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4類三角函數(shù)選填解題技巧
技法01 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧
例1-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
由，解得，
取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
故選：A.
例1-2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小值為
B．的圖象關(guān)于點對稱
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
由題意得，
故的最小值為，A正確；
將代入中，得，
即的圖象關(guān)于點對稱，B錯誤；
將代入中，得，
即此時取到最小值，即直線是圖象的一條對稱軸，C正確；
當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確，
故選：ACD
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列描述正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．是函數(shù)圖象的一個對稱軸
C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心
D．若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】函數(shù)的最小正周期，故A正確；
，所以關(guān)于對稱，故B錯誤；
，所以是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C正確；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，
則，所以為奇函數(shù)，故D正確；
故選：ACD
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時，的值域是
C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增
【答案】BD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出的表達式，然后依次判斷各個選項即可.
【詳解】因為，
所以．
由，得，，
則，又，所以，
所以．
對于A：，所以不是奇函數(shù)，A錯誤；
對于B：當(dāng)時，，
則，B正確；
對于C：因為，
所以的圖象不關(guān)于點對稱， C錯誤；
對于D：當(dāng)時，，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，D正確．
故選：BD
3．（2023·廣東汕頭·校考一模）（多選）已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個零點
【答案】AC
【分析】根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，
則，
把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，
因為為奇函數(shù)，所以，，即，，
因為，所以，，所以，
對于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
對于B，，
所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函數(shù)在上有2個零點，分別為，，故D錯誤.
故選：AC.
4．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）（多選）若函數(shù)（）的最小正周期為，則（ ）
A． B．在上單調(diào)遞減
C．在內(nèi)有5個零點 D．在上的值域為
【答案】BC
【分析】先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)其最小正周期求出ω的值，從而確定函數(shù)解析式，代值計算即可判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)圖象即可判斷CD.
【詳解】
．
因為函數(shù)的最小正周期為，所以，故.
對于A，，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，故B正確；
對于C，，
∴，，
當(dāng)時，滿足要求的有，，，，，共有5個零點，故C正確；
對于D，當(dāng)時，，則，故，∴D錯誤．
故選：BC
技法02 三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧
知識遷移
通常用進行正弦化余弦，用進行余弦化正弦
例2-1．（2022·四川模擬）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
我們可以對平移前進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換；
我們同樣也對平移后進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換，進而求解變換過程
【答案】D
例2-2．（2022·江蘇·模擬）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
【詳解】，
設(shè)平移了個單位，得到，則，解得：，
即向右平移了個單位.
【答案】B
1．（全國·高考真題）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位
【答案】A
【分析】設(shè)出向左平移個長度，利用誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，列出方程，求出答案.
【詳解】，
將函數(shù)向左平移個長度單位，得到，
故，解得，
即向左平移個長度單位.
故選：A
2．（天津·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點的
A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度
B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度
C．橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度
D．橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度
【答案】A
【詳解】令，當(dāng)函數(shù)圖象上所有的點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）時，函數(shù)為，若圖象再向左平行移動個單位長度，則函數(shù)為，于是選A.
3．（全國·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】B
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.
【詳解】解：由，
即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
故選：B.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.
4．（全國·高考真題）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】D
【詳解】把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，
故選D．
點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言. 函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).
技法03 三角函數(shù)最值與值域的解題技巧
例3-1．（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為_________．
【詳解】，
，當(dāng)時，，
故函數(shù)的最小值為．
例3-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為3，最小值為1
B．的最大值為3，最小值為-1
C．的最大值為，最小值為
D．的最大值為，最小值為
【詳解】因為函數(shù)，
設(shè)，，
則，
所以，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故選：C
1.（全國·高考真題）函數(shù)的最大值為
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【詳解】試題分析：因為，而，所以當(dāng)時，取得最大值5，選B.
【考點】 正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)
【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.
2.（全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值為
A． B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，
則,
函數(shù)的最大值為.
所以選A.
【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．
3.（全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是 ．
【答案】1
【詳解】化簡三角函數(shù)的解析式，
可得
，
由，可得，
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1．
4.（全國·高考真題）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】設(shè)，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值即可.
【詳解】因為，設(shè)，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取最小值，最小值為0，故當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為0，
故選：B.
5.（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】B
【分析】由題意可得，，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即得答案.
【詳解】解：因為，
設(shè)，，
則，，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最小值0，
故的最小值為0．
故選：B.
技法04 三角函數(shù)ω的取值范圍解題技巧
例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：
有4個零點和1個極大值點，即右端點，解得，
故的取值范圍是.
故選：D.
例4-2．（2023秋·四川模擬）已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】因為，
所以若，則，
即，
則，又，解得，
又解得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，因為，所以可得．
所以．
故選：B
1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）（多選）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合可知是函數(shù)的零點，進而得到，，由在上單調(diào)，可得，進而，分類討論驗證單調(diào)性即可判斷.
【詳解】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又，即是函數(shù)的零點，
則，，
即，.
由在上單調(diào)，
則，即，
所以.
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上不單調(diào)，故不符合題意.
綜上所述，或3.
故選：AB.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因為，（，）
所以最小正周期，因為，
又，所以，即，
又為的零點，所以，解得，
因為，所以當(dāng)時；
故答案為：
4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義設(shè)函數(shù)，可以使在上單調(diào)遞減的的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段寫出函數(shù)解析式，并確定單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【詳解】依題意，，
函數(shù)的遞減區(qū)間是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，無解；
或，，解得，由，得，則或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項C滿足，ABD不滿足.
故選：C4類三角函數(shù)選填解題技巧
技法01 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧
例1-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
由，解得，
取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
故選：A.
例1-2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小值為
B．的圖象關(guān)于點對稱
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
由題意得，
故的最小值為，A正確；
將代入中，得，
即的圖象關(guān)于點對稱，B錯誤；
將代入中，得，
即此時取到最小值，即直線是圖象的一條對稱軸，C正確；
當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確，
故選：ACD
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列描述正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．是函數(shù)圖象的一個對稱軸
C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心
D．若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時，的值域是
C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增
3．（2023·廣東汕頭·校考一模）（多選）已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個零點
4．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）（多選）若函數(shù)（）的最小正周期為，則（ ）
A． B．在上單調(diào)遞減
C．在內(nèi)有5個零點 D．在上的值域為
技法02 異名三角函數(shù)伸縮平移的解題技巧
知識遷移
通常用進行正弦化余弦，用進行余弦化正弦
例2-1．（2022·四川模擬）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
我們可以對平移前進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換；
我們同樣也對平移后進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換，進而求解變換過程
【答案】D
例2-2．（2022·江蘇·模擬）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
【詳解】，
設(shè)平移了個單位，得到，則，解得：，
即向右平移了個單位.
【答案】B
1．（全國·高考真題）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位
2．（天津·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點的
A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度
B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度
C．橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度
D．橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度
3．（全國·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
4．（全國·高考真題）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
技法03 三角函數(shù)最值與值域的解題技巧
例3-1．（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為_________．
【詳解】，
，當(dāng)時，，
故函數(shù)的最小值為．
例3-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為3，最小值為1
B．的最大值為3，最小值為-1
C．的最大值為，最小值為
D．的最大值為，最小值為
【詳解】因為函數(shù)，
設(shè)，，
則，
所以，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故選：C
1.（全國·高考真題）函數(shù)的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.（全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
3.（全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是 ．
4.（全國·高考真題）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．0 C． D．6
5.（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（ ）
A． B．0 C．2 D．6
技法04 三角函數(shù)ω的取值范圍解題技巧
例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：
有4個零點和1個極大值點，即右端點，解得，
故的取值范圍是.
故選：D.
例4-2．（2023秋·四川模擬）已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】因為，
所以若，則，
即，
則，又，解得，
又解得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，因為，所以可得．
所以．
故選：B
1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）（多選）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為 ．
4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義設(shè)函數(shù)，可以使在上單調(diào)遞減的的值為（ ）
A． B． C． D．

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