資源簡介

高一數學《考點 題型 技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)
6.2　平面向量的運算
6.2.1-6.2.2　向量的減法運算　向量的加法運算
【考點梳理】
考點一　向量加法的定義及其運算法則
1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法則
向量求和的法則 三角形法則 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a
平行四邊形法則 以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 OACB，則以O為起點的對角線就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
考點二　向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接(2)適用于任何向量求和 三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
考點三：相反向量
1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
2.性質
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考點四：向量的減法
1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.
2.幾何意義：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖所示.
3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
【題型歸納】
題型一：向量加法法則
1．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，，不共線，作向量++．
2．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，不共線，求作向量．
3．（2023·全國·高一課時練習）如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）；（2）（3）．
題型二：向量加法的運算律
4．（2023·陜西·寶雞市陳倉區教育體育局教學研究室高一期中）向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高一課時練習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·廣東·茂名市華英學校高一階段練習）向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
題型三：向量加法法則的幾何應用
7．（2023·全國·高一課時練習）如圖，D，E，F分別為的邊AB，BC，CA的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全國·高一課時練習）如圖，在正六邊形中，等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西省修水縣英才高級中學高一階段練習）如圖，在平行四邊形中，是的中點，設，，則向量（ ）.
A． B． C． D．
題型四：相反向量
10．（2023·遼寧·建平縣實驗中學高一期末）如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
11．（2023·山西臨汾·高一階段練習）在任意四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，設，下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全國·高一單元測試）若是的負向量，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．與的長度必相等
B．
C．與一定不相等
D．是的負向量
題型五：向量減法法則
13．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，，，求作向量．
14．（2023·全國·高一課時練習）如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：．
15．（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知，，，，，試用，，，，表示以下向量：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
題型六：向量減法的運算律
16．（2023·全國·高一課時練習）下列運算正確的個數是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023·北京市第一六六中學高一期中）在中，，若，,則（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江·金鄉衛城中學高一階段練習）在平行四邊形中，設為線段的中點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（ ）
A． B． C． D．
題型七：向量減法法則的幾何應用
19．（2023·全國·高一課時練習）已知非零向量與方向相反，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·全國·高一單元測試）已知正方形的邊長為1，，，，則等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
21．（2023·全國·高一課時練習）如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【雙基達標】
一：單選題
22．（2023·全國·高一課時練習）化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2023·全國·高一課時練習）已知、是不平行的向量，若，，，則下列關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·全國·高一課時練習）若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A． B． C． D．
25．（2023·全國·高一課時練習）已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結論中正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
26．（2023·全國·高一課時練習）下列四式不能化簡為的是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2023·全國·高一課時練習）已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中，則=（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·全國·高一課前預習）下列等式中，正確的個數為（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
29．（2023·重慶實驗外國語學校高一階段練習）如右圖，，，分別是的邊，，的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·山東濟南·高一期末）在中，若點滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·山東濱州·高一期末）在中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：單選題
32．（2023·全國·高一課時練習）設，是任一非零向量，則在下列結論中:
①；②；③；④；⑤.
正確結論的序號是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
33．（2023·山東棗莊·高一期中）已知點G是三角形ABC所在平面內一點，滿足，則G點是三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
34．（2023·全國·高一課時練習）下列命題中正確的是（ ）
A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同
B．在中，必有
C．若，則A，B，C為一個三角形的三個頂點
D．若，均為非零向量，則與一定相等
35．（2023·福建·莆田第二十五中學高一期中）如圖，已知，，，，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·安徽·六安市裕安區新安中學高一期中）在平行四邊形中，，設，，則向量（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·湖南·高一階段練習）在中，點，在邊上，且，為邊上的三等分點（其中為靠近點的三等分點），且，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
38．（2023·全國·高一課時練習）（多選）下列結論中錯誤的是（ ）
A．兩個向量的和仍是一個向量
B．向量與的和是以的始點為始點，以的終點為終點的向量
C．
D．向量與都是單位向量，則
39．（2023·廣東·江門市新會第二中學高一階段練習）下列各式結果為零向量的有（ ）
A． B．
C． D．
40．（2023·廣東·南方科技大學附屬中學高一期中）已知點，，分別是的邊的中點，則下列等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2023·江蘇·南京二十七中高一期中）已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2023·廣東·洛城中學高一階段練習）化簡以下各式，結果為的有（ ）
A． B．
C． D．
43．（2023·福建·永安市第三中學高中校高一階段練習）下列命題中,正確的命題為（ ）
A．對于向量，若，則或
B．若為單位向量，且//，則
C．若與共線，與共線，則與共線
D．四邊形中，
二：填空題
44．（2023·全國·高一課時練習）已知平面內三個不同的點、、，則“、、是一個三角形的三個頂點”是“”的___________條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）
45．（2023·全國·高一課時練習）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結果為的是____.(填序號)
46．（2023·全國·高一課時練習）在中，D是BC的中點．若，，，，則下列結論中成立的是________．（填序號）
①；（2）；③；④．
47．（2023·全國·高一課時練習）如圖，在正六邊形中，與相等的向量有__.
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
三：解答題
48．（2023·全國·高一課時練習）化簡．
（1）．
（2）．
49．（2023·上海·高一課時練習）向量如圖所示，據圖解答下列問題：
（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.
50．（2023·全國·高一課時練習）化簡：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
51．（2023·全國·高一課時練習）如圖，四邊形是以向量，為邊的平行四邊形，又，，試用、表示、、.
【答案詳解】
【詳解】
由向量加法的三角形法則，
++如圖，
2．作圖見解析，
【分析】
利用向量的加法法則求解.
【詳解】
如圖，
在平面內任取一點O，作，．
因為，即，
所以．
3．
（1）答案見解析
（2）答案見解析
（3）答案見解析
【分析】
利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則進行求解﹒
（1）
因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以．
（2）
因為與方向相同且長度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長度為長度的2倍，因此，可用表示，即．
（3）
因為與是一對相反向量，所以．
4．A
【分析】
根據向量的線性運算求解即可.
【詳解】
由,
故選：A
5．B
【分析】
利用向量加法的三角形法則以及向量加法的交換律即可求解.
【詳解】
.
故選：B
6．D
【分析】
根據向量的加法運算即可得到結果.
【詳解】
故選：D
7．A
【分析】
根據平面向量的線性運算法則計算可得；
【詳解】
解：，，分別是的邊，，的中點，
，，，
則，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D錯誤；
故選：A．
8．A
【分析】
根據相等向量和向量加法運算直接計算即可.
【詳解】
，.
故選：A.
9．B
【分析】
根據平行四邊形的性質，利用向量加法的幾何意義有，即可得到與、的線性關系.
【詳解】
由題設，，則，又，
∴.
故選：B
10．B
【分析】
首先根據題意得到四邊形是平行四邊形，從而得到與為相反向量.
【詳解】
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，互相平分，所以，即與為相反向量.
故選：B
11．B
【分析】
根據題意，由向量的加法可得：和，兩個式子相加，化簡即可得到答案.
【詳解】
在任意四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，設，
則,同時有，
則有,
因為E、 F分別為AD,BC的中點，則
則有.
故選:B.
12．C
【分析】
根據向量的定義判斷．
【詳解】
是的負向量，即，因此它們的長度相等，方向相反，即共線（平行），也是的負向量，但與一般不相等（只有它們為零向量時相等）．錯誤的C．
故選：C．
13．見解析
【分析】
利用向量減法的三角形法則即可求解.
【詳解】
由向量減法的三角形法則，
令,則,
令,所以.如下圖中即為.
14．證明見解析
【分析】
利用向量的加法法則和向量相等求解.
【詳解】
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以．
因為，
，
所以，
即．
15．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【分析】
由向量減法法則依次計算即可得出各小問的結果.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
16．C
【分析】
利用平面向量的加法，減法，數乘運算及其運算律判斷.
【詳解】
①，由數乘運算知正確；
②，由向量的運算律知正確；
③，向量的加法，減法和數乘運算結果是向量，故錯誤.
故選：C
17．C
【分析】
根據平面向量的線性運算法則，用，,表示出即可.
【詳解】
.
故選：C
18．B
【分析】
根據題意作出圖形，將用、的表達式加以表示，再利用平面向量的減法法則可得出結果.
【詳解】
解：由題意作出圖形：
在平行四邊形中，M為BC的中點，則
又N為線段AB上靠近A的三等分點，則
故選：B
19．C
【分析】
根據方向相反的兩個向量的和或差的運算逐一判斷.
【詳解】
A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立
B.，，B不成立
C.，C成立
D. ，D不成立.
故選：C.
20．A
【分析】
根據向量的線性運算即可求出．
【詳解】
因為，，，所以．
故選：A．
21．D
【分析】
根據平面向量的加減法法則結合圖形即可得到答案.
【詳解】
如圖，
.
故選：D.
22．B
【分析】
根據向量的加減運算法則計算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.
【詳解】
對于①：，
對于②：，
對于③：，
對于④：，
所以結果為的個數是，
故選：B
23．C
【分析】
結合向量的加法法則運算即可.
【詳解】
＝＋＋＝＝＝2．
故選：C
24．C
【分析】
根據相反向量的定義逐項判斷即可．
【詳解】
解：由平行向量的定義可知項正確；
因為和的方向相反，所以，故項正確；
由相反向量的定義可知，故選項正確；
由相反向量的定義知，故項錯誤；
故選：C．
25．B
【分析】
根據平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】
對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D錯誤；
故選：B
26．D
【分析】
由向量加減法法則計算各選項，即可得結論．
【詳解】
A項中，；
B項中，；
C項中，；
D項中，.
故選：D.
27．D
【分析】
由圖形可得，從而可得正確的選項.
【詳解】
，
故選：D.
28．C
【分析】
利用向量加減法的運算性質，轉化各項表達式即可知正誤.
【詳解】
由向量加減法的運算性質知：①；②；③；④；⑤，正確；⑥，錯誤.
故選：C
29．A
【分析】
根據向量加法和減法的運算法則結合圖像逐一運算即可得出答案.
【詳解】
解：，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：A.
30．A
【分析】
利用向量加減法公式，化簡已知條件，即可判斷結果.
【詳解】
由條件可知，得.
故選：A
31．B
【分析】
利用向量加法和減法計算即可求解.
【詳解】
，
故選：B.
32．D
【分析】
根據向量線性運算可確定為零向量，由此可判斷得到結果.
【詳解】
，
又是任一非零向量，，，，①③⑤正確.
故選：D.
33．D
【分析】
由題易得，以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD，交AB于點O，進而可得，進而可得，所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，同理可證AG所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線，最后得出答案即可.
【詳解】
因為，所以，
以GA GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD，交AB于點O，如圖所示：
則，所以，點O是AB邊的中點，
所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，
同理可證AG所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線，
所以G點是三角形ABC的重心.
故選：D.
34．B
【分析】
根據向量的線性運算法則，逐一分析各個選項，即可得答案.
【詳解】
對于A：當與為相反向量時，，方向任意，故A錯誤；
對于B：在中，，故B正確；
對于C：當A、B、C三點共線時，滿足，但不能構成三角形，故C錯誤；
對于D：若，均為非零向量，則，當且僅當與同向時等號成立，故D錯誤.
故選：B
35．C
【分析】
結合圖形，利用向量加，減法，計算向量.
【詳解】
，，
得，即.
故選：C
36．A
【分析】
利用向量的加、減法法則計算即可.
【詳解】
解：.
故選：A.
37．B
【分析】
利用向量的加法、減法線性運算即可求解.
【詳解】
，
所以，.
故選：
38．BD
【分析】
根據向量的相關概念，對選項逐一判斷即可.
【詳解】
兩個向量的和差運算結果都是是一個向量，所以A正確；
兩個向量的加法遵循三角形法則，只有當首尾相連時才成立，故B錯誤；
任何向量與相加都得其本身，故C正確；
兩個單位向量的方向沒有確定，當它們方向相同時才成立，故D錯誤；
故選：BD
39．ACD
【分析】
根據平面向量的線性運算逐個求解即可
【詳解】
對A，，故A正確；
對B，，故B錯誤；
對C，，故C正確；
對D，，故D正確；
故選：ACD
【點睛】
本題主要考查了平面向量的線性運算，屬于基礎題
40．ABC
【分析】
根據向量線性運算確定正確選項.
【詳解】
對于A選項，，正確；
對于B選項，，正確；
對于C選項，根據向量加法的平行四邊形法則可知，正確；
對于D選項，，所以D錯誤.
故選：ABC
41．BCD
【分析】
根據向量的線性運算，逐項變形移項即可得解.
【詳解】
根據復數的線性運算，
對A，化簡為，錯誤；
對B，即，即，正確；
對C，對移項可得，正確；
對D，由，移項即，正確；
故選：BCD
42．ABCD
【分析】
根據向量的加減運算法則分別判斷.
【詳解】
，
，
，
.
所以選項全正確.
故選：ABCD
43．BD
【分析】
直接利用向量的線性運算，向量的共線，單位向量的應用判斷、、、的結論．
【詳解】
對于：對于向量，若，則與不存在關系，故錯誤；
對于：若為單位向量，且，則，故正確；
對于：若與共線，與共線，且，則與共線，當，則與不一定共線，故錯誤；
對于：四邊形中，，整理得，
故正確；
故選：．
44．充分不必要
【分析】
利用向量加法的三角形法則結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【詳解】
充分性：若、、是一個三角形的三個頂點，由平面向量加法的三角形法則可得出，充分性成立；
必要性：若、、三點共線，則成立，此時、、不能構成三角形，必要性不成立.
因此，“、、是一個三角形的三個頂點”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
45．①④
【分析】
利用向量加法的運算法則化簡各項向量的線性表達式，即可確定結果是否為.
【詳解】
①;
②;
③;
④.
故答案為：①④.
46．③
【分析】
根據平面向量的加減法判斷即可.
【詳解】
，故③成立；
故答案為：③
47．①④
【分析】
根據向量加減法運算可化簡為，根據相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結果.
【詳解】
四邊形是平行四邊形，，①正確；
與方向不同，②錯誤；與方向不同，③錯誤；
，④正確；
，⑤錯誤；與方向不同，⑥錯誤；
四邊形為平行四邊形，，⑦錯誤.
故答案為：①④.
48．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法則化簡可得所求代數式的結果；
（2）利用平面向量加法的三角形法則化簡可得所求代數式的結果.
【詳解】
（1）；
（2）.
49．（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】
利用向量的加法法則、減法法則運算即可
【詳解】
由圖知,
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
50．（1）.（2）（3）.
（4）（5）（6）.（7）
解：（1）原式.
（2）原式
（3）原式.
（4）原式
（5）原式
（6）原式.
（7）原式
【點睛】
本題考查了平面向量的加法與減法的運算問題，屬于基礎題.
51．
解：，，，
．
．
，，
．
．高一數學《考點 題型 技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)
6.2.4　向量的數量積
【考點梳理】
考點一　兩向量的夾角與垂直
1.夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.
2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.
考點二　向量數量積的定義
非零向量a，b的夾角為θ，數量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規定：零向量與任一向量的數量積等于0.
考點三　投影向量
在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θ e.
考點四　平面向量數量積的性質
設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
考點五　平面向量數量積的運算律
1.a·b＝b·a(交換律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【題型歸納】
題型一：向量的數量積的定義和幾何意義
1．（2023·江西·九江一中高一期中）向量在向量上的射影為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·宜春九中高一階段練習）已知，且，則在方向上的投影為（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·廣東汕尾·高一期末）在三角形中，已知，，點滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
題型二：數量積的運算
4．（2023·北京市西城區教委高一階段練習）設為平面向量，則“存在實數，使”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2023·全國·高一課時練習）已知、、不共線的非零向量，則下列等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2023·江西·九江一中高一階段練習）已知向量、滿足， 與的夾角為，則（　　）
A． B． C． D．、
題型三：數量積和模關系問題
7．（2023·全國·高一課時練習）已知向量，滿足，，若與的夾角為，則（ ）．
A．1 B． C． D．
8．（2023·全國·高一課時練習）若向量與的夾角為60°，，，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
9．（2023·河北·正定中學高一階段練習）已知平面向量，則的最大值（ ）
A． B． C． D．
題型四：向量夾角的計算
10．（2023·全國·高一課時練習）若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河北·張家口市第一中學高一階段練習）已知非零向量，滿足，，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·云南省南澗縣第一中學高一階段練習）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
題型五：垂直關系的向量表示
13．（2023·江西·九江一中高一階段練習）已知非零向量滿足，與夾角的余弦值為，若，則實數（　　）
A． B． C． D．
14．（2023·云南·昆明市外國語學校高一階段練習）若O為所在平面內一點，且滿足，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
15．（2023·江蘇·南京市中華中學高一期中）已知平面向量，滿足，，，的夾角為120°，且，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
題型六：已知模求參數問題
16．（2023·全國·高一課時練習）已知平面向量，，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
17．（2023·江蘇·高一期中）設非零向量的夾角為，若，且不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江浙江·高一期末）設為兩個非零向量的夾角，且，已知對任意實數，無最小值，則以下說法正確的是（ ）
A．若和確定，則唯一確定
B．若和確定，則有最大值
C．若確定，則
D．若不確定，則與的大小關系不確定
【雙基達標】
一、單選題
19．（2023·全國·高一課時練習）命題：“向量與向量的夾角為銳角”是命題：“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
20．（2023·全國·高一課時練習）若，，，的夾角為135°，則（ ）
A． B． C． D．12
21．（2023·全國·高一課時練習）已知，，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全國·高一課時練習）兩個非零向量、互相垂直的充要條件是（ ）．
A． B．
C． D．
23．（2023·上海·高一課時練習）設是兩個非零向量，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則存在實數λ，使得 D．若存在實數λ，使得，則
24．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，則||＝（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全國·高一單元測試）已知向量，，若，則＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2023·吉林·延邊二中高一階段練習）給出下列命題，其中錯誤的命題的個數是（ ）
①若，則是鈍角
②若且，則
③若，則可知
④若是等邊三角形，則與的夾角為
A．4 B．3 C．2 D．1
【高分突破】
一：單選題
27．（2023·全國·高一課時練習）在平行四邊形中，已知，則（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·全國·高一課時練習）若，且，則與所在直線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全國·高一課時練習）若向量，，均為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
30．（2023·廣東·東莞市光明中學高一階段練習）下列命題中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．與共線
31．（2023·廣東白云·高一期末）已知，，與的夾角為，則（ ）
A． B．72 C．84 D．
32．（2023·安徽·合肥藝術中學 高一階段練習）如圖，是邊長為4的正方形，若，且為的中點，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（2023·黑龍江·哈爾濱市教育局高一階段練習）已知平面向量與滿足，，，則與的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·全國·高一課時練習）在中，點M是的中點，，點P在上，且滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
35．（2023·廣東廣州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面內，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則O是外心 B．若，則P是垂心
C．若，則N是重心 D．若，則I是內心
36．（2023·廣東·仲元中學高一期中）已知 是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結論正確的是（ ）
A． 的夾角是 B． 的夾角是
C． D．
37．（2023·廣東高州·高一期末）已知向量，，滿足，且，，向量與，與，與的夾角都是，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．1
38．（2023·全國·高一課時練習）在中，，P為線段上任意一點，則的可能值有（ ）
A． B． C．2 D．3
39．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）是的重心，，，，是所在平面內的一點，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值為-1
40．（2023·廣東·忠信中學高一階段練習）給出下列命題，其中正確的選項有　　
A．非零向量、滿足，則與的夾角為
B．若，則為等腰三角形
C．若單位向量的、的夾角為，則當取最小值時，
D．若，，，為銳角，則實數的取值范圍是
三、填空題
41．（2023·北京·日壇中學高一期中）設向量滿足，則___________.
42．（2023·全國·高一課時練習）已知，與的夾角大小為，則______．
43．（2023·全國·高一課時練習）已知向量與滿足，，與的夾角大小為60°，則______．
44．（2023·云南·昆明八中高一階段練習）已知菱形的邊長為2，，點 分別在直線 上，，若，則實數的值為___________.
45．（2023·全國·高一課時練習）在正三角形ABC中，下列各等式成立的是________．（填序號）
①；②；
③；④．
四、解答題
46．（2023·全國·高一課時練習）（l）求證：；
（2）已知向量、滿足：，，，求的值．
47．（2023·全國·高一課時練習）在等腰三角形ABC中，，，D為BC的中點．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
48．（2023·湖南·嘉禾縣第一中學高一階段練習）已知，與的夾角為，設．
（1）求的值；
（2）若與的夾角是銳角，求實數t的取值范圍．
49．（2023·全國·高一課時練習）（1）在中，，，，求，，的值.
（2）已知，兩個向量，，，，求在方向上的投影與數量投影．
50．（2023·全國·高一課時練習）已知向量，的夾角為，且，，（其中）．當取最小值時，求與的夾角的大小．
【答案詳解】
1．D
【詳解】
向量在向量上的射影為
，
故選：D
2．A
【詳解】
由題意，，
所以在方向上的投影．
故選：A．
3．B
【詳解】
由可得：，
即，可得，
所以，
如圖設的中點為，則，
由可得，
所以，所以
，
所以
向量在向量方向上的投影向量為：
，
因為，所以，
所以向量在向量方向上的投影向量為，
故選：B.
4．C
【詳解】
若存在實數，使，則，，即，故充分性成立；
若，則，
即，即，即同向，
故存在實數，使，故必要性成立.
所以“存在實數，使”是“”的充分必要條件.
故選：C.
5．B
【詳解】
A：，A正確；
B：設，則，
設，則，
因為與非零不共線，所以一般情況下，故B錯誤；
C：向量數乘的數量積滿足結合律，C正確；
D：數量積滿足交換律，D正確；
故選：B
6．C
【詳解】
因為， 與的夾角為，
所以
，
故選：C
7．D
【分析】
根據已知條件和算出答案即可.
【詳解】
因為，，與的夾角為，
所以，即
故選：D
8．C
【分析】
由平面向量的數量積的性質求解即可
【詳解】
因為向量與的夾角為60°，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
故選：C
9．A
【分析】
根據數量積公式，轉化為，再利用求根公式求的最大值.
【詳解】
，
所以，是向量和的夾角，
所以，
當時，.
故選：A
10．B
【分析】
由已知條件結合數量積公式化簡即可求解.
【詳解】
因為，，即，，求得，所以向量與的夾角為.
故選：B
11．A
【分析】
利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】
因為，所以，即.
設與的夾角為，
因為，，
所以，解得：.
因為，所以.
故選：A.
12．D
【分析】
根據平面向量數量積的定義將化簡，進而求出與的夾角，然后再求出和，最后通過夾角公式求得答案.
【詳解】
設與的夾角為，由，所以，即，且，解得，.
所以，
，
所以，故與的夾角為.
故選：D.
13．A
【分析】
根據向量垂直關系和數量積運算公式，可得關于x的方程，解得x.
【詳解】
由可設，則.
因為，
所以，
又，
所以.
故選：A.
14．A
【分析】
首先在中，取的中點，連接，根據得到，從而得到，即可得到答案.
【詳解】
在中，取的中點，連接，如圖所示：
因為，
所以，
所以，即，即.
又因為中是否有直角不確定，和是否相等也無法確定，
所以為等腰三角形.
故選：A
15．D
【分析】
根據，，，的夾角為120°，求得，再根據得，從而即可得出答案.
【詳解】
解：因為，，，的夾角為120°，
所以，
又因為，所以，
即，
解得.
故選：D.
16．C
【分析】
由題意，先求出兩向量與的坐標，再由模長公式建立方程，即可解得的值.
【詳解】
因為，，
所以，，
又，可得，
即，整理得：，
解得：.
故選：C
17．A
【分析】
根據題先利用平面向量的數量積的運算法則進行轉化為恒成立，然后結合函數的恒成立，列出不等式組，即可求解.
【詳解】
由題意，非零向量的夾角為，且，
則，
不等式對任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因為，所以，即，可得，
即實數的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】
求平面向量的模的兩種方法：
1、利用及，把向量模的運算轉化為數量積的運算；
2、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
18．B
【分析】
令，其對稱軸為，結合題意要使得無最小值，則對稱軸不在，從而可得或，進而可選出正確答案.
【詳解】
由題意知，，令，則函數的圖象的對稱軸為，因為無最小值，所以或，所以或，所以和確定，則有最大值
故選：B．
【點睛】
關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用二次函數的性質，分析對稱軸的位置，從而得出和確定，則有最大值.
19．A
【分析】
由充分條件和必要條件的定義結合數量積運算分析判斷
【詳解】
若向量與向量的夾角為銳角，則，
當時，向量與向量的夾角可能為，
所以命題是命題的充分不必要條件，
故選：A
20．B
【分析】
利用平面向量數量積的定義求解.
【詳解】
因為，，且，的夾角為135°，
所以，
故選：B
21．C
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再結合投影向量概念即可求解.
【詳解】
因為，所以，即，又因為，設的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.
故選：C
22．C
【分析】
根據題意，結合和垂直時，以及向量的數量積公式，一一判斷即可.
【詳解】
對于選項A，若和垂直，則，故A錯誤；
對于選項B，由，得，即，無法得到和垂直，故B錯誤；
對于選項C，由，得，即，因此和垂直，故C正確；
對于選項D，由，得，即和的夾角為，不滿足題意，故D錯誤.
故選：C.
23．C
【分析】
利用向量的數量積的運算法則，數量積的定義，向量共線定理即可判斷.
【詳解】
對于A，若，則，
得，∴不垂直，故A錯誤；
對于B，由A解析可知，故B錯誤；
對于C，若，則，
得，則，則與反向，因此存在實數λ，使得，故C正確；
對于D，若存在實數λ，使得，則，，若，則，故D錯誤.
故選：C
24．C
【分析】
利用已知條件把轉化為與，然后利用向量模的運算法則，化簡求解即可．
【詳解】
∵
，
∴
.
故選：C．
25．A
【分析】
由題意可求出，根據可得到并化簡，結合和即可求出.
【詳解】
故選：A．
26．B
【分析】
根據向量夾角，向量基本定理，數量積的運算律，即可判斷選項.
【詳解】
①當時，，故①不正確；
②若，當時，或，故②不正確；
③，即，故③正確；
④若是等邊三角形，則與的夾角為，故④不正確.
故選：B
27．B
【分析】
根據給定條件可得，再借助數量積即可求出.
【詳解】
在平行四邊形中，，因，
于是得，
所以.
故選：B
28．A
【分析】
設,則,,由可得,則是等邊三角形,進而求解即可.
【詳解】
設,以為鄰邊作平行四邊形,如圖所示,則,,
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴,
在菱形中,對角線平分，
∴與所在直線的夾角為.
故選：A.
29．A
【分析】
對進行平方，根據題意可得，當最小時，取得最小值.
【詳解】
因為，所以
∴
則當與反向時最小，最小，此時=，
所以=，所以的最小值為，
故選：A.
30．D
【分析】
利用向量的數量積公式可判斷A；利用向量的數量積運算律可判斷BC；利用向量共線可判斷D
【詳解】
對于A，利用數量積公式知，即，故A正確；
對于B，滿足向量的數乘結合律，故B正確；
對于C，滿足向量的分配律，故C正確；
對于D，與共線，則與同向或反向，當與同向時，；當與反向時，，故D錯誤；
故選：D
31．A
【分析】
由向量數量積的定義計算即可求解.
【詳解】
因為，，與的夾角為，
所以，
則，
故選：A.
32．C
【分析】
利用基底法，即可求解.
【詳解】
解：,,
,
故選：C
33．B
【分析】
由得進一步化簡即得解.
【詳解】
因為，所以
所以.
所以，
因為.
故選：B
34．A
【分析】
由，，可得，由點M是的中點，可得，代入中計算可得答案
【詳解】
因為，點P在上，且滿足，
所以，
因為點M是的中點，所以，
所以，
故選：A
35．ABC
【分析】
根據三角形外心、垂心、重心和內心的定義，結合平面向量的運算即可求得答案.
【詳解】
根據外心的定義，易知A正確；
對B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；
對C，記AB、BC、CA的中點為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；
對D，由題意，，則I是垂心，故D錯誤.
故選：ABC.
36．ABD
【分析】
根據條件知，的最小值為，結合二次函數與方程的特點可求出的夾角為或，從而求出的值．
【詳解】
，是兩個單位向量，且的最小值為，
的最小值為，
的最小值為，
即在上有唯一一個解，
所以，所以
與的夾角為或，所以正確，
或3，
或，所以正確，
故選：．
37．AD
【分析】
設與的夾角為，由，解得，由數量積夾角公式計算即可求得結果.
【詳解】
設與的夾角為，則，得，解得．
又與的夾角都是，而，
，，
所以，解得或，
故選：AD．
38．CD
【詳解】
設，則，
因為,
所以
因為，所以，
所以的取值范圍為，
故選：CD
39．AC
【詳解】
A：當點為的重心時，
如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據重心性質可得.
則，∴A正確，
B：∵在方向上的投影為，
∴在方向上的投影向量為，∴B錯誤，
C：∵是的重心，
∴，，
∴
，∴C正確，
D：當與重合時，∵
，與的最小值為矛盾
∴D錯誤，
故選：AC．
40．ABC
【分析】
直接利用向量的線性運算，向量的夾角的運算，向量的模，向量的夾角運算判斷、、、的結論．
【詳解】
解：對于：非零向量、滿足，
令：，，
則，，
由于，
如圖所示：
所以四邊形為菱形，且為等邊三角形；
所以，，
則與的夾角為，故正確．
對于：由于，
所以，
所以為等腰三角形，故正確．
對于：若單位向量的、的夾角為，則當取最小值時，
即，
當時，的最小值為，故正確；
對于，，，
由于為銳角，
所以且與不同向，
即
則且，故不正確．
故選：．
41．
【分析】
直接利用向量的模以及數量積的運算法則求解即可.
【詳解】
解：向量，滿足，，，
則，
則.
故答案為：.
42．
【分析】
根據題意，結合模長公式以及數量積的運算律，即可求解.
【詳解】
根據題意，得
.
故答案為：.
43．##
【分析】
由題得出，再結合條件并利用平面向量的數量積運算，即可求出結果.
【詳解】
解：由題可知，，，與的夾角大小為60°，
則，即，
則，解得：.
故答案為：.
44．
【分析】
根據題意，分別用和表示和，結合數量積的運算公式，即可求解.
【詳解】
根據題意，由，，
得，
，
因為菱形的邊長為2，，且，
所以
，解得.
故答案為：.
45．②③④
【分析】
利用向量的線性運算及向量的模逐一判斷即可求得結論．
【詳解】
解：因為是正三角形，所以設的邊長為2，
對于①，因為，，
所以，故①錯誤；
對于②，因為，
所以，故②正確；
對于③，，
，
所以，故③正確；
對于④，，
又，所以，故④正確．
故答案為：②③④．
46．（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）根據向量數量積的運算法則進行計算，即可證明；
（2）根據已知條件，求得，再根據數量積求得模長即可.
【詳解】
（1）因為，
故可得，即證.
（2）因為，，，
故可得，
解得：.
同理，
即.
47．
（1）（或）
（2）
（1）
如圖，，，D為BC的中點．則，，，
所以，
，
在上的投影為，
在上的投影向量為；
（2）
在上的投影為，
在上的投影向量為．
48．
（1）2；
（2）﹒
（1）
；
（2）
∵與的夾角是銳角，
∴且與不共線．
∵，
∴，解得．
當與共線時，則存在實數，使，
∴，解得．
綜上所述，實數t的取值范圍是．
49．（1），，；（2）.
【詳解】
因為，，，所以，即所以.
如圖所示：
所以.
，
.
（2）由題意得，，所以；
則在方向上的投影：
在方向上的數量投影：．
50．.
【詳解】
由題意，向量，的夾角為，且，，，
可得
，
當時，可得，此時，
又由，
所以，即與的夾角為.高一數學《考點 題型 技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)
6.2.3　向量的數乘運算
【考點梳理】
考點一　向量數乘的定義
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，其長度與方向規定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特別地，當λ＝0時，λa＝0.，當λ＝－1時，(－1)a＝－a.
考點二　向量數乘的運算律
1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
考點三　向量共線定理
向量a (a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
【題型歸納】
題型一：向量的線性運算
1．（2023·山東鄒城·高一期中）已知向量，，實數，（，），則下列關于向量的運算錯誤的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
2．（2023·全國·高一課前預習）若，化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川省蒲江縣蒲江中學高一階段練習）已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（ ）
①；②；
③若，則；④若，則．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
題型二：平面向量的混合運算
4．（2023·全國·高一課時練習）若O為所在平面內一點，且滿足，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023·福建福州·高一期中）在五邊形中，，，分別為，的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全國·高一課時練習）在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點，且若，，則＝（ ）
A． B．
C． D．
題型三：向量的線性運算的幾何應用
7．（2023·四川·寧南中學高一階段練習（文））如圖， 中，、、分別是、、上的中線， 它們交于點，則下列各等式中不正確的是（ ）
A． B．；
C． D．
8．（2023·四川資陽·高一期末）如圖，在中，為線段上一點，，為的中點．若，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·內蒙古·林西縣第一中學高一期中（文））已知點是的邊的中點，點在邊上，且，則向量（ ）
A． B．
C． D．
題型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·陜西渭濱·高一期末）已知為三角形所在平面內一點，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山東師范大學附中高一期中）如圖，是的重心，，，是邊上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全國·高一課時練習）已知點O、N、P在所在平面內，且，，，則點O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內心
【雙基達標】
一、單選題
13．（2023·全國·高一課時練習）下列運算正確的個數是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2023·全國·高一課時練習）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個動點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（ ）
A．內心 B．外心
C．重心 D．垂心
15．（2023·全國·高一課時練習）若，則下列各式中不正確的是（ ）．
A． B． C． D．
16．（2023·上海·高一課時練習）已知平面上不共線的四點，若，則等于（ ）
A． B． C．3 D．2
17．（2023·全國·高一課時練習）設向量，，若與不共線，且點在線段上，，則（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·安徽·定遠縣育才學校高一階段練習（文））下列敘述不正確的是（ ）
A．若共線，則存在唯一的實數λ，使．
B．(為非零向量)，則共線
C．若，則
D．若，則
19．（2023·福建浦城·高一階段練習）如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點，若＝t＋，則實數t的值為（ ）．
A． B． C． D．
20．（2023·云南隆陽·高一期中）已知在平行四邊形中，點，分別在邊，上，連接交于點，且滿足，，，則（ ）
A．-3 B．1 C． D．
21．（2023·河南鄭州·高一期末）已知的邊上有一點滿足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023·江西宜春·高一期末）如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為( )
A． B． C．1 D．3
【高分突破】
一：單選題
23．（2023·全國·高一專題練習）已知點在△所在平面內，且，則點依次是△的（ ）
A．重心 外心 B．重心 內心 C．外心 重心 D．外心 內心
24．（2023·湖南·常德市第二中學高一期末）在等邊中，點E在中線上，且，則（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全國·高一課時練習）下列算式中，正確的個數為（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
26．（2023·江蘇省梅村高級中學高一階段練習）在中，E為AB邊的中點，D為AC邊上的點，BD，CE交于點F．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．（2023·全國·高一課時練習）設，都是非零向量.下列四個條件中，使成立的條件是（ ）
A． B．
C． D．且
28．（2020·全國·高一）點M，N，P在所在平面內，滿足，，且，則M、N、P依次是的（ ）
A．重心，外心，內心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，內心 D．外心，重心，垂心
二、多選題
29．（2023·全國·高一課時練習）（多選）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．A，B，C，D四點共線 B．C，B，D三點共線
C． D．
30．（2023·浙江·嘉興市第五高級中學高一階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，，分別表示△，△的面積，則
C．兩個非零向量，若，則與共線且反向
D．若向量，則與一定不是共線向量
31．（2023·河北承德第一中學高一階段練習）對于非零向量，下列說法正確的是（ ）
A．的長度是的長度的2倍，且與方向相同
B．的長度是的長度的，且與方向相反
C．若，則等于零
D．若，則是與同向的單位向量
32．（2023·湖南·高一期末）已知的重心為，過點的直線與邊，的交點分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．3
33．（2023·福建三明·高一期中）八卦是中國文化中的基本哲學概念，如圖是八卦模型圖，其平面圖形記為圖中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
34．（2023·全國·高一課時練習）已知D，E，F分別為的邊BC，CA，AB的中點，，．給出下列五個命題：①；②；③；④；⑤．其中正確的命題是________．（填序號）
35．（2023·全國·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，則λ+μ=_______.
36．（2023·上海大學附屬南翔高級中學高一階段練習）已知△ABC中，點D在邊AB上，且，設，，那么等于________（結果用、表示）
37．（2023·全國·高一課時練習）設平面內四邊形及任一點O，．．若且．則四邊形的形狀是_________．
四、解答題
38．（2023·全國·高一課時練習）在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．
39．（2023·全國·高一課時練習）計算：
（1）；
（2）．
40．（2023·全國·高一課時練習）（1）已知，，求.
（2）已知向量，且，，求，.
41．（2023·全國·高一課時練習）如圖，在中，，分別是，的中點，，，．
（1）用，表示，，，，；
（2）求證：，，三點共線．
42．（2023·全國·高一課時練習）如圖，在中，是邊上一點，是線段上一點，且，過點作直線與，分別交于點，.
（1）用向量，表示.
（2）試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案詳解】
1．D
【分析】
根據向量數乘運算判斷AB選項的正確性，通過的特殊情況判斷C選項的正確性，根據向量運算判斷D選項的正確性.
【詳解】
由題意，向量，，實數，（，），
由向量的運算律可得，，故選項A正確；
由向量的運算律可得，，故選項B正確；
若，因為，則，故選項C正確；
當時，，此時和不一定相等，故選項D錯誤．
故選：D．
2．A
【分析】
根據已知條件結合，利用向量的線性運算即可求解.
【詳解】
，
故選：A.
3．B
【分析】
①②結合平面向量的數乘運算即可判斷，③④舉出反例即可說明.
【詳解】
對于①：根據數乘向量的法則可得：，故①正確；
對于②：根據數乘向量的法則可得：，故②正確；
對于③：由可得，當m＝0時也成立，所以不能推出，故③錯誤；
對于④：由可得，當，命題也成立，所以不能推出m＝n. 故④錯誤；
故選：B
4．A
【分析】
利用向量運算化簡已知條件，由此確定正確選項.
【詳解】
依題意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故選：A
5．C
【分析】
由向量的加法運算得到，進而利用中點的條件，轉化為向量的關系，化簡整理即得.
【詳解】
,
故選：C
6．A
【分析】
由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的線性運算法則運算即得.
【詳解】
由已知可得
，
.
故選：A.
【點睛】
本題考查平面向量的線性運算，是基礎題，只要熟練掌握平面向量的加減數乘運算法則,并注意將有關向量轉化為基底向量表示，即可得解.
7．B
【分析】
利用向量運算對選項進行分析，由此確定正確選項.
【詳解】
依題意中，、、分別是、、上的中線，
所以是三角形的重心.
所以，A選項正確.
，B選項錯誤.
，C選項正確.
，D選項正確.
故選：B
8．C
【分析】
根據平面圖形的性質以及平面向量的基本定理和線性運算，對應系數相等即可求出的值，進而求出結果.
【詳解】
因為為線段上一點，，所以，且為的中點，所以，又因為，因此，所以，
故選：C.
9．B
【分析】
根據向量的加法運算可得和減法運算可得，結合條件,可得答案.
【詳解】
由，則
則
故選：B
10．B
【分析】
題目考察三角形四心的問題，易得：為三角形的重心，位于中線的三等分點處，從而求出三角形面積的比例關系
【詳解】
如圖所示，由得：為三角形的重心，是中線的交點，
且，所以，，底邊為，
所以，
故選：B
11．A
【分析】
由是的重心，可知，又,,，化簡即可.
【詳解】
由是的重心，可知，
又,,,
故
，
故選：A.
12．C
【分析】
由知O是的外心；利用共起點向量加法將變形為共線的兩向量關系，得到N點在中線上的位置，從而判斷為重心；由移項利用向量減法變形為，得出PB為CA邊上的高，同理得PC為AB邊上的高，故為垂心.
【詳解】
，則點O到的三個頂點距離相等，
O是的外心.
，，
設線段AB的中點為M，則，由此可知N為AB邊上中線的三等分點(靠近中點M)，所以N是的重心.
，.
即，同理由，可得.
所以P是的垂心.
故選：C.
【點睛】
關于四心的向量關系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的內心.(其中 為的三邊)
13．C
【分析】
利用平面向量的加法，減法，數乘運算及其運算律判斷.
【詳解】
①，由數乘運算知正確；
②，由向量的運算律知正確；
③，向量的加法，減法和數乘運算結果是向量，故錯誤.
故選：C
14．C
【分析】
取的中點，由已知條件可知動點滿足，，易得，則點三點共線，進而得到點的軌跡一定通過的重心.
【詳解】
解：設為的中點，則，
則，即，
三點共線，
又因為為的中點，所以是邊的中線，
所以點的軌跡一定通過的重心.
故選：C.
15．D
【分析】
根據向量的數乘的定義判斷．
【詳解】
如圖，由知在延長線上，且，
因此由向量數乘定義知ABC三個選項均正確，D錯誤．
故選：D．
16．C
【分析】
由已知可得，即，從而可得答案.
【詳解】
解：由，得，即，
所以，即，
故選：C.
17．C
【分析】
根據向量線性關系的幾何意義得到的線性關系，即可知正確選項.
【詳解】
由，
∴.
故選：C
18．A
【分析】
選項A：要注意時不成立；
選項B：由得到方向相同，從而得到共線；
選項C：由條件得到，從而；
選項D：通過移項可知選項D顯然正確.
【詳解】
選項A：當時，滿足共線，但不滿足存在唯一的實數λ，使成立，此時不存在實數λ，使成立，所以選項A錯誤；
選項B：若，則方向相同，所以共線，所以選項B正確；
選項C：因為，所以，所以選項C正確；
選項D：若，則，選項D正確.
故選：A．
19．A
【分析】
由向量的線性運算可得，再由平面向量共線定理的推論即可得解.
【詳解】
因為，所以，
所以，
又P是BN上一點，所以，解得.
故選：A.
20．D
【分析】
因為，，三點共線，故可考慮將用表示，再結合三點共線滿足的性質計算即可
【詳解】
因為，
所以.
因為，，故,
所以.
因為，，三點共線，所以，，所以.
故選：D
21．A
【分析】
由已知得出向量與向量的關系，再利用平面向量基本定理即可求解．
【詳解】
因為的邊上有一點滿足，
所以，則，
所以，
故選：A
22．A
【分析】
利用向量的線性運算將條件化為，再根據、、三點共線，得出，解得.
【詳解】
由題意可知，，所以，
又，即.
因為、、三點共線，所以，解得.
故選：A．
23．C
【分析】
由外心到三角形頂點距離相等、重心的性質：且，結合題設即可判斷是△的哪種心.
【詳解】
∵，
∴到△的三個頂點的距離相等，故是△的外心，
如下圖，若是△三條中線的交點，是上的中線，
∴，又，
∴，故題設中的是△的重心.
故選：C
24．A
【分析】
利用向量的加、減以及數乘運算即可求解.
【詳解】
因為，，
所以.
故選：A
25．C
【分析】
由平面向量的線性運算和數乘運算可判斷①②③的正誤.
【詳解】
對于①，，①正確；
對于②，，②正確；
對于③，，③錯誤.
故選：C.
26．C
【分析】
設，可得，由，，三點在同一條直線上，可求得的值，即可得解．
【詳解】
設，
因為，
所以，
因為，，三點在同一條直線上，
所以，所以，
所以．
故選：C
27．C
【分析】
根據、的含義，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】
、分別表示與、同方向的單位向量，
對于A：當時，，故A錯誤；
對于B：當時，若反向平行，則單位向量方向也相反，故B錯誤；
對于C：當時，，故C正確；
對于D：當且時，若滿足題意，此時，故D錯誤.
故選：C
28．B
【分析】
由三角形五心的性質即可判斷出答案．
【詳解】
解：，，
設的中點，則，
，，三點共線，即為的中線上的點，且．
為的重心．
，
，
為的外心；
，
，
即，，
同理可得：，，
為的垂心；
故選：．
【點睛】
本題考查了三角形五心的性質，平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．
29．BD
【分析】
由可得，從而可對ABD進行判斷，再對變形化簡可對C進行判斷
【詳解】
因為，所以，
所以，
因為有公共端點，所以C，B，D三點共線，且，所以BD正確，A錯誤，
由，得，所以，所以C錯誤，
故選：BD
30．AD
【分析】
A向量平行傳遞性的前提是都為非零向量；B若分別是的中點，結合已知得，再過作上的高，由線段比例確定高的比例關系即可；C由向量反向共線的性質即可判斷；D根據共線向量的定義即可判斷.
【詳解】
A：如果都是非零向量，而，顯然滿足已知條件，但是結論不一定成立，錯誤；
B：若分別是的中點，由題設有，即，，所以三點共線且，過作上的高，易知，則，所以，正確；
C：兩個非零向量，若，則與共線且反向，正確；
D：若向量，則與可能是共線向量，如相反向量，錯誤.
故選：AD
31．ABD
【分析】
對于選項ABD可以直接利用向量和數乘向量的定義判斷，對于選項C，等于零向量，不是零，故C錯誤.
【詳解】
解：對于A： 的長度是的長度的2倍，且與方向相同，故A正確；
對于B：的長度是的長度的，且與方向相反，故B正確；
對于C：若，則等于零向量，不是零，故C錯誤；
對于D：若，則是與同向的單位向量，故D正確.
故選：ABD
32．BD
【分析】
設，利用重心的性質，把用、表示，再由，，三點共線得關于，的方程，再由三角形面積比得關于，的另一方程，聯立即可求得實數的值．
【詳解】
解：如圖，，，即，設，則，
三點共線，，，
所以，與的面積之比為，， 即，化簡得，解得或3.
故選：BD
33．ABC
【分析】
結合正八邊形的特點，分為8個全等的三角形，將圓周角分為8份，每個圓心角為 .
結合向量的計算法則，即可得出結果.
【詳解】
A.正八邊形ABCDEFGH中， ，那么，故A對；
B. ，故B對；
C. 與夾角為 ，故，故C對；
D. ，故D錯；
故選：ABC
34．②③④⑤
【分析】
根據平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】
解：因為，，所以，
，，
，
，即，即正確的有：②③④⑤
故答案為：②③④⑤
35．
【分析】
利用向量的加減法及數乘化簡可得=，又計算即可.
【詳解】
由平面向量的加法運算，有.
因為=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ
=.
所以，
即解得
故答案為：或1.2
36．
【分析】
根據以及進行線性運算，由此可求得的表示.
【詳解】
因為，
所以，
故答案為：.
37．菱形
【分析】
由易得，即為平行四邊形，再由即可判斷的形狀.
【詳解】
由得，即，
∴，于是平行且等于，
∴四邊形為平行四邊形，又，從而，
∴，即四邊形為菱形．
故答案為：菱形
38．四邊形是梯形
【分析】
根據共面向量基本定理可知，，即可判斷四邊形形狀.
【詳解】
如圖所示，
，
所以，即，且.
所以四邊形是梯形.
39．
（1）
（2）
【分析】
(1)利用向量運算律可化解合并(2)利用向量運算律可化解合并
（1）
原式=
（2）
原式=
40．（1）--5；（2）-.
【分析】
(1)利用向量的數乘及加減法計算即可；
（2）解方程即可得出結果.
【詳解】
解(1)原式 =+=-+.
∵，，
∴原式=-(3+2)+(2-)= +=--5.
(2)將3-=兩邊同乘2，得6-2=2.
與5+2=相加，得11=+2，∴=+.
∴=3-=3-=-.
.
41．（1）答案見解析；（2） 證明見解析．
【分析】
（1）根據平面向量的線性運算即可求解；
（2）利用平面向量共線定理可得求證.
【詳解】
（1）如圖，
延長到點，使，連接，，得到平行四邊形，
則，
因為是的中點，
所以，，
因為是的中點，所以，
，
；
（2）由（1）知，，，
所以，所以，共線，
又，有公共點，所以，，三點共線．
42．（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】
（1）結合圖形利用向量的加法運算求解；
（2）設，，則，然后根據題意將用表示出來，從而可用表示，再由三點共線可得結論
【詳解】
解：（1）
.
（2）設，，則，
因為
所以
，
所以，即，
故為定值.

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