資源簡介

拓展三：三角函數中參數的取值范圍問題（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：的取值范圍與單調性相結合
重點題型二的取值范圍與對稱性相結合
重點題型三：的取值范圍與三角函數的最值相結合
重點題型四：的取值范圍與三角函數的零點相結合
重點題型五：求綜合問題
重點題型一：的取值范圍與單調性相結合
典型例題
例題1．（2022·山東濟寧·高一期末）已知函數在區間內單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）設，若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區間[0，]上不單調，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
例題4．（2022·全國·模擬預測（文））已知函數的一個對稱中心為，在區間上不單調，則的最小正整數值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題5．（2022·安徽·模擬預測（文））若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·廣西柳州·高一期末）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全國·高三專題練習）函數在單調遞增，在單調遞減，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若函數f(x)在上單調遞減，則實數ω的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第十二中學高一階段練習）已知函數， 為的零點，為圖象的對稱軸，且在區間上單調，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
重點題型二的取值范圍與對稱性相結合
典型例題
例題1．（2022·河南·三模（文））若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區間上不單調，則的最小值為（ ）
A．9 B．15 C．21 D．33
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習）若函數在區間內單調，且是的一個對稱中心，則的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
例題3．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知函數，若的圖象關于直線對稱，且在上單調，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2021·江蘇·高一專題練習）已知函數，為的零點，為圖像的對稱軸，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．11 B．9 C．7 D．1
同類題型演練
1．（2021·全國·高一課時練習）已知函數在上是單調函數，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021·上海市西南位育中學高一期中）已知函數（其中，），為函數的一個零點，是函數圖像的一條對稱軸，且函數在區間上單調，則的最大值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2022·全國·高一）函數的圖像關于直線對稱，則可以為（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
重點題型三：的取值范圍與三角函數的最值相結合
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在區間上是增函數，若函數在上的圖像與直線有且僅有一個交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
例題2．（2022·北京·人大附中高一期中）若函數在區間內沒有最值，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·浙江·寧波市北侖中學高二期中）已知函數在區間上是增函數，若函數在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
例題4．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數經過點，且在上只有一個零點，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
同類題型演練
1．（2021·天津市武清區楊村第一中學高一階段練習）已知函數在區間上單調，且在區間內恰好取得一次最大值2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·雙遼市第一中學高三期末（理））已知函數，若在區間內沒有零點，則的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（文））已知，，，且在上無最小值，則（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2022·河南商丘·三模（理））已知函數，若，在內有最小值，沒有最大值，則的最大值為（ ）
A．19 B．13 C．10 D．7
5．（2022·湖北·高一期中）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：的取值范圍與三角函數的零點相結合
典型例題
例題1．（2022·江西景德鎮·三模（理））已知函數，若函數在區間上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·廣西·欽州一中高一期中）已知函數為偶函數，在單調遞減，且在該區間上沒有零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2021·全國·高一單元測試）已知函數，函數在上有3個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·天津市濱海新區塘沽第一中學三模）設，函數，，若在上單調遞增，且函數與的圖象有三個交點，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數在上有且只有4個零點，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上有且僅有一解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．（2022·浙江·模擬預測）設函數，其中，若對任意的，在上有且僅有4個零點，則下列的值中不滿足條件的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市新華中學高三階段練習）已知函數，若函數在區間上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，的零點到軸的最近距離小于，且在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型五：求綜合問題
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若在上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，且存在唯一，，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·陜西·安康市高新中學三模（文））已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
2．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
拓展三：三角函數中參數的取值范圍問題（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：的取值范圍與單調性相結合
重點題型二的取值范圍與對稱性相結合
重點題型三：的取值范圍與三角函數的最值相結合
重點題型四：的取值范圍與三角函數的零點相結合
重點題型五：求綜合問題
重點題型一：的取值范圍與單調性相結合
典型例題
例題1．（2022·山東濟寧·高一期末）已知函數在區間內單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：依題意，即，又，所以，解得，
又，所以，所以，
要使函數在內單調遞減，所以，解得，
即；
故選：B
例題2．（2022·全國·高一課時練習）設，若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
由，，可得，
根據正弦函數的單調性，可得：，又，
所以，即.
故選：D.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區間[0，]上不單調，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【詳解】因直線是曲線的一條對稱軸，則，即，
由得，則函數在上單調遞增，
而函數在區間上不單調，則，解得，
所以的最小值為11.
故選：C
例題4．（2022·全國·模擬預測（文））已知函數的一個對稱中心為，在區間上不單調，則的最小正整數值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由函數的一個對稱中心為，
可得，
所以，，
，，
，
由在區間上不單調，
所以在區間上有解，
所以，在區間上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
當時，，
此時的最小正整數為.
故選：B
例題5．（2022·安徽·模擬預測（文））若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，
時，，
因為函數在上單調遞增，所以有，
解得，因為，所以的取值范圍是，
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·廣西柳州·高一期末）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】函數的圖象向左平移個單位，
得到函數，
若，則，所以，即，
所以的最大值為1.
故選：A.
2．（2023·全國·高三專題練習）函數在單調遞增，在單調遞減，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【詳解】依題意得：，
，
又在單調遞減，，
解得：，，
故選：
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若函數f(x)在上單調遞減，則實數ω的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數，
由函數f(x)在上單調遞減，且，
得，，解，.
又因為ω>0，，所以k＝0，
所以實數ω的取值范圍是.
故選：B
4．（2022·北京市第十二中學高一階段練習）已知函數， 為的零點，為圖象的對稱軸，且在區間上單調，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：函數，為的零點，為圖象的對稱軸，
，即，
，，即為正奇數.
在區間上單調，
，即.
①當時，，，
.
此時，，在區間上，，
在區間上不單調，故不滿足題意；
②當時，，，
.
此時，，在區間上，，
在區間上不單調，故不滿足題意；
③當時，，，
.
此時，，在區間上，，
在區間上單調遞減，故滿足題意.
則的最大值為.
故選：B.
重點題型二的取值范圍與對稱性相結合
典型例題
例題1．（2022·河南·三模（文））若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區間上不單調，則的最小值為（ ）
A．9 B．15 C．21 D．33
【答案】C
【詳解】當時，因為，所以，又在區間上不單調，所以，即．
因為直線是曲線的一條對稱軸，所以，即，故的最小值為21．
故選：C
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習）若函數在區間內單調，且是的一個對稱中心，則的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【詳解】,解得,(k∈Z)
若,則，解得；
若，則，解得；
故，或，
如圖所示，經檢驗符合題意.
故選：A.
例題3．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知函數，若的圖象關于直線對稱，且在上單調，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得，，則，.
設函數的最小正周期為，
因為在上單調，所以，所以，即，解得0<，則0<，即0<.
當時，，當時，，
此時函數在上不單調，不合乎題意；
當時，，當時，，
此時，函數在上單調遞減，合乎題意.
因此，的最大值為.
故選：B.
例題4．（2021·江蘇·高一專題練習）已知函數，為的零點，為圖像的對稱軸，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．11 B．9 C．7 D．1
【答案】B
【詳解】因為為的零點，為圖像的對稱軸，
所以,即，所以,即為正奇數.
因為在上單調，則，即，解得：.
當時，,
因為，所以，此時.
當時，，
所以當時，單增；當時，單減，
即在不單調，不滿足題意；
當時，,
因為，所以，此時.
當時，，
此時在單調遞減，符合題意；
故的最大值為9.
故選：B
同類題型演練
1．（2021·全國·高一課時練習）已知函數在上是單調函數，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】由題意得：
故選：B.
2．（2021·上海市西南位育中學高一期中）已知函數（其中，），為函數的一個零點，是函數圖像的一條對稱軸，且函數在區間上單調，則的最大值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【詳解】因為為函數的一個零點，且是函數f（x）圖像的一條對稱軸，
所以，所以，所以；
因為函數在區間上單調，
所以，即，所以，所以，
又因為，所以，
當時，，又，
所以函數在區間上不單調，所以舍去；
當時，，
又，，
所以函數在區間上單調，所以.
故選：B.
3．（2022·全國·高一）函數的圖像關于直線對稱，則可以為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【詳解】
對稱軸為：
當時，取值為.
故選:C.
4．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【詳解】解：，
令，，則，，
函數f（x）在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：C.
重點題型三：的取值范圍與三角函數的最值相結合
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在區間上是增函數，若函數在上的圖像與直線有且僅有一個交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【詳解】解：因為函數的圖像關于原點對稱，并且在區間上是增函數，
所以，又，得，
令，得，
所以在上的圖像與直線的第一個交點的橫坐標為，第二個交點的橫坐標為，
所以，解得，
綜上所述，，故的最小值為
故選：D
例題2．（2022·北京·人大附中高一期中）若函數在區間內沒有最值，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由在區間內沒有最值，知在區間上單調，由可得，
當在區間上單增時，可得，解得，
時無解，令，得，又，故；
當在區間上單減時，可得，解得，
時無解，令，得，綜上.
故選：B.
例題3．（2022·浙江·寧波市北侖中學高二期中）已知函數在區間上是增函數，若函數在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【詳解】因為函數的圖象關于原點對稱，并且在區間上是增函數，
所以，又，得，令，得，
所以在上的圖象與直線的第一個交點的橫坐標為，第二個交點的橫坐標為，
所以，解得，
綜上 所述，.
故選：C
例題4．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數經過點，且在上只有一個零點，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【詳解】因為經過點，
所以，因為，所以，
即，令，
因為，所以，
因為在上只有一個零點，
所以有，所以的最大值為，
故選：C
同類題型演練
1．（2021·天津市武清區楊村第一中學高一階段練習）已知函數在區間上單調，且在區間內恰好取得一次最大值2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為函數在區間上單調，
可得，即，
所以且，
解得，，
又，
當時，可得，
因為函數在區間上恰好取得一次最大值2，
且函數的圖象過原點，
所以，
解得
綜上可得：，
故選：B
2．（2022·吉林·雙遼市第一中學高三期末（理））已知函數，若在區間內沒有零點，則的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
令，，．
又函數在區間內沒有零點，所以，
解得，，
所以，，，，所以的最大值是．
故選：C．
3．（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（文））已知，，，且在上無最小值，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【詳解】解：，，，，
，
，，
，，，，
，，，
在上無最小值且，，即，
故選：A．
4．（2022·河南商丘·三模（理））已知函數，若，在內有最小值，沒有最大值，則的最大值為（ ）
A．19 B．13 C．10 D．7
【答案】B
【詳解】由，得，，解得，，
由在內有最小值，無最大值，
可得，
解得，所以的最大值為13.
故選:B．
5．（2022·湖北·高一期中）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，在區間上單調遞增，
∴，，
由，則，
則，解得，
∴；
當時，，要使得該函數取得一次最大值，
故只需，解得；
綜上所述，的取值范圍為.
故選：C.
重點題型四：的取值范圍與三角函數的零點相結合
典型例題
例題1．（2022·江西景德鎮·三模（理））已知函數，若函數在區間上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】.
令可得：.
令，解得：.
∵函數在區間內沒有零點，區間內不存在整數.
又，∴.又，
∴或，
∴或，解得或.
故選：A
例題2．（2022·廣西·欽州一中高一期中）已知函數為偶函數，在單調遞減，且在該區間上沒有零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為函數為偶函數，
所以，
由，
得，
因為函數在單調遞減，且在該區間上沒有零點，
所以，
解得，
所以的取值范圍為，
故選：D
例題3．（2021·全國·高一單元測試）已知函數，函數在上有3個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，函數在上有3個不同的零點，即有3個不同的根，
所以有三個根，
因為，
所以，
因為，
所以，
故選：B.
例題4．（2022·天津市濱海新區塘沽第一中學三模）設，函數，，若在上單調遞增，且函數與的圖象有三個交點，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，且在上單調遞增，
所以，所以，
當時，，
因為在上單調遞增，
所以，解得，
若在上函數與的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不同的實數根，
即方程在上有兩個不同的實數根，
所以，解得，
當時，令，
當時，，
當時，，，
結合圖象可得時，函數與的圖象只有一個交點，
綜上所述，當時，函數與的圖象有三個交點，滿足題意，
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數在上有且只有4個零點，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，，，∴，解得．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上有且僅有一解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，令，，
即，，
所以函數的單調遞增區間為，，
又因為函數在上單調遞增，
所以，得，且，
又因為，
所以，又在區間上有唯一的實數解，
所以，且，可得.
綜上，．
故選：D.
3．（2022·浙江·模擬預測）設函數，其中，若對任意的，在上有且僅有4個零點，則下列的值中不滿足條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設，則，所以在，上有4個零點，
可知，所以，
又，所以，即，滿足的只有，
故選：．
4．（2022·天津市新華中學高三階段練習）已知函數，若函數在區間上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】，
因為，所以.
又因為函數在區間上有且只有兩個零點，
所以，解得：.
故選：B
5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，的零點到軸的最近距離小于，且在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設的最小正周期為，依題意為的一個零點，且在上單調遞增，所以，所以，因為的零點到軸的最近距離小于，所以，化簡得，即的取值范圍是.
故選：D
重點題型五：求綜合問題
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若在上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，得到，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，
即，若在上單調遞減，
則的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的單調遞減區間為，，
若在上單調遞減，則，，
即，，當時，，即的取值范圍是.
故選：D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，且存在唯一，，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為函數在上單調遞增，
又函數在，內單調遞增，
，
，，
，
存在唯一，，使得，
，時，，，
，
．
故選：．
同類題型演練
1．（2022·陜西·安康市高新中學三模（文））已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【詳解】由題可知，是該函數的周期的整數倍，即，解得，又，故其最小值為．
故選：A．
2．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為在區間內單調遞減，所以，在區間內單調遞增，
由，，得，，
所以的單調遞增區間為，，
依題意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
當時，，又，所以，
當時，.
綜上所述：.
故選：C.拓展一：指數函數+對數函數綜合應用（定義域+值域+奇偶性+單調性）（精講）
目錄
重點題型一：指數（型）函數的值域（最值）
重點題型二：指數（型）函數的單調性
重點題型三：指數型函數的奇偶性
重點題型四：對數（型）函數的定義域
重點題型五：對數（型）函數的值域（最值）
重點題型六：對數（型）函數的單調性
重點題型七：對數（型）函數的奇偶性
重點題型一：指數（型）函數的值域（最值）
典型例題
1．（2023·全國·高三專題練習）定義：設函數的定義域為，如果，使得在上的值域為，則稱函數在上為“等域函數”，若定義域為的函數（，）在定義域的某個閉區間上為“等域函數”，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·華羅庚中學三模）若函數的定義域和值域的交集為空集，則正數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·清華附中高一期末）已知函數，，若存在實數，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）已知，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高一專題練習）設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是_______．
6．（2022·全國·高三專題練習）函數的最大值為_________．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知當時，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
8．（2022·河南·模擬預測（文））已知，，若對，，，則實數的取值范圍是_________.
9．（2022·全國·高三專題練習）若函數的值域為[0，+∞），則實數a的取值范圍是_____．
10．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（文））已知函數為偶函數，如有．
(1)求k的值；
(2)對任意，存在使得成立，求實數a的取值范圍．
11．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學高一期中）已知函數是上的奇函數，且
(1)求實數，的值，并求的值域；
(2)函數滿足，若對任意的，不等式恒成立，求實數的最大值.
12．（2022·吉林·長春十一高高一期末）定義在D上的函數，如果滿足：存在常數，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.
(1)證明：在上是有界函數；
(2)若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.
13．（2022·湖北·十堰市教育科學研究院高一期末）已知函數.
(1)當時，求方程的解；
(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
14．（2022·河南·商丘市第一高級中學高一期末）設函數，．
(1)求函數的值域；
(2)設函數，若對，，，求正實數a的取值范圍．
重點題型二：指數（型）函數的單調性
典型例題
1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
2．（2022·浙江·玉環市坎門中學高一開學考試）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山東濰坊·高一期末）已知函數對于任意兩個不相等實數，都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函數滿足對任意實數，都有成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·廣東·高二期末）設函數，數列滿足，，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海虹口·高一期末）已知函數，若函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·高一期末）若函數是上的增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（　　）
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
9．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
10．（2022·重慶九龍坡·高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求實數的值；
(2)判斷并證明在上的單調性；
(3)若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
11．（2022·河北省曲陽縣第一高級中學高二期末）已知函數是定義域為的奇函數.
(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；
(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.
12．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函數 是奇函數．
(1)求實數 的值; 并說明函數 的單調性（不證明）;
(2)若對任意的實數 ， 不等式 恒成立， 求實數 的取值范圍．
重點題型三：指數型函數的奇偶性
典型例題
1．（2022·甘肅酒泉·高二期末（文））已知函數的圖象經過點，
(1)求a的值；
(2)求函數的定義域和值域；
(3)判斷函數的奇偶性并證明．
2．（2022·河南·林州一中高一開學考試）已知定義在上的奇函數，當時，函數解析式為．
(1)求a的值，并求出在上的解析式；
(2)若對任意的，總有，求實數t的取值范圍．
3．（2022·福建福州·高二期末）已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求函數在上的解析式；
(2)若，恒成立，求實數的取值范圍．
4．（2022·河南·高二期末（理））已知函數是定義在上的奇函數.
(1)求實數a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若關于x的不等式恒成立，求實數k的取值范圍.
5．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高二階段練習）已知定義域為R的函數是奇函數.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求實數m的取值范圍.
6．（2022·四川·遂寧中學高一開學考試）已知(且)是R上的奇函數，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式對恒成立，求m的取值范圍；
重點題型四：對數（型）函數的定義域
典型例題
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數定義域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域是
A．
B．
C．
D．
4．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為R，則實數的取值范圍是______．
5．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數的定義域為，則實數的取值范圍為_____．
重點題型五：對數（型）函數的值域（最值）
典型例題
1．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數，，對于任意，存在有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川宜賓·高一期末）若函數的最小值是1，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高一期末）已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高一課時練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函數的最大值為0，則實數a的值為___________.
7．（2022·河南·林州一中高一開學考試）若函數有最小值，則a的取值范圍為______．
8．（2022·四川雅安·高一期末）若函數，則函數的值域為___________.
9．（2022·全國·高一期末）已知函數的值域是R，則實數的最大值是___________；
10．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是_________.
11．（2022·全國·高一專題練習）已知，，求的最大值及相應的．
12．（2022·遼寧·義縣高級中學高二階段練習）已知冪函數 為偶函數．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數 的定義域為，求函數的值域．
13．（2022·重慶·高一期末）已知函數.
(1)判斷函數的奇偶性，并證明；
(2)設函數，若對任意的，總存在使得成立，求實數m的取值范圍.
14．（2022·全國·高一階段練習）已知函數，其定義域為．
(1)求實數m，n的值；
(2)若函數的最小值為－1，求a的值．
15．（2022·遼寧·東港市第二中學高一開學考試）已知函數，.
(1)求實數的值；
(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值.
16．（2022·吉林·長春市第二中學高一期末）已知函數.
(1)當時，求該函數的值域；
(2)若，對于恒成立，求實數m的取值范圍.
重點題型六：對數（型）函數的單調性
典型例題
1．（2022·陜西省丹鳳中學高一階段練習）若是定義在上的增函數，實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西吉安·高二階段練習（文））已知是R上的增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陜西·長安一中高一期末）已知函數是上的增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南駐馬店·高一期末）函數為定義在R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高三專題練習）函數（a>0且a≠1）在（4，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．16．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調遞增區間是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數 在上單調遞減，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））函數的一個單調增區間是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（文））若函數在區間上是單調增函數，則實數a的取值范圍是______．
10．（2022·河南信陽·高一期末）已知函數（，且）.
(1)求函數的定義域；
(2)是否存在實數a，使函數在區間上單調遞減，并且最大值為1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
11．（2022·全國·高一）已知函數
(1)若m＝1，求函數f（x）的定義域;
(2)若函數f（x）在區間上是增函數，求實數m的取值范圍．
12．（2022·四川成都·高一開學考試）已知偶函數（其中），且滿足.
(1)求的解析式，并指出其在定義域內的單調性（不需要證明）；
(2)解關于的不等式.
13．（2022·湖南·高一期末）已知函數.
(1)用定義證明是上的增函數；
(2)求不等式的解集.
重點題型七：對數（型）函數的奇偶性
典型例題
1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數.
(1)求的定義域；
(2)討論的奇偶性.
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函數， ．
(1)試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；
(2)若函數在上只有一個零點，求實數a的取值范圍．
3．（2022·江蘇南通·高二期末）已知函數．從下面兩個條件中選擇一個求出，并解不等式
①函數是偶函數；②函數是奇函數．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
4．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知函數為偶函數.
(1)求實數的值；
(2)解關于的不等式；
(3)設，函數與圖象有2個公共點，求實數的取值范圍.
5．（2022·河北武強中學高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求常數k的值；
(2)當時，判斷的單調性，并用定義給出證明；
(3)若函數，且在區間上沒有零點，求實數m的取值范圍．
6．（2022·甘肅定西·高一階段練習）已知函數的圖象關于原點對稱．
(1)求a的值；
(2)當時，恒成立，求實數k的取值范圍．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
(1)證明：為偶函數；
(2)若函數，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)若為偶函數，求；
(2)若命題“，”為假命題，求實數的取值范圍．
9．（2022·四川自貢·高一期末）已知函數與.
(1)判斷的奇偶性；
(2)若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.
拓展一：指數函數+對數函數綜合應用（定義域+值域+奇偶性+單調性）（精講）
目錄
重點題型一：指數（型）函數的值域（最值）
重點題型二：指數（型）函數的單調性
重點題型三：指數型函數的奇偶性
重點題型四：對數（型）函數的定義域
重點題型五：對數（型）函數的值域（最值）
重點題型六：對數（型）函數的單調性
重點題型七：對數（型）函數的奇偶性
重點題型一：指數（型）函數的值域（最值）
典型例題
1．（2023·全國·高三專題練習）定義：設函數的定義域為，如果，使得在上的值域為，則稱函數在上為“等域函數”，若定義域為的函數（，）在定義域的某個閉區間上為“等域函數”，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
當時，函數在上為減函數，
若在其定義域的某個閉區間上為“等域函數”，
則存在，（）使得，
所以，消去，得，
令，則，
當時，，所以在上是單調增函數，
所以符合條件的，不存在.
當時，函數在上為增函數，
若在其定義域的某個閉區間上為“等域函數”，
則存在，（）使得，，即方程在上有兩個不等實根，
即在上有兩個不等實根，
設函數（），則，
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極大值，也是最大值，
所以，又，，
故，即.
故選：C.
2．（2022·江蘇·華羅庚中學三模）若函數的定義域和值域的交集為空集，則正數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因為，所以的定義域為，，
當時，則在上單調遞增，所以；
要使定義域和值域的交集為空集，顯然，
當時，
若則，此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，
若時在上單調遞減，此時，
則，
所以，解得，即
故選：B
3．（2022·北京·清華附中高一期末）已知函數，，若存在實數，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因函數的值域是，于是得函數的值域是，
因存在實數，使得，則，
因此，，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習）已知，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函數是R上偶函數，因，即函數在R上單調遞增，
而，，令，則，因此，原函數化為：，
顯然在上單調遞增，則當時，，
所以函數的值域為.
故選：A
5．（2022·全國·高一專題練習）設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是_______．
【答案】
解：由，得，
即，
，，
則，
，則，即．
故答案為：
6．（2022·全國·高三專題練習）函數的最大值為_________．
【答案】
設，
因為，
所以當時，有最大值，
當時，有最小值，
即，
所以，即的取值范圍是，
所以函數的最大值為，
故答案為：.
7．（2022·全國·高三專題練習）已知當時，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
【答案】
令3x＝t，當時，，則f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，即函數在的圖象在x軸的上方，而判別式，
故或，解得.
故答案為：.
8．（2022·河南·模擬預測（文））已知，，若對，，，則實數的取值范圍是_________.
【答案】
因為對，，，
所以只需即可，
因為，，
所以，，
由，
解得
故答案為：.
9．（2022·全國·高三專題練習）若函數的值域為[0，+∞），則實數a的取值范圍是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
設，
若函數的值域為，，
則等價于，是值域的子集，
，
設，則，
則，
，
當對稱軸，即時，不滿足條件．
當，即時，則判別式△，
即，則，
即實數的取值范圍是，.
故答案為：，
10．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（文））已知函數為偶函數，如有．
(1)求k的值；
(2)對任意，存在使得成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)因為函數為偶函數，所以，
，
即k的值為1.
(2)由（1）知，，
因為對任意，存在使得成立，
所以，設，，
，，所以根據對勾函數的性質可得在上單調遞增，
即，
所以在上有解，即在上有解．
即，
設，因為，所以值域為，
所以，即．
11．（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學高一期中）已知函數是上的奇函數，且
(1)求實數，的值，并求的值域；
(2)函數滿足，若對任意的，不等式恒成立，求實數的最大值.
【答案】(1)，，值域為；(2).
(1)解：由是上的奇函數，那么，則.
由可得，，解得，
所以，又，則，
所以的值域為.
(2)解：時，，所以，
由得：
，
即，
即在上恒成立.
令，，且，
，
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在單調遞增.
當時，，
所以，，
令，則，在單調遞增.
，
因此，
所以的最大值為.
12．（2022·吉林·長春十一高高一期末）定義在D上的函數，如果滿足：存在常數，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.
(1)證明：在上是有界函數；
(2)若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)解：， 則在上是嚴格增函數，
故，即 ，
故，故是有界函數；
(2)因為在上是以3為上界的有界函數，
所以在上恒成立，
令，則，
所以在時恒成立，
所以，在時恒成立，
函數在上嚴格遞減，所以；
函數在上嚴格遞增，所以.
所以實數a的取值范圍是.
13．（2022·湖北·十堰市教育科學研究院高一期末）已知函數.
(1)當時，求方程的解；
(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)2
(2)
(1)當時，由，可得，
則，所以或（舍去），解得.
故方程的解為2.
(2)由題意知在上恒成立，即在上恒成立.
又因為，所以，則.
因為，所以，
所以，即的取值范圍是.
14．（2022·河南·商丘市第一高級中學高一期末）設函數，．
(1)求函數的值域；
(2)設函數，若對，，，求正實數a的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
(1)∵，又，，
∴，當且僅當，即時取等號，
所以，
即函數的值域為．
(2)∵，
設，因為，所以，函數在上單調遞增，
∴，即，
設時，函數的值域為A．由題意知，
∵函數，函數圖象的對稱軸為，
當，即時，函數在上遞增，
則，即，
∴，
當時，即時，函數在上的最大值為，中的較大者，
而且，不合題意，
當，即時，函數在上遞減，
則，即，滿足條件的a不存在，
綜上，．
重點題型二：指數（型）函數的單調性
典型例題
1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
【答案】C
∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是減函數，
∴，解得，
∴a的取值范圍是．
故選：C．
2．（2022·浙江·玉環市坎門中學高一開學考試）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵在上單調遞增，
∴，解得.
故選：B.
3．（2022·山東濰坊·高一期末）已知函數對于任意兩個不相等實數，都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題可得，函數為單調遞減函數，
當時，若單減，則對稱軸，得：,
當時，若單減，則，
在分界點處，應滿足，即，
綜上：
故選：B
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函數滿足對任意實數，都有成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為對任意實數，都有成立，
所以在上為增函數，
所以，解得，
所以的取值范圍為，
故選：B
5．（2022·廣東·高二期末）設函數，數列滿足，，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意，解得．
故選：A．
6．（2022·上海虹口·高一期末）已知函數，若函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因函數在R上是嚴格減函數，則函數在上單調遞減，
并且有，于是得，解得：，
所以實數a的取值范圍是.
故選：D
7．（2022·全國·高一期末）若函數是上的增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分段函數在上為單調遞增函數，
需滿足在各段內單調的基礎上還得滿足在臨界點上左邊界的值不大于右邊界的值，
即且，，解得，
故選：D．
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（　　）
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
【答案】A
因對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)為R上的減函數，
則函數在上是減函數，有，
函數在上是減函數，有，即，
并且滿足：，即，解和，
綜上得，
所以a的取值范圍為.
故選：A
9．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；(2)單調遞減，理由見解析；(3).
(1)依題意，函數，因是R上的偶函數，即，，
因此，，，
而當時，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函數在上單調遞減，
，，，
因，則，，，因此，，即，
所以函數在上單調遞減.
(3)依題意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
10．（2022·重慶九龍坡·高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求實數的值；
(2)判斷并證明在上的單調性；
(3)若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)增函數，證明見解析(3)
(1)解：因為函數為奇函數，且，
則，由，則，
所以，對任意的恒成立，所以，，可得.
(2)證明：由（1）可知，函數在上為增函數，證明如下：
任取、且，則，
所以，
，
所以，，故函數在上為增函數.
(3)解：由可得，
所以，，即對任意的恒成立.
當時，則有，合乎題意；
當時，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
11．（2022·河北省曲陽縣第一高級中學高二期末）已知函數是定義域為的奇函數.
(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；
(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，證明見解析(2)
(1)解：因為函數是定義域為的奇函數，
則，解得，此時，
對任意的，，即函數的定義域為，
，即函數為奇函數，合乎題意，
任取、且，則，
所以，，則，
所以，函數在上單調遞增.
(2)解：由（1）可知，函數在上為增函數，
對于任意的、，都有，則，
，
因為，則.
當時，則有，解得；
當時，則有，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
12．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函數 是奇函數．
(1)求實數 的值; 并說明函數 的單調性（不證明）;
(2)若對任意的實數 ， 不等式 恒成立， 求實數 的取值范圍．
【答案】(1)詳見解析；(2)
(1)解：因為函數 是奇函數，
所以，解得 ，經檢驗符合題意；
此時，
因為在R上是增函數，在R上是減函數，
所以在R上是增函數.
(2)因為對任意的實數 ， 不等式 恒成立，
所以對任意的實數 ， 不等式 恒成立，
所以對任意的實數 ，恒成立，
所以對任意的實數 ，恒成立，
令，
所以，
實數 的取值范圍.
重點題型三：指數型函數的奇偶性
典型例題
1．（2022·甘肅酒泉·高二期末（文））已知函數的圖象經過點，
(1)求a的值；
(2)求函數的定義域和值域；
(3)判斷函數的奇偶性并證明．
【答案】(1)；
(2)的定義域為R ，值域為；
(3)奇函數，證明見解析.
(1)依題意，函數的圖象過點，則有，解得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知函數，因，所以的定義域為R，
而，所以的值域為.
(3)函數是R上的奇函數，
因的定義域為R，且，所以是奇函數.
2．（2022·河南·林州一中高一開學考試）已知定義在上的奇函數，當時，函數解析式為．
(1)求a的值，并求出在上的解析式；
(2)若對任意的，總有，求實數t的取值范圍．
【答案】(1)-3，；(2).
(1)根據題意，是定義在上的奇函數，則有，
當時，則，解得：，
當時，，
設，則，則，又為奇函數，
所以，
綜上，，
(2)由（1），時，，
設，則，則原函數可化為：，
由，知：在上恒成立，
要使在上恒成立，只需，解得：，
所以t的取值范圍為．
3．（2022·福建福州·高二期末）已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求函數在上的解析式；
(2)若，恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：由題意知，解得，所以當時，，
當，則，所以．
又為奇函數，所以，
故當時，．
綜上：．
(2)解：由，得，
因為是奇函數，所以．
當時，所以函數在上單調遞增，又是定義在上的奇函數，
所以在上單調遞增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
4．（2022·河南·高二期末（理））已知函數是定義在上的奇函數.
(1)求實數a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若關于x的不等式恒成立，求實數k的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
(1)因為是定義在上的奇函數，所以，
即，即，
因為，所以，所以（經檢驗，符合題意）
(2)由（1）得，
因為與在上均為增函數，所以在上為增函數，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
(3)因為關于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因為，
所以當，即時，取得最小值.
所以，即實數k的取值范圍是
5．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高二階段練習）已知定義域為R的函數是奇函數.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
(1)因為函數為奇函數，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函數.
(2)∵，
所以在上單調遞減，且為奇函數，
由，得，
所以，
設，，
則，又，
所以，即，
故實數m的取值范圍.
6．（2022·四川·遂寧中學高一開學考試）已知(且)是R上的奇函數，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式對恒成立，求m的取值范圍；
【答案】(1)；
(2)﹒
(1)∵是R上的奇函數，∴，
由，可得，，
∵，∴，，∴．經檢驗成立
(2)∵，∴在R上單調遞增，
又為R上的奇函數，
∴由，得，
∴，即恒成立，
當時，不等式為不能恒成立，故不滿足題意；
當時，要滿足題意，需，解得，
∴實數m的取值范圍為．
重點題型四：對數（型）函數的定義域
典型例題
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數定義域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意知 恒成立，
當時，滿足條件，
當時，應有，且二次函數的判別式小于0，
即且，解得，
的取值范圍是，
故選：C．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵函數的定義域為
∴(25)x 4 5x+m>0且(25)x 4 5x+m≠1，
即,且，
令,
∴
又即
∴m>5.
∴實數m的取值范圍是(5,+∞).
故選A.
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
由解得或，故選D.
4．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為R，則實數的取值范圍是______．
【答案】或．
∵的定義域為R，
∴恒成立，
當，即或，
若，不等式等價為，此時，不恒成立，不滿足條件．
若，不等式等價為，恒成立，滿足條件．
當時，要使不等式恒成立，
則，
即或，
解得或，
綜上可知，實數的取值范圍是或．
故答案為：或．
5．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數的定義域為，則實數的取值范圍為_____．
【答案】
函數的定義域為等價于對于任意的實數，恒成立
當時成立
當時，等價于
綜上可得
重點題型五：對數（型）函數的值域（最值）
典型例題
1．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數，，對于任意，存在有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
對于任意，存在有等價于.
由，函數單調遞增，可得
，，對稱軸為，
時，，
，
解得.
故選：B
2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函數，而函數是增函數，當時，，則當時，函數值域為，
因函數的值域為，因此，在當時，函數取盡一切負數，
當，即時，，不符合題意，當時，，也不符合題意，當時，為增函數，由可得，
則需，解得，
所以實數的取值范圍是：.
故選：C
3．（2022·四川宜賓·高一期末）若函數的最小值是1，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
當時，，且，
因為函數的最小值是1，
所以當時，，
因為的對稱軸為，且，
所以，所以.
故選：B.
4．（2022·全國·高一期末）已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函數，而函數是增函數，當時，，則當時，函數值域為，
因函數的值域為，因此，在當時，函數取盡一切負數，
當，即時，，不符合題意，當時，，也不符合題意，
從而有，解得，
所以實數的取值范圍是：.
故選：D
5．（2022·全國·高一課時練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，又函數的值域為R，
則，解得．
故選：C．
6．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函數的最大值為0，則實數a的值為___________.
【答案】
因為的最大值為0，所以應有最小值1，因此應有解得.
故答案為：.
7．（2022·河南·林州一中高一開學考試）若函數有最小值，則a的取值范圍為______．
【答案】
當時，外層函數為減函數，要使函數有最小值，對于內層函數，，又，所以；
當時，外層函數為增函數，要使函數有最小值，對于內層函數，
則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
8．（2022·四川雅安·高一期末）若函數，則函數的值域為___________.
【答案】
由已知函數的定義域為
又，定義域需滿足，
令，因為 ，
所以，
利用二次函數的性質知，函數的值域為
故答案為：.
9．（2022·全國·高一期末）已知函數的值域是R，則實數的最大值是___________；
【答案】8
當時，．
因為的值域為，則當時，．
當時，，
故在，上單調遞增，
，即，
解得，即的最大值為8．
故答案為：8．
10．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是_________.
【答案】
值域為R，
設，所以可以取遍中任意一個數，所以
所以的取值為
故答案為：
11．（2022·全國·高一專題練習）已知，，求的最大值及相應的．
【答案】時，最大值為
，，
函數的定義域滿足，即
設，，
由在區間上是增函數，．
從而要求在區間上的最大值，
只需求在區間上的最大值即可．
在上是增函數，
所以當，即時，．
綜上可知，當時，的最大值為.
12．（2022·遼寧·義縣高級中學高二階段練習）已知冪函數 為偶函數．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數 的定義域為，求函數的值域．
【答案】(1)(2)
(1)由為冪函數，得，解得或,
當時，，符合題意；當時， ，不合題意，舍去．
所以．
(2)由知，，
則的解集為，
即和是方程的兩根，由韋達定理，可知，
所以 ，
則 ，
即函數的值域為．
13．（2022·重慶·高一期末）已知函數.
(1)判斷函數的奇偶性，并證明；
(2)設函數，若對任意的，總存在使得成立，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)偶函數，證明見解析
(2)
(1)為偶函數
證明：，
故，解得
的定義域為，關于原點對稱
，
為偶函數
(2)若對任意的，總存在，使得成立
則
又，當且僅當，即取等號
所以
所求實數m的取值范圍為
14．（2022·全國·高一階段練習）已知函數，其定義域為．
(1)求實數m，n的值；
(2)若函數的最小值為－1，求a的值．
【答案】(1)，(2)
(1)由題意，不等式的解集是，
－3，1是方程的兩實根，
∴，，即，．
(2)由于，
令，則
∵時，在上無最小值．
∴，∵時，在上是減函數，
∴
又，則，
即，解得
故若函數的最小值為－1，則．
15．（2022·遼寧·東港市第二中學高一開學考試）已知函數，.
(1)求實數的值；
(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值.
【答案】(1)；
(2)時；時.
(1)因為，則，所以.
(2)由題設，，
令且，故，則，
當時；此時，
當時；此時.
16．（2022·吉林·長春市第二中學高一期末）已知函數.
(1)當時，求該函數的值域；
(2)若，對于恒成立，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)令，，則，
函數轉化為，，
則二次函數，，
當時，，當時，，
故當時，函數的值域為．
(2)由于對于上恒成立，
令，，則
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由對勾函數的性質知在上單調遞增，
所以當時，，
故時，原不等式對于恒成立．
重點題型六：對數（型）函數的單調性
典型例題
1．（2022·陜西省丹鳳中學高一階段練習）若是定義在上的增函數，實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為是定義在上的增函數，
所以，解得，
故選：B
2．（2022·江西吉安·高二階段練習（文））已知是R上的增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因為是上的增函數，
所以函數在上為增函數，函數在上為增函數，且，
所以，
解得，
所以實數a的取值范圍是
故選：A.
3．（2022·陜西·長安一中高一期末）已知函數是上的增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函數是上的增函數，
所以，解得 ，
所以實數的取值范圍是
故選：A.
4．（2022·河南駐馬店·高一期末）函數為定義在R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由題意，函數為定義在R上的單調函數
且在單調遞增
故在單調遞增，即
且在處，
綜上：
解得
故選：B
5．（2022·全國·高三專題練習）函數（a>0且a≠1）在（4，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．1【答案】B
函數（a>0且a≠1）在（4，+∞）上單調遞增，
故外層函數是增函數，由此得a>1，
又內層函數在區間在（4，+∞）上單調遞增，
令
則在（4，+∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真數大于0，故64﹣8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范圍是1故選：B.
6．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調遞增區間是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題知的定義域為，
令，則，函數單調遞增，
當時，關于單調遞減，關于單調遞減，
當時，關于單調遞增，關于單調遞增，
故的遞增區間為．
故選：D．
7．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數 在上單調遞減，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為函數 在上單調遞減，
所以函數在上單調遞增，且在上恒成立，
所以，解得.
故選：B
8．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））函數的一個單調增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函數的定義域為.
要求函數的一個單調增區間，
只需求的增區間，只需.
所以.
所以函數的一個單調增區間是.
故選：C
9．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（文））若函數在區間上是單調增函數，則實數a的取值范圍是______．
【答案】
由函數在區間上是單調增函數，只需
函數在上是單調增函數，且當時恒成立，所以滿足解得．
故答案為：
10．（2022·河南信陽·高一期末）已知函數（，且）.
(1)求函數的定義域；
(2)是否存在實數a，使函數在區間上單調遞減，并且最大值為1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)
(1)由題意可得，即，
因為，所以解得.
故的定義域為.
(2)假設存在實數，使函數在區間上單調遞減，并且最大值為1.
設函數，由，得，
所以在區間上為減函數且恒成立，
因為在區間上單調遞減，
所以且，即.
又因為在區間上的最大值為1，
所以，
整理得，解得.
因為，所以，
所以存在實數，使函數在區間上單調遞減，并且最大值為1
11．（2022·全國·高一）已知函數
(1)若m＝1，求函數f（x）的定義域;
(2)若函數f（x）在區間上是增函數，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)若m＝1，則
要使函數有意義，需，解得x∈
∴若m＝1，函數f（x）的定義域為．
(2)若函數在區間 上是增函數，
則在區間上是減函數且在區間上恒成立，∴，且，即且.
12．（2022·四川成都·高一開學考試）已知偶函數（其中），且滿足.
(1)求的解析式，并指出其在定義域內的單調性（不需要證明）；
(2)解關于的不等式.
【答案】(1)，在區間為增函數，在區間為減函數
(2)
(1)解：因為是偶函數，所以，即
所以，所以，則，
又因為，所以，解得，所以.
對于函數，有，解得，
所以，函數的定義域為，
因為內層函數在上為增函數，在上為減函數，
而外層函數為增函數，
所以在區間上為增函數，在區間上為減函數.
(2)解：因為，所以可化為，
又由函數的單調性可知原不等式等價于，解得，
所以不等式的解集為.
13．（2022·湖南·高一期末）已知函數.
(1)用定義證明是上的增函數；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(1)證明：取任意，且，
有
.
因為，所以，
所以.
因為，所以，
所以.
故，即是上的增函數.
(2)解：（解法一）因為，
所以等價于.
由（1）可知是上的增函數，則
解得，即不等式的解集是.
（解法二）由題意可得，
則等價于.
因為在上單調遞增，
所以，
解得，即不等式的解集是.
重點題型七：對數（型）函數的奇偶性
典型例題
1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數.
(1)求的定義域；
(2)討論的奇偶性.
【答案】(1)
(2)奇函數
(1)由，得，即，
因此函數的定義域為.
(2)由（1）知，函數的定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
所以為奇函數.
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函數， ．
(1)試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；
(2)若函數在上只有一個零點，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)函數為上的偶函數；證明見解析
(2)或
(1)偶函數，證明如下：
證明：函數，定義域為，關于原點對稱，
所以函數為上的偶函數．
(2)解：因為函數在上只有一個零點，
所以關于x的方程有唯一的實數解，
即方程有唯一的實數解，
即有唯一的實數解，
化簡得，
令，
下面研究關于t的方程何時僅有一個正根.
①當時，，符合題意；
②當時，則，
當時，，當時，（舍）
當，即時，，方程有異號的兩個實根，符合題意；
綜上所述，實數a的取值范圍為或.
3．（2022·江蘇南通·高二期末）已知函數．從下面兩個條件中選擇一個求出，并解不等式
①函數是偶函數；②函數是奇函數．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】答案見解析
根據題意, 易得函數的定義域為.
選擇①: 為偶函數, 因此,
故, 解得.經檢驗符合題設
,,
即即或
不等式的解集為；
選擇②:函數為奇函數,有,
即, 解得.經檢驗符合題設，
,,
即即
不等式的解集為.
4．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知函數為偶函數.
(1)求實數的值；
(2)解關于的不等式；
(3)設，函數與圖象有2個公共點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)由函數表達式可知定義域為，
函數為偶函數
即：
，即.
(2)，
任取，且，
則，，，
所以
所以，
所以在上遞增，
又因為為上的偶函數，
，
，即，解得，
所求不等式的解集為
(3)
在上有兩個不相等的實根
令，則
有兩個不相等的正實根
解得.
5．（2022·河北武強中學高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求常數k的值；
(2)當時，判斷的單調性，并用定義給出證明；
(3)若函數，且在區間上沒有零點，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)單調遞增，證明見解析；
(3).
(1)由，即，
所以，故，則，
當時，顯然不成立，經驗證：符合題意；
所以；
(2)單調遞增，證明如下：
由（1）知：，若，
則，
而，即，
所以，故單調遞增.
(3)由，令，
所以，由（2）知：在上遞增，而在上遞減，
所以在上遞減，則.
又在區間上無解，故
6．（2022·甘肅定西·高一階段練習）已知函數的圖象關于原點對稱．
(1)求a的值；
(2)當時，恒成立，求實數k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)函數的圖象關于原點對稱，
則函數為奇函數，有，
即，即，即解得，當時，不滿足題意，∴．
(2)由，得，即，
令，易知在上單調遞減，
則的最大值為．又∵當時，恒成立，
即在恒成立，且，∴，，
即實數k的取值范圍為．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
(1)證明：為偶函數；
(2)若函數，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(1)證明：定義域為，
，
即為，
則為偶函數；
(2)解：
，
當時，，
令，則，，
當時，即，在上單調遞增，
所以時，，解得，
當時即，時，，
解得：不成立；
當時，即，在上單調遞減，所以時，，
解得不成立．
故存在滿足條件的．
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)若為偶函數，求；
(2)若命題“，”為假命題，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因為函數為偶函數，
所以，即，
所以，即，
所以.
(2)解：因為命題“，”為假命題，
所以命題“，”為真命題，
所以，對，且恒成立，
所以，對，且恒成立，
由對勾函數性質知，函數在上單調遞增，
所以，且，即實數的取值范圍是.
9．（2022·四川自貢·高一期末）已知函數與.
(1)判斷的奇偶性；
(2)若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)偶函數
(2)
(1)∵的定義域為R，
∴，∴為偶函數.
(2)函數只有一個零點
即
即方程有且只有一個實根.
令，則方程有且只有一個正根.
①當時，，不合題意；
②當時，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意
③若方程有一個正根和一個負根，則，即時，滿足題意.
∴實數a的取值范圍為.拓展一：三角函數的變換技巧（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：角的變換（拼湊角）
重點題型二：冪次的變換
重點題型三：函數名的變換
重點題型四：消元變換
重點題型五：結構變換
重點題型一：角的變換（拼湊角）
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，求的值.
例題3．（2022·福建泉州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
同類題型演練
1．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）已知都是銳角，求，的值
2．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）（1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．
3．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）已知．
(1)求和；
(2)求．
重點題型二：冪次的變換
典型例題
例題1．（2022·四川成都·高一期末）已知函數，則的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·三模（理））已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度后得函數的圖象，則圖象的一個對稱中心為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（多選）（2022·山東·高一階段練習）已知函數的最小正周期為，若m，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．的值為1
B．
C．直線是函數圖象的一條對稱軸
D．的最大值為
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）若將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象關于原點對稱，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇省鄭梁梅高級中學高一階段練習）若函數在區間上的最大值為6，寫出的一個對稱中心__________．
3．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期是
B．是偶函數
C．在上遞增
D．是圖象的一條對稱軸
重點題型三：函數名的變換
典型例題
例題1．（2022·河南·商丘市第一高級中學高二期末（文））若，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，則______.
例題3．（2022·福建·莆田一中高一期中）函數在區間上的最大值為__________（用數字作答）.
同類題型演練
1．（2022·四川眉山·高三階段練習（理））若，，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2022·全國·高一課時練習）若，則___________.
重點題型四：消元變換
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若實數，滿足方程組，則的一個值可以是___________.（寫出滿足條件的一個值即可）
例題2．（2022·遼寧撫順·高一期末）已知角是第二象限角，，則___________.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）若，且 ，則_____.
2．（2022·廣東·韶關市曲江區曲江中學高一期末）（1）已知，求的值；
（2）結合（1），若，求的值．
重點題型五：結構變換
典型例題
例題1．（多選）（2022·新疆·烏市一中高一期末）若函數在上有零點，則整數的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
例題2．（2022·河北·衡水泰華中學高三階段練習）函數的最小值為________.
同類題型演練
1．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））函數的值域為_________.
2．（2022·河南·南陽中學高一階段練習）已知，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是______．
拓展一：三角函數的變換技巧（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：角的變換（拼湊角）
重點題型二：冪次的變換
重點題型三：函數名的變換
重點題型四：消元變換
重點題型五：結構變換
重點題型一：角的變換（拼湊角）
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)2.
（1）因，則.
（2）因，則，又，
所以．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，求的值.
【答案】
【詳解】解：∵，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
例題3．（2022·福建泉州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因為，，
又，所以，
所以.(2)解：因為，
，
又因為，所以，
由（1）知，，
所以．
因為，，則，所以．
同類題型演練
1．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高一期末）已知都是銳角，求，的值
【答案】，
【詳解】由是銳角，，可得，
由是銳角，，
可得，
則
2．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）（1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）∵，且是第三象限角，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴.
3．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）已知．
(1)求和；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
(1)由二倍角公式得：；
因為且，所以，則，所以
.
(2)因為，所以，又因為，所以
，則
.
重點題型二：冪次的變換
典型例題
例題1．（2022·四川成都·高一期末）已知函數，則的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題設，，
所以最小正周期為.
故選：B
例題2．（2022·全國·三模（理））已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度后得函數的圖象，則圖象的一個對稱中心為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為
將函數的圖象向左平移個單位長度后得函數，
令，得，令，得，
所以圖象的一個對稱中心為，
故選：B.
例題3．（多選）（2022·山東·高一階段練習）已知函數的最小正周期為，若m，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．的值為1
B．
C．直線是函數圖象的一條對稱軸
D．的最大值為
【答案】ACD
【詳解】
因為最小正周期為，所以，得，故A正確；
易知的值域為，要使成立，必有，故B錯誤；
由，得對稱軸，故C正確；
由，得，因為m，，所以m，，易知當時，有最大值，故D正確.
故選：ACD.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）若將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象關于原點對稱，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
.
向左平移個單位得到，其圖象關于原點對稱，
所以，
由于，所以的最小值為.
故選：B
2．（2022·江蘇省鄭梁梅高級中學高一階段練習）若函數在區間上的最大值為6，寫出的一個對稱中心__________．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】
，
由，得，
所以當時，取得最大值，
所以，得，
所以，
由，得，
所以的對稱中心為，
所以的一個對稱中心可以為，
故答案為：（答案不唯一）
3．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期是
B．是偶函數
C．在上遞增
D．是圖象的一條對稱軸
【答案】ABC
【詳解】
.
對選項A，，故A正確.
對選項B，，，
所以是偶函數，故B正確.
對選項C，，，由余弦函數的單調性可知C正確.
對選項D，或，故D錯誤.
故選：ABC
重點題型三：函數名的變換
典型例題
例題1．（2022·河南·商丘市第一高級中學高二期末（文））若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，，所以，，
所以
．
故選: C．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，則______.
【答案】.
【詳解】令，則，且，所以.
故答案為：.
例題3．（2022·福建·莆田一中高一期中）函數在區間上的最大值為__________（用數字作答）.
【答案】##
【詳解】函數
，
因為，所以，
當時，即，函數取得最大值，
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·四川眉山·高三階段練習（理））若，，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【詳解】因為，，所以且，
解得，所以.
故選：D
2．（2022·全國·高一課時練習）若，則___________.
【答案】
【詳解】解：因為，即，
所以.
故答案為：.
重點題型四：消元變換
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若實數，滿足方程組，則的一個值可以是___________.（寫出滿足條件的一個值即可）
【答案】（答案不唯一，滿足，即可）
【詳解】由，可得，
即，所以，所以，，
所以當k=0時，.
故答案為：（答案不唯一，滿足，即可）
例題2．（2022·遼寧撫順·高一期末）已知角是第二象限角，，則___________.
【答案】
【詳解】解：因為角是第二象限角，所以，
又，則，
則，
解得，所以，
所以.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）若，且 ，則_____.
【答案】
【詳解】因為，所以
即 ，∴解得或 （舍去）．
， ，因此 ．
故答案為：
2．（2022·廣東·韶關市曲江區曲江中學高一期末）（1）已知，求的值；
（2）結合（1），若，求的值．
【答案】（1） ；（2）3．
【詳解】（1）由 ，得 ，
由 得 ，
；
（2） ，
，
綜上， ，.
重點題型五：結構變換
典型例題
例題1．（多選）（2022·新疆·烏市一中高一期末）若函數在上有零點，則整數的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【詳解】在上有零點，即在上有解，
設，，
，則，，，
所以，即，BCD均可以．
故選：BCD．
例題2．（2022·河北·衡水泰華中學高三階段練習）函數的最小值為________.
【答案】
【詳解】，
令，則，
故，所以當時，
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））函數的值域為_________.
【答案】
【詳解】由于，
令，則，
于是函數化為，
而 ，
所以當時，函數取最小值，
當時，函數取最大值，故值域為.
故答案為：.
2．（2022·河南·南陽中學高一階段練習）已知，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】由，可得
恒成立，
令，
由，可得，
又在上單調遞增，，
∴，即實數m的取值范圍是.
故答案為：.拓展二：函數與方程的綜合應用（精講）
目錄
重點題型一：根據零點求參數
重點題型二：求函數的零點（方程的根）的個數
重點題型三：求零點的和
重點題型四：函數與方程的綜合應用
重點題型一：根據零點求參數
典型例題
1．（2022·廣東深圳·高一期末）已知函數且在上無零點，在上有零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津和平·高一期末）已知函數有零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京大興·高一期末）若函數恰有個零點，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川雅安·高一期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河南·模擬預測（理））已知函數，若函數有零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·廣西·上林縣中學高一期末）已知函數，若函數無零點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·重慶一中高三階段練習）若函數（其中，）存在零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·陜西咸陽·高三階段練習（文））若方程在上有實根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·福建龍巖·高一期末）若函數 在 上存在零點，則實數的取值范圍是________．
10．（2022·山西省長治市第二中學校高一期末）已知函數， 則使函數有零點的實數的取值范圍是____________
11．（2021·江西·奉新縣第一中學高一階段練習）若函數有唯一的零點，則實數_______
重點題型二：求函數的零點（方程的根）的個數
典型例題
1．（2022·全國·高一專題練習）函數的零點個數是______．
2．（2021·全國·高一課時練習）函數的零點個數為______個．
3．（2021·廣西河池·高一階段練習）方程的實根個數有___________個．
4．（2020·安徽·立人中學高一期末（文））函數的零點個數為_____________；
5．（2020·湖北武漢·高一期中）已知，則方程的不等實根一共有____________個.
6．（2021·寧夏·銀川市第六中學模擬預測（文））函數的零點個數為__________.
重點題型三：求零點的和
典型例題
1．（2021·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一期中）已知函數．若存在正實數，使得方程有三個互不相等的實根，，，則的取值范圍是__________．
2．（2022·新疆·烏市一中高一期末）已知函數的零點依次為a，b，c，則＝________
3．（2022·江蘇·高一期末）已知函數，若存在，使得，則的取值范圍是___________.
4．（2022·全國·高三專題練習）設函數關于的方程有四個實根，，，，則的最小值為___________.
5．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學高二期中）已知函數，則關于的方程的所有實數根的和為_______.
6．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，若互不相等的實數滿足，求的取值范圍.
重點題型四：函數與方程的綜合應用
典型例題
1．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函數， ．
(1)試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；
(2)若函數在上只有一個零點，求實數a的取值范圍．
2．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知函數為偶函數.
(1)求實數的值；
(2)解關于的不等式；
(3)設，函數與圖象有2個公共點，求實數的取值范圍.
3．（2022·河北武強中學高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求常數k的值；
(2)當時，判斷的單調性，并用定義給出證明；
(3)若函數，且在區間上沒有零點，求實數m的取值范圍．
4．（2022·四川自貢·高一期末）已知函數與.
(1)判斷的奇偶性；
(2)若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.
5．（2022·福建·高二期末）已知函數．
(1)討論函數的奇偶性，并說明理由；
(2)當時，求證：方程在上至多有一個零點．
6．（2022·江蘇·高一期中）已知函數
(1)若，求函數的零點個數；
(2)已知，，若方程在區間[1，2]內有且只有一個解，求實數的取值范圍．
7．（2022·上海虹口·高一期末）設函數，且．
(1)作出函數的大致圖像，并指出它的單調區間；
(2)當實數a變化時，討論關于x的方程的解的個數．
8．（2022·廣東韶關實驗中學高一期中）已知.
(1)若函數的圖象過點（1，1），求函數的解析式；
(2)若函數只有一個零點，求實數a的取值范圍.
9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有實數根，求實數a的取值范圍.
.
拓展二：函數與方程的綜合應用（精講）
目錄
重點題型一：根據零點求參數
重點題型二：求函數的零點（方程的根）的個數
重點題型三：求零點的和
重點題型四：函數與方程的綜合應用
重點題型一：根據零點求參數
典型例題
1．（2022·廣東深圳·高一期末）已知函數且在上無零點，在上有零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函數在上無零點，在上有零點，
即方程在上無實數根，在上有實數根，
即在上無實數根，在上有實數根，設，
函數在上單調遞增，且，
恒成立，若，則在時，，故不滿足條件.
由于與的圖象在上無交點，在上有交點，
根據函數的圖像可知，解得
故選：D.
2．（2022·天津和平·高一期末）已知函數有零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
函數有零點，
與有交點，
，
即，
故選：C
3．（2022·北京大興·高一期末）若函數恰有個零點，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為時至多有一個零點，單調函數至多一個零點，
而函數恰有個零點，
所以需滿足有1個零點，有1個零點，
所以，
解得，
故選：D
4．（2022·四川雅安·高一期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函數有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的根，從而函數的圖象和函數的圖象有兩個不同的交點，
由可知，當時，函數是周期為1的函數，
如圖，在同一直角坐標系中作出函數的圖象和函數的圖象，
數形結合可得，當即時，兩函數圖象有兩個不同的交點，
故函數有兩個不同的零點.
故選：A.
5．（2020·河南·模擬預測（理））已知函數，若函數有零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
若函數有零點，即有解，即，
問題轉化為函數的圖象與函數的圖象有公共點.畫出函數，即的大致圖象如圖所示.若函數有零點，結合圖象可知，當時，函數有零點，所以實數的取值范圍是.
故選:B.
6．（2021·廣西·上林縣中學高一期末）已知函數，若函數無零點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：令，
則的解為：，
由題意可知：無解，
又，
即，
又，
即，解得：．
故選：A.
7．（2020·重慶一中高三階段練習）若函數（其中，）存在零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為時，，所以，
若函數若有零點，則，解得，
故，又，
∴實數的取值范圍是．
故選：C.
8．（2020·陜西咸陽·高三階段練習（文））若方程在上有實根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
方程即，
由于，
∴，即的取值范圍為，
故選：C.
9．（2022·福建龍巖·高一期末）若函數 在 上存在零點，則實數的取值范圍是________．
【答案】
解：令，則有，
原命題等價于函數與在上有交點，
又因為在上單調遞減，且當時，，
在上單調遞增，
當時，作出兩函數的圖像，
則兩函數在上必有交點，滿足題意；
當時，如圖所示，只需，
解得，即，
綜上所述實數的取值范圍是.
故答案為：．
10．（2022·山西省長治市第二中學校高一期末）已知函數， 則使函數有零點的實數的取值范圍是____________
【答案】
令，現作出的圖象，如圖：
于是，當時，圖象有交點，即函數有零點.
故答案為：.
11．（2021·江西·奉新縣第一中學高一階段練習）若函數有唯一的零點，則實數_______
【答案】
解：因為，
所以
所以即函數圖象關于軸對稱，故函數的圖象與軸的交點也關于對稱，
又因為函數有唯一零點，
故根據函數的對稱性可知，只能交在，0），即（2），
所以．
故答案為：.
重點題型二：求函數的零點（方程的根）的個數
典型例題
1．（2022·全國·高一專題練習）函數的零點個數是______．
【答案】2
解：令，則，
作出函數的圖象，
由圖可知，函數的圖象有兩個交點，
故方程有兩個不同的根，
所以函數有2個零點.
故答案為：2.
2．（2021·全國·高一課時練習）函數的零點個數為______個．
【答案】1
解：因為在R上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞減，
又，，所以,
所以函數的零點個數為1個，
故答案為：1.
3．（2021·廣西河池·高一階段練習）方程的實根個數有___________個．
【答案】
由可得
畫出函數與函數的圖象如圖所示：
由圖可得兩函數圖象有一個交點，故方程有一個實根．
故答案為： .
4．（2020·安徽·立人中學高一期末（文））函數的零點個數為_____________；
【答案】
令，可得，則函數的零點個數等價于函數與的圖象的交點個數，
在同一直角坐標系中作出函數與的圖象，如下圖所示：
由圖象可知，函數與的圖象只有一個交點，
因此，函數的零點個數為.
故答案為：.
5．（2020·湖北武漢·高一期中）已知，則方程的不等實根一共有____________個.
【答案】4
由得，
函數的圖象如圖：
由圖可知，的圖象與直線一共有個交點，
所以方程的不等實根一共有個.
故答案為：4
6．（2021·寧夏·銀川市第六中學模擬預測（文））函數的零點個數為__________.
【答案】2
令，即
畫函數與函數的圖象，如下圖所示
由圖象可知，函數與函數有2個交點
所以函數有2個零點.
故答案為：2
重點題型三：求零點的和
典型例題
1．（2021·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一期中）已知函數．若存在正實數，使得方程有三個互不相等的實根，，，則的取值范圍是__________．
【答案】
由可看到，
令，
作出的函數圖象如圖所示：
有三個不相等的實數根，，，
直線與的圖象有三個交點，
設三個交點的橫坐標從小到大分別為，，，
由二次函數的對稱性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范圍是，
故答案為：．
2．（2022·新疆·烏市一中高一期末）已知函數的零點依次為a，b，c，則＝________
【答案】
因為函數與的圖象關于對稱，函數的圖象關于對稱，所以，又，所以.
故答案為：
3．（2022·江蘇·高一期末）已知函數，若存在，使得，則的取值范圍是___________.
【答案】
作出函數的圖象，
由圖知當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
令，
若存在，使得，由圖可得，
由即，所以，
因為函數的對稱軸為，所以，
所以，
故答案為：.
4．（2022·全國·高三專題練習）設函數關于的方程有四個實根，，，，則的最小值為___________.
【答案】
作出函數的大致圖象，如圖所示：
當時，對稱軸為，所以，
若關于的方程有四個實根，，，，
則，
由，
得或，則，
又因為，
所以，
所以，所以，
所以，且，
所以，
當且僅當，
即時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
5．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學高二期中）已知函數，則關于的方程的所有實數根的和為_______.
【答案】
，或.
方程的根可視為直線與函數圖象交點的橫坐標，
作出函數和直線的圖象如下圖：
由圖象可知，關于的方程的實數根為、.
由于函數的圖象關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱，
關于的方程存在四個實數根、、、如圖所示，
且，，，
因此，所求方程的實數根的和為.
故答案為：.
6．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，若互不相等的實數滿足，求的取值范圍.
【答案】
作出函數的圖象，如圖所示
不妨設，則關于直線對稱，故，
且滿足；
則的取值范圍為；
即．
所以的取值范圍為.
重點題型四：函數與方程的綜合應用
典型例題
1．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函數， ．
(1)試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；
(2)若函數在上只有一個零點，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)函數為上的偶函數；證明見解析
(2)或
(1)偶函數，證明如下：
證明：函數，定義域為，關于原點對稱，
所以函數為上的偶函數．
(2)解：因為函數在上只有一個零點，
所以關于x的方程有唯一的實數解，
即方程有唯一的實數解，
即有唯一的實數解，
化簡得，
令，
下面研究關于t的方程何時僅有一個正根.
①當時，，符合題意；
②當時，則，
當時，，當時，（舍）
當，即時，，方程有異號的兩個實根，符合題意；
綜上所述，實數a的取值范圍為或.
2．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知函數為偶函數.
(1)求實數的值；
(2)解關于的不等式；
(3)設，函數與圖象有2個公共點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)由函數表達式可知定義域為，
函數為偶函數
即：
，即.
(2)
，
任取，且，
則，，，
所以
所以，
所以在上遞增，
又因為為上的偶函數，
，
，即，解得，
所求不等式的解集為
(3)
在上有兩個不相等的實根
令，則
有兩個不相等的正實根
解得.
3．（2022·河北武強中學高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求常數k的值；
(2)當時，判斷的單調性，并用定義給出證明；
(3)若函數，且在區間上沒有零點，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)單調遞增，證明見解析；
(3).
(1)由，即，
所以，故，則，
當時，顯然不成立，經驗證：符合題意；
所以；
(2)單調遞增，證明如下：
由（1）知：，若，
則，
而，即，
所以，故單調遞增.
(3)由，令，
所以，由（2）知：在上遞增，而在上遞減，
所以在上遞減，則.
又在區間上無解，故
4．（2022·四川自貢·高一期末）已知函數與.
(1)判斷的奇偶性；
(2)若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)偶函數
(2)
(1)∵的定義域為R，
∴，∴為偶函數.
(2)函數只有一個零點
即
即方程有且只有一個實根.
令，則方程有且只有一個正根.
①當時，，不合題意；
②當時，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意
③若方程有一個正根和一個負根，則，即時，滿足題意.
∴實數a的取值范圍為.
5．（2022·福建·高二期末）已知函數．
(1)討論函數的奇偶性，并說明理由；
(2)當時，求證：方程在上至多有一個零點．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
(1)由，
當時，，此時為偶函數；
當時，，此時為奇函數；
當時，，此時為非奇非偶函數.
(2)由，令，則在上遞增，
所以，而，則，
由對勾函數的性質知：在上遞減，
而，故上遞減，
所以在上遞減，且值域為，
所以要使，
當時，方程僅有一個零點；
當時，方程無零點.
所以在上至多有一個零點，得證.
6．（2022·江蘇·高一期中）已知函數
(1)若，求函數的零點個數；
(2)已知，，若方程在區間[1，2]內有且只有一個解，求實數的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(1)當時，
當時，，則函數有一個零點；
當時，，則函數有兩個零點.
(2)等價于，
設r(x)＝ax2－4x＋5，，
則原命題等價于兩個函數r(x)與s(x)的圖象在區間[1，2]內有唯一交點，
當a＝0時，r(x)＝－4x＋5在區間[1，2]內為減函數，為增函數，
且r(1)＝1＞s(1)＝0，r(2)＝－3＜s(2)＝1，
所以函數r(x)與s(x)的圖象在區間[1，2]內有唯一交點，滿足題意.
當a＜0時，r(x)圖象為開口向下，對稱軸為x＝＜0的拋物線，
所以r(x)在區間[1，2]內為減函數，為增函數．
則由，可得，解得－1≤a≤1，
所以－1≤a＜0.
當0＜a≤1時，r(x)圖象為開口向上，對稱軸為x＝≥2的拋物線，
所以r(x)在區間[1，2]內為減函數，為增函數．
則由，可得，解得－1≤a≤1，
所以0＜a≤1.
綜上所述，實數a的取值范圍為[－1，1]
7．（2022·上海虹口·高一期末）設函數，且．
(1)作出函數的大致圖像，并指出它的單調區間；
(2)當實數a變化時，討論關于x的方程的解的個數．
【答案】(1)函數的圖像見解析，遞減區間為，，遞增區間是，；
(2)關于x的方程的解的個數見解析.
(1)函數的圖象可視為函數的圖象向下平移1個單位而得，而函數的圖象是
二次函數的圖象在x軸上方的不動，把x軸下方圖象沿x軸向上翻折而得，
的大致圖像，如圖：
觀察函數的圖象得：函數的遞減區間為，，遞增區間是，.
(2)依題意，關于x的方程的解就是直線與函數的圖像交點的橫坐標，如圖，
當時，直線與函數的圖像無公共點，即方程的解的個數為0，
當或時，直線與函數的圖像有2個公共點，即方程的解的個數為2，
當時，直線與函數的圖像有4個公共點，即方程的解的個數為4，
當時，直線與函數的圖像有3個公共點，即方程的解的個數為3，
綜上得：當時，方程的解的個數為0，當或時，方程的解的個數為2，
當時，方程的解的個數為3，當時，方程的解的個數為4.
8．（2022·廣東韶關實驗中學高一期中）已知.
(1)若函數的圖象過點（1，1），求函數的解析式；
(2)若函數只有一個零點，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
(1)∵函數的圖象過點（1，1），
∴，解得
此時
(2)
∵函數只有一個零點，
只有一解，
將代入，得，
∴關于x的方程只有一個正根
⑴當時，
⑵當時:
①若有兩個相等的實數根，
由，解得，此時，滿足題意；
②若方程有兩個相異實數根，即一正一負，則兩根之和與積為一，所以，此時方程有一個正根，滿足題意
綜上：或
9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有實數根，求實數a的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
解：（1）設，因為，所以；
且，所以，
所以，；
（2）設，，，
所以當時函數有最小值，而，，
所以，所以，所以.拓展二：三角函數圖象、最值、根的問題（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求在區間上的最值
重點題型二：已知最值，求參數
重點題型三：三角函數中的恒（能）成立問題
重點題型四：已知函數零點（根）的個數，求參數
重點題型五：求函數零點（根）的代數和問題
第二部分：高考（模擬）題體驗
重點題型一：求在區間上的最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）若，則函數的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）設函數，，則函數的最小值是______．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期為，點是圖象上一個最高點，將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，則在區間上的值域為（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習（理））已知函數.
(1)寫出函數在上的單調遞減區間；
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到的圖象，求在區間上的最值.
例題5．（2022·廣西南寧·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數 在上的最大值為，最小值為，則的取值范圍是_______.
2．（2022·北京延慶·高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區間和圖像的對稱中心；
(2)當時，求的值域；
(3)求不等式的解集.
3．（2022·陜西省商洛中學高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數，求的單調遞增區間及在上的值域．
4．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小值為___________，此時x的值為___________.
5．（2022·全國·高一單元測試）已知函數．
(1)用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖像，并寫出圖像的對稱中心；
(2)先將函數的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．
重點題型二：已知最值，求參數
典型例題
例題1．（2022·河南·新鄉市第一中學高一階段練習）已知函數，的值域為，則的取值范圍是___________.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）若函數在上的值域為，則的取值范圍為__．
例題3．（2022·北京·清華附中高一期末）已知函數
(1)求的最小正周期和圖象的對稱軸方程：
(2)若在區間上的值域為，求實數的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，，且在區間內有最小值無最大值，則（ ）
A． B．2 C． D．8
2．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求函數的解析式；
(2)若在區間上的值域為，求的取值范圍．
重點題型三：三角函數中的恒（能）成立問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數在上恒有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·湖北武漢·高一期末）已知函數，周期，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，且函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱．
(1)求函數的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求實數的取值范圍；
(3)若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
例題4．（2022·江西·橫峰中學高一期末）已知函數的圖象關于直線對稱，且圖像相鄰的對稱軸之間的距離為.
(1)求函數的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
例題5．（2022·江西贛州·高一期末）已知函數．
(1)若，求函數在的值域；
(2)若函數，且對任意的，都存在使得不等式成立，求實數的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·江西·豐城九中高一期末）若關于x的不等式在上恒成立，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高二期末（文））若奇函數在其定義域上是單調減函數，且對任意的，不等式恒成立，則取值范圍是_________.
3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）設函數，若對任意的實數x，恒成立，則取最小值時，___．
4．（2022·遼寧·沈陽市第一中學高一階段練習）已知函數，若將函數的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到函數的圖象．
(1)求函數的解析式和值域并求取得最值時x的集合．
(2)對恒成立，求m的取值范圍．
重點題型四：已知函數零點（根）的個數，求參數
典型例題
例題1．（2022·云南省下關第一中學高三開學考試）設函數有個不同零點，則正實數的范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·云南昭通·高二期末）已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區間上有10個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·海南·高二期末）已知函數的圖象經過點，若在區間上至多有1個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·江西上饒·高一階段練習）已知關于的方程有實數解，則實數的取值范圍為______．
例題5．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數是偶函數.
(1)求的值；
(2)將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，最后向上平移1個單位長度后，得到的圖象，若關于的方程在有兩個不同的根，求實數的取值范圍.
例題6．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知.
(1)證明：；
(2)當時，討論函數的單調性；
(3)若，證明：函數在上有且僅有兩個零點.
例題7．（2022·湖北恩施·高一期末）已知函數.
(1)求的單調遞增區間：
(2)若函數在上的零點個數為2，求的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）是定義在R上的偶函數，且，時，，則函數在區間上零點的個數為（ ）
A．2021 B．4043 C．2020 D．4044
2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數在內有且僅有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·德陽五中高一階段練習（理））函數有（ ）個不同的零點
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第一中學高一階段練習）函數，對于任意的，方程僅有一個實數根，則m的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江金華第一中學高一階段練習）要使有意義，則實數m的取值范圍為____________．
6．（2022·四川廣安·模擬預測（理））已知函數（）在區間上單調遞增，且函數在上有且僅有一個零點，則實數的取值范圍是_______.
7．（2022·北京·高一期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的單調遞增區間；
(3)若函數在區間內有兩個不同的零點，直接寫出實數的取值范圍.
8．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
(1)求函數的單調區間和對稱中心．
(2)若關于的方程在上有實數解，求實數的取值范圍．
9．（2022·河南安陽·高一期末）已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)若關于x的方程在區間上恰有三個不同的實根，求實數m的取值范圍．
10．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知函數，且的最小正周期為，將的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數，其中為的一條對稱軸．
(1)求函數與的解析式；
(2)若方程在區間有解，求實數t的取值范圍．
重點題型五：求函數零點（根）的代數和問題
典型例題
例題1．（2022·云南紅河·高一期末）已知函數．
(1)求的最小正周期；
(2)若方程的解為，求的值．
同類題型演練
1．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數，．
(1)求的最小正周期和單調遞增區間；
(2)求方程在內的所有實數根之和．
1．（2021·天津·高考真題）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高考真題（理））記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
3．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知函數，且方程在內有實數根，則實數a的取值范圍是___________．
4．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）函數的最大值為______．
5．（2022·上海交大附中模擬預測）已知函數，其中
(1)若且直線是的一條對稱軸，求的遞減區間和周期；
(2)若，求函數在上的最小值；
拓展二：三角函數圖象、最值、根的問題（精講）
目錄
第一部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求在區間上的最值
重點題型二：已知最值，求參數
重點題型三：三角函數中的恒（能）成立問題
重點題型四：已知函數零點（根）的個數，求參數
重點題型五：求函數零點（根）的代數和問題
第二部分：高考（模擬）題體驗
重點題型一：求在區間上的最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）若，則函數的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
當時，，，
當時，；當時，；
.
故選：C.
例題2．（2022·全國·高一課時練習）設函數，，則函數的最小值是______．
【答案】0
【詳解】∵為偶函數，
∴只需求函數在上的最小值，
此時，
令，
則，函數的對稱軸為，
∴當時，.
故答案為：0.
例題3．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期為，點是圖象上一個最高點，將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，則在區間上的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，，
因為點是圖象上一個最高點，所以A＝2，，又，所以，
所以，，
當時，，
因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
又，，，所以在區間上的值域為．
故選：A．
例題4．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習（理））已知函數.
(1)寫出函數在上的單調遞減區間；
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到的圖象，求在區間上的最值.
【答案】(1)
(2)，
（1）令，
解得，
故在上的單調遞減區間為.
（2）將圖象上所有的點向右平移個單位長度，縱坐標不變，
所得函數的解析式為，
再將所得函數的圖象橫坐標變為原來的倍，則，
因為，則，
故當即時，；
故當即時，；
例題5．（2022·廣西南寧·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
(1)由圖可知，
由，得，得．
因為，所以，
得，
又，所以，
故．
(2)因為，所以,
由于在上遞增，在上遞減，
故，，，
所以在上的值域為．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數 在上的最大值為，最小值為，則的取值范圍是_______.
【答案】
【詳解】函數的周期為，且對稱軸為，對稱中心，，
的圖象大致如圖所示；
區間正好是的個周期，根據的對稱性可知：在半個周期內討論就行，
設的中點為，
由圖可知，
當點落在對稱軸上，即時，,此時,故當時，最大值，當時，最小值，此時的值為；
當點落在對稱中心上，即時，，此時,故當時，最大值，當時，最小值，此時的值為；
的取值范圍是．
故答案為：
2．（2022·北京延慶·高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區間和圖像的對稱中心；
(2)當時，求的值域；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)函數的單調遞增區間為，函數圖像的對稱中心為；(2)；(3).
(1)∵，
由，可得，
由，可得，
∴函數的單調遞增區間為，函數圖像的對稱中心為；
(2)當時，，
∴，
即函數的值域為；
(3)由，可得，
∴，即，
∴不等式的解集為.
3．（2022·陜西省商洛中學高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數，求的單調遞增區間及在上的值域．
【答案】(1)
(2)遞增區間為，值域為
(1)由圖可知．
的最小正周期記為，則于，得．
因為，所以．
由，得．
即．
因為，所以，
所以．
(2)由（1）可知，
由，
得，
則的單調遞增區間為．
由，得，
則，
故在上的值域為．
4．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小值為___________，此時x的值為___________.
【答案】 ##
【詳解】由題意得
，
∵，
∴，
∴，
當時，有最小值，
此時，解得，
故答案為：；
5．（2022·全國·高一單元測試）已知函數．
(1)用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖像，并寫出圖像的對稱中心；
(2)先將函數的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．
【答案】(1)作圖見解析；對稱中心為(2)
（1）列表：
0
1 2 0 0 1
描點，連線，畫出在上的大致圖像如圖：
由圖可知函數圖像的對稱中心為；
（2）將函數的圖像向右平移個單位長度后，
得到的圖像，
再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，
所以，，
當時，，
函數單調遞增，而，，
所以函數在上的值域為．
重點題型二：已知最值，求參數
典型例題
例題1．（2022·河南·新鄉市第一中學高一階段練習）已知函數，的值域為，則的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】由已知，函數，，
所以，又因為函數的值域為，
所以，解得.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）若函數在上的值域為，則的取值范圍為__．
【答案】
【詳解】由題意得，
因為，所以，
令，解得；令，解得，
所以當時，函數值是，
當時，函數值是，
當時，函數值是；
因為函數在上單調遞增，在上單調遞減，且值域為，
所以的取值范圍．
故答案為：
例題3．（2022·北京·清華附中高一期末）已知函數
(1)求的最小正周期和圖象的對稱軸方程：
(2)若在區間上的值域為，求實數的取值范圍.
【答案】(1)最小正周期為；對稱軸方程為.
(2)
(1)解：
，
故函數的最小正周期為：，
對稱軸方程為：，即.
(2)因為，，
所以要使得值域為，則只需要，
解得
所以的取值范圍為.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，，且在區間內有最小值無最大值，則（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【詳解】解：，
易知當時，函數在區間上取得最小值，
所以，，所以，，
又，所以，所以．
故選：C．
2．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求函數的解析式；
(2)若在區間上的值域為，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
(1)由函數圖象，可得，，∴，∵，可得，∴，
又∵圖象過點，∴，即，∴，，解得，，
又∵，∴，故函數解析式；
(2)由（1）知，∵，則，又∵的值域為，
∴，且，故，即；
重點題型三：三角函數中的恒（能）成立問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數在上恒有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為函數，在上均是單調遞增的，所以函數在上單調遞增，于是有，所以.
故選：D
例題2．（2022·湖北武漢·高一期末）已知函數，周期，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，其中，
處取得最大值，
，即，，
，①，，
， ，
，②，
①②得，
，
即，解得，或，
若，則，
，
，，
，，
，這與矛盾，故應舍去.
當時，則，
，
，，
，，
，
又.
使得不等式恒成立,即使得不等式恒成立
要使最小，則，此時最小為，
所以
所以實數的最小值為.
故選：C
例題3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，且函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱．
(1)求函數的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求實數的取值范圍；
(3)若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）因函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則，
所以．
（2）由（1）知，，當時，，則，
令，則．存在，使成立，
即存在，使成立，則存在，成立，
而函數在上遞減，在上遞增，
當時，，當或2時，
所以實數m的取值范圍為．
（3）由（1）知，不等式，
當時，，，
若，因，即恒成立，則，
若，因在上單調遞增，則當時，取得最小值，
原不等式恒成立可轉化為恒成立，即，因此，
若，當時，取得最小值，
原不等式恒成立可轉化為恒成立，即，因此，
所以a的取值范圍是．
例題4．（2022·江西·橫峰中學高一期末）已知函數的圖象關于直線對稱，且圖像相鄰的對稱軸之間的距離為.
(1)求函數的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)，因為圖像相鄰的對稱軸之間的距離為，故周期，故，又關于直線對稱，故，即，
(2)，故，即對恒成立
也即對恒成立
設，
又
當時，有最大值6，
，解得，故實數的取值范圍為.
例題5．（2022·江西贛州·高一期末）已知函數．
(1)若，求函數在的值域；
(2)若函數，且對任意的，都存在使得不等式成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因為，所以
因為，令
而在上單調遞增 ，
所以，即
所以在的值域為
(2)解：二次函數的對稱軸為，開口向下，
所以在，
，
對任意的，都存在使得不等式成立，
即，因為，令，
所以在上有解，
即在上有解
因為，所以，令，，
所以，設，，
函數在上為增函數，在為減函數，
又，所以
綜上可得
同類題型演練
1．（2022·江西·豐城九中高一期末）若關于x的不等式在上恒成立，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】不等式可轉化為，
即在上恒成立，當時，，則，則.
故選：D.
2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高二期末（文））若奇函數在其定義域上是單調減函數，且對任意的，不等式恒成立，則取值范圍是_________.
【答案】
【詳解】因奇函數在上單調遞減，則，
，令，
而，因此當時，，即有，
所以取值范圍是.
故答案為：
3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）設函數，若對任意的實數x，恒成立，則取最小值時，___．
【答案】
【詳解】解：因為，所以，
即，得，
則，可得的最小值為5，
此時，
則．
故答案為：.
4．（2022·遼寧·沈陽市第一中學高一階段練習）已知函數，若將函數的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到函數的圖象．
(1)求函數的解析式和值域并求取得最值時x的集合．
(2)對恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(1)解：將函數的圖象向左平移個單位長度，得到，
再向上平移個單位長度得到函數，
因為，所以，所以，
當，即，解得，
即時取最大值，；
當，即，解得，
即時取最小值，；
故函數的解析式為，值域為，
，此時； ，此時．
(2)解：由（1）可得，
，
所以對恒成立，
即對恒成立，
即對恒成立，
因為，所以，所以，
所以對恒成立，
令則，
則問題轉化為對恒成立，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，又，，
所以在上的最大值為，
所以，即.
重點題型四：已知函數零點（根）的個數，求參數
典型例題
例題1．（2022·云南省下關第一中學高三開學考試）設函數有個不同零點，則正實數的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，解得，即在上僅有一個零點，所以只需在上有個不同零點即可．
當時，，所以，即
故選：A
例題2．（2022·云南昭通·高二期末）已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區間上有10個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由得，
又是奇函數，所以，即是周期函數，周期為2，
也是周期函數，且最小正周期是，
由奇偶性和周期性作出函數的圖象，再作出的圖象，如圖，
函數的零點個數即為函數的圖象與函數的圖象交點個數，
是R上的奇函數，所以，從而，，
易知它們在上有4個交點，從而在上也有4個交點，而時，點是一個交點，所以，
在上，，，即是上交點，從而在上交點上交點為，由周期性在上兩函數圖象交點為，
所以．
綜上，．
故選：A．
例題3．（2022·海南·高二期末）已知函數的圖象經過點，若在區間上至多有1個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題可知．因為，所以．所以．令，則，，所以，．當，2時，的零點為，．由于在區間上至多有1個零點，所以．所以a的取值范圍是．
故選：C
例題4．（2022·江西上饒·高一階段練習）已知關于的方程有實數解，則實數的取值范圍為______．
【答案】
【詳解】解：令，則，
所以，又，所以，
因為關于的方程有實數解，
所以，
所以的取值范圍為，
故答案為：．
例題5．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數是偶函數.
(1)求的值；
(2)將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，最后向上平移1個單位長度后，得到的圖象，若關于的方程在有兩個不同的根，求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)
（1）是偶函數，，，，．
（2）由（1）知，，由題意，，，，即.有兩個不同的根，與的圖象在上有兩個交點，畫出在上的圖象，如圖所示：由圖可知，，解得，的取值范圍是.
例題6．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知.
(1)證明：；
(2)當時，討論函數的單調性；
(3)若，證明：函數在上有且僅有兩個零點.
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
(3)證明見解析
(1).
(2)當時，，
當或，即或時，單調遞減；
當，即時，單調遞增；
綜上所述：在和上單調遞減；在上單調遞增.
(3)在的零點個數等價于與的圖象在上的交點個數；
，，，，
大致圖象如下圖所示，
當時，由圖象可知：與有有且僅有兩個不同的交點，
函數在上有且僅有兩個零點.
例題7．（2022·湖北恩施·高一期末）已知函數.
(1)求的單調遞增區間：
(2)若函數在上的零點個數為2，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1).
令
解得
故的單調遞增區間為
(2)在上的零點個數等于函數的圖象與直線的交點個數.因為，所以，當時，，故h(x)在上單調遞增，在[，]上單調遞減.
因為，
所以即m的取值范圍為
同類題型演練
1．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）是定義在R上的偶函數，且，時，，則函數在區間上零點的個數為（ ）
A．2021 B．4043 C．2020 D．4044
【答案】B
【詳解】解：，
，即函數的周期為2，
當時，，
則當時，，
由此可作出函數與函數的大致圖象如下，
由圖象可知，每個周期內有兩個交點，所以函數在區間上零點的個數為個．
故選：B．
2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）已知函數在內有且僅有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
因為當時，，
又因為在上有且僅有3個零點，所以，
綜上：，
故選：A
3．（2022·四川·德陽五中高一階段練習（理））函數有（ ）個不同的零點
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】易知在上單調遞增，，即函數在上只有一個零點；
當時，，由得出，即，，，解得，即在上有4個零點.
綜上，有5個零點.
故選：C
4．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第一中學高一階段練習）函數，對于任意的，方程僅有一個實數根，則m的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】由可得：.
因為，所以.
因為，所以.
因為對于任意的，方程僅有一個實數根，
所以，解得：.
對照四個選項，只有A、C在.
故選：AC
5．（2022·浙江金華第一中學高一階段練習）要使有意義，則實數m的取值范圍為____________．
【答案】
【詳解】因，因此，解得，
所以實數m的取值范圍為.
故答案為：
6．（2022·四川廣安·模擬預測（理））已知函數（）在區間上單調遞增，且函數在上有且僅有一個零點，則實數的取值范圍是_______.
【答案】
【詳解】由題及得（）在單調遞增，
又函數（）在區間上單調遞增，
所以，，得 .
在上有且僅有一個零點，可得，
所以，，
所以，.
故答案為：.
7．（2022·北京·高一期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的單調遞增區間；
(3)若函數在區間內有兩個不同的零點，直接寫出實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
（1）由得，故最小正周期為,
（2）由，解得，故的單調遞增區間為
（3）令，則，故問題轉化為在區間內有兩個不同的根，令，且，則問題等價于在有兩個根，由的圖象可知：當時，有兩個根.故
8．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
(1)求函數的單調區間和對稱中心．
(2)若關于的方程在上有實數解，求實數的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析(2)
(1)函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
周期，即，那么，可得．
，
令，，解得，，
可得函數的單調遞增區間，，
令，，解得，，
∴可得函數的單調遞減區間，
令，解得，可得對稱中心為；
(2)方程在上有實數解，即在上有實數解，
令，上，，
則在上有解，，
易得在上單調遞增，且時，，所以，
所以范圍為.
9．（2022·河南安陽·高一期末）已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)若關于x的方程在區間上恰有三個不同的實根，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)．
，，
因此可得：，
故的值域為．
(2)，，
或，故或．
，，
只有1個實根，有2個不同的實根，
結合正弦函數圖象可知，解得，故實數m的取值范圍是．
10．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知函數，且的最小正周期為，將的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數，其中為的一條對稱軸．
(1)求函數與的解析式；
(2)若方程在區間有解，求實數t的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
(1)由條件則
且的最小正周期為，則
即，將的圖像沿軸方向向左平移個單位，
得到函數
且為的一條對稱軸，即
由可得
從而可得
．
(2)由（1）可知
記
即，
再記，
，
代入中，則的值域求解問題等價于
，的值域，
當時，；當時，
因此的值域為，也即為
原命題“若方程在區間有解”
即等價于在內有解
只需即可，解得即為所求．
重點題型五：求函數零點（根）的代數和問題
典型例題
例題1．（2022·云南紅河·高一期末）已知函數．
(1)求的最小正周期；
(2)若方程的解為，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)
∴的最小正周期為.
(2)，則， ，
則與的交點的橫坐標為
如圖：
不妨設
由對稱關系得：解得,
解得 ，
同類題型演練
1．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數，．
(1)求的最小正周期和單調遞增區間；
(2)求方程在內的所有實數根之和．
【答案】(1)最小正周期為，增區間為
(2)
(1)解：
，
所以，函數的最小正周期為，
由得，
所以，函數的單調遞增區間為.
(2)解：當時，，令，
作出函數與函數在上的圖象如下圖所示：
可知函數與函數在上的圖象有個交點，
設這四個交點的橫坐標由小到大依次為、、、，設，
故方程在內有四個不等的實根、、、，
由圖可知，點、關于直線對稱，點、關于直線對稱，
所以，，
解得.
1．（2021·天津·高考真題）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，
由可得，
由可得，
（1）時，當時，有4個零點，即；
當，有5個零點，即；
當，有6個零點，即；
（2）當時，，
，
當時，，無零點；
當時，，有1個零點；
當時，令，則，此時有2個零點；
所以若時，有1個零點.
綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
2．（2022·全國·高考真題（理））記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
【答案】
【詳解】解： 因為，（，）
所以最小正周期，因為，
又，所以，即，
又為的零點，所以，解得，
因為，所以當時；
故答案為：
3．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知函數，且方程在內有實數根，則實數a的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】，
方程在內有實數根，即在內有實數根，
，，得，即a的取值范圍是，
故答案為：
4．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）函數的最大值為______．
【答案】13
【詳解】
，
令，
所以可得
所以由正弦函數的性質可知的最大值為.
故答案為:
5．（2022·上海交大附中模擬預測）已知函數，其中
(1)若且直線是的一條對稱軸，求的遞減區間和周期；
(2)若，求函數在上的最小值；
【答案】(1)；(2)
(1)可知，
因為直線是圖象的一條對稱軸，故，
解得，而，故，則，
則周期，
再令，則，
故的遞減區間為.
(2)可知
因為，故，
則在即取最小值，其最小值為.

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