資源簡介

6類三角恒等變換解題技巧
技法01 拼湊思想的應用及解題技巧
知識遷移
例1-1．（全國·高考真題）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【詳解】=
例1-2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？家荒＃┤簦瑒t（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由，所以，則
1．（2022·云南·云南民族大學附屬中學?？寄M預測）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數關系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結合的范圍可確定最終結果.
【詳解】且，，.
又，，.
當時，
，
，，不合題意，舍去；
當，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：.
【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.
2．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角正切公式，同角關系化簡，求，再求，再由兩角差的正切公式求.
【詳解】因為，所以，
所以，
又為銳角，，
所以，
解得，
因為為銳角，所以，
又
所以.
故選：A.
3．（2023·湖南湘潭·統考二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數恒等變換進行湊角化簡，再根據，的范圍即可求出結果.
【詳解】由已知可將，，
則，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以選項A，B錯誤，
即，則，所以．則C錯，D對，
故選：D
技法02 升（降）冪公式的應用及解題技巧
知識遷移
升冪公式：，
降冪公式：，
例2-1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，所以
．
例2-2．（2023·全國·統考高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，求得，再求得，結合倍角公式，即可求解.
【詳解】因為，且，
所以，可得，
所以.
故選：A．
2．（2023·河南·統考模擬預測）已知 則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定的條件，利用輔助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算即得.
【詳解】由，得，
所以.
故選：C
3．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式及兩角和差的正弦公式化簡，再根據計算可得.
【詳解】由已知得，，
所以，
因為，
所以，，
則，
所以.
故選：.
4．（2023·四川成都·石室中學?？家荒＃┮阎瑒t（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先對兩式進行平方，進而可求出的值，根據二倍角公式求出結論.
【詳解】解：因為，，
所以平方得，，，
即，，
兩式相加可得，
即，
故，
.
故選：D.
技法03 三倍角公式的應用及解題技巧
知識遷移
例3．已知在 中, 角 的對邊依次為 , , 求 邊長。
【解析】
函數 的最小正周期為（）.
A. B. C. D.
解析: 根據三倍角公式: , 化簡得 , 則函數 的最小正周期為 選項正確.
已知 的內角 的對邊分別為 . 若 , 且 為銳角, 則 的最小值為 ( )
A. B. 3 C. D. 4
為銳角 , 則
當且僅當 , 即 時, 等號成立, 的最小值為 .
技法04 半角公式的應用及解題技巧
知識遷移
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例4．（2023·全國·統考高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【詳解】因為，而為銳角，
所以 ．
1．（2021·黑龍江·黑龍江實驗中學?？寄M預測）已知，若是第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據誘導公式求出，再利用平方關系可求，然后利用公式即可求解.
【詳解】解：因為，所以，
又是第二象限角，所以，
所以.
故選：B．
2．（2022·江西上饒·上饒市第一中學校聯考二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據同角三角函數的平方關系及半角的余弦公式，再結合誘導公式即可求解.
【詳解】由，得
，
，，
，
所以.
故選：A.
3．（2023·全國·模擬預測）已知是銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據倍角公式的變形求出，，再由兩角和的余弦公式求解.
【詳解】因為是銳角，所以，
因為，，
所以，，
所以．
故選：D．
技法05 萬能公式的應用及解題技巧
知識遷移
例5．在 中, , 則 的最小值為
A. 4 B. C. D. 16
最小值為
1．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知內角分別為，且滿足，則的最小值為 .
【答案】16
【分析】由三角形內角和性質、誘導公式、和差角正弦公式可得，進而有，結合，將目標式化為，應用基本不等式求最小值即可.
【詳解】由題設，
所以，
所以，即，
又，，
則，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：應用三角恒等變換將條件化為，再應用萬能公式用正切表示正弦為關鍵.
2．（2021·全國·高三競賽）已知滿足，則的最小值是 ．
【答案】16
【詳解】解析：
．
令，則
．
當時，，所以，
故．
故答案為：16
技法06 正余弦平方差公式的應用及解題技巧
知識遷移
正弦平方差公式:
余弦平方差公式:
例6．已知 , 則 ________
由已知可得
函數 是
A. 周期為 的偶函數
B. 周期為 的奇函數
C. 周期為 的奇函數
D. 周期為 的奇函數
由已知可得
選 B.
在 中, 角 所對的邊長分別為 , 已知 ,判斷 的形狀
解析：由正弦定理，原式等于
所以
若 , 等式成立
若 , 則 , 即
所以 為等腰三角形或直角三角形6類三角恒等變換
技法01 拼湊思想的應用及解題技巧
知識遷移
例1-1．（全國·高考真題）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【詳解】=
例1-2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？家荒＃┤簦瑒t（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由，所以，則
1．（2022·云南·云南民族大學附屬中學?？寄M預測）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南湘潭·統考二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
技法02 升（降）冪公式的應用及解題技巧
知識遷移
升冪公式：，
降冪公式：，
例2-1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，所以
．
例2-2．（2023·全國·統考高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．1 B．－1 C． D．
2．（2023·河南·統考模擬預測）已知 則 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·石室中學校考一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
技法03 三倍角公式的應用及解題技巧
知識遷移
例3．已知在 中, 角 的對邊依次為 , , 求 邊長。
【解析】
函數 的最小正周期為（）.
A. B. C. D.
2. 已知 的內角 的對邊分別為 . 若 , 且 為銳角, 則 的最小值為 ( )
A. B. 3 C. D. 4
技法04 半角公式的應用及解題技巧
知識遷移
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例4．（2023·全國·統考高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【詳解】因為，而為銳角，
所以 ．
1．（2021·黑龍江·黑龍江實驗中學校考模擬預測）已知，若是第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西上饒·上饒市第一中學校聯考二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）已知是銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
技法05 萬能公式的應用及解題技巧
知識遷移
例5．在 中, , 則 的最小值為
A. 4 B. C. D. 16
最小值為
1．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知內角分別為，且滿足，則的最小值為 .
2．（2021·全國·高三競賽）已知滿足，則的最小值是 ．
技法06 正余弦平方差公式的應用及解題技巧
知識遷移
正弦平方差公式:
余弦平方差公式:
例6．已知 , 則 ________
由已知可得
函數 是
A. 周期為 的偶函數
B. 周期為 的奇函數
C. 周期為 的奇函數
D. 周期為 的奇函數
在 中, 角 所對的邊長分別為 , 已知 ,判斷 的形狀

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