資源簡介

專題1.1 集合初步
一、考情分析
二、考點梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三個特征：
①．確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．
②．互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
③．無序性：即集合中的元素無順序,可以任意排列、調換。
⑵.元素與集合的關系有且只有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．
(4).常見的數集及其表示符號
名稱 自然數集(非負整數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
表示符號 N 或 Z Q R
集合間的基本關系
關系 自然語言 符號語言 Venn圖
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集 A＝B
【名師提醒】
子集與真子集的區別與聯系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
集合之間的基本運算
如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的補集
圖形
符號 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
【名師提醒】
1．若有限集A中有n個元素,則集合A的子集個數為2n,真子集的個數為2n－1，非空真子集個.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B .
3．奇數集：.
4. 德 摩根定律：
①并集的補集等于補集的交集，即；
②交集的補集等于補集的并集，即．
【名師點睛】
1.判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.
2. 集合中的元素具有三個特性，求解與集合有關的字母參數值(范圍)時，需借助集合中元素的互異性來檢驗所求參數是否符合要求．
3．解答含有字母的元素與集合之間關系的問題時，要有分類討論的意識．
4.利用集合的關系求參數的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．
5.求集合并集的兩種基本方法：
（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；
（2）數形結合法：若集合是用描述法表示的由實數組成的數集，則可以借助數軸求解.
6.求集合交集的方法為：
（1）定義法，
（2）數形結合法．
（3）若A，B是無限連續的數集，多利用數軸來求解．但要注意，利用數軸表示不等式時，含有端點的值用實點表示，不含有端點的值用空心點表示．
三、題型突破
考點1 集合的概念及其表示
歸納總結：與集合中的元素有關問題的求解策略
(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數軸）數集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．
(2)看這些元素滿足什么限制條件．
(3)根據限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．
例1.（1）.（集合的確定性）（2023·上海市奉賢區曙光中學高一月考）下列語言敘述中，能表示集合的是（ ）
A．數軸上離原點距離很近的所有點；
B．太陽系內的所有行星
C．某高一年級全體視力差的學生；
D．與大小相仿的所有三角形
（2）．（集合的互異性）在集合，，中，的值可以是　　
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【變式訓練1-1】．（集合的確定性）下列四組對象中能構成集合的是（　　）
A．宜春市第一中學高一學習好的學生
B．在數軸上與原點非常近的點
C．很小的實數
D．倒數等于本身的數
【變式訓練1-2】．（集合的確定性）（2023·上海市嘉定區第一中學高一期中）當一個非空數集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數域，以下四個數域的命題；
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則;
③集合是一個數域
④有理數集是一個數域
其中假命題的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【變式訓練1-3】（集合的互異性）若，，，則　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
考點2 元素與集合的關系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
(3)常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
歸納總結：
(1)判斷集合間的關系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關系時，要盡量精確．
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系(要注意區間端點的取舍)，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
例2．（1）（元素與集合的關系）（2023·上海市奉賢中學高一月考）若，則構成集合中的的取值范圍是___________.
（2）、（元素個數問題）集合，的元素個數為　　
A．4 B．5 C．10 D．12
【變式訓練2-1】、（元素與集合的關系）（2023·嘉定區·上海大學附屬南翔高級中學高一月考）已知非空集合M同時滿足①；②若，則，則非空集合M的個數為_______.
【變式訓練2-2】、（2023·上海）已知非零實數，則代數式表示的所有的值的集合是（ ）
A． B． C． D．
例3.（單元素集合）（2023·全國高一課時練習）設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）證明:若a∈A，則.
【變式訓練3-1】、（二次函數與集合）設集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）當A中元素個數為1時，求：a和A；
（2）當A中元素個數至少為1時，求：a的取值范圍；
（3）求：A中各元素之和．
考點3 集合間的基本關系
1.集合A中含有n個元素，則有
(1)A的子集的個數有2n個．(2)A的非空子集的個數有2n－1個．
(3)A的真子集的個數有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數有2n－2個．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含參數的問題時，要注意討論A＝ 和A≠ 兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．
例4．（1）.（2023·全國高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,則實數m的取值范圍是______.
（2）.（空集）（2023·上海高一單元測試）已知集合，，若，則實數的取值集合為_______.
（3）．（2023·上海市控江中學高一月考）滿足的集合的個數為______.
【變式訓練4-1】．（2022·浙江省溫州中學高一月考）（子集與真子集個數問題）已知集合，若，則______；的子集有______個.
【變式訓練4-2】．（空集）若集合，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
【變式訓練4-3】．（空集是任何非空集合的子集）（多選題）已知集合，若，則實數的取值可能為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
考點4 集合的基本運算
1.由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性質
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
3.對于兩個給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性質
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA。符號語言： UA＝{x|x∈U，且x A}。
歸納總結：
集合基本運算的求解規律
(1)離散型數集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解．
(2)集合中的元素若是連續的實數，常借助數軸求解，但是要注意端點值能否取到的情況．
(3)根據集合運算求參數，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應用數形結合求解．
例5．（1）（并集）（2023·長寧區·上海市延安中學高一月考）設集合，，若，則實數___________.
（2）．（交集）（2023·上海高一專題練習）已知集合，集合，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（韋恩圖的應用）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，則圖中陰影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
例6．（2023·上海市新場中學高一月考）已知集合，集合
（1）求集合；
（2）若集合，求實數的值；
（3）若，求實數的取值范圍．
【變式訓練6-1】．（2023·上海市南洋模范中學高一期中）已知集合，，.
（1）若，求實數a的值；
（2）若，求實數m的取值范圍.
例7．（2023·全國高一專題練習）已知集合，或.
（1）當時，求，；
（2）若，求實數的取值范圍.
【變式訓練7-1】．（2023·全國高一單元測試）設全集為，，.
（1）求；
（2）求.
四、課堂訓練（45分鐘）
1．（2023·上海市金山中學高一月考）已知集合，若，則實數=____
2．（2023·上海高一單元測試）用列舉法表示集合＝________．
3．（2023·上海市控江中學高一月考）以下幾個關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海高三專題練習）設集合，，則（ ）
A． A B．A C． D．
5．（2023·上海高一專題練習）下列命題中正確的（ ）
①0與{0}表示同一個集合；
②由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上語句都不對
6．（2023·上海長寧·高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，給出下列四個命題：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在且；④存在且；
這四個命題中，真命題的個數為（ ）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2022·上海市晉元高級中學）已知全集，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·嘉定區·上海大學附屬南翔高級中學高一月考）已知集合
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數的值，并寫出相應的集合；
（3）若A中至少有兩個元素，求實數的取值范圍.
9．（2023·上海市大同中學）已知集合，，，
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
專題1.1 集合初步
一、考情分析
二、考點梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三個特征：
①．確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．
②．互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
③．無序性：即集合中的元素無順序,可以任意排列、調換。
⑵.元素與集合的關系有且只有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．
(4).常見的數集及其表示符號
名稱 自然數集(非負整數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
表示符號 N 或 Z Q R
集合間的基本關系
關系 自然語言 符號語言 Venn圖
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集 A＝B
【名師提醒】
子集與真子集的區別與聯系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
集合之間的基本運算
如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的補集
圖形
符號 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
【名師提醒】
1．若有限集A中有n個元素,則集合A的子集個數為2n,真子集的個數為2n－1，非空真子集個.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B .
3．奇數集：.
4. 德 摩根定律：
①并集的補集等于補集的交集，即；
②交集的補集等于補集的并集，即．
【名師點睛】
1.判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.
2. 集合中的元素具有三個特性，求解與集合有關的字母參數值(范圍)時，需借助集合中元素的互異性來檢驗所求參數是否符合要求．
3．解答含有字母的元素與集合之間關系的問題時，要有分類討論的意識．
4.利用集合的關系求參數的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．
5.求集合并集的兩種基本方法：
（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；
（2）數形結合法：若集合是用描述法表示的由實數組成的數集，則可以借助數軸求解.
6.求集合交集的方法為：
（1）定義法，
（2）數形結合法．
（3）若A，B是無限連續的數集，多利用數軸來求解．但要注意，利用數軸表示不等式時，含有端點的值用實點表示，不含有端點的值用空心點表示．
三、題型突破
考點1 集合的概念及其表示
歸納總結：與集合中的元素有關問題的求解策略
(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數軸）數集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．
(2)看這些元素滿足什么限制條件．
(3)根據限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．
例1.（1）.（集合的確定性）（2023·上海市奉賢區曙光中學高一月考）下列語言敘述中，能表示集合的是（ ）
A．數軸上離原點距離很近的所有點；
B．太陽系內的所有行星
C．某高一年級全體視力差的學生；
D．與大小相仿的所有三角形
【答案】B
【分析】
根據集合的確定性逐個判斷即可
【詳解】
對A，數軸上離原點距離很近的所有點不滿足確定性，故A錯誤；
對B，太陽系內的所有行星滿足集合的性質，故B正確；
對C，某高一年級全體視力差的學生不滿足確定性，故C錯誤；
對D，與大小相仿的所有三角形不滿足確定性，故D錯誤
故選：B
【點睛】
本題主要考查了集合的確定性，屬于基礎題
（2）．（集合的互異性）在集合，，中，的值可以是　　
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】當a＝0時，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，
當a＝1時，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，當a＝2時，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，
由集合中元素的互異性知：選A．
【變式訓練1-1】．（集合的確定性）下列四組對象中能構成集合的是（　　）
A．宜春市第一中學高一學習好的學生
B．在數軸上與原點非常近的點
C．很小的實數
D．倒數等于本身的數
【答案】D
【分析】
根據集合的含義分別分析四個選項，A，B，C都不滿足函數的確定性故排除，D確定，滿足．
【詳解】
解：A：宜春市第一中學高一學習好的學生，因為學習好的學生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯誤；
B：在數軸上與原點非常近的點，因為非常近的點不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯誤；
C：很小的實數，因為很小的實數不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯誤；
D：倒數等于它自身的實數為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．
故選：D．
【變式訓練1-2】．（集合的確定性）（2023·上海市嘉定區第一中學高一期中）當一個非空數集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數域，以下四個數域的命題；
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則;
③集合是一個數域
④有理數集是一個數域
其中假命題的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】
對于①，根據新定義，，，當時，，取，可判斷出①，對于②，若數域中有非零元素，可以取實數域，可取，，可判斷出②，對于③，由的元素知，是3的倍數，取，時可判斷出③，對于④，若是有理數，則當，，則，，，且當時，都成立，判斷出④.
【詳解】
解：對于①，根據新定義，，，當時，，對于，可得，故正確，
對于②，若數域中有非零元素，可以取實數域，可取，，可得，故正確，
對于③，由的元素知，是3的倍數，當，時，，故錯誤，
對于④，若是有理數，則當，，則，，，且當時，都成立，故正確，
故假命題為③．
故選：C．
【變式訓練1-3】（集合的互異性）若，，，則　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
【答案】B
【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，則a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，
a＝1時，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；
②若a2+1＝﹣1，則a2＝﹣2，a無實數解；由①②知：a＝0．故選：B．
考點2 元素與集合的關系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
(3)常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
歸納總結：
(1)判斷集合間的關系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關系時，要盡量精確．
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系(要注意區間端點的取舍)，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
例2．（1）（元素與集合的關系）（2023·上海市奉賢中學高一月考）若，則構成集合中的的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】
根據集合互異性，即可得答案.
【詳解】
根據集合的互異性可得，
所以，即的取值范圍是
故答案為：
（2）、（元素個數問題）集合，的元素個數為　　
A．4 B．5 C．10 D．12
【思路分析】根據題意，集合中的元素滿足x是整數，且是整數．由此列出x與y對應值，即可得到題中集合元素的個數．
【解析】由題意，集合{x∈Z|y∈Z}中的元素滿足x是整數，且y是整數，由此可得
x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；
此時y的值分別為：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，
符合條件的x共有12個，故選：D．
【變式訓練2-1】、（元素與集合的關系）（2023·嘉定區·上海大學附屬南翔高級中學高一月考）已知非空集合M同時滿足①；②若，則，則非空集合M的個數為_______.
【答案】15
【分析】
由集合的元素所滿足的兩個性質，找到集合集合M的元素，從而確定集合M的個數即可
【詳解】
因為非空集合M同時滿足:
；②若，則；
所以將數分組成：； ；；；
所以集合中，若有，則成對出現； 若有，則成對出現；
若有，則成對出現；若有，則成對出現；
因為4組數任選1組有4種，任選2組有6種，任選3組有4種，4組都選有1種，
所以滿足題意得集合有個，
故答案為：15
【變式訓練2-2】、（2023·上海）已知非零實數，則代數式表示的所有的值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據絕對值的定義分類討論，按中正負數分類．
【詳解】
當時，，當時，，
因此，若都為正數，則；
若兩正一負，則；
若一正兩負，則；
若都為負數，則.
所以代數式表示的所有的值的集合是.
故選：D．
【點睛】
本題考查絕對值的定義，對于含多個絕對值的式子，根據絕對值的定義分類討論去絕對值符號后可得結論．
例3.（單元素集合）（2023·全國高一課時練習）設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）證明:若a∈A，則.
【答案】（1）;（2）證明見解析.
【分析】
根據題意求依次求解即可.
【詳解】
(1)因為3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因為a∈A，
所以，
所以.
【變式訓練3-1】、（二次函數與集合）設集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）當A中元素個數為1時，求：a和A；
（2）當A中元素個數至少為1時，求：a的取值范圍；
（3）求：A中各元素之和．
【思路分析】（1）推導出a＝0或，由此能求出a和A．
（2）當A中元素個數至少為1時，a＝0或，由此能求出a的取值范圍．
（3）當a＝0時，A中元素之和為；當a＜1且a≠0時，A中元素之和為；當a＝1時，A中元素之和為﹣1；當a＞1時，A中無元素．
【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素個數為1，
∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．
當A中元素個數至少為1時，a＝0或，解得a≤1，
∴a的取值范圍是（﹣∞，1]．
（3）當a＝0時，A中元素之和為；當a＜1且a≠0時，A中元素之和為；
當a＝1時，A中元素之和為﹣1；當a＞1時，A中無元素．
考點3 集合間的基本關系
1.集合A中含有n個元素，則有
(1)A的子集的個數有2n個．(2)A的非空子集的個數有2n－1個．
(3)A的真子集的個數有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數有2n－2個．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含參數的問題時，要注意討論A＝ 和A≠ 兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．
例4．（1）.（2023·全國高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,則實數m的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由可得：當,則，∴，
當,則m應滿足:,解得，綜上得;
∴實數m的取值范圍是.故答案為:.
（2）.（空集）（2023·上海高一單元測試）已知集合，，若，則實數的取值集合為_______.
【答案】
【分析】
考慮和兩種情況，，計算得到答案.
【詳解】
，，，
當時，滿足條件；
當，即時，滿足條件；當，即時，滿足條件.
故集合為.
故答案為：
【點睛】
本題考查了根據集合包含關系求參數，意在考查學生的計算能力和轉化能力，忽略空集的情況是容易發生的錯誤.
（3）．（2023·上海市控江中學高一月考）滿足的集合的個數為______.
【答案】7
【分析】
根據集合的基本關系可求出集合A滿足條件的幾種情況.
【詳解】
解：由題意得
是滿足條件的一個集合
又
所以中元素除了2，4，6外，1，3，5中取一個或兩個元素也滿足條件，有種，故A中元素總的集合個數為種.
故答案為：7
【變式訓練4-1】．（2022·浙江省溫州中學高一月考）（子集與真子集個數問題）已知集合，若，則______；的子集有______個.
【答案】0或 8
【解析】∵集合，，∴或，解得或.
的子集有個.故答案為：0或，8.
【變式訓練4-2】．（空集）若集合，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝ ，∴方程x2﹣2x+m＝0無解，即△＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，則實數m的范圍為（1，+∞），故選：C．
【點睛】此題考查了空集的定義，性質及運算，熟練掌握空集的意義是解本題的關鍵．
【變式訓練4-3】．（空集是任何非空集合的子集）（多選題）已知集合，若，則實數的取值可能為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】
根據子集的性質，結合一元一次方程解的性質進行求解即可.
【詳解】
因為，，
若為空集，則方程無解，解得；
若不為空集，則，由解得，所以或，解得或.
故選：AB
考點4 集合的基本運算
1.由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性質
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
3.對于兩個給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性質
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA。符號語言： UA＝{x|x∈U，且x A}。
歸納總結：
集合基本運算的求解規律
(1)離散型數集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解．
(2)集合中的元素若是連續的實數，常借助數軸求解，但是要注意端點值能否取到的情況．
(3)根據集合運算求參數，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應用數形結合求解．
例5．（1）（并集）（2023·長寧區·上海市延安中學高一月考）設集合，，若，則實數___________.
【答案】或
【分析】
分析可得，可得出關于實數的等式，即可求得結果.
【詳解】
因為，則，因為，，則或.
解得或.
故答案為：或.
（2）．（交集）（2023·上海高一專題練習）已知集合，集合，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據，由求解.
【詳解】
因為集合，集合，且，
所以，
解得，
所以的取值范圍是
故選：A
（3）．（韋恩圖的應用）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，則圖中陰影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
【答案】 A
【解析】圖中陰影部分為N∩（ UM），∵M＝{x|x＜﹣1}，∴ UM＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（ UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故選：A．
（4）
例6．（2023·上海市新場中學高一月考）已知集合，集合
（1）求集合；
（2）若集合，求實數的值；
（3）若，求實數的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）直接解方程可求集合；
（2），則且，將代入方程求出的值，再將的值代入方程，解方程可得集合，檢驗是否滿足條件即可；
（3）若，則，可得或或或；分別討論這四種情況即可求解.
【詳解】
（1）；
（2）由（1）知：，若集合，則且，
將代入方程可得，
解得：或；
當時，原方程可化為，解得：或，
此時，滿足，
當時，原方程可化為，解得：或，
此時，滿足，
所以或；
（3）若，則，所以或或或；
當時，方程無解，所以，
解得：，
若，則方程有兩個相等的實根，
所以此時無解，
若，則方程有兩個相等的實根，
所以此時無解，
若，則方程有兩個不相等的實根，
所以此時無解，
【變式訓練6-1】．（2023·上海市南洋模范中學高一期中）已知集合，，.
（1）若，求實數a的值；
（2）若，求實數m的取值范圍.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）先求解出方程的根，則集合可知，再求解出的根，則可確定出集合，根據得到，從而可求解出的可取值，則的值可求；
（2）根據得到，分別考慮當為空集、單元素集、雙元素集的情況，由此確定出的取值.
【詳解】
（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因為，所以，
所以或，所以或；
（2）因為，所以，
當的時，，解得，
當時，，無解，
當時，，解得，
當時，，無解，
綜上，實數m的取值范圍是.
【點睛】
結論點睛：根據集合的交、并集運算結果判斷集合間的關系：
（1）若，則有；
（2）若，則有.
例7．（2023·全國高一專題練習）已知集合，或.
（1）當時，求，；
（2）若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）或，；（2）.
【分析】
（1）將代入集合中確定出，求出與的交集，根據全集求出的補集，求出與補集的并集即可；
（2）由，，以及兩集合的交集為空集，對進行分類討論，把分類結果求并集，即可求出結果．
【詳解】
解：（1）將代入集合中的不等式得：，即，
∵或，
∴或，，
則；
（2）∵，或，
當時，；此時滿足，
當時，，此時也滿足，
當時，，若，則，解得：；
綜上所述，實數的取值范圍為．
【變式訓練7-1】．（2023·全國高一單元測試）設全集為，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）畫出數軸圖，數形結合即可求出；
（2）畫出數軸圖，數形結合可求出，再利用補集定義即可求出.
【詳解】
（1）畫出集合A和集合B表示的數軸圖，
則由圖可得；
（2）觀察圖形可得
或.
四、課堂訓練（45分鐘）
1．（2023·上海市金山中學高一月考）已知集合，若，則實數=____
【答案】3
【解析】
因為，所以．
2．（2023·上海高一單元測試）用列舉法表示集合＝________．
【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.
【分析】
利用題目條件，依次代入，使，從而確定出的值，即可得到答案
【詳解】
，
為的因數
則
則答案為
【點睛】
本題主要考查了集合的表示法，理清題意，找出滿足條件的因數是關鍵，考查了學生分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．
3．（2023·上海市控江中學高一月考）以下幾個關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據元素與集合的關系、集合與集合的關系、集合的交并集運算逐項進行判斷即可.
【詳解】
A.根據空集概念可知，故錯誤；
B.因為無實根，所以，且，故錯誤；
C.空集是任何非空集合的真子集，故正確；
D.當時，，故錯誤；
故選：C.
4．（2022·上海高三專題練習）設集合，，則（ ）
A． A B．A C． D．
【答案】B
【分析】
分和兩種情況得出集合A，由此可得選項.
【詳解】
解：對于集合A，當，時，，
當，時，,所以或，所以A，
故選：B．
5．（2023·上海高一專題練習）下列命題中正確的（ ）
①0與{0}表示同一個集合；
②由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上語句都不對
【答案】C
【分析】
由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點判斷②，③．
【詳解】
①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個元素，故①錯誤；
②符合集合中元素的無序性，正確；
③不符合集合中元素的互異性，錯誤；
④中元素有無窮多個，不能一一列舉，故不能用列舉法表示．
故選：C.
6．（2023·上海長寧·高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，給出下列四個命題：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在且；④存在且；
這四個命題中，真命題的個數為（ ）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】
根據題意，由子集的定義分析、元素的關系分析4個命題是否正確，綜合即可得答案．
【詳解】
根據題意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命題．則其否定為真，
則非空集合的元素不都是集合的元素，
據此分析4個命題：
①的元素不都是的元素，正確，
②的部分元素可以為的元素，不正確，
③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正確，
④存在且，正確，
其中正確的命題有2個，
故選：．
7．（2022·上海市晉元高級中學）已知全集，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據圖像判斷出陰影部分表示，由此求得正確選項.
【詳解】
根據圖像可知，陰影部分表示，，所以.
故選：A
【點睛】
本小題主要考查集合交集與補集的概念和運算，考查韋恩圖，屬于基礎題.
8．（2023·嘉定區·上海大學附屬南翔高級中學高一月考）已知集合
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數的值，并寫出相應的集合；
（3）若A中至少有兩個元素，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）實數的取值為；當時，；當時，；當時，；（3）
【分析】
（1）方程無解，則，根據判別式即可求解；
（2）分方程無解或者一個解討論即可；
（3）由題意可知有兩個不等的實根，由判別式求解即可.
【詳解】
（1）若A是空集，則方程無解，
此時 且，即，
所以的取值范圍為；
（2）若A中至多有一個元素，
則方程有且只有一個實根或者無解，
若方程有且只有一個實根，則
當時，方程為一元一次方程，滿足條件，
當時，此時，解得：，
若方程無解，由（1）可知，
綜上可知：若A中至多有一個元素，則實數的取值為；
當時，；當時，；當時，；
（3）若A中至少有兩個元素，則有兩個不等的實數根，
此時 且，解得且，
所以a的取值范圍是.
9．（2023·上海市大同中學）已知集合，，，
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）解不等式，可求出集合，進而求出二者的交集即可；
（2）結合（1），由，可得，進而可列出不等關系，求解即可.
【詳解】
（1）由，得，等價于，解得，
所以集合，
由，解得或，所以或，
所以或.
（2）因為，所以，
即，
所以，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
【點睛】
本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的交集，考查根據集合的包含關系求參數，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.

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