資源簡介

5類函數選填壓軸題解題技巧
（對稱性、解不等式（含分段函數）、整數解、零點、切線與公切線）
技法01 函數對稱性的應用及解題技巧
例1．（全國·高考真題）設函數的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則
A． B． C． D．
反解的解析式，可得，即，
因為，所以，解得解得，故選C
1．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且滿足，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】根據圖象的對稱性得點，在函數的圖象上，列方程組求解即可得解.
【詳解】函數的圖象與的圖象關于直線對稱，
所以點，在函數的圖象上，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，
由得，∴，把互換得：，即，
因為，所以．
故選：B．
3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作出函數和的圖象以及直線的圖象，利用反函數的性質即可判斷
【詳解】作出函數和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，
由題意知，也即,
由于函數和互為反函數，
二者圖像關于直線對稱，
而為和的圖象與直線的交點,
故關于對稱，
故.
故選：B.
4．（2023·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】將所給式化簡可得，，進而和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.再根據反函數的性質求解即可
【詳解】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.
根據函數和函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，
故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱.
即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D.
技法02 解不等式（含分段函數）的應用及解題技巧
例2．（全國·高考真題）設函數,則使成立的的取值范圍是
A． B．
C． D．
【特值法】
當時，不成立，排除D，當時，則判斷是否成立，
計算，，不成立，故排除B、C,
【答案】A
1．（全國·高考真題）設函數，則滿足的x的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析：首先根據題中所給的函數解析式，將函數圖像畫出來，從圖中可以發現若有成立，一定會有，從而求得結果.
詳解：將函數的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.
點睛：該題考查的是有關通過函數值的大小來推斷自變量的大小關系，從而求得相關的參數的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數解析式畫出函數圖像，從而得到要出現函數值的大小，絕對不是常函數，從而確定出自變量的所處的位置，結合函數值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結果.
【詳解】
2．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數解析式，作出函數圖象，繼而作出的圖象，數形結合，求得不等式的解集.
【詳解】根據題意當時,，
當時, ,
作出函數的圖象如圖，
在同一坐標系中作出函數的圖象，
由圖象可得不等式解集為，
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是正確的作出函數的圖象，數形結合，求得不等式解集.
3．（2024·山東淄博·山東省淄博實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，若成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構造函數，根據函數的奇偶性及復合函數的單調性可得函數為偶函數且在單調遞增，進而關于直線對稱，且在單調遞增，結合條件可得，解不等式即得.
【詳解】因為的定義域為R，又，故函數為偶函數，
又時， ，單調遞增，故由復合函數單調性可得函數在單調遞增，函數在定義域上單調遞增，
所以在單調遞增，
所以，
所以關于直線對稱，且在單調遞增．
所以，
兩邊平方，化簡得，解得．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數，然后根據函數的單調性及對稱性化簡不等式進而即得.
技法03 整數解的應用及解題技巧
例3．（2024·全國·模擬預測）已知關于x的不等式恰有一個整數解，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【猜根法，尋找臨界條件】
由題知整數解不可能為1，
若整數解為2，則整數解3不可取，代入有，
，根據整數解問題區間為一開一閉，則選D.
1．（2023·四川內江·統考三模）若關于x的不等式有且只有一個整數解，則正實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】原不等式可化簡為，設，，作出函數的圖象，由圖象可知函數的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線，進而求得答案．
【詳解】原不等式可化簡為，設，，
由得，，令可得，
時，，時，，
易知函數在單調遞減，在單調遞增，且，
作出的圖象如下圖所示，
而函數恒過點，要使關于的不等式有且只有一個整數解，則函數的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故選：A．
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若不等式有3個整數解，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意將不等式等價轉化為有3個整數解．利用導數研究函數的性質并畫出草圖，結合圖形列出關于a的不等式組，解之即可.
【詳解】函數的定義域為．
由，得，則不等式有3個整數解．
設，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
又，所以當時，，當時，，
易知的圖象恒過點，
在同一直角坐標系中，分別作出與函數的圖象，如圖所示．
由圖象可知，
要使不等式有3個整數解，
則，解得，
故選：A．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若恰有3個正整數解，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不等式有解問題轉化為相應兩個函數圖象交點問題，根據數形結合思想，通過運算進行求解即可.
【詳解】解：由題意，恰有3個正整數解，轉換為的圖象與的圖象交點問題，
作出和的圖象，如圖：
要使恰有3個正整數解，
則需滿足：，
解得：，
故選：A．
【點睛】方法點睛：不等式解和方程根的問題往往轉化為函數圖象交點問題，利用數形結合思想進行求解.
4．（2022·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）偶函數滿足，當時，，不等式在上有且只有100個整數解，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意得到是周期函數，且周期為，且關于對稱，轉化為不等式在上有且只有1個整數解，根據時，得到在上有一個整數解，結合對數運算及性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，函數為偶函數，所以，
所以，所以是周期函數，且周期為，且關于對稱，
又由在上含有50個周期，且在每個周期內都是對稱圖形，
關于的不等式在上有且只有100個整數解，
所以關于不等式在上有且只有1個整數解，
當時，，則，令，解得，
所以當時，，為增函數，
當時，，為減函數，
因為當時，，且，，，所以當時，可得，
當時，在上有且只有3個整數解，不合題意；
所以，
由，可得或，
因為，當時，令，可得，
當時，，且在為增函數，
所以在上無整數解，所以在上有一個整數解，
因為，
所以在上有一個整數解，這個整數解只能為，
從而有且，解得，
即實數a的取值范圍是．
故選：C
技法04 零點的應用及解題技巧
例4-1．（全國·高考真題）已知函數有唯一零點，則
A． B． C． D．1
通過觀察發現關于對稱，也關于對稱，
則唯一零點為1，解得解得.故選：C.
例4-2．（2023·山東濟南·統考三模）已知函數若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
依題意，函數有四個不同的零點，即有四個解，
轉化為函數與圖象由四個交點，
由函數函數可知，
當時，函數為單調遞減函數，；
當時，函數為單調遞增函數，；
當時，函數為單調遞減函數，；
當時，函數為單調遞增函數，；
結合圖象，可知實數的取值范圍為.
故選：A
1．（2023·貴州畢節·校考模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函數解析式推導出函數的對稱性，然后結合只有唯一的零點求出參數的值.
【詳解】由
，
得，即函數的圖象關于對稱，
要使函數有唯一的零點，
則，即，得．
故選：A．
2．（2023·安徽蚌埠·統考模擬預測）已知函數有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知函數存在極小值且滿足，由此可得出，構造函數，其中，利用導數分析得出函數在區間上為減函數，可求得的值，進而可求得的值.
【詳解】函數的定義域為，則，，
則，
所以，函數在上為增函數，
當時，，當時，，
則存在，使得，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
，
由于函數有唯一零點，
則，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，則，，，則，
所以，函數在上單調遞減，且，，
從而可得，解得.
故選：C.
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
3．（2022上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知函數有唯一零點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將函數變形，換元后得到，研究得到為偶函數，由有唯一零點，得到函數的圖象與有唯一交點，結合為偶函數，可得此交點的橫坐標為0，代入后求出.
【詳解】有零點，則，
令，則上式可化為，
因為恒成立，所以，
令，則，
故為偶函數，
因為有唯一零點，所以函數的圖象與有唯一交點，
結合為偶函數，可得此交點的橫坐標為0，
故.
故選：D
4．（2023·湖南岳陽·統考二模）若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將問題轉化為函數與圖象有兩個不同的交點，根據換元法將函數轉化為，利用導數討論函數的單調性求出函數的值域，進而得出參數的取值范圍.
【詳解】函數的定義域為，
，
設，則，
令，令，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，
所以，所以，
函數有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的解，
則，
等價于函數與圖象有兩個不同的交點.
令，，
則函數與圖象有一個交點，
則，
所以函數在上單調遞增，
所以，
且趨向于正無窮時，趨向于正無窮，
所以，解得.
故選：A.
【點睛】方法點睛：與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．對于不適合分離參數的等式，常常將參數看作常數直接構造函數，常用分類討論法，利用導數研究單調性、最值，從而得出參數范圍.
5．（全國·高考真題）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【詳解】分析：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.
詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，
再畫出直線，之后上下移動，
可以發現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，
并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，
即方程有兩個解，
也就是函數有兩個零點，
此時滿足，即，故選C.
點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.
6．（2023·貴州貴陽·校聯考三模）已知函數，其中，若在區間內恰好有4個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據參數的范圍，討論兩段函數的零點情況，利用二次函數與三角函數的圖象與性質，結合端點滿足的條件，即可求解.
【詳解】由函數，其中，
當時，對任意，函數在內最多有1個零點，不符題意，所以，
當時，，
由可得或，
則在上，有一個零點，
所以在內有3個零點，即在內有3個零點，
因為，所以，，
所以，解得，
綜上所述，實數的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】方法技巧：已知函數零點（方程根）的個數，求參數的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數的取值范圍；
2、分離參數法，先分離參數，將問題轉化成求函數值域問題加以解決；
3、數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解.
技法05 切線與公切線的應用及解題技巧
例5-1．（2021·全國·統考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
例5-2．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
對函數求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.
1．（2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出函數的導數，根據導數的幾何意義推出公共切線斜率為，結合切點坐標滿足函數解析式，可得，構造函數，利用導數求得其最大值，即可求得答案.
【詳解】由題可知，，，
設與曲線相切的切點為，與相切的切點為，
則有公共切線斜率為，則，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
設，，，
可得時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，,
可得處取得極大值，且為最大值，
則正實數a的取值范圍，
故答案為：
2．（2024·全國·高三專題練習）若曲線與曲線存在公切線，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函數的導函數，設公切線與切于點，與曲線切于點，，即可得到，則或，從而得到，在令，，利用導數求出函數的最小值，即可得解；
【詳解】因為，，
所以，，
設公切線與切于點，與曲線切于點，，
所以，
所以，所以，所以或，
因為，所以，所以，
所以，
令，，
則，所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以實數的最小值為.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及公切線問題一般先設切點，在根據斜率相等得到方程，即可找到參數之間的關系，最后構造函數，利用導數求出函數的最值.
3．（2024上·河北保定·高三河北阜平中學校聯考期末）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據此求出a關于切點x的解析式，根據解析式的值域確定a的范圍.
【詳解】設是曲線的切點，設是曲線的切點，
對于曲線 ，其導數為 ，對于曲線 ，其導數為 ，
所以切線方程分別為：，，兩切線重合，
對照斜率和縱截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
當 時， ，是減函數，
當 時， ，是增函數，
∴且當x趨于 時，， 趨于 ；當 趨于 時， 趨于；
∴，∴；
故選：D．
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數與函數有公切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別求出導數，設出各自曲線上的切點，得出兩個切線方程，由兩個切線方程可整理成關于一個變量的函數，利用導數求出函數的取值范圍即可求解.
【詳解】設公切線與函數切于點，
，切線的斜率為，
則切線方程為，即
設公切線與函數切于點，
，切線的斜率為，
則切線方程為，即
所以有
因為，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，則，，
設，則，
所以在上為減函數，
則，所以，
所以實數的取值范圍是，
故選：B．
【點睛】方法點睛：求曲線過點的切線的方程的一般步驟是：
（1）設切點
（2）求出在處的導數，即在點處的切線斜率；
（3）構建關系解得；
（4）由點斜式求得切線方程.5類函數選填壓軸題解題技巧
（對稱性、解不等式（含分段函數）、整數解、零點、切線與公切線）
技法01 函數對稱性的應用及解題技巧
例1．（全國·高考真題）設函數的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則
A． B． C． D．
反解的解析式，可得，即，
因為，所以，解得解得，故選C
1．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且滿足，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．（2023·全國·高三專題練習）若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
技法02 解不等式（含分段函數）的應用及解題技巧
例2．（全國·高考真題）設函數,則使成立的的取值范圍是
A． B． C． D．
【特值法】
當時，不成立，排除D，當時，則判斷是否成立，
計算，，不成立，故排除B、C,
【答案】A
1．（全國·高考真題）設函數，則滿足的x的取值范圍是
A． B． C． D．
2．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東淄博·山東省淄博實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，若成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
技法03 整數解的應用及解題技巧
例3．（2024·全國·模擬預測）已知關于x的不等式恰有一個整數解，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【猜根法，尋找臨界條件】
由題知整數解不可能為1，
若整數解為2，則整數解3不可取，代入有，
，根據整數解問題區間為一開一閉，則選D.
1．（2023·四川內江·統考三模）若關于x的不等式有且只有一個整數解，則正實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若不等式有3個整數解，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若恰有3個正整數解，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）偶函數滿足，當時，，不等式在上有且只有100個整數解，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
技法04 零點的應用及解題技巧
例4-1．（全國·高考真題）已知函數有唯一零點，則
A． B． C． D．1
通過觀察發現關于對稱，也關于對稱，
則唯一零點為1，解得解得.故選：C.
例4-2．（2023·山東濟南·統考三模）已知函數若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
依題意，函數有四個不同的零點，即有四個解，
轉化為函數與圖象由四個交點，
由函數函數可知，
當時，函數為單調遞減函數，；
當時，函數為單調遞增函數，；
當時，函數為單調遞減函數，；
當時，函數為單調遞增函數，；
結合圖象，可知實數的取值范圍為.
故選：A
1．（2023·貴州畢節·校考模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（ ）
A．2 B． C．4 D．1
2．（2023·安徽蚌埠·統考模擬預測）已知函數有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知函數有唯一零點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南岳陽·統考二模）若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（全國·高考真題）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
6．（2023·貴州貴陽·校聯考三模）已知函數，其中，若在區間內恰好有4個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
技法05 切線與公切線的應用及解題技巧
例5-1．（2021·全國·統考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
例5-2．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
對函數求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.
1．（2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值范圍是 ．
2．（2024·全國·高三專題練習）若曲線與曲線存在公切線，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·河北保定·高三河北阜平中學校聯考期末）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數與函數有公切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．

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