資源簡介

5類平面向量解題技巧
技法01 “爪子定理”的應用及解題技巧
知識遷移
形如條件的應用（“爪子定理”）
“爪”字型圖及性質：
（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點共線
當，則與位于同側，且位于與之間
當，則與位于兩側
時，當，則在線段上；當，則在線段延長線上
（2）已知在線段上，且，則
例1-1．（全國·高考真題）設為所在平面內一點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：
答案：A
例1-2．（2023江蘇模擬）如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為（ ）
A. B. C. D.
解：觀察到三點共線，利用“爪”字型圖，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
1．（2022·全國·統考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
（全國·高考真題）在中，，．若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：，故選A．
（2020·新高考全國1卷·統考高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；
【詳解】連結，則為的中位線，
，
故選：A
4．（全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.
【詳解】根據向量的運算法則，可得
，
所以，故選A.
【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.
5．（江蘇·高考真題）設、分別是的邊，上的點，，. 若（為實數），則的值是
【答案】
【詳解】依題意，，
∴，∴，，故.
【考點定位】平面向量的加法、減法法則.分析、計算能力.中等題.
技法02 系數和（等和線）的應用及解題技巧
知識遷移
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
例2-1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
【系數和】
分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線與圓相切時， 最大，此時
故選 .
例2-2．（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
分析:如圖，設，由等和線結論，.此為的最小值；
同理，設，由等和線結論，.此為的最大值.
綜上可知.
例2-3．已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________
【解析】如圖,取中點為,
顯然,當與重合時,取最小值1.
將平行移動至與相切處,
為切點時,取最大值.
延長交于,易知.
由等和線及平行截割定理,.
所以的最大值為.
故的取值范圍是.
在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，
若，則的最大值為( )
解：如圖所示：
過作的垂線，垂足為，則，當三點共線時，高線最長，即
如圖，正六邊形，是內（包括邊界）的動
點，設，則的取值范圍是____________
解：連接因為正六邊形，由對稱性知道
，設與交于點，與交于點，
當在上時，在上射影最小為；
當與重合時，在上射影最大為；
則
設則
則
如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內運動，設
則的取值范圍是____________
解：設圓與直線相切于點，過作于，作直線，且直線與圓相切與，連，則過圓心，且，由圖可知，對圓內任意一點
在直線上的射影長度滿足：，
又，
所以
而，所以
若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______
【解析】令,
則,
即,
其中.
由知點在線段上,如下圖:
由于在中,,
且點在線段上(含端點,
因此,其中是邊上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標系，將由點坐標轉化后數形結合求解
【詳解】以點為坐標原點， 方向為x,y軸正方向建立直角坐標系，則，
，設，則，解得，
故，即，
數形結合可得當時，取最小值2，
當直線與圓相切時，，取得最大值 .
故選：B
技法03 極化恒等式的應用及解題技巧
知識遷移
極化恒等式
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:
向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系
如圖在平行四邊形 中,
則
在上述圖形中設平行四邊形 對角線交于 點, 則對于三角形來說:
例3-1．（全國·高考真題）設向量滿足，，則
A．1 B．2 C．3 D．5
由極化恒等式可得：，故選A．
例3-2．（2023·全國·統考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
設CD中點為O點，由極化恒等式可得：
故選：B.
1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，， ，則 的值是 .
【答案】
極化恒等式
因為是上的兩個三等分點,所以
聯立解得:
所以
如圖,在中,已知,點分別在邊上,
且,若為的中點,則的值為________
解：取的中點,連接,則,
在中,,
（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
記AB的中點為M，連接CM，則
由極化恒等式可得：
即
故選：D
技法04 奔馳定理與三角形四心的應用及解題技巧
知識遷移
奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內心，則；備注：若為的內心，則也對.
④若為的垂心，則，或
例4-1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

例4-2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【詳解】，
令，
則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，
故選：B
例4-3．（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知點O是內的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】延長交于點P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設，其中．
，
，解得．
當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．
1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學校考期末）若是內一點，，則是的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法則，結合重心定義判斷作答.
【詳解】取線段的中點，連接，則，而，

因此，即三點共線，線段是的中線，且是靠近中點的三等分點，
所以是的重心.
故選：D
2．（2023·江蘇·高三專題練習）在中，若，則點H是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
【答案】A
【分析】根據向量的運算結合向量垂直分析判斷.
【詳解】因為，則，
所以，即點H在邊的高線所在直線上，
同理可得：，
所以點H為的三條高線的交點，即點H是的垂心.
故選：A.
3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學校聯考期末）（多選）如圖.為內任意一點，角的對邊分別為，總有優美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
【答案】AB
【分析】對于A：利用重心的性質，代入即可；
對于B：利用三角形的面積公式結合與可知點到的距離相等.
對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關系式，用將表示出來即可得處其比值.
對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結合的取值范圍可得出答案.
【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因為，
所以.正確；
對于B：記點到的距離分別為，，
因為，
則，
即，
又因為，所以，所以點是的內心，正確；
對于C：因為，
所以，所以，
所以，
所以，
化簡得：，
又因為不共線，
所以，所以，
所以，錯誤；
對于D：因為是的外心，，所以,，
所以，
因為，則，
化簡得：，由題意知同時為負，
記，，則，
因為，所以，
所以，
所以，錯誤.
故答案為：AB.
技法05 范圍與最值的應用及解題技巧
例5-1．（浙江·高考真題）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，
，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．
例5-2．（四川·高考真題）在平面內，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又
，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.
例5-3．（2023·全國·高三專題練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，
1．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，做出圖形可知，當且僅當與方向相反且時，取到最大值；最大值為；當且僅當與方向相同且時，取到最小值；最小值為.
2．（湖南·高考真題）已知點A,B,C在圓上運動，且ABBC，若點P的坐標為（2，0），則 的最大值為
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【詳解】由題意，AC為直徑，所以 ,當且僅當點B為（-1，0）時，取得最大值7，故選B.
考點：直線與圓的位置關系、平面向量的運算性質
【名師點睛】與圓有關的最值問題是命題的熱點內容，它著重考查數形結合與轉化思想. 由平面幾何知識知，圓上的一點與圓外一定點距離最值在定點和圓心連線與圓的兩個交點處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結論是轉化問題的關鍵.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量線性運算和數量積的定義和運算律可化簡已知等式得到，，根據向量夾角公式，結合推導出的等式可化簡得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【詳解】，
即，；
，
即，；
設向量與所成夾角為，
（當且僅當時取等號）；
又，.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量夾角最值的求解問題，解題關鍵是能根據向量夾角的計算公式，將向量夾角的余弦值表示為關于的函數的形式，利用基本不等式求解函數的最小值即可得到夾角的最大值.
4．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中學校考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】令，，，OB的中點為D，AB的中點為E，OD的中點為F，與的夾角為，由題意，計算，，判斷出點C的軌跡為以OD為直徑的圓，利用向量基底表示，將轉化為，然后轉化為圓上任意一點到定點距離的最小值進而求解最小值.
【詳解】令，，，OB的中點為D，AB的中點為E，OD的中點為F，
與的夾角為，連接CA、CB、CD、CO、EF.
由，，，得，，
因為，所以，在中，由余弦定理得.
又由，得，即，
所以點C的軌跡為以OD為直徑的圓.
因為
，
當且僅當點C、E、F共線，且點C在點E、F之間時，等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】本題解題關鍵是通過平面向量的幾何表示，將問題轉化為圓上任意一點到定點距離的最值從而根據幾何知識得解.
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）在平面內，定點，滿足，且，則 ；平面內的動點滿足，，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】（1）利用向量線性運算法則和數量積運算法則計算出，進而根據，平方后計算出，從而求出；然后建立平面直角坐標系，設出，表達出和，利用三角函數有界性求出最大值.
【詳解】因為，，
所以，兩邊平方得：，
即，解得：，
因為，
所以，
因為
所以；
可得到△ABC是等邊三角形，且邊長為，
如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標系，
，，
因為，所以設，，
由可得：是線段PC的中點，則，
則
，
當時，取得最大值，最大值為.
故答案為：，5類平面向量解題技巧
技法01 “爪子定理”的應用及解題技巧
知識遷移
形如條件的應用（“爪子定理”）
“爪”字型圖及性質：
（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點共線
當，則與位于同側，且位于與之間
當，則與位于兩側
時，當，則在線段上；當，則在線段延長線上
（2）已知在線段上，且，則
例1-1．（全國·高考真題）設為所在平面內一點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：
答案：A
例1-2．（2023江蘇模擬）如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為（ ）
A. B. C. D.
解：觀察到三點共線，利用“爪”字型圖，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
1．（2022·全國·統考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
（全國·高考真題）在中，，．若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
（2020·新高考全國1卷·統考高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．（全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則
A． B．
C． D．
5．（江蘇·高考真題）設、分別是的邊，上的點，，. 若（為實數），則的值是
技法02 系數和（等和線）的應用及解題技巧
知識遷移
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
例2-1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
【系數和】
分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線與圓相切時， 最大，此時
故選 .
例2-2．（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
分析:如圖，設，由等和線結論，.此為的最小值；
同理，設，由等和線結論，.此為的最大值.
綜上可知.
例2-3．已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________
【解析】如圖,取中點為,
顯然,當與重合時,取最小值1.
將平行移動至與相切處,
為切點時,取最大值.
延長交于,易知.
由等和線及平行截割定理,.
所以的最大值為.
故的取值范圍是.
在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，
若，則的最大值為( )
如圖，正六邊形，是內（包括邊界）的動
點，設，則的取值范圍是____________
如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內運動，設
則的取值范圍是____________
若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______
（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
技法03 極化恒等式的應用及解題技巧
知識遷移
極化恒等式
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:
向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系
如圖在平行四邊形 中,
則
在上述圖形中設平行四邊形 對角線交于 點, 則對于三角形來說:
例3-1．（全國·高考真題）設向量滿足，，則
A．1 B．2 C．3 D．5
由極化恒等式可得：，故選A．
例3-2．（2023·全國·統考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
設CD中點為O點，由極化恒等式可得：
故選：B.
1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，， ，則 的值是 .
如圖,在中,已知,點分別在邊上,
且,若為的中點,則的值為________
（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
，則
技法04 奔馳定理與三角形四心的應用及解題技巧
知識遷移
奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.
已知點在內部，有以下四個推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內心，則；備注：若為的內心，則也對.
④若為的垂心，則，或
例4-1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

例4-2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【詳解】，
令，
則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，
故選：B
例4-3．（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知點O是內的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】延長交于點P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設，其中．
，
，解得．
當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．
1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學校考期末）若是內一點，，則是的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
2．（2023·江蘇·高三專題練習）在中，若，則點H是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學校聯考期末）（多選）如圖.為內任意一點，角的對邊分別為，總有優美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若成立，則是的內心
C．若，則
D．若是的外心，，，則
技法05 范圍與最值的應用及解題技巧
例5-1．（浙江·高考真題）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，
，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．
例5-2．（四川·高考真題）在平面內，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又
，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.
例5-3．（2023·全國·高三專題練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，
1．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（ ）
A． B．
C． D．
2．（湖南·高考真題）已知點A,B,C在圓上運動，且ABBC，若點P的坐標為（2，0），則 的最大值為
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中學校考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為 .
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）在平面內，定點，滿足，且，則 ；平面內的動點滿足，，則的最大值是 ．

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