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“奇函數+常函數”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧
技法01 “奇函數+常函數”的最大值+最小值解題技巧
知識遷移
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，則最大值，最小值有
即倍常數
（1）與指數函數相關的奇函數和偶函數
，（，且）為偶函數，
，（，且）為奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
為偶函數
（2）與對數函數相關的奇函數和偶函數
，（且）為奇函數，
，（且）為奇函數
例1-1．（2023上·江蘇·高三模擬）已知分別是函數++1的最大值、最小值，則
倍常數=2
例1-2．．（2023上·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知函數，的最大值為M，最小值為m，則 .
【法一】倍常數=14
【法二】
例1-3．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習）函數，，記的最大值為，最小值為，則 .
【法一】倍常數=4
【法二】
1．（2023下·湖南?？迹┮阎瘮翟趨^間上的最大值為最小值為，則 .
2．（2023上·重慶?？迹┖瘮?，當時的最大值為M，最小值為N，則 ．
3．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校校考階段練習）設函數在區間上的最大值為M，最小值為N，則的值為 ．
4．（2023上·山東統考期中）設函數的最大值為M，最小值為m，則 .
5．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的函數的最大值和最小值之和為4，則 ．
6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學?？迹┖瘮档淖畲笾禐?，最小值為，若，則 ．
7．（2015上·寧夏銀川·高三階段練習）已知分別是函數的最大值、最小值，則 ．
8．（2022上·遼寧·聯考）已知函數，若存在正實數a，使得函數在區間有最大值及最小值m，則 .
9．（2023下·黑龍江?？迹┮阎瘮?，若在區間上的最大值和最小值分別為M，N，則函數的圖像的對稱中心為 ．
10．（2023上·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）設函數的最大值為，最小值為，則 .
11．（2023上·安徽·高三校聯考）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
12．（2023下·江西上饒·高二校聯考階段練習）已知函數，的最大值為，最小值為，則 .
技法02 “奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)解題技巧
知識遷移
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，有
即倍常數
例2-1．（全國·高考真題）已知函數，，則 ．
在定義域內為奇函數
所以倍常數=2，解得
【答案】－2
例2-2．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知函數，則 ．
，和在定義域內為奇函數
所以2倍常數=-2
【答案】－2
1．（2023·廣西玉林·統考三模）函數，若，則 ．
2．（2023·四川模擬）已知，若，則 .
3．（2022·上?！じ呷？迹┤舳x在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
4．（2022·青?！そy考模擬預測）已知函數，若，則 ．
5．（2023上·上?！そ淮蟾街行？迹┰O（其中a b c為常數，），若.則 .
6．（2023·四川達州·統考一模）函數，且，則的值為 .“奇函數+常函數”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧
技法01 “奇函數+常函數”的最大值+最小值解題技巧
知識遷移
在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，則最大值，最小值有
即倍常數
（1）與指數函數相關的奇函數和偶函數
，（，且）為偶函數，
，（，且）為奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
和，（，且）為其定義域上的奇函數
為偶函數
（2）與對數函數相關的奇函數和偶函數
，（且）為奇函數，
，（且）為奇函數
例1-1．（2023上·江蘇·高三模擬）已知分別是函數++1的最大值、最小值，則
倍常數=2
例1-2．．（2023上·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知函數，的最大值為M，最小值為m，則 .
【法一】倍常數=14
【法二】
例1-3．（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）函數，，記的最大值為，最小值為，則 .
【法一】倍常數=4
【法二】
1．（2023下·湖南?？迹┮阎瘮翟趨^間上的最大值為最小值為，則 .
【答案】
【分析】設函數，則的最大值為，最小值為，利用是奇函數可得答案.
【詳解】設函數，則的最大值為，最小值為，
，則，
所以是奇函數，所以，所以．
故答案為：.
2．（2023上·重慶校考）函數，當時的最大值為M，最小值為N，則 ．
【答案】
【分析】求出的奇偶性即可得出的值.
【詳解】由題意，
在中，
，
函數是奇函數，，
在中，
當時的最大值為M，最小值為N，
故答案為：.
3．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校?？茧A段練習）設函數在區間上的最大值為M，最小值為N，則的值為 ．
【答案】8
【分析】化簡函數，設，，可得函數在上為奇函數，進而得到，進而求解即可.
【詳解】由，
設，，
則，
所以函數在上為奇函數，
所以，
由題意，得，
所以.
故答案為：8.
4．（2023上·山東統考期中）設函數的最大值為M，最小值為m，則 .
【答案】4046
【分析】化簡函數，設，可得函數在上為奇函數，進而得到，進而求解即可.
【詳解】，
設，定義域關于原點對稱，
由，知函數為奇函數，
因為，，
所以.
故答案為：4046.
5．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的函數的最大值和最小值之和為4，則 ．
【答案】2
【分析】根據三角恒等變換和分類常量法可得，由函數的奇偶性可知為奇函數，則，進而，即可求解.
【詳解】當時，，當或時，，
所以的定義域為.
又，
設，則，∴ g(x) 為奇函數；設 g(x) 的最大數值為M，最小值為N，
則，則的最大數值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為，得．
故答案為：2．
6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學?？迹┖瘮档淖畲笾禐?，最小值為，若，則 ．
【答案】
【分析】將函數解析式化為，設，則，記，則為奇函數，根據奇函數的性質及，即可求得的值.
【詳解】因為，
設，
則，
設，
則，
所以是上的奇函數，最大值為，最小值為，
所以，
由，得，
故答案為：
7．（2015上·寧夏銀川·高三階段練習）已知分別是函數的最大值、最小值，則 ．
【答案】2
【分析】先由和角正弦公式化簡，令，得是奇函數，再由奇函數的性質即可求出最值之和.
【詳解】由可得定義域為R，，令，則，
則函數是奇函數，設其最大值為，則其最小值為，所以，，從而．
故答案為：2.
8．（2022上·遼寧·聯考）已知函數，若存在正實數a，使得函數在區間有最大值及最小值m，則 .
【答案】15
【分析】令，判斷其奇偶性，由奇函數的性質得出所求.
【詳解】
令，其定義域為，，即為奇函數，即函數在區間上滿足，所以，即
故答案為：
9．（2023下·黑龍江?？迹┮阎瘮?，若在區間上的最大值和最小值分別為M，N，則函數的圖像的對稱中心為 ．
【答案】/
【分析】利用函數的奇偶性的定義及性質，結合函數的對稱性即可求解.
【詳解】由題意可知，
所以.
故函數在定義域內為非奇非偶函數，
令，則，
所以在定義域內為奇函數.
設在上的最大值為，則最小值為，
所以在上的最大值為，最小值為，
所以.
.
因為，
所以圖象的對稱中心為.
故答案為：.
10．（2023上·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）設函數的最大值為，最小值為，則 .
【答案】2
【分析】構造函數結合函數的奇偶性求值即可.
【詳解】，
令，易知，，即為奇函數，
所以
結合奇函數性質有.
故答案為：2
11．（2023上·安徽·高三校聯考）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】1
【分析】將函數解析式邊形為，設，則，記，由奇函數的定義得出為奇函數，得出在的最值，結合，即可求出．
【詳解】，
設，則，
記，
因為，
所以是在上的奇函數，最大值為，最小值為，
所以，
又因為，
所以，
故答案為：1．
12．（2023下·江西上饒·高二校聯考階段練習）已知函數，的最大值為，最小值為，則 .
【答案】
【分析】構造，定義判斷奇偶性，利用對稱性有，即可求結果.
【詳解】令，且，
，
所以為奇函數，且在上連續，
根據奇函數的對稱性：在上的最大、最小值關于原點對稱，
則，故.
故答案為：
技法02 “奇函數+常函數”的f(a)+f(-a)解題技巧
例2-1．（全國·高考真題）已知函數，，則 ．
在定義域內為奇函數
所以倍常數=2，解得
【答案】－2
例2-2．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知函數，則 ．
，和在定義域內為奇函數
所以2倍常數=-2
【答案】－2
1．（2023·廣西玉林·統考三模）函數，若，則 ．
【答案】3
【分析】根據題意可得，結合計算即可求解.
【詳解】由題得，
∴，
所以．
故答案為：3.
2．（2023·四川模擬）已知，若，則 .
【答案】
【分析】令，已知為奇函數，進而根據奇函數的性質求解即可.
【詳解】解：令，因為，
所以函數為奇函數，
因為，即，所以，
所以.
故答案為：
3．（2022·上?！じ呷？迹┤舳x在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據為奇函數得到的對稱中心為，再結合得到的對稱中心為，然后利用對稱性求即可.
【詳解】由可得，因為為奇函數，所以的對稱中心為，則的對稱中心為，又，則.
故答案為：-5.
4．（2022·青?！そy考模擬預測）已知函數，若，則 ．
【答案】5
【分析】令，根據為奇函數可求出.
【詳解】令，可得為奇函數，所以，
因為，所以，所以，
則.
故答案為：5.
5．（2023上·上海·交大附中?？迹┰O（其中a b c為常數，），若.則 .
【答案】31
【分析】由已知得，，由此能求出．
【詳解】（其中，，為常數，，，
，
．
故答案為：31．
6．（2023·四川達州·統考一模）函數，且，則的值為 .
【答案】0
【分析】構造，得到為奇函數，從而根據得到，由求出.
【詳解】令，
定義域為或且，關于原點對稱，
則，
故為奇函數，
又，故，
解得.
故答案為：0

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