資源簡介

4類函數單調性與函數極值最值
技法01 具體函數的單調性
知識遷移
導函數與原函數的關系，單調遞增，單調遞減
例1-1．（2021·全國·統考高考真題）已知函數，討論的單調性
【詳解】的定義域為．
由得，，
令，則，當時；當時，．
故在區間內為增函數，在區間內為減函數，
例1-2．（全國·高考真題）已知函數．若，求的單調區間
【詳解】當a=3時，，．
令解得x=或x=．
當時，
當時．
所以函數的增區間是和，減區間是．
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．當時，討論的單調性
【答案】在上單調遞減
【詳解】因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調遞減.
（2022·浙江·統考高考真題）設函數．求的單調區間
【答案】的減區間為，增區間為.
【詳解】，
當，；當，，
故的減區間為，的增區間為.
3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．當時，討論的單調性
【答案】的減區間為，增區間為.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區間為，增區間為.
4．（2021·全國·統考高考真題）已知且，函數．當時，求的單調區間
【答案】上單調遞增；上單調遞減；
【詳解】當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數在上單調遞增；上單調遞減；
5．（2020·全國·統考高考真題）已知函數，當a=1時，討論f（x）的單調性
【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.
【詳解】(1)當時，，，
由于，故單調遞增，注意到，故：
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
技法02 含參函數且導函數可分解型函數的單調性
例2-1．（2023·河北唐山模擬）已知函數．討論的單調性；
【詳解】因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
例2-2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．討論函數的單調性．
【詳解】由題意函數的定義域為．
當時，若，則單調遞增；
若，則單調遞減．
當時，令，得或．
①當時，，則在上單調遞增．
②當時，，則當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
③當時，，則當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
例2-3．（2023·廣西南寧·統考模擬預測）已知函數，討論的單調性；
【詳解】對求導得，，分以下兩大情形來討論的單調性：
情形一：當時，有，令，解得，
所以當時，有，此時單調遞減，
當時，有，此時單調遞增；
所以在單調遞減，在單調遞增；
情形二：當時，令，解得，
接下來又分三種小情形來討論的單調性：
情形（1）：當時，有，此時隨的變化情況如下表：
由上表可知在和上單調遞增，在上單調遞減；
情形（2）：當時，有，此時，所以此時在上單調遞增；
情形（3）：當時，有，此時隨的變化情況如下表：
由上表可知在和上單調遞增，在上單調遞減.
綜上所述：當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，討論的單調性．
【詳解】（1）函數，定義域為，，
若，則，當時，，當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增；
若，則，
當時，，當或時，，
∴在上單調遞減，在和上單調遞增；
若，則，∴在上單調遞增；
若，則，當時，，當或時，，
∴在上單調遞減，在和上單調遞增．
綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在和上單調遞增．
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．討論的單調性；
【詳解】（1）解：因為，
所以，
設，則，
設，可得，
可得在上單調遞增，且，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，即，
若，則，所以，在上單調遞增；
若，則當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增．
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
3．（2023·全國·模擬預測）已知，討論函數的單調性.
【詳解】（1）由題意知，函數的定義域為，且

①當時，因為，所以，所以.
所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
②當時，由，解得；由0，解得或.所以在上單調遞減，在，上單調遞增.
③當時，（當且僅當時，取等號）恒成立，所以在上單調遞增.
④當時，由，解得；由，解得或.
所以在上單調遞減，在，上單調遞增.
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.
4．（2021·浙江·統考高考真題）設a，b為實數，且，函數，求函數的單調區間；
【詳解】，
①若，則，所以在上單調遞增；
②若，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
綜上可得，時，的單調遞增區間為,無減區間；
時，函數的單調減區間為，單調增區間為.
5．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，討論的單調性
【詳解】由函數的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
6．（2023·全國·模擬預測）已知函數，討論的單調性
【詳解】函數的定義域為，
求導得，
①當，即時，由，得，由，得，
因此在上單調遞增，在上單調遞減；
②當，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減；
③當，即時，恒成立，因此在上單調遞增；
④當，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
技法03 含參函數且導函數不可分解型函數的單調性
例3-1．（2023·福建三明·統考三模）已知函數，討論的單調性；
【詳解】定義域為，因為，
所以.
令，則，
所以，
當時，，此時，所以在上單調遞減.
當時，令，則，
所以當時，，即在上單調遞減.
當時，令，則，
所以當時，，
即在和上單調遞減，
當時，，
即在上單調遞增.
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在和上單調遞減，
在上單調遞增
例3-2．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數．討論的單調性；
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
導函數的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
1．（2023·四川綿陽·統考二模）已知，討論的單調性；
【詳解】由，
可得：二次函數，
①，即當時，恒成立，在R上單增；
②，即當或時，
在，上大于零，
在小于零．
所以在上單調遞增，
在上單調遞減
，在上單調遞增．
2．（2023·福建·校聯考模擬預測）設函數（），討論的單調性；
【詳解】，令，.
①當時，，，在單調遞增：
②當時，，的兩根都小于0，在上大于0，
所以在單調遞增；
③當時，由，解得，，
，，，在，上單調遞增：
，，，在上單調遞減.
3．（2023·廣西·模擬預測）已知（）．討論的單調性；
【詳解】由，
①，即時，恒成立，在上單增；
②，即或時，在，上，在上．
所以在、上單調遞增，在上單調遞減．
技法04 二階導函數求函數的單調性
例4-1．（2023·江蘇·統考二模）已知函數，，若，求函數的單調區間
【詳解】，，
，恒成立，
所以在遞增.
所以當，；
，
所以函數的單調減區間是，單調增區間是.
例4-2．（2021春·陜西渭南·高三校考階段練習）已知函數．當時，求函數的單調性．
【詳解】令，
則．
令，得；
令，得．
在上單調遞減，在上單調遞增．
，，，
當時，，即．當且僅當時等號成立，
當時，函數單調遞減．
1．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學校聯考階段練習）已知函數.
若，討論的單調性；
【詳解】若，，所以，，
令，則在上恒成立，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增.
又，所以當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
2．（2022·全國·高三專題練習）設函數，其中
當時，討論單調性；
【詳解】當時，，定義域為，
則，，
所以在上單調遞增，又，
當時，，所以在區間上單調遞減；
當時，，所以在區間上單調遞增.
綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.
技法05 函數的極值最值
知識遷移
極值的定義
在處先↗后↘，在處取得極大值
在處先↘后↗，在處取得極小值
例5-1．（2021·北京·統考高考真題）已知函數，若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．
【詳解】因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.
當時，；當時，.
所以，，.
例5-2．（2022·全國·統考高考真題）已知函數和有相同的最小值．求a
【詳解】的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
例5-3．（2023·全國·統考高考真題）已知函數，若在存在極值，求a的取值范圍.
【詳解】由函數的解析式可得，
由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，
當時，，在區間上單調遞減，
此時，在區間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，
所以在區間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數在定義域內單調遞增，，
據此可得恒成立，
則，
令，則，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.
當時，，單調減，
當時，，單調遞增，
所以.
令，則，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數得取值范圍是.
1．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數，求的極值
【詳解】因為函數，所以，
設，，
所以在上單調遞增.
又，所以當時，；當時，.
又因為對恒成立，
所以當時，；當時，.
即在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
故，沒有極小值.
2．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．
證明存在唯一的極值點
【詳解】令，則，
令，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：
所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，
當時，，則，單調遞增，
當時，，則，單調遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
【詳解】（1）由題知，，
若，當或時，，當時，，
在區間和區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
若，當時，，當時，，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；
若，當或時，，當時，，
在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減；
若，則，在區間上單調遞增；
若，當或時，，當時，，
在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
綜上所述，當時，在區間和區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；
當時，在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減；
當時，在區間上單調遞增；
當時，在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
（2）由（1）知，當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
當時，，不符合題意；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
，，
得；
當時，在區間上單調遞增，
符合題意；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
，，得．
綜上，實數的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：恒成立問題的等價轉化法則
（1）恒成立恒成立；
（2）恒成立恒成立；
（3）恒成立，恒成立；
（4）恒成立．
4．（2023·四川自貢·統考一模）函數的最小值為m.
(1)判斷m與2的大小，并說明理由；
(2)求函數的最大值.
【詳解】（1）.
理由如下：
函數的定義域為，求導得，
顯然函數在上單調遞增，而，，
則存在唯一的，使得，即，
當時，；當時，，
于是函數在上單調遞減，在上單調遞增，
因此，由，得且，
則，又函數在上單調遞減，即當時，，
所以.
（2）函數的定義域為，求導得，
顯然函數在上單調遞減，
由（1）知，，
于是存在唯一的，使得，即，
則當時，；當時，，
即函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因此，由，得，即，
由（1）知，，則，
顯然函數在上單調遞增，則，且，
從而，
所以函數的最大值為2.函數單調性與函數極值最值
技法01 具體函數的單調性
知識遷移
導函數與原函數的關系，單調遞增，單調遞減
例1-1．（2021·全國·統考高考真題）已知函數，討論的單調性
【詳解】的定義域為．
由得，，
令，則，當時；當時，．
故在區間內為增函數，在區間內為減函數，
例1-2．（全國·高考真題）已知函數．若，求的單調區間
【詳解】當a=3時，，．
令解得x=或x=．
當時，
當時．
所以函數的增區間是和，減區間是．
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．當時，討論的單調性
（2022·浙江·統考高考真題）設函數．求的單調區間
3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．當時，討論的單調性
4．（2021·全國·統考高考真題）已知且，函數．當時，求的單調區間
5．（2020·全國·統考高考真題）已知函數，當a=1時，討論f（x）的單調性
技法02 含參函數且導函數可分解型函數的單調性
例2-1．（2023·河北唐山模擬）已知函數．討論的單調性；
【詳解】因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
例2-2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．討論函數的單調性．
【詳解】由題意函數的定義域為．
當時，若，則單調遞增；
若，則單調遞減．
當時，令，得或．
①當時，，則在上單調遞增．
②當時，，則當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
③當時，，則當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
例2-3．（2023·廣西南寧·統考模擬預測）已知函數，討論的單調性；
【詳解】對求導得，，分以下兩大情形來討論的單調性：
情形一：當時，有，令，解得，
所以當時，有，此時單調遞減，
當時，有，此時單調遞增；
所以在單調遞減，在單調遞增；
情形二：當時，令，解得，
接下來又分三種小情形來討論的單調性：
情形（1）：當時，有，此時隨的變化情況如下表：
由上表可知在和上單調遞增，在上單調遞減；
情形（2）：當時，有，此時，所以此時在上單調遞增；
情形（3）：當時，有，此時隨的變化情況如下表：
由上表可知在和上單調遞增，在上單調遞減.
綜上所述：當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，討論的單調性．
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．討論的單調性；
3．（2023·全國·模擬預測）已知，討論函數的單調性.
4．（2021·浙江·統考高考真題）設a，b為實數，且，函數，求函數的單調區間；
5．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，討論的單調性
6．（2023·全國·模擬預測）已知函數，討論的單調性
技法03 含參函數且導函數不可分解型函數的單調性
例3-1．（2023·福建三明·統考三模）已知函數，討論的單調性；
【詳解】定義域為，因為，
所以.
令，則，
所以，
當時，，此時，所以在上單調遞減.
當時，令，則，
所以當時，，即在上單調遞減.
當時，令，則，
所以當時，，
即在和上單調遞減，
當時，，
即在上單調遞增.
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在和上單調遞減，
在上單調遞增
例3-2．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數．討論的單調性；
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
導函數的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
1．（2023·四川綿陽·統考二模）已知，討論的單調性；
2．（2023·福建·校聯考模擬預測）設函數（），討論的單調性；
3．（2023·廣西·模擬預測）已知（）．討論的單調性；
技法04 二階導函數求函數的單調性
例4-1．（2023·江蘇·統考二模）已知函數，，若，求函數的單調區間
【詳解】，，
，恒成立，
所以在遞增.
所以當，；
，
所以函數的單調減區間是，單調增區間是.
例4-2．（2021春·陜西渭南·高三校考階段練習）已知函數．當時，求函數的單調性．
【詳解】令，
則．
令，得；
令，得．
在上單調遞減，在上單調遞增．
，，，
當時，，即．當且僅當時等號成立，
當時，函數單調遞減．
1．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學校聯考階段練習）已知函數.
若，討論的單調性；
2．（2022·全國·高三專題練習）設函數，其中
當時，討論單調性；
技法05 函數的極值最值
知識遷移
極值的定義
在處先↗后↘，在處取得極大值
在處先↘后↗，在處取得極小值
例5-1．（2021·北京·統考高考真題）已知函數，若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．
【詳解】因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.
當時，；當時，.
所以，，.
例5-2．（2022·全國·統考高考真題）已知函數和有相同的最小值．求a
【詳解】的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
例5-3．（2023·全國·統考高考真題）已知函數，若在存在極值，求a的取值范圍.
【詳解】由函數的解析式可得，
由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，
當時，，在區間上單調遞減，
此時，在區間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，
所以在區間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數在定義域內單調遞增，，
據此可得恒成立，
則，
令，則，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.
當時，，單調減，
當時，，單調遞增，
所以.
令，則，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數得取值范圍是.
1．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數，求的極值
2．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．
證明存在唯一的極值點
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
4．（2023·四川自貢·統考一模）函數的最小值為m.
(1)判斷m與2的大小，并說明理由；
(2)求函數的最大值.

展開更多......

收起↑