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4類比較函數值大小關系解題技巧
（構造函數、兩類經典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）
技法01 構造函數比較函數值大小關系解題技巧
例1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】分析法
假設待證法比較大小→構造函數
假設成立，即
令，則等價證明：，即證：（原式得證，略）
假設成立，即
令，則等價證明：，
證明略
所以函數在單調遞增，
所以，即：，所以假設不成立，即，
綜上所述：，故選：C
【法二】構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
1．（2023·河北·統考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意，，，令，利用導數說明函數的單調性，即可判斷、，再令，，利用導數說明函數的單調性，即可判斷、，即可得解.
【詳解】因為，，，
令，，
則，
令，則，
所以在上單調遞增，，
所以，所以在上單調遞增，所以，
則，即，即，
令，，則，
所以在上單調遞減，則，
則，即，即，
所以，綜上可得.
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是根據式子的特征構造函數，，，，利用導數說明函數的單調性，結合臨界點的函數值，從而判斷函數值的正負，達到比較大小的目的.
2．（2023·福建福州·模擬預測），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，利用導數研究函數的單調性可得到，即可判斷、的大小關系；構造函數判斷與0.1的大小，構造函數判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大小．
【詳解】令，，則，
所以當時，即在上單調遞增，
所以，即，即，即，
令，則，
在時，，則為減函數，
∴，即；
令，，則，
故在為減函數，
∴，即；
∴，
令，則，即，∴，
所以．
故選：D．
【點睛】結論點睛：常用的不等式：，，，，，.
3．（2023·福建·二模）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作差法判斷、的大小，構造函數, 利用導數的單調性判斷、的大小.
【詳解】
，
又，
所以令，，
則，
令，
則 ，
當時,, ，
所以，
故,故在上是增函數，
又∵，
∴當時,, 故在上是增函數，
故,即，
故.
故選:A.
【點睛】本題使用構造函數并利用函數的單調性判斷函數值大小關系，在構造函數時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數值，將這個數值換成變量就有了函數的形式，如在本題中，將視為變量可以構造函數.
技法02 兩類經典超越不等式比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
，，，
例2．已知 , 則 的大小關系為 ( )
A. B. C. D.
【答案】
1．（2023上·河北保定·高三校聯考開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，利用導函數討論其單調性和最值，可得，從而可得， ，即可比較的大小關系，再利用作差法比較大小關系.
【詳解】令，則，
所以函數在單調遞減，且，
所以，即，
令，則有，
所以，即，
又由，可得，
所以，即，
又因為，所以，
綜上可得，
故選：D.
2．（2023·河南開封·統考模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構造，利用導數判斷其單調性可比較的大小關系.構造，利用導數判斷其單調性可比較的大小關系.
【詳解】，，，
設，
所以，
所以在上單調遞增，所以，即.
所以，即.
設，
則，
所以在上單調遞減，所以，即.
所以，即.
所以.
故選:C.
3．（2023·江西贛州·統考模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，，利用導數分析這兩個函數的單調性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性質可得出、的大小關系，由此可得出、、三個數的大小關系.
【詳解】令，其中，
則，所以，函數在上為增函數，
故當時，，則，所以，
因為，則，
當時，證明，令，其中，則，
所以函數在上為增函數，故當時，，
所以當時，，則，所以，
所以，因此.
故選：D.
技法03 泰勒不等式比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
常見函數的泰勒展開式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常見函數的泰勒展開式：
結論1 ．
結論2 ．
結論3 （）．
結論4 ．
結論5 ；；．
結論6 ；
結論7
結論8 ．
結論9 ．
例3．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式法：
因為，所以，所以
因為
所以
綜上所述：
故選：C
1．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
2．（2021·全國·統考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
[方法一]：
由泰勒公式, 可知
將 , 分別相應代入估 算, 得 .
由此可知 .
[方法二]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法三]：
令
，即函數在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數在（1，3)上單調遞增
綜上，，
故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
3．（2023春·湖北·高三統考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通過構造，，三個函數，將三個數與進行比較，得到，；
再通過構造，，通過二次求導的方法比較b和c的大小即可得到答案.
【詳解】先比較和的大?。?br/>構造，
則對恒成立，則在單調遞增，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
構造，
則對恒成立，則在單調遞減，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
構造，
則對恒成立，則在單調遞減，
此時，當且僅當時取等，
所以，則；
則，；
下面比較b和c的大?。?br/>設，，
，
設，，，
易知在上單調遞增，則，
所以在上單調遞減，，
即在上恒成立，則在上單調遞減，
由，則，即，則.
綜上，
故選：B
【點睛】方法點睛：本題考查通過導數的綜合運用.比大小問題要熟悉各類常見的放縮，找出結構的相同之處，通過構造函數，運用導數這一工具，對數據進行大小的比較.
技法04 不等式放縮合集比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
，，
，，
，
，
放縮程度綜合
，
例4-1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
放縮法
因為，
所以，即
因為，
所以，即
綜上所述：，故選：C
例4-2．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】：不等式放縮一
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
【法二】不等式放縮二
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
1．（2023·全國·校聯考模擬預測）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用導數證明當時，，再分別利用作商，作差比較法可判斷，，大小.
【詳解】先來證明當時，.
令，，則，
所以函數在上單調遞增，可得，即得；
令，，則，
所以函數在上單調遞增，可得，即得；
所以當時，.
因為，
由，因為，所以，則，所以，
又，所以，
所以.
故選：D.
2．（2023·云南大理·統考一模）已知，，，則a，b，c的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用構造函數法，結合導數研究所構造函數的單調性，從而確定的大小關系.
【詳解】令，則，，有.
故函數在單調遞增，故，
即，所以，即，
令，則，，有.
故函數在單調遞減，故，即，
所以，即.
綜上：.
故選：D
3．（2023·福建·校聯考模擬預測）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由時，，然后構造函數求導，即可判斷.
【詳解】對，因為，則，即函數在單調遞減，且時，，則，即；
當時，，則，且當時，，則，所以函數在單調遞增，則，即
，
先考慮函數，，則
.
故，從而.
再考慮函數，，
則.
故，即，故.
綜上，，
故選：B.4類比較函數值大小關系解題技巧
（構造函數、兩類經典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）
技法01 構造函數比較函數值大小關系解題技巧
例1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】分析法
假設待證法比較大小→構造函數
假設成立，即
令，則等價證明：，即證：（原式得證，略）
假設成立，即
令，則等價證明：，，證明略
所以函數在單調遞增，
所以，即：，所以假設不成立，即，
綜上所述：，故選：C
【法二】構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
1．（2023·河北·統考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·模擬預測），則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·福建·二模）設，則（ ）
A． B．
C． D．
技法02 兩類經典超越不等式比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
，，，
例2．已知 , 則 的大小關系為 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
1．（2023上·河北保定·高三校聯考開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南開封·統考模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西贛州·統考模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
技法03 泰勒不等式比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
常見函數的泰勒展開式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常見函數的泰勒展開式：
結論1 ．
結論2 ．
結論3 （）．
結論4 ．
結論5 ；；．
結論6 ；
結論7
結論8 ．
結論9 ．
例3．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式法：
因為，所以，所以
因為
所以
綜上所述：
故選：C
1．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·統考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·湖北·高三統考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
技法04 不等式放縮合集比較函數值大小關系解題技巧
知識遷移
，，
，，
，
，
放縮程度綜合
，
例4-1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
放縮法
因為，
所以，即
因為，
所以，即
綜上所述：，故選：C
例4-2．（2022·全國·統考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【法一】：不等式放縮一
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
【法二】不等式放縮二
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
1．（2023·全國·校聯考模擬預測）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南大理·統考一模）已知，，，則a，b，c的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·校聯考模擬預測）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．

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