6．（2022·湖南·高一課時練習）下列結論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，則；
(3)若，則；
(4)若，，則．
重點題型二：一元二次（分式）不等式
1．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
2．求下列不等式的解集．
(1)；
(2)
3．解不等式：
(1)；
(2).
4．求解下列不等式
(1)求不等式的解集．
(2)求不等式的解集．
5．解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）．
6．求下列不等式的解集．
（1）；
（2）
重點題型三：基本不等式及其應用
角度1：利用基本不等式求函數和代數式的最值
1．已知.
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值.
2．證明：
（1）；
（2）.
3．求函數的最小值.
4．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正實數，且，求的最小值．
5．已知，求函數的最小值，并說明當為何值時取得最小值.
6．已知，求函數的最小值．
7．已知，求的最小值．
甲、乙兩位同學的解答過程分別如下：
甲同學的解答： 因為， 所以． 上式中等號成立當且僅當， 即， 解得（舍）． 當時，． 所以當時，的最小值為2． 乙同學的解答： 因為， 所以 ． 上式中等號成立當且僅當， 即， 解得（舍）． 所以當時，的最小值為．
以上兩位同學寫出的結論一個正確，另一個錯誤．
請先指出哪位同學的結論錯誤，然后再指出該同學解答過程中的錯誤之處，并說明錯誤的原因．
8．已知，求的最小值.
9．已知，求的最大值，以及y取得最大值時x的值．
角度2:應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值
1．已知正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
3．若正實數滿足，則的最小值為___________.
4．已知，，且，則的最小值為__________.
5．已知正實數m，n滿足，則的最小值為__________．
6．若，，且，則的最小值為__________．
7．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，證明：．
角度3：含有多個變量的條件最值問題
1．若，，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
2．若正實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b為正實數，且，則的最小值為_______．
5．已知則的最小值是_______．
6．已知，，且，則的最小值是___________.
重點題型四：與基本不等式有關的恒成立問題
1．已知不等式對任意正實數，恒成立，則正實數的最小值為______.
2．已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是________.
3．已知，且，若恒成立，則實數的最大值為__________．
4．若對任意,不等式恒成立,則實數的取值范圍是__________．
5．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________.
6．設正實數滿足，若 恒成立，則實數的取值范圍是________.
7．若不等式在時恒成立，則實數m的最大值為________．
重點題型五：不等式與實際問題的關聯
1．如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側，用彩帶圍成四個相同的長方形區域.若每個區域的面積為m，要使圍成四個區域的彩帶總長最小，則每個區域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.
2．某廠家擬在2021年舉行某產品的促銷活動，經調查，該產品的年銷售量（即該產品的年產量）x（單位：萬件）與年促銷費用（單位：萬元）滿足（ k 為常數），如果不舉行促銷活動，該產品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產該產品的固定投入為8萬，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）.
(1)將2021年該產品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數；
(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？
(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？
3．如圖，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，點C在MN上，米，米．
(1)要使擴建成的花壇面積大于27米，則AN的長度應在什么范圍內？
(2)當AN的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最小？并求出最小面積．
4．物聯網（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯網 傳統電信網等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普通物體實現互聯互通的網絡.其應用領域主要包括運輸和物流 工業制造 健康醫療 智能環境（家庭 辦公 工廠）等，具有十分廣闊的市場前景.現有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，），其中與成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則和分別為2萬元和7.2萬元.
(1)求出與的解析式；
(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？最小費用是多少？
5．如圖，欲在山林一側建矩形苗圃，苗圃左側為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開．
(1)若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；
(2)若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值．
6．2016年11月3日20點43分我國長征五號運載火箭在海南文昌發射中心成功發射，它被公認為是我國從航天大國向航天強國邁進的重要標志．長征五號運載火箭的設計生產采用了很多新技術新產品，甲工廠承擔了某種產品的生產，并以x千克/時的速度勻速生產時(為保證質量要求)，每小時可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時生產1千克該產品時，消耗A材料10千克．消耗A材料總重量為y千克，那么要使生產1 000千克該產品消耗A材料最少，工廠應選取何種生產速度？并求消耗的A材料最少為多少．
7．出版社出版某一讀物，1頁上所印文字占去，上、下邊要留1.5cm空白，左、右兩側要留1cm空白，出版商為降低成本，應選用怎樣尺寸的紙張？
函數與方程的思想
1．已知關于x的不等式的解集為或（）.
求a，b的值；
2．已知關于的不等式.
(1)若不等式的解集為，求實數、的值；
(2)若，求此不等式的解集.
3．已知函數，其中.若不等式的解集是，求m的值；
4．已知函數.
(1)若關于的不等式的解集為，求的值；
(2)若，解關于的不等式.
5．已知關于的不等式
(1)若不等式的解集為，則實數的值；
分類討論思想
1．已知函數,解關于的不等式
2．解下列關于x的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
3．解關于的不等式
(1)
(2)時，
4．已知函數.,解關于x的不等式
化歸與轉化的思想
1．已知函數．
(1)若關于的不等式的的解集是，求，的值；
(2)設關于不等式的在上恒成立，求實數的取值范圍．
2．已知函數；
(1)若關于的不等式的解集為，求實數的值；
(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍．
3．已知函數．
(1)若不等式的解集是實數集，求的取值范圍；
(2)若不等式的解集是實數集，求的取值范圍；
第二章 一元二次函數、方程和不等式 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一： 不等關系和不等式性質的認知
重點題型二：一元二次（分式）不等式
重點題型三：基本不等式及其應用
角度1：利用基本不等式求函數和代數式的最值
角度2:應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值
角度3：含有多個變量的條件最值問題
重點題型四：與基本不等式有關的恒成立問題
重點題型五：不等式與實際問題的關聯
第三部分：數學思想與方法
函數與方程的思想
分類討論思想
化歸與轉化的思想
重點題型一： 不等關系和不等式性質的認知
1．（2022·河南河南·高二期末（文））若，c為實數，則下列不等關系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
A選項中，若，則不成立；
B選項中，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知選項C正確；
由不等式的可加性知選項D正確．
故選：A
2．（2022·江西·九江縣第一中學高二期中（文））若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，又，則，則
，又，則，則
綜上，
故選：A
3．（2022·山西·朔州市平魯區李林中學高一階段練習）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
若，則由可得，，，
因為，，所以.
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習）如果那么下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，不等式兩邊同時減去得，D正確，
若，則AB錯誤，若，C錯誤．
故選：D．
5．（2022·湖南·高一課時練習）如果，則有（用“>”或“<”填空）：
（1）______； （2）______．
（3）______； （4）______1．
【答案】 > > > <
（1）由可得；
（2），，，即；
（3），，；
（4），，即.
故答案為：>；>；>；<.
6．（2022·湖南·高一課時練習）下列結論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，則；
(3)若，則；
(4)若，，則．
【答案】(1)成立，理由見解析；(2)成立，理由見解析；
(3)不成立，理由見解析；(4)不成立，理由見解析；
(1)，
，
，
故成立.
(2)，,
,
即.
(3)取時，滿足，但是不成立.
(4)取，滿足，，但是不成立.
重點題型二：一元二次（分式）不等式
1．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)解：
解得：
不等式解集為：.
(2)解：，整理得：
即
解得：
不等式解集為：.
(3)解：，整理得：
，故不等式再實數范圍內無解
不等式解集為：.
2．求下列不等式的解集．
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
(1)即，故，解得，故的解集為
(2)即，即，即，解得或，故解集為
3．解不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
(1)不等式，可化為，
解得或，
不等式的解集為；
(2)不等式，可化為，
等價于，解得，
不等式的解集為.
4．求解下列不等式
(1)求不等式的解集．
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)(2)
(1)不等式可變形為，解得或，
所以不等式的解集為；
(2)不等式可變形為，
即且，解得，所以不等式的解集為．
5．解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）或；（3）或.
解：（1）不等式等價于，所以，
所以的解集為；
（2）不等式等價于，即，解得或.
所以的解集為或.
（3）不等式，
解不等式組得或.
所以的解集為或.
6．求下列不等式的解集．
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
解：（1）原不等式可化為：；
即，解得或；
故原不等式的解集為．
（2）原不等式可化簡為：，即
則，解得
故原不等式的解集為．
重點題型三：基本不等式及其應用
角度1：利用基本不等式求函數和代數式的最值
1．已知.
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)因為，，所以，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以ab的最大值為.
(2)因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
2．證明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；
（1），
當且僅當時，即時，等號成立.
（2），
當且僅當時取等號，此時，
顯然的值不存在，所以等號不成立，
所以.
3．求函數的最小值.
【答案】5
因為，
所以，
所以，
當且僅當即時取等號，此時取得最小值5.
4．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正實數，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
（1）∵，即，
，
當且僅當，即時取等號，
∴的最小值為7．
，，．
當且僅當，即，時取等號．
∴的最小值為.
5．已知，求函數的最小值，并說明當為何值時取得最小值.
【答案】最小值為4，當時取得最小值
因為，所以.
當且僅當時取等號..因為，所以.
所以為何值時取得最小值4.
6．已知，求函數的最小值．
【答案】6
解：∵，∴，
故，
當且僅當時等號成立，故的最小值為6.
7．已知，求的最小值．
甲、乙兩位同學的解答過程分別如下：
甲同學的解答： 因為， 所以． 上式中等號成立當且僅當， 即， 解得（舍）． 當時，． 所以當時，的最小值為2． 乙同學的解答： 因為， 所以 ． 上式中等號成立當且僅當， 即， 解得（舍）． 所以當時，的最小值為．
以上兩位同學寫出的結論一個正確，另一個錯誤．
請先指出哪位同學的結論錯誤，然后再指出該同學解答過程中的錯誤之處，并說明錯誤的原因．
【答案】見解析
甲同學的解答是錯誤的，
不對，
不滿足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即積不是定值，不可以這樣求解.
8．已知，求的最小值.
【答案】
，由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立，
因此，當時，函數取最小值.
9．已知，求的最大值，以及y取得最大值時x的值．
【答案】當時，y取得最大值4
當時，，因此．
由均值不等式可得，從而，即．
當且僅當，即時，等號成立．從而時，y取得最大值4．
角度2:應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值
1．已知正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，
∴
，
當且僅當,即，時，取等號.
故選：C.
2．已知，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
由題意得，當且僅當即時等號成立．
故選：D
3．若正實數滿足，則的最小值為___________.
【答案】##
，
當且僅當時，即時，的最小值為.
故答案為：.
4．已知，，且，則的最小值為__________.
【答案】
因為
所以
當且僅當，即時，取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
5．已知正實數m，n滿足，則的最小值為__________．
【答案】17
因為，
當且僅當，即時等號成立，
所以．
故答案為：17
6．若，，且，則的最小值為__________．
【答案】3
∵，，且，
∴＝，
當且僅當時等號成立.
故答案為：3.
7．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，證明：．
【答案】（1）8 ；（2）證明見解析 ．
解：（1）因為，所以，則，
當且僅當，即時，等號成立．所以最小值8．
（2）因為，得．
則．
所以成立，當且僅當，時等號成立，
所以.
角度3：含有多個變量的條件最值問題
1．若，，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
由題意得，得，解得，即，當且僅當時，等號成立．
故選：D
2．若正實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由可得，
因為，，
所以，當且僅當時等號成立，
所以，即，
所以，解得：，
所以，
當且僅當即時等號成立，
的最小值為.
故選：D.
3．若，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，所以，
所以，當且僅當，等號成立，所以的最小值為.
故選：D.
4．已知a，b為正實數，且，則的最小值為_______．
【答案】
解：因為、且，
所以
當僅當時取等號，
即解得或（舍去），當且僅當、時取等號；
故答案為：
5．已知則的最小值是_______．
【答案】6
由題意，，所以當且僅當時取“=”.
故答案為：6.
6．已知，，且，則的最小值是___________.
【答案】
由，可得，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值是，
故答案為：.
重點題型四：與基本不等式有關的恒成立問題
1．已知不等式對任意正實數，恒成立，則正實數的最小值為______.
【答案】4
，，
當且僅當時等號成立.
由恒成立的條件知，即，解得或（舍去）.
.則正實數的最小值為4.
2．已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是________.
【答案】.
，，且，在等式兩邊同時除以得，
由基本不等式得，
當且僅當時，等號成立，所以，的最小值為，
由于不等式恒成立，則，即，
解得，因此，實數的取值范圍是，故答案為.
3．已知，且，若恒成立，則實數的最大值為__________．
【答案】
∵，且
∴1016，當且僅當y＝3x＝時取等號．
∵不等式恒成立 （）min≥a．
∴，
即實數的最大值為16，故答案為16．
4．若對任意,不等式恒成立,則實數的取值范圍是__________．
【答案】
∵，
∴．
由題意得，
當且僅當，即時等號成立．
∴，
∴實數的取值范圍是．
5．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________.
【答案】
當時，不等式恒成立
等價于：當時，恒成立
又
∴
故答案為
6．設正實數滿足，若 恒成立，則實數的取值范圍是________.
【答案】 2正實數x，y滿足x+2y=xy，∴，
，
當且僅當x=2y，即x=4，y=2時等號成立．
不等式m2 2m即m2 2m<8恒成立，
解得 2∴實數m的取值范圍是 27．若不等式在時恒成立，則實數m的最大值為________．
【答案】
，當且僅當，即時取“=”，所以．
重點題型五：不等式與實際問題的關聯
1．如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側，用彩帶圍成四個相同的長方形區域.若每個區域的面積為m，要使圍成四個區域的彩帶總長最小，則每個區域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.
【答案】每個區域的長和寬分別是m和m時，彩帶總長最小，最小值為m
解：設每個區域的長為，寬為，由題意得，，，
則彩帶總長==，當且僅當，即且等號成立，
所以每個區域的長和寬分別是和時，彩帶總長最小，最小值為.
2．某廠家擬在2021年舉行某產品的促銷活動，經調查，該產品的年銷售量（即該產品的年產量）x（單位：萬件）與年促銷費用（單位：萬元）滿足（ k 為常數），如果不舉行促銷活動，該產品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產該產品的固定投入為8萬，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）.
(1)將2021年該產品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數；
(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？
(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？
【答案】(1)；(2)；(3)2.
(1)由題意可知：當時，（萬件），
，解得：，
，又每件產品的銷售價格為，
年利潤
；
(2)因為，
當時，（當且僅當，即時取等號），
此時年利潤（萬元）；
該廠家年的促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大，最大為萬元.
(3)因為，
當時函數為增函數，故當時，（萬元），
故當促銷費用為2萬元時，該廠家的利潤最大.
3．如圖，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，點C在MN上，米，米．
(1)要使擴建成的花壇面積大于27米，則AN的長度應在什么范圍內？
(2)當AN的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最小？并求出最小面積．
【答案】(1)或
(2)當AN的長度是4米時，擴建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24米
(1)解：設，則．
∽，
，即，
解得．
花壇AMPN的面積．
由，得，則，
解得或，
故AN的長度范圍是或．
(2)由，
當且僅當，即時，等號成立．
當AN的長度是4米時，擴建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24米．
4．物聯網（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯網 傳統電信網等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普通物體實現互聯互通的網絡.其應用領域主要包括運輸和物流 工業制造 健康醫療 智能環境（家庭 辦公 工廠）等，具有十分廣闊的市場前景.現有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，），其中與成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則和分別為2萬元和7.2萬元.
(1)求出與的解析式；
(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？最小費用是多少？
【答案】(1)，
(2)把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項費用之和最小，最小費用是7.2萬元
(1)設，，其中，
當時，，.
解得，，
所以，.
(2)設兩項費用之和為z（單位：萬元）
則
,
當且僅當，即時，“”成立，
所以這家公司應該把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項費用之和最小，最小費用是7.2萬元.
5．如圖，欲在山林一側建矩形苗圃，苗圃左側為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開．
(1)若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；
(2)若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值．
【答案】(1)200米(2)4608平方米
(1)設苗圃的兩邊長分別為a，b（如圖），
則，，
當且僅當即時取“=”，
故柵欄總長的最小值為200米．
(2)，
而，故，
令，則，
因式分解為，解得，
所以，，當且僅當，即時取“=”，
故苗圃面積的最大值為4608平方米．
6．2016年11月3日20點43分我國長征五號運載火箭在海南文昌發射中心成功發射，它被公認為是我國從航天大國向航天強國邁進的重要標志．長征五號運載火箭的設計生產采用了很多新技術新產品，甲工廠承擔了某種產品的生產，并以x千克/時的速度勻速生產時(為保證質量要求)，每小時可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時生產1千克該產品時，消耗A材料10千克．消耗A材料總重量為y千克，那么要使生產1 000千克該產品消耗A材料最少，工廠應選取何種生產速度？并求消耗的A材料最少為多少．
【答案】工廠應選取3千克/時的生產速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克
由題意，得，即，
生產千克該產品需要的時間是，
所以生產千克該產品消耗的A材料為
，
當且僅當，即時，等號成立
故工廠應選取千克/時的生產速度，消耗的A材料最少，最少為千克．
7．出版社出版某一讀物，1頁上所印文字占去，上、下邊要留1.5cm空白，左、右兩側要留1cm空白，出版商為降低成本，應選用怎樣尺寸的紙張？
【答案】紙張滿足長為12 ，寬為18.
設文字的區域長為，則寬為
則紙張的長為 ，寬為
則紙張的面積為
當且僅當,即，時等號成立
此時的紙張的長為12，寬為18.
所以應選擇的紙張滿足長為12 ，寬為18.
函數與方程的思想
1．已知關于x的不等式的解集為或（）.
求a，b的值；
【答案】(1)
解：因為不等式的解集為或（），
所以1和a是方程的兩個實數根且，
所以，解得；
2．已知關于的不等式.
(1)若不等式的解集為，求實數、的值；
(2)若，求此不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案見解析
(1)解：由題意可知，關于的方程的兩根分別為、，所以，，
由韋達定理可得，解得.
(2)解：因為，原不等式即為.
當時，原不等式即為，解得；
當時，方程的兩個根分別為、.
①當時，解不等式可得或；
②當時，若時，即，即時，
解不等式可得；
若時，即當時，原不等式即為，即，原不等式的解集為；
若時，即，即當時，解不等式可得.
綜上所述，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或.
3．已知函數，其中.若不等式的解集是，求m的值；
【答案】(1)－1；
的解集是，得到的解集是，所以，
，所以，
4．已知函數.
(1)若關于的不等式的解集為，求的值；
(2)若，解關于的不等式.
【答案】(1)
(2)時，解集為；
時，解集為；
時，解集為或
(1)的解集為，和是方程的兩個根，∴，解得：.
(2)不等式，
可化為：.
當時，原不等式即為，．
當時，原不等式化為，或.
當時，原不等式為，可化為
因，．
綜上，
時，原不等式的解集為；
時，原不等式的解集為；
時，原不等式的解集為或
5．已知關于的不等式
(1)若不等式的解集為，則實數的值；
【答案】(1)；(2)答案見解析.
(1)不等式，
依題意，是方程的二根，且，因此，，解得，
所以實數的值是.
分類討論思想
1．已知函數,解關于的不等式
【答案】(1)當時，解集為；當時，解集為；
當時，解集為；
∴當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為；
2．解下列關于x的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(1)解：因為，即，
所以，解得
∴原不等式的解集為.
(2)解：因為，
若，即，解得或，
當時，原不等式即為，所以原不等式的解集為；
當時，原不等式即為，所以原不等式的解集為；
當，即，解得時，所以原不等式的解集為；
當，即，解得或時，方程有兩不相等實數根、，由，解得或，所以原不等式的解集為；
(3)解：因為，即，
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為．
3．解關于的不等式
(1)
(2)時，
【答案】(1)(2)答案見解析
(1)移項得：，合并得，等價于，即
，解得： .
所以不等式的解集為: .
(2)移項得：，則化為對應的方程
的兩根為，
當時，，解得.
當時，，原不等式無解.
當時，，解得.
綜上所述：當時，原不等式的解集為.
當時，原不等式的解集為空集.
當時，原不等式的解集為.
4．已知函數.,解關于x的不等式
【答案】(1)答案見解析；
當時，，不等式的解集為；
當時，由可得；
方程的根為，2，
當時，，不等式的解集為}；
當時,
當時，即，不等式的解集為；
當時，即，不等式的解集為或}；
當時，即，不等式的解集為或.
化歸與轉化的思想
1．已知函數．
(1)若關于的不等式的的解集是，求，的值；
(2)設關于不等式的在上恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，(2)
(1)根據二次不等式的解集與系數的關系可得和是方程的兩根，故，解得，由韋達定理有，解得.
故，
(2)在上恒成立，即恒成立.當時滿足題意，當時，恒成立，因為，當且僅當時取等號.故，即的取值范圍為.
2．已知函數；
(1)若關于的不等式的解集為，求實數的值；
(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；(2).
(1)由題意知：1和是的兩根，
故，，即，.
(2)存在，使得成立，
即存在，使得成立，
即存在，使得成立，
當時，，當且僅當時取等號，
故，可得．
即實數的取值范圍為.
3．已知函數．
(1)若不等式的解集是實數集，求的取值范圍；
(2)若不等式的解集是實數集，求的取值范圍；
【答案】(1)(2)
(1)解：因為不等式的解集是實數集，
所以，對恒成立，
當a=0時，，不成立，
當時，，
解得．
綜上：的取值范圍是．
(2)因為不等式的解集是實數集，
所以不等式對恒成立
當a=0時，，不成立，
當時，，
解得．
綜上：的取值范圍是．

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