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6類解三角形公式定理解題技巧
技法01 海倫公式的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是a、b、c，則三角形的面積為
其中，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
例1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>故答案為：.
1．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積．若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積，這里．已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則的面積最大值為（ ）．
A． B． C．10 D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)給定信息列出關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)計算作答.
【詳解】依題意，，則，
所以，，
所以的面積最大值是12.
故選：D
2．（2023上·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為：（其中）；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【分析】由正弦定理得三角形三邊之比，由周長求出三邊，代入公式即可．
【詳解】∵，∴，
∵周長為，即，
∴，∴，
∴的面積．
故選：C．
3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn)．已知在中，，且的面積為，則（ ）
A．角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列 B．的周長為36
C．的內(nèi)切圓面積為 D．邊上的中線長度為
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理和余弦定理可知，滿足，即A正確；根據(jù)海倫公式可得，所以周長為，故B錯誤；由等面積法可知內(nèi)切圓的半徑，可知C正確，由利用余弦定理可得邊上的中線長度為，即D正確.
【詳解】對于A，由正弦定理可知，
設(shè)，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；
對于B，根據(jù)海倫公式得，，得，
所以，，，所以的周長為，故B錯誤；
對于C，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，得，
所以的內(nèi)切圓面積為，故C正確；
對于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則，
在中，，故D正確．
故選：ACD
技法02 射影定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
射影定理，，
例2．（全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 ．
在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.
又01．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，若，則 ．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【詳解】，由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，故?br/>由于，故，
則.
故答案為：
2．（全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周長.
【答案】（1）（2）
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.
試題解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周長為
考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：?br/>（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在中，，則（ ）
A．，，依次成等差數(shù)列
B．，，依次成等差數(shù)列
C．，，依次成等差數(shù)列
D．，，既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化簡可得出，即可求出、、關(guān)系.
【詳解】設(shè)是三角形外接圓半徑，∵，
∴，即，
即即
∵、、在三角形中，
所以，所以
得到，
即，，成等差數(shù)列，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對三角函數(shù)余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差數(shù)列性質(zhì)的熟練掌握，解題時要注重整體思想的運(yùn)用，望同學(xué)們平常多加練習(xí).
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若的面積，，，則 .
【答案】
【分析】由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡, 由的范圍特殊角的三角函數(shù)值求出，代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 變形后整體代入求出的值.
【詳解】由可得
在中，由正弦定理得：
由得，
由得
得
∴由余弦定理得
解得，
故答案為：.
技法03 角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫斯頓定理）
（4）
例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫海?br/>則計算即可，故答案為：．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．
【答案】證明見解析
【分析】證明兩個命題為真：一個是由是的角平分線證明，一個是由證明是的角平分線．
【詳解】證明：設(shè)：是的角平分線，：．
如圖，過點(diǎn)作//交的延長線與點(diǎn)，
（1）充分性（）：若，則，所以，所以，又△∽△，所以，所以．
（2）必要性 （）：反之，若，則∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．
由（1）（2）可得，是的角平分線的充要條件是．
【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明是的充要條件，必須證明兩個命題為真：即充分性：，必要性：．
2．（2023春·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）在中，角A的角平分線交于點(diǎn)D，且，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，
所以由正弦定理得，，
又因?yàn)椋?br/>所以，即，所以
，即.
故選：D
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線 .

【答案】
【分析】運(yùn)用正弦定理和兩角和差公式求解.
【詳解】
由正弦定理得，都是銳角，
，，
，
在中，由正弦定理得：；
故答案為：.
4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大??；
(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）根據(jù)，再利用三角形面積公式得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】（1）由正弦定理可知.
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）由題意知，
所以，
所以，
解得.
技法04 張角定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
張角定理
例4-1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長.
先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為．
例4-2．在中,角所對的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,
,則__________
解：如圖
由張角定理得:
即
在 中, 角 的對邊分別為 , 已知 的角平分線交邊 于點(diǎn) ,則 _____
解析 由張角定理, 得 ,即 , 解得 .
2.在中,角所對的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______
【解析】如圖:
是的角平分線
由張角定理得:
（當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”）
3．（2023上·河南信陽·高二河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┲校茿,B,C所對的邊分別為a,b,c，，交AC于點(diǎn)D，且，的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意由面積關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，
因?yàn)?，即?br/>整理得，
則．
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
所以的最小值為．
故選：B.
技法05 倍角定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
倍角定理
在中,三個內(nèi)角的對邊分別為,
(1)如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:
倍角定理的逆運(yùn)用
在中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,
如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:。
例5．在 中, 角 所對的邊分別為 , 若 , , 則 _______
,由倍角定理得:
1.在 中, 角 所對的邊分別為 , 已知 , , 則
【解析】 ，令
由倍角定理得: ，即
，由余弦定理得:
2.在 中, 角 所對的邊分別為 , 若 ,則 的最小值為
【解析】
由倍角定理得:
（當(dāng)且僅當(dāng) 時取 “=”)
3.中,角所對的邊分別為,若,且,則角
【解析】
即
4.（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用兩角和與差的余弦公式化簡得，再根據(jù)范圍即可證明；
（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合（1）中的結(jié)論化簡得，再求出的范圍，從而得到的范圍，最后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是銳角,則
,
（2）令
，
由（1）得.
在銳角三角形中,
，即，,
令,
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
,即的取值范圍是.
技法06 10類恒等式的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對的邊分別為，若，=______
，可得，所以.
在 中， , 則 ______
因?yàn)?br/>所以設(shè)
利用三角形的正切恒等式
所以
所以
所以
2．（河南·高一競賽）在中，設(shè)， .則、的大小關(guān)系是（　）.
A． B．
C． D．不能確定
【答案】C
【詳解】由條件有 .
同理，，.故. 選C.
3．（全國·高三競賽）在中，，．則、的大小關(guān)系是（ ）．
A． B．
C． D．無法確定
【答案】B
【詳解】在中，．
同理，，．
三式相加得．6類解三角形公式定理解題技巧
技法01 海倫公式的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移 海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是a、b、c，則三角形的面積為
其中，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
例1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?
1．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積．若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積，這里．已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則的面積最大值為（ ）．
A． B． C．10 D．12
2．（2023上·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為：（其中）；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（ ）
A． B． C． D．12
3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn)．已知在中，，且的面積為，則（ ）
A．角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列 B．的周長為36
C．的內(nèi)切圓面積為 D．邊上的中線長度為
技法02 射影定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移 射影定理，，
例2．（全國·高考真題）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 ．
在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.
又01．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，若，則 ．
2．（全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周長.
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
4．（上海虹口·高三上外附中?？计谥校┰谥?，，則（ ）
A．，，依次成等差數(shù)列
B．，，依次成等差數(shù)列
C．，，依次成等差數(shù)列
D．，，既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若的面積，，，則 .
技法03 角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫斯頓定理）
（4）
例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：?br/>則計算即可，故答案為：．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．
2．（2023春·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角A的角平分線交于點(diǎn)D，且，則等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線 .

4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大??；
(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.
技法04 張角定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
張角定理
例4-1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長.
先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為．
例4-2．在中,角所對的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,
,則__________
解：如圖
由張角定理得:
即
在 中, 角 的對邊分別為 , 已知 的角平分線交邊 于點(diǎn) ,則 _____
2.在中,角所對的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______
3．（2023上·河南信陽·高二河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┲校茿,B,C所對的邊分別為a,b,c，，交AC于點(diǎn)D，且，的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．
技法05 倍角定理的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
倍角定理
在中,三個內(nèi)角的對邊分別為,
(1)如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:
倍角定理的逆運(yùn)用
在中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,
如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:。
例5．在 中, 角 所對的邊分別為 , 若 , , 則 _______
,由倍角定理得:
1.在 中, 角 所對的邊分別為 , 已知 , , 則
2.在 中, 角 所對的邊分別為 , 若 ,則 的最小值為
3.中,角所對的邊分別為,若,且,則角
4.（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
技法06 10類恒等式的應(yīng)用及解題技巧
知識遷移
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對的邊分別為，若，=______
，可得，所以.
在 中， , 則 ______
2．（河南·高一競賽）在中，設(shè)， .則、的大小關(guān)系是（?。?
A． B．
C． D．不能確定
3．（全國·高三競賽）在中，，．則、的大小關(guān)系是（ ）．
A． B．
C． D．無法確定

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