資源簡介

3類導數綜合問題解題技巧
（端點效應（必要性探索）、函數的凹凸性、洛必達法則）
技法01 端點效應（必要性探索）解題技巧
知識遷移
端點效應的類型
1.如果函數在區間上,恒成立,則或.
2.如果函數在區問上,恒成立,且(或),則或.
3.如果函數在區問上,恒成立,且(或,則或.
例1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【法一】端點效應一
令 ，得 ，且 在 上恒成立
畫出草圖
根據端點效應, 需要滿足 ，而
則 , 令 , 得
當 時, 由于 , 只需證 即可
而 含有參數 , 故可對 進行放縮
即
令 , 其中
設
則
令
則 , 故 在 上遞減, 得
則 , 得 在 上單調遞增, 則
即 , 滿足 成立
當 時，
故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上單調遞增, 則 , 不成立
特上所述: .
【法二】端點效應二
(2)
由于 , 且
,
注意到當 , 即 時, 使 在 成立, 故此時 單調遞減
, 不成立.
另一方面, 當 時, , 下證它小于等于 0 .
單調遞減, . 特上所述: .
【法三】設
設
所以.
若,
即在上單調遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞減
(2)
【分析】（1）代入后，再對求導，同時利用三角函數的平方關系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；
（2）法一：構造函數，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；
法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.
【詳解】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調遞減.
（2）法一：
構建，
則，
若，且，
則，解得，
當時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當時，，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
【點睛】關鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區間，使得，從而推得存在，由此得解.
2．（2020·全國·統考高考真題）已知函數.
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）
【分析】(1)由題意首先對函數二次求導，然后確定導函數的符號，最后確定原函數的單調性即可.
(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數，構造新函數，結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定實數a的取值范圍.
【詳解】(1)當時，，，
由于，故單調遞增，注意到，故：
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
(2) [方法一]【最優解】：分離參數
由得，，其中，
①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當時，分離參數a得，，
記，，
令，
則，，
故單調遞增，，
故函數單調遞增，，
由可得：恒成立，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
因此，,
綜上可得，實數a的取值范圍是.
[方法二]：特值探路
當時，恒成立．
只需證當時，恒成立．
當時，．
只需證明⑤式成立．
⑤式，
令，
則，
所以當時，單調遞減；
當單調遞增；
當單調遞減．
從而，即，⑤式成立．
所以當時，恒成立．
綜上．
[方法三]：指數集中
當時，恒成立，
記，
，
①.當即時，，則當時，，單調遞增，又，所以當時，，不合題意；
②.若即時，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，
所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；
③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，
所以時，滿足題意.
綜上，.
【整體點評】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，本題主要考查利用導數解決恒成立問題，常用方法技巧有：
方法一，分離參數，優勢在于分離后的函數是具體函數，容易研究；
方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結果，但是解答題需要證明，具有風險性；
方法三，利用指數集中，可以在求導后省去研究指數函數，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！
3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
【答案】(1)的減區間為，增區間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.
（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區間為，增區間為.
（2）設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續不間斷函數，
故存在，使得，總有，
故在為增函數，故，
故在為增函數，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數，
所以.
當時，有，
所以在上為減函數，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數參數的不等式的恒成立問題，應該利用導數討論函數的單調性，注意結合端點處導數的符號合理分類討論，導數背景下數列不等式的證明，應根據已有的函數不等式合理構建數列不等式.
技法02 函數凹凸性解題技巧
知識遷移
凹函數：對于某區間內 , 都有 .
凸函數：對于某區間內 , 都有 .
例2-1．在 中, 求 的最大值.
因為函數 在區間 上是上凸函數, 則
即 , 當且僅當 時, 即 時,取等號.
上述例題是三角形中一個重要的不等式: 在 中,
例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的數學家，特別是在函數的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”．已知在上為“凸函數”，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
因為，
所以，
，
因為在上為“凸函數”，
所以對于恒成立，
可得對于恒成立，
令，則，
因為，所以在單調遞增，
所以，
所以，
【答案】C
1．（全國·高考真題）已知函數有兩個零點.
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析
【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導，根據導函數的符號來確定（主要要根據導函數零點來分類）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結論來證明，由單調性可知等價于，即．設，則．則當時，，而，故當時，．從而，故．
試題解析：（Ⅰ）．
（Ⅰ）設，則，只有一個零點．
（Ⅱ）設，則當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．
又，，取滿足且，則
，
故存在兩個零點．
（Ⅲ）設，由得或．
若，則，故當時，，因此在單調遞增．又當時，所以不存在兩個零點．
若，則，故當時，；當時，．因此在單調遞減，在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．
綜上，的取值范圍為．
（Ⅱ）不妨設，由（Ⅰ）知，，在單調遞減，所以等價于，即．
由于，而，所以
．
設，則．
所以當時，，而，故當時，．
從而，故．
【考點】導數及其應用
【名師點睛】對于含有參數的函數單調性、極值、零點問題,通常要根據參數進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡.解決函數不等式的證明問題的思路是構造適當的函數,利用導數研究函數的單調性或極值破解.
2．（2021·全國·統考高考真題）已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區間為，遞減區間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數的定義域，然后求得導函數的解析式，由導函數的符號即可確定原函數的單調性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉換為證明：，然后構造對稱差函數，結合函數零點的特征和函數的單調性即可證得題中的結論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區間內為增函數，在區間內為減函數，
(2)[方法一]：等價轉化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區間內為減函數，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區間內為增函數，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優解】：變形為，所以．
令．則上式變為，
于是命題轉換為證明：．
令，則有，不妨設．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區間內單調遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區間內單調遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區間內單調遞減．，則，
所以在區間內單調遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構造函數法
由已知得，令，
不妨設，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區間內單調遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉化是處理導數問題的常見方法，其中利用的對稱差函數，構造函數的思想，這些都是導數問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉化是常見的數學思想，構造對稱差函數是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數的單調性證明題中的不等式即可.
方法四：構造函數之后想辦法出現關于的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.
3．（陜西·高考真題）已知函數.
(1)若直線y＝kx＋1與f (x)的反函數的圖像相切, 求實數k的值;
(2)設x>0, 討論曲線y＝f (x) 與曲線 公共點的個數.
(3)設a【答案】(1)
（2）當時兩曲線有2個交點；當時兩曲線有1個交點；當時兩曲線沒有交點
(3)，理由見解析.
【分析】（1）設切點，利用導數的幾何意義得到方程組可得答案；
（2），轉化為與圖象交點的個數問題；
（3）作差得到，令，構造新函數，求導即可得到答案.
【詳解】函數
(1)函數，的反函數為，
設切點坐標為則，.

（2）令即，設
有，當，，當，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，所以當時，兩曲線有2個交點；
當時，兩曲線有1個交點；當時，兩曲線沒有交點.
（3）
，令
上式
令，則恒成立，
，而，，
故
【點睛】本題考查函數、導數、不等式、參數等問題，屬于難題.第二問運用數形結合思想解決問題，能夠比較清晰的分類，做到不吃不漏.最后一問,考查函數的凹凸性，富有明顯的幾何意義,為考生探索結論提供了明確的方向,對代數手段的解決起到導航作用.
技法03 洛必達法則解題技巧
知識遷移
洛必達法則：
法則1 若函數f(x) 和g(x)滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
法則2 若函數f(x) 和g(x)滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 將上面公式中的 換成 洛必達法則也成立。
2. 洛必達法則可處理 型。
3. 在著手求極限前, 首先要檢查是否滿足 , 型定式, 否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時, 就不能用洛必達法則, 這時稱洛必達法則不適用, 應從另外途徑求極限。
4. 若條件符合, 洛必達法則可連續多次使用, 直到求出極限為止。
, 如滿足條件, 可繼續使用洛 必達法則。
例3．（全國高考）已知 恒成立, 求 的取值范圍
解: 記 ,
則
則
所以, 在 單調遞增, 且
所以 時, 時,
即 在 上單調遞減, 在 上單調遞增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必達法則 當 時, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以
1．（全國高考） 恒成立, 求 的取值范圍
解:
記 ,
則
記
則
所以, 在 單調遞增, 所以
所以, 在 單調遞增, 所以
即在 上 , 所以 在 上單調遞增
所以
所以
2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范圍
解:
記 ,
則
則
所以, 當 時, 單調遞減,
所以 即
所以
所以
所以
3．（2023·江蘇模擬）已知函數
（I）求證
（II）若取值范圍.
【答案】（I）見解析（II）
【詳解】試題分析：（1）將問題轉化為證明與，從而令、，然后利用導數求得的單調性即可使問題得證；（2）由（1）中的結論得≥，從而令，通過多次求導得出其單調性即可求出的取值范圍．
試題解析：（1）要證時，，只需證明.
記，則，
當時，，因此在上是增函數，故，
所以.
要證時，，只需證明，
記，則，
當時，，因此在上是增函數，故，
所以，.
綜上，，.
（2）（解法一）
.
設，則，
記，則，
當時，，于是在上是減函數，
從而當時，，故在上是減函數，于是，
從而，
所以，當時，在上恒成立.
下面證明，當時，在上不恒成立，
.
記，則，
當時，，故在上是減函數.
于是在上的值域為.
因為當時，，所以存在，使得此時，即在上不恒成立.
綜上，實數的取值范圍是.
（解法二）
先證當時，.
記，則，
記，則，當時，，于是在上是增函數，因此當時，，從而在上是增函數，因此.
所以當時，.
同理可證，當時，.
綜上，當時，.
因為當時，
，
所以當時，在上恒成立.
下面證明，當時，在上不恒成立，因為
.
所以存在（例如取和中的較小值）滿足.
即在上不恒成立.
綜上，實數的取值范圍是.
考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、不等式恒成立問題．
【方法點睛】求證不等式，一種常見思路是用圖像法來說明函數的圖像在函數圖像的上方，但通常不易說明．于是通常構造函數，通過導數研究函數的性質，進而證明欲證不等式．3類導數綜合問題解題技巧
（端點效應（必要性探索）、函數的凹凸性、洛必達法則）
技法01 端點效應（必要性探索）解題技巧
知識遷移
端點效應的類型
1.如果函數在區間上,恒成立,則或.
2.如果函數在區問上,恒成立,且(或),則或.
3.如果函數在區問上,恒成立,且(或,則或.
例1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【法一】端點效應一
令 ，得 ，且 在 上恒成立
畫出草圖
根據端點效應, 需要滿足 ，而
則 , 令 , 得
當 時, 由于 , 只需證 即可，而 含有參數 , 故可對 進行放縮
即
令 , 其中 ，設 ，則
令 ，則 , 故 在 上遞減, 得
則 , 得 在 上單調遞增, 則 ，即 , 滿足 成立
當 時，，故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上單調遞增, 則 , 不成立，特上所述: .
【法二】【法三】見解析版
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
2．（2020·全國·統考高考真題）已知函數.
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
技法02 函數凹凸性解題技巧
知識遷移
凹函數：對于某區間內 , 都有 .
凸函數：對于某區間內 , 都有 .
例2-1．在 中, 求 的最大值.
因為函數 在區間 上是上凸函數, 則
即 , 當且僅當 時, 即 時,取等號.
上述例題是三角形中一個重要的不等式: 在 中,
例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的數學家，特別是在函數的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”．已知在上為“凸函數”，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
因為，
所以，
，
因為在上為“凸函數”，
所以對于恒成立，
可得對于恒成立，
令，則，
因為，所以在單調遞增，
所以，
所以，
【答案】C
1．（全國·高考真題）已知函數有兩個零點.
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明：.
2．（2021·全國·統考高考真題）已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.
3．（陜西·高考真題）已知函數.
(1)若直線y＝kx＋1與f (x)的反函數的圖像相切, 求實數k的值;
(2)設x>0, 討論曲線y＝f (x) 與曲線 公共點的個數.
(3)設a技法03 洛必達法則解題技巧
知識遷移
洛必達法則：
法則1 若函數f(x) 和g(x)滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
法則2 若函數f(x) 和g(x)滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) 可導且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 將上面公式中的 換成 洛必達法則也成立。
2. 洛必達法則可處理 型。
3. 在著手求極限前, 首先要檢查是否滿足 , 型定式, 否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時, 就不能用洛必達法則, 這時稱洛必達法則不適用, 應從另外途徑求極限。
4. 若條件符合, 洛必達法則可連續多次使用, 直到求出極限為止。
, 如滿足條件, 可繼續使用洛 必達法則。
例3．（全國高考）已知 恒成立, 求 的取值范圍
解: 記 ,
則
則
所以, 在 單調遞增, 且
所以 時, 時,
即 在 上單調遞減, 在 上單調遞增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必達法則 當 時, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以
1．（全國高考） 恒成立, 求 的取值范圍
2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范圍
3．（2023·江蘇模擬）已知函數
（I）求證（II）若取值范圍.

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