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專題02 空間動(dòng)點(diǎn)軌跡8種題型歸類
一、核心考點(diǎn)題型歸納
【題型一】 空間動(dòng)點(diǎn)恒平行型軌跡
【題型二】 空間動(dòng)點(diǎn)恒垂直型軌跡
【題型三】 平行與垂直綜合型軌跡
【題型四】 空間線段長(zhǎng)度定值型軌跡
【題型五】 空間定長(zhǎng)線段中點(diǎn)型軌跡
【題型六】 空間動(dòng)點(diǎn)角度定值型軌跡
【題型七】 空間翻折型動(dòng)點(diǎn)軌跡
【題型八】 空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡
二、期中期末好題培優(yōu)練
【題型一】空間動(dòng)點(diǎn)恒平行型軌跡
知識(shí)點(diǎn)與技巧： 空間點(diǎn)的軌跡幾種常見情形： （1）平面內(nèi)到空間定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，可結(jié)合球面得軌跡； （2）與定點(diǎn)的連線與某平面平行，利用平行平面得點(diǎn)的軌跡； （3）與定點(diǎn)的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點(diǎn)的軌跡； （4）與空間定點(diǎn)連線與某直線成等角，可結(jié)合圓錐側(cè)面得軌跡；
（2023秋·湖南·高二株洲市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）
1．已知正方體的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn)，P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（ ）
A． B．2 C． D．1
（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
2．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
3．如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點(diǎn)N為側(cè)面上的一點(diǎn)，且MN//平面，若點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為2，則（ ）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）
4．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【題型二】空間動(dòng)點(diǎn)恒垂直型軌跡
（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
5．如圖，在體積為6的三棱錐中，PA PB PC兩兩互相垂直，，若點(diǎn)M是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）
6．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在CD上，現(xiàn)將沿AE折起，使面面ABC，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，求點(diǎn)D在面ABC上的射影K的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）
7．已知是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的軌跡周長(zhǎng)是（ ）
A． B．2π C． D．4π
（2023春·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）
8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．若，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）

A． B．
C． D．
【題型三】平行與垂直綜合型軌跡
（2023·河南·統(tǒng)考三模）
9．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：

①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；
②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；
③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；
④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）
10．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中不正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)P滿足
B．存在點(diǎn)P滿足
C．滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D．滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
（2023春·廣西防城港·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）
11．如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得 B．平面
C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點(diǎn)，若MP與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為
【題型四】 空間線段長(zhǎng)度定值型軌跡
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
12．已知是棱長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)P為正方體表面上任一點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
B．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C．若，則點(diǎn)P的跡長(zhǎng)度為
D．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
13．在正方體中，已知，點(diǎn)O在棱上，且，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2023春·廣東深圳·高一校考階段練習(xí)）
14．正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在三棱錐的側(cè)面表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）
15．正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）
16．正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A． B．
C． D．
【題型五】 空間定長(zhǎng)線段中點(diǎn)型軌跡
（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
17．在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動(dòng)點(diǎn)，，E為PD的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
18．已知正六棱柱的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，為的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（ ）
A． B． C． D．
（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
19．如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為3,∠BAD=60°,長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng),則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
（2023春·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）
20．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，長(zhǎng)為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【題型六】空間動(dòng)點(diǎn)角度定值型軌跡
（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）
21．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）

A． B． C． D．
（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）
22．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
23．如圖，線段與平面斜交于點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線一支
（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）
24．如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【題型七】空間翻折型動(dòng)點(diǎn)軌跡
25．已知矩形中，，，如圖，將沿著進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，若點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（ ）
A． B． C． D．
26．如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長(zhǎng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
27．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為 .
28．如圖所示，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為 .
【題型八】空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡
29．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為 ；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為 .
30．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為 .
31．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為 .
一、單選題
（2023春·新疆烏魯木齊·高二校考階段練習(xí)）
32．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2021秋·福建泉州·高二晉江市第一中學(xué)校考期中）
33．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡在（ ）
A．圓上 B．雙曲線上 C．直線上 D．橢圓上
（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中學(xué)校校考期中）
34．在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，直線與平面所成的角為．記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，則（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
35．已知長(zhǎng)方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，，且平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度是（ ）
A． B． C． D．2
（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）
36．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
37．已知正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為，，交于點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．1 B． C． D．2
（2022秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)階段練習(xí)）
38．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為( )
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
39．在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
40．正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則三棱錐的體積為定值
C．若點(diǎn)總滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線
D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)面積為的圓
（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）
41．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．存在唯一一點(diǎn)，使得
B．存在唯一一點(diǎn)，使得直線與平面所成角取到最小值
C．若直線平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若 ，則三棱錐的體積為
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
42．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，棱AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在正方體的內(nèi)部及其表面運(yùn)動(dòng)，使得平面，則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)最大時(shí)，MN與BC所成的角為
C．正方體的每個(gè)面與點(diǎn)N的軌跡所在平面夾角都相等
D．若，則點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為
（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
43．已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若為線段上任一點(diǎn)，則與所成角的余弦值范圍為
B．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
C．若在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
D．若三棱錐的體積為恒成立，點(diǎn)軌跡的為圓的一部分
三、填空題
（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
44．點(diǎn)為正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，若球的體積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 .
（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）
45．已知正四棱柱的體積為，側(cè)棱，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 ．
（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）
46．已知正方體的棱長(zhǎng)為為體對(duì)角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 .
（2022春·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）
47．已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)到底面的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球的半徑為5，則滿足上述條件的頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 .
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．A
【分析】畫出示意圖，找出過且跟面平行的平面，其跟面的交線即是的軌跡．
【詳解】如圖，
分別作的中點(diǎn)G，H，F(xiàn)，連接，
由題可知，
則四邊形為平行四邊形，
平面BEF，平面，平面；
同理可得平面，∴平面平面，
由題意知平面，又點(diǎn)P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，
線段GH，點(diǎn)P的軌跡為GH，．
故選：A．
2．B
【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則易證平面平面，進(jìn)而得當(dāng)F的軌跡為線段時(shí)，則有平面，再根據(jù)勾股定理及三角形的中位線計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示：
取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?br/>所以，
平面，平面，
所以平面，
同理可證明平面，
又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面平面，
當(dāng)F的軌跡為線段時(shí)，此時(shí)平面，則有平面，
此時(shí).
故選：B.
3．B
【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面，再由MN//平面可得點(diǎn)N的軌跡為線段DE，據(jù)此即可得解.
【詳解】如圖，

取的中點(diǎn)D，的中點(diǎn)E，連接MD，DE，ME，
由，，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面
所以平面平面，又平面，
故點(diǎn)N的軌跡為線段DE，又由，可得．
故選：B．
4．D
【分析】作出輔助線，找到點(diǎn)的軌跡，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，得到周長(zhǎng).
【詳解】延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線與，連接，分別交，于，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>同理可得平面，
因?yàn)椋云矫嫫矫妫?br/>過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
連接，則
則平行四邊形（點(diǎn)除外）為點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的圖形，
因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4，，分別為棱，的中點(diǎn)，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，
則由幾何關(guān)系可知，所以，
由勾股定理得，
所以點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為.
故選：D
5．C
【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)的軌跡為斜邊上的高線，即可根據(jù)等面積法以及基本不等式求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最大值．
【詳解】解：如圖所示，過作于，連接.
，，兩兩垂直，所以平面，又平面
即有，而，平面
所以平面，又平面
即，故點(diǎn)的軌跡為斜邊上的高線，
因?yàn)槿忮F的體積為6，所以，即，
又可得．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度的最大值為.
故選：C．
6．D
【分析】在原平面矩形中,連接,由面面ABC知,故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓上一段弧,根據(jù)的位置求出此弧的長(zhǎng)度.
【詳解】
由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂足為在平面上的射影，連接,由翻折的特征知，
則，故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓上一段弧，根據(jù)長(zhǎng)方形知圓半徑是，
如圖當(dāng)與重合時(shí)，,所以，
取為的中點(diǎn)，得到是正三角形.
故，
其所對(duì)的弧長(zhǎng)為；
故選：D.
7．D
【分析】根據(jù)可得到的中點(diǎn)為的距離為，再根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得在其中一個(gè)側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度，同理可確定其它側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度，從而可得的軌跡周長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)椋瑒t，又正方體的棱長(zhǎng)為，
取線段的中點(diǎn)為，則，
由于在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，要滿足，則點(diǎn)在正方體的四個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，
如圖，當(dāng)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接
因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，，
又平面，所以平面，由于平面，
所以，則，則在側(cè)面上得軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，此時(shí)的軌跡長(zhǎng)為；
同理，當(dāng)在其它側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡長(zhǎng)均為；
綜上，的軌跡周長(zhǎng)是.
故選：D.
8．C
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，設(shè)，證明出平面，可知點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為的三邊，求出的周長(zhǎng)即可得解.
【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，
設(shè)，如下圖所示．

因?yàn)樗倪呅问钦叫危贮c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
則，，，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，即．
在正方體中，平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，，
又，、平面，所以，平面．
所以點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為的三邊，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，
由勾股定理可得，同理可得，，
所以的周長(zhǎng)為．
故選：C．
9．C
【分析】由正方體性質(zhì)得面，根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證面，確定軌跡圖形判斷①；若分別為中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行、面面平行的判定證面面，確定軌跡圖形判斷②；若分別為的中點(diǎn)，連接，同②方式證面面，確定軌跡圖形判斷③；若分別是的中點(diǎn)，并依次連接，先證面面，結(jié)合①得面，確定軌跡圖形判斷④.
【詳解】由面，而面，則，又，
又，面，則面，
由面，則，同理，
，面，則面，
所以垂直于面所有直線，且面，
若，則在邊長(zhǎng)為的正△的邊上，
故軌跡圖形面積為，①對(duì)；

若分別為中點(diǎn)，連接，
由正方體的性質(zhì)易得，，
所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，
由面，面，則面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，
所以軌跡長(zhǎng)為，②錯(cuò)；

若分別為的中點(diǎn)，連接，顯然，
所以共面，即面，
由，面，面，則面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面內(nèi)任意直線都與面平行，
要使∥平面，則在四邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，③對(duì)；

若分別是的中點(diǎn)，并依次連接，
易知為正六邊形，顯然，，
由面，面，則面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，則面，故垂直于面所有直線，
要使，則在邊長(zhǎng)為的正六邊形邊上運(yùn)動(dòng)，
所以軌跡圖形面積為，④對(duì)；

故選：C
10．C
【分析】假定，結(jié)合條件可得，，然后利用圓的位置關(guān)系可判斷A，利用坐標(biāo)法可得點(diǎn)P在中心時(shí)，可判斷B，利用線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得點(diǎn)P的軌跡可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)椋?br/>又，且始終垂直平面，所以，點(diǎn)在以B為圓心，半徑為1的圓上，
同理，，則，點(diǎn)P在以C1為圓心，半徑為的圓上，如圖1，
又因?yàn)椋詢蓚€(gè)圓相交有交點(diǎn)，即存在點(diǎn)P滿足，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，
若點(diǎn)在正方形中心處，即，
則，，可得，即 ，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)槠矫妫制矫妫裕?br/>在正方形中，，又平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可得，又，平面，
所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)P在側(cè)面上，平面平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，過M點(diǎn)作交BC于點(diǎn)G，過M點(diǎn)作交于H，則，
因?yàn)椋裕?br/>同理，又平面，
平面，又平面平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，故D正確.
故選：C.
11．D
【分析】根據(jù)線面垂直判斷線線垂直可求解A，利用線面平行判斷B，根據(jù)外接球與三棱錐的的幾何關(guān)系判斷C，利用線面角的定義確定點(diǎn)的軌跡即可求解D,
【詳解】
對(duì)于A，連接,
因?yàn)槠矫?平面,所以,
且四邊形為正方形，所以,
且，平面,
所以平面,所以當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
必有平面,則，
所以存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，
與平面相交，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則為中點(diǎn)，
連接,則為等腰直角三角形，且，
且也為等腰直角三角形，且,
且平面平面，
所以取中點(diǎn)為，則為三棱錐外接球的球心，
所以外接球的半徑為,
所以我外接球的表面積為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接
因?yàn)槠矫妫詾镸P與平面ABCD所成的角，
所以，所以,
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的個(gè)圓弧，
所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為，D正確，
故選:D.
12．D
【分析】根據(jù)題意，依次分析點(diǎn)P軌跡,討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡為半徑為1，圓心角為的三段圓弧，
所以此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故A選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，如圖2，點(diǎn)P的軌跡一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧，
另一部分是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧；所以此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，如圖3，點(diǎn)P的軌跡是在面三個(gè)面內(nèi)以1為半徑，圓心角為的三段弧，
所以此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；
當(dāng)，如圖4，點(diǎn)P的軌跡是在面三個(gè)面內(nèi)以為半徑，圓心角小于的三段弧，
所以此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度小于，故D選項(xiàng)不正確；
故選：D．
13．C
【分析】，則點(diǎn)P會(huì)在4個(gè)面內(nèi)有軌跡，且均是圓弧，分別計(jì)算半徑和圓心角即可.
【詳解】依題意，∵，，，∴，，
所以，所以，又因?yàn)椋裕?br/>所以，即.
在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為，
該軌跡是以5為半徑的個(gè)圓周，所以長(zhǎng)度為；
同理，在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為；
在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，
為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為；
同理，在平面ABCD內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為.
故軌跡的總長(zhǎng)度為.
故選：C.
14．B
【分析】作出圖形，分析可知點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與的交線，計(jì)算出圓心角的大小，結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槠矫妫遥?br/>所以，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在內(nèi)的交線，
取的中點(diǎn)，則，且，
設(shè)圓弧交于、兩點(diǎn)，如下圖所示：
，所以，，
又因?yàn)椋瑒t為等邊三角形，
故點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是.
故選：B.
15．A
【分析】由題意可知點(diǎn)在以為球心，半徑的球上，所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，然后畫出圖形，分別求出其在四個(gè)面上的軌跡長(zhǎng)度即可.
【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為球心，半徑的球上，
因?yàn)辄c(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，
所以正方體的面對(duì)角線為，
所以三棱錐為棱長(zhǎng)為的正三棱錐，
由正方體的性質(zhì)可知到平面的距離為，
所以球在平面上的截面圓的半徑，
所以截面圓的圓心正好是正三角形的中心，
設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，
由正弦定理得，則，
所以，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是圓在內(nèi)的弧長(zhǎng)，如圖所示，
，為銳角，
所以，
所以，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以球在平面上的截面圓心為，設(shè)圓的半徑為，
則，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是一段劣弧，如圖所示，
因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，
所以的長(zhǎng)為，
由對(duì)稱性可知點(diǎn)在平面和平面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)相等，都等于，
所以點(diǎn)在三棱錐的表面上的軌跡的長(zhǎng)度為
，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查立體幾何中軌跡的求法，解題的關(guān)鍵是正確的畫出圖形，根據(jù)圖形求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.
16．A
【分析】由題意可知點(diǎn)在以為球心，半徑的球上，所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，然后畫出圖形，分別求出其在四個(gè)面上的軌跡長(zhǎng)度即可.
【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為球心，半徑的球上，
因?yàn)辄c(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，
所以正方體的面對(duì)角線為，
所以三棱錐為棱長(zhǎng)為的正三棱錐，
由正方體的性質(zhì)可知到平面的距離為，
所以球在平面上的截面圓的半徑，
所以截面圓的圓心正好是正三角形的中心，
設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，
由正弦定理得，則，
所以，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是圓在內(nèi)的弧長(zhǎng)，如圖所示，
，為銳角，
所以，
所以，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以球在平面上的截面圓心為，設(shè)圓的半徑為，
則，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是一段劣弧，如圖所示，
因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，
所以的長(zhǎng)為，
由對(duì)稱性可知點(diǎn)在平面和平面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)相等，都等于，
所以點(diǎn)在三棱錐的表面上的軌跡的長(zhǎng)度為
，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查立體幾何中軌跡的求法，解題的關(guān)鍵是正確的畫出圖形，根據(jù)圖形求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.
17．D
【分析】作的中點(diǎn)，連接，，即可得到且，從而得到且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度相同，作于，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心長(zhǎng)為半徑的圓，即可得解；
【詳解】解：如圖，作的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)椋?br/>所以．因?yàn)椋裕?br/>故四邊形為平行四邊形，則有，且，則有點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度相同，
過點(diǎn)作于，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心長(zhǎng)為半徑的圓，且，
故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．
故選：D．
18．B
【分析】根據(jù)題意，可判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡為球，結(jié)合球的體積公式，即可求解.
【詳解】由直角三角形的性質(zhì)得，
所以點(diǎn)在以為球心，半徑是的球面上運(yùn)動(dòng)，
因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分球，
其體積為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.但是本題既不是內(nèi)切，也不是外接，而是棱柱與球的結(jié)合，類似切割球來求體積問題.
19．A
【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，從而確定點(diǎn)的軌跡與平行六面體所圍成的幾何體的形狀，即可求幾何體的體積．
【詳解】連接、，則平面，平面，
在中，MN=2，MN的中點(diǎn)為P，則DP=1,
點(diǎn)P的軌跡為：以D為球心,半徑r=1的球面的一部分，
球的體積為V=π·r3=.
∵，∴，
故所求幾何體的體積.
故選::A.
20．D
【分析】連接、，分析得出，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，半徑長(zhǎng)為的球面，作出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】連接、，因?yàn)椋摇⒎謩e為、的中點(diǎn)，
故且，
所以，四邊形為平行四邊形，故且，
平面，則平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>為的中點(diǎn)，故，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，半徑長(zhǎng)為的球面，如下圖所示：
所以，線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體為球的，
故所求幾何體的體積為.
故選：D.
21．B
【分析】作出輔助線，得到P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，求出軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，
連接，因?yàn)椤推矫妫矫妫?br/>所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，
則，
因?yàn)椋裕?br/>故點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，
故軌跡長(zhǎng)度為.

故選：B
22．A
【分析】先利用直線與平面所成的角為45°求得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，
過點(diǎn)P作平面于，連接.
則為直線與平面所成的角，則，
又，則，則，
則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內(nèi)的部分），
若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段，
因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，
所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.
故選：A
23．C
【分析】根據(jù)題意，為定值，可得點(diǎn)P的軌跡為一以AB為軸線的圓錐側(cè)面與平面的交線，由圓錐曲線的定義可求.
【詳解】用垂直于圓錐軸線的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，且平面與軸線所成角大于母線與軸線所成角時(shí)得到橢圓；
當(dāng)平面與軸線所成角小于母線與軸線所成角時(shí)得到雙曲線，當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線．
平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則在以為軸的圓錐的側(cè)面上，可構(gòu)造如圖所示的圓錐，
母線與所在直線（中軸線）的夾角為，然后用平面去截圓錐，使直線與平面的夾角為，
則平面與圓錐側(cè)面的交線為的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，的軌跡為橢圓.
故選：C
24．D
【分析】根據(jù)題意：點(diǎn)H的軌跡是以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側(cè)面交線的一部分，該部分是圓心角為的弧長(zhǎng)，只要求出半徑即可.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)锳B與平面BCD所成的角為，且點(diǎn)A在平面BCD上的射影H，，
所以，
所以點(diǎn)H在以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球面上，
又點(diǎn)H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側(cè)面上，
所以點(diǎn)H的軌跡為以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，
母線AH與軸AB成的圓錐側(cè)面交線的一部分，
即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，
因?yàn)槎娼铅俩?﹣β的平面角的大小為，
所以，
又，
所以點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度等于，
故選：D.
25．C
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)在平面上的射影落在線段上.由翻折過程可知，，判斷出的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的一段圓弧，求出圓心角，利用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng).
【詳解】
如圖（1），過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)在平面上的射影落在線段上.
在中，，，則，由等面積法得.
翻折的過程中，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的一段圓弧.易得，，，所以，則，如圖（2），在圓中，，，所以點(diǎn)的軌跡是，且，則，，從而點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.
故選：C
【點(diǎn)睛】立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，有兩種處理方法：
(1)很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義法)；
(2)要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式．
26．B
【分析】根據(jù)的射影在邊上，且固定長(zhǎng)度為1，所以的軌跡在以為原點(diǎn)半徑為1的圓上，因此考慮的長(zhǎng)度縮短到0時(shí)和變長(zhǎng)到的長(zhǎng)度兩種情況，從而求出夾角大小，進(jìn)而求出弧長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)榈纳溆霸谶吷希夜潭ㄩL(zhǎng)度為1，所以的軌跡在以為原點(diǎn)半徑為1的圓上.考慮極端情況：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度縮短到0時(shí)，都匯聚到線段的中點(diǎn)（D2）；當(dāng)變長(zhǎng)到的長(zhǎng)度時(shí)（的射影為D3），如圖，設(shè)，則,
在中，，
同理：，
∴，即在線段上的投影與點(diǎn)的距離為，從而與夾角為，故點(diǎn)的軌跡為.
故選：B.
27．
【分析】在側(cè)面B′AC上，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是EP，在側(cè)面B′CD上，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是EQ，在底面ACD上，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是PQ，求的△EPQ周長(zhǎng)即可．
【詳解】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，連接OB′，
ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，
所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，
又因?yàn)镺B′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝ ，
取OC中點(diǎn)P，取CD中點(diǎn)Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，
所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，
所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點(diǎn)F軌跡的△EPQ，
因?yàn)镋P＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長(zhǎng)為，
所以點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為 ．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的軌跡問題，屬于偏難題型，本題的關(guān)鍵是通過條件，得到平面，從而得到點(diǎn)的軌跡，
28．
【分析】根據(jù)給定條件探求出PB，PC在平面的射影PE，PD的關(guān)系，再在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，探討出動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡即可作答.
【詳解】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，
從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內(nèi)的射影，如圖，，
，而，則，
在所在平面內(nèi)以點(diǎn)E為原點(diǎn)，射線ED、分別為x，y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，設(shè)，于是得，整理得，
從而得點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，
顯然，圓M在內(nèi)的部分是圓心角所對(duì)的弧，弧長(zhǎng)為，
所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.
故答案為：
29．
【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)P的軌跡為，即得解；
②先求出點(diǎn)P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.
【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則設(shè)，
由得，
所以，
所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.
②設(shè)點(diǎn)，由得，
所以，
由題得
所以設(shè)平面的法向量為，
所以，令，則由題得，
所以點(diǎn)P到平面的距離為，
因?yàn)椋?br/>所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為.
故答案為：；.
30．
【分析】若E為與的交點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可證面，在Rt△中有可得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)且令，結(jié)合已知條件列方程，即可得P的軌跡，進(jìn)而求軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】
若E為與的交點(diǎn)，則，
∵面，面，
∴，又，
∴面，
∴連接PE，即在Rt△中有，又正方體的棱長(zhǎng)為4，
∴
在面上構(gòu)建如下平面直角坐標(biāo)系，若，，
∴，，
∴，又，
∴，整理得，
∴，故軌跡為半徑的圓，
∴軌跡長(zhǎng)度為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正方體的性質(zhì)及勾股定理得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)結(jié)合已知條件可得方程，整理即有P的軌跡方程.
31．##
【分析】由題意易知，由此可得，在平面上，建立平面直角坐標(biāo)系，可知點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，由弧長(zhǎng)公式可求解.
【詳解】如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，
則平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如圖，在平面中，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
由，知，
化簡(jiǎn)整理得，，圓心，半徑的圓，
所以點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，即為圖中的
其中，，，則
由弧長(zhǎng)公式知
故答案為：.
32．A
【分析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長(zhǎng)方形，從而求出面積.
【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.
故選：A
33．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的軌跡方程，從而確定正確答案.
【詳解】依題意四邊形是正方形，平面，
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，以為軸，為軸，為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則，，設(shè)，
因?yàn)?br/>，
由題意可得：，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為：
以為圓心，以為半徑的圓．
故選：A
34．C
【分析】根據(jù)題意即為直線與平面所成的角，故問題轉(zhuǎn)化為以點(diǎn)為圓心在平面內(nèi)做2為半徑的圓，圓弧在矩形內(nèi)的部分即為點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成的角，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以點(diǎn)位于矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，
則點(diǎn)的軌跡為圓弧.
連接，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
則弧的長(zhǎng)度，
所以.
故選：C.
35．A
【分析】先構(gòu)造和平面平行的截面，再根據(jù)空間向量共面確定點(diǎn)的軌跡形狀，再求其長(zhǎng)度.
【詳解】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點(diǎn)，
則，，
所以平面平面，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.
又因?yàn)椋渣c(diǎn)在側(cè)面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，
因?yàn)锳B=AD=2，，
所以.
故選：A.
36．B
【分析】要滿足平面，只需要尋找一個(gè)平面，使該平面經(jīng)過，且與平面平行即可, 取的中點(diǎn)G，的中點(diǎn)H，連結(jié).證明出面面.得到點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為三角形，求出周長(zhǎng)即可.
【詳解】取的中點(diǎn)G，的中點(diǎn)H，連結(jié).
正方體的棱長(zhǎng)為2.為中點(diǎn)，所以,所以且.
因?yàn)闉榉謩e為的中點(diǎn)，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)槊妫妫悦?
同理可證：面.
又,面,面,
所以面面.
所以點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為三角形.
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以,
所以三角形的周長(zhǎng)為.
故選：B
37．B
【分析】取的中點(diǎn)分別為，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得點(diǎn)軌跡為折線，結(jié)合條件即得.
【詳解】取的中點(diǎn)分別為，連接，
則，，又平面，，
∴平面，，
∴，又，
∴平面，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且，
故點(diǎn)軌跡為折線，
由題可知，，
∴，
故點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為.
故選：B.
38．A
【分析】連接、、，，連接BE交于O，證明平面得DO⊥OP，求出OP長(zhǎng)度，確定O的位置，確定P的軌跡形狀，從而可求P的軌跡長(zhǎng)度．
【詳解】連接、、，
則，，，
∴⊥平面，∴，
同理，∴平面．
設(shè)，連接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，則，
連接OP，則，∴，
可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，
OB=2OE，E為中點(diǎn)，及△為等邊三角形可知O為△中心，
OE=，如圖：
，，，
則∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四邊形是菱形，則
∴的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．
故選：A．
39．B
【分析】將三棱柱補(bǔ)形為正方體，容易找到BC的中垂面，因?yàn)椋源_定點(diǎn)P在中垂面內(nèi)，通過幾何關(guān)系求解中垂面與三棱柱相交的軌跡長(zhǎng)度即可.
【詳解】因?yàn)椋钥蓪⒅比庵a(bǔ)形為邊長(zhǎng)為2的正方體，取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，K，L按順序連接.，，如圖所示，
正方體中，，，
所以面，
所以，因?yàn)椋?
同理可得，
因?yàn)椋悦妫渲袨檎呅?
因?yàn)镋，G，H，L為的中點(diǎn)，所以M，N為的四等分點(diǎn)，
根據(jù)正方體對(duì)稱性，知O為MN中點(diǎn)也是BC中點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)P在過點(diǎn)O垂直于BC的平面內(nèi)，即點(diǎn)P在面內(nèi).
又因?yàn)辄c(diǎn)P在三棱柱表面上，所以P點(diǎn)的軌跡為五邊形MNEFG，
，由正六邊形及正方體對(duì)稱性可知
，
故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，
故選：B
【點(diǎn)睛】處理此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握立體幾何中的點(diǎn)線面垂直平行異面的關(guān)系，找到與包含未知點(diǎn)的量和已知量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系即可.本題把到兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為找中垂面，再通過線面垂直的判定定理即可證明垂面位置，由此確定點(diǎn)P的軌跡為五邊形，求出長(zhǎng)度即可.
40．ABC
【分析】作出圖形，利用線面垂直、平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)分析檢驗(yàn)即可求解.
【詳解】對(duì)于，因?yàn)榍遥上蛄炕径ɡ砜芍狐c(diǎn)共線，如圖，連接，
在正方體中，，平面，
因?yàn)槠矫妫裕郑?br/>所以平面，
在上任取一點(diǎn)，連接，則平面，所以，
在正方體中，因?yàn)椋遥?br/>所以四邊形為平行四邊形，所以，則，
故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，如圖，連接，
因?yàn)榍遥上蛄炕径ɡ砜芍狐c(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，在正方體中，因?yàn)椋遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕矫妫矫妫云矫妫瑒t直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，又因?yàn)榈拿娣e為一定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，如圖，連接，
在正方體中，，平面，因?yàn)槠矫妫裕郑云矫妫矫妫裕恚校云矫妫驗(yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是直線，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點(diǎn)的軌跡為小圓，設(shè)小圓半徑為，
因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為1，則，
所以小圓的面積為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
41．BCD
【分析】可證得平面，則當(dāng)在線段上時(shí)都滿足，即可判斷A；可得是直線與平面所成的角，當(dāng)直線與平面所成角取到最小時(shí)，最大，亦有最大，即可判斷B；可證平面平面，所以若直線平面，則點(diǎn)在線段上，求出的長(zhǎng)度即可判斷C；用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，再求出的面積即可計(jì)算三棱錐的體積，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，，
，所以平面，所以當(dāng)在線段上時(shí)，
都滿足，此時(shí)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在正方體中，平面，
所以是直線與平面所成的角，
因?yàn)椋遥?br/>所以當(dāng)直線與平面所成角取到最小時(shí)，最大，亦有最大，
所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最大，故B正確；

對(duì)于C，分別取的中點(diǎn)為，連接，
在正方形中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可證平面，平面，，
所以平面平面，所以若直線平面，
則點(diǎn)在線段上，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度即為線段的長(zhǎng)度，
在中，，故C正確；

對(duì)于D，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，由得，
，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則
，令得，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
在中，，，
則等腰底邊上的高，，
所以三棱錐的體積，故D正確.
故選：BCD
42．ACD
【分析】首先利用平面的基本性質(zhì)確定點(diǎn)所在平面，且面面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的一個(gè)法向量，應(yīng)用向量法求到面的距離，進(jìn)而求三棱錐的體積判斷A；找到最大時(shí)MN與BC所成角的平面角即可判斷B；判斷，，與的夾角余弦值的絕對(duì)值是否相等即可判斷C；N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，進(jìn)而求周長(zhǎng)判斷D.
【詳解】過中點(diǎn)作與交，作與交，重復(fù)上述步驟，
依次作的平行線與分別交于（注意各交點(diǎn)均為各棱上的中點(diǎn)），
最后依次連接各交點(diǎn)，得到如下圖示的正六邊形，
因?yàn)椋妫妫?br/>所以面，同理可得面，
因?yàn)椋妫悦婷妫?br/>所以面中直線都平行于面，又面，且平面，
所以面，即面，
根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，且，，，，，，
A：由上分析知：面任意一點(diǎn)到面的距離，即為到面的距離，
而，，若為面的一個(gè)法向量，
所以，令，則，而，
所以到面的距離，即到面的距離為，
又△為等邊三角形，則，
所以三棱錐的體積為定值，正確；
B：由圖知：當(dāng)與重合時(shí)最大為，且，
所以MN與BC所成的角，即為，錯(cuò)誤；
C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量，，與的夾角余弦值的絕對(duì)值是否相等即可，
又，同理可得，
所以正方體的每個(gè)面與點(diǎn)N的軌跡所在平面夾角都相等，正確；
D：若，則點(diǎn)N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，
因?yàn)槊婷妫室彩敲娴姆ㄏ蛄浚?br/>所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，
故點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為，正確.
故選：ACD
43．ABC
【分析】對(duì)于A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式計(jì)算分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得與的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合球體的體積公式計(jì)算；對(duì)于C：分析可得，結(jié)合圓的周長(zhǎng)分析計(jì)算；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.
【詳解】對(duì)于A：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，由題意設(shè)，
，設(shè)與所成角為，
則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)椋茫瑒t，時(shí)取等號(hào)，則，
綜上，，故A正確．
對(duì)于B：設(shè)與的交點(diǎn)，連接OM，，

因?yàn)镺，M分別是與AC的中點(diǎn)，
則MO＝＝，又MA＝MB＝MD＝，
所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，半徑，
此外接球的體積，故B正確．
對(duì)于C：由題意可知：平面平面，則，
點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，滿足，
故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的四分之一圓弧，
所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故C正確．

對(duì)于D：設(shè)三棱錐的高為，
由三棱錐的體積為，解得，
即點(diǎn)到平面的距離為．
對(duì)于三棱錐，設(shè)高為，
由體積可得，解得，
即點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，
平面與平面的距離為，故點(diǎn)在平面或?yàn)辄c(diǎn)，
若，空間點(diǎn)的軌跡為以為軸的圓錐側(cè)面，
顯然點(diǎn)不滿足題意，設(shè)與平面所成的角為，則，
故平面與圓錐側(cè)面相交，且平面與不垂直，
故平面與圓錐的截面為橢圓，顯然點(diǎn)不合題意，
所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化．對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題．注意軌跡的純粹性與完備性．
44．
【分析】在取點(diǎn)，使，證明平面，從而得點(diǎn)的軌跡為平面與球的截面圓周，因此求出球半徑和球心到截面的距離，然后利用截面圓性質(zhì)可得球面圓半徑后可得其周長(zhǎng)．題中球心到截面的距離利用體積法求解．球半徑利用球的體積公式計(jì)算可得．
【詳解】解：如圖，在取點(diǎn)，使，連接，，，
因?yàn)椋傻茫瑒t，所以
所以，
又平面，平面，所以，同理，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
則點(diǎn)的軌跡為平面與球的截面圓周，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，解得，連接，，，
如圖，在對(duì)角面中，
，
到平面的距離即到平面的距離為，
，
又，，設(shè)到平面的距離為，則，，
得到平面的距離為，
所以截面圓的半徑，
則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間的幾何體中的軌跡問題，解題關(guān)系是確定平面，得點(diǎn)的軌跡為平面與球的截面圓周，為了求截面圓半徑，需求得球半徑和球心到截面的距離，這個(gè)距離我們利用體積法求解．
45．
【分析】利用平行確定四點(diǎn)共面，從而得到兩個(gè)平面的交線，進(jìn)而得到交點(diǎn)軌跡，再利用三角形相似，求出軌跡的長(zhǎng)度.
【詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，交于，連接，，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，
則是的四等分點(diǎn)，且，
由正四棱柱的性質(zhì)可得且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
所以四點(diǎn)共面，
所以平面平面，
連接交于點(diǎn)，因?yàn)槭莻?cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，
所以線段即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡，
如圖在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，
因?yàn)椋韵嗨朴冢?br/>所以，所以，
因?yàn)檎睦庵捏w積為，側(cè)棱，
所以，則，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
故答案為：.

46．
【分析】由題意求出到的距離，又易證面，進(jìn)而得到點(diǎn)在所在平面的軌跡是以為半徑的圓，因?yàn)閮?nèi)切圓的半徑為，所以該圓一部分位于三角形外，作出圖形即可求解．
【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，
所以，
設(shè)到的距離為，由，得，
平面，平面，
，
又，，
平面，
，同理可證，又，
面，
點(diǎn)在所在平面的軌跡是以為半徑的圓，
內(nèi)切圓的半徑為，
該圓一部分位于三角形外，
如圖有，解得，
，
圓在三角形內(nèi)的圓弧為圓周長(zhǎng)的一半，
，
故答案為：.
47．
【分析】先設(shè)出，并根據(jù)體積求解出，然后再根據(jù)給出的外接球半徑，計(jì)算球心到底面的距離，然后分兩種情況，球心在底面和截面圓之間和球心在底面和截面圓同一側(cè)，分別計(jì)算截面圓的半徑，從而求得頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】由為等腰直角三角形可得：，
由頂點(diǎn)到底面的距離為3，
三棱錐體積為24，可得：，所以，
所以，
因?yàn)槿忮F外接球的半徑為5，為底面的外接圓圓心，
在中，，解得，
即球心到底面的距離為，又因?yàn)轫旤c(diǎn)到底面的距離為3，
所以頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周，
當(dāng)球心在底面和截面圓之間時(shí)，球心到該截面圓的距離為，
設(shè)頂點(diǎn)的軌跡所在圓的半徑為，可得：，
所以頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時(shí)，球心到該截面圓的距離為，
所以截面圓的半徑為，
所以頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
綜上，頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為：.
故答案為：.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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