資源簡介

《一次函數中的動點問題》教學設計
一、選題背景：本題選自人教版初中數學教材八年級下冊第十九章《一次函數》第108頁復習題綜合運用第10題。
二、題目內容：已知A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x+y=10，設△OPA的面積為S
（1）求S關于x的函數表達式；
（2）求x的取值范圍；
（3）當s=12時，求P點坐標；
（4）畫出函數S 的圖象。
三、教學目標：
本題為一節復習課，屬于一次函數中動點問題的綜合題型，要求學生能從運動、變化的角度去分析問題，揭示變量間的內在聯系，尋求變量間的對應規律，從而建立適當的函數關系式，并利用題目中的條件，求出自變量的取值范圍。
通過構建圖形、動態演示、觀察探究、建立模型等活動，利用一次函數把抽象的數量關系和直觀幾何圖形結合起來，從“數”和“形”兩方面動態地分析問題，加深對“轉化”思想、“數形結合”思想以及“數學建模”思想的認識，培養學生抽象、轉化、建模等能力。
三、教學重難點：
重點：用一次函數解決動點問題中的面積問題；
難點：在運動過程中用等量關系表示線段的長度。
四、學情學法分析：
根據我校的為鄉鎮初級中學，學生基礎較為薄弱，思維能力不突出。加之函數本身就是初中學生學習的難點。因此本題采用引導、啟發的教學法為主，利用數形結合、幾何畫板動態演示的方式進行講解。
據筆者教學經驗，學生解答本題時可能會遇到的第一個困難是難以正確畫出草圖；第二個也是最大的困難是理解不了條件“x+y=10”的意義，進而無法將動點P的運動規律具體化、形象化；至于最后面，△OPA高的數量表示，面積S的計算，自變量的取值范圍等，只要能夠抽象出恰當的圖形，一般都能夠正確計算出結果。
五．教學過程
一．課前熱身
1．問題搶答
(1) 坐標象限點的有什么特征？
(2) 三角形面積公式是怎樣的？
(3)談談對x+y=10的理解？
2. 看圖填空
（1）已知 A(8，0)及在第一象限的點P(2，3) ,設△OPA的面積為S，則S= _____
（2）已知 A(8，0)及在第四象限的點P(2，-3) ,設△OPA的面積為S，則S= _____
（3）已知 A(8，0)及在第一象限的點P(x，y) ,設△OPA的面積為S，則S= _____
（4）已知 A(8，0)及在第四象限的點P(x，y) ,設△OPA的面積為S，則S= _____
二．題目講解
已知A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x+y=10，設△OPA的面積為S
（1）求S關于x的函數表達式；
（2）求x的取值范圍；
（3）當s=12時，求P點坐標；
（4）畫出函數S 的圖象。
①分析題目條件：
請學生花一分鐘時間看題，找出有哪些坐標系、一次函數方面的信息，這些信息大致描述了怎樣的一個圖形模型，該圖形具有怎樣的特征？
引導學生思考:
ⅰ.點A(8，0)的位置？(位于X軸正半軸)
ⅱ.第一象限內點的特征？(橫坐標x﹥0,縱坐標y﹥0)
ⅲ.回憶一次函數解析式的一般表達形式(y=kx+b),對比思考條件“x+y=10”的意義，能否進行變形轉換？(y=-x+10)
②畫草圖：
畫出平面直角坐標系，標出點A(8，0)；
引導學生回憶在知道解析式的情況下，畫一次函數圖像的一般步驟(先求出y=-x+10與坐標軸的兩個交點：B(10,0),C(0,10))。
根據“第一象限”這一條件的限制，只保留直線在第一象限內的圖像，并在其上標注一點P(x,y)（這樣就把動點P的軌跡具體成了一條線段），連結PA,PO。
③分析題目問題：
題目要求求出“△OPA的面積為S關于x的函數解析式”，那么就要先找出△OPA的什么與什么？（底和高，過P做PD⊥X軸于點D）；
高PD的長度怎樣表示？(用P點的縱坐標y，進而得出S=4y)；
既然要求是S關于x的函數解析式，那么y要怎樣轉化成用含x的式子來表示？(根據x+y=10，得y=-x+10，進而得出S=-4x+40)
題目條件中，對自變量x有怎樣的限制？思路一：P(x,y)在第一象限，所以有不等式組：，也即，解得；
④利用一次函數的知識解答問題并板書正確解答格式：
解：(1)∵ x+y=10
∴ y=-x+10，點P為線段BC上的動點
過點P做PD⊥X軸于點D
整理得：
(2) ∵點P(x,y)在第一象限
∴，也即
解得
自變量x的取值范圍為：
(3)∵s=12 ∴-4x+40=12
解得x=7
P點坐標為（7,3）
(4)圖略
三． 拓展延伸，題目變式
回顧本題做題方法并思考：本題中的動點P是在“第一象限”，若改成在“第四象限”，其他條件不變，第（1）（2）問結果有什么變化？
（高PD的長度怎樣表示？用P點的縱坐標y的絕對值表示，進而得出S=-4y)；
四．學以致用，對應訓練
題目 人教版初中數學教材八年級下冊第十九章《一次函數》第99頁綜合運用第9題。
點P(x,y)在第一象限，且x+y=8，點A的坐標為(6，0).設△OPA的面積為S.
(1)用含x的式子表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數S的圖像.
(2)當點P的橫坐標為5時，△OPA的面積為多少？
(3) △OPA的面積能大于24嗎？為什么？
（學生演板，教師巡視）
五．總結解答一次函數中動點問題的解題方法:
1.解題步驟
①分析題目已知條件、所求問題
②建立平面直角坐標系，畫出圖形；
③找出常量、變量，在運動變化過程中尋找變量間的關系，建立一次函數模型；
④列出函數關系式并求出自變量的取值范圍；
2.數學思想方法
數學思想方法：數形結合思想、動點思想、方程和函數的轉化思想等等
六．布置作業
1.已知直線L:2x+y=8，點P(x,y)在L上，且x﹥0,y﹥0,點A（4，0），設△OPA的面積為S，求S關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍。
2. 已知點A（8，0）、B(0，6),對于動點，是否存在實數， 使得？若存在，請寫出所有滿足條件的的值，若不存在，請說明理由。
七、教學反思：
由圖形中的一個或多個動點沿射線、線段或弧線運動，引起未知量與已知量間的一種變化關系，就是動點問題中的函數關系。這種函數關系是近年中考命題的熱點，也是初中數學教學的重點與難點。而一次函數是學生在初中階段學習的第一個函數，它是最基礎的函數，解決一次函數中動點問題的關鍵是“動中求靜”，在變化中尋求不變的性質，就是要在教學中逐步滲透“數形結合”重要的數學思想方法，這也為以后學生解決二次函數、反比例函數的動點問題奠定扎實的基礎。

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