資源簡介

專題03 空間向量求角度與距離10種題型歸類
一、核心考點(diǎn)題型歸納 【題型一】異面直線所成的角 【題型二】直線與平面所成的角 【題型三】二面角的平面鉸 【題型四】異面直線探索性點(diǎn) 【題型五】線面角探索性點(diǎn) 【題型六】二面角探索性點(diǎn) 【題型七】空間向量求點(diǎn)到面的距離 【題型八】翻折型：求異面直線所成的角 【題型九】翻折型：求直線與平面所成的角 【題型十】翻折型：二面角 二、期中期末好題培優(yōu)練
知識(shí)點(diǎn)與技巧：一、向量角度： 二、角度公式： （1）、異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角） （2）、直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，）是平面法向量 （3）、二面角（法向量的方向角，） 判斷正負(fù)方法： （1）觀察法； （2）同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等； 三、向量計(jì)算點(diǎn)到距離公式（棱錐等的高）
【題型一】 異面直線所成的角
（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）
1．如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，P為上的點(diǎn).且求：
(1)λ的值；
(2)異面直線PC與所成角的余弦值．
（2023春·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）
2．如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，，△PAC是邊長為2的正三角形，，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為l.

(1)證明：直線l⊥平面PAC；
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線l上，直線PQ與平面AEF所成的角為α，異面直線PQ與EF所成的角為θ，求當(dāng)AQ為何值時(shí)，
（2023·全國·高二專題練習(xí)）
3．如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點(diǎn)．
(1)證明：CD⊥AE；
(2)點(diǎn)F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．
【題型二】直線與平面所成的角
知識(shí)點(diǎn)與技巧：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法： （1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角； （2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角； （3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
4．如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）
5．如圖，在四棱錐中，，，M是棱PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)．

(1)證明：平面MAC；
(2)畫出平面PAB與平面PCD的交線l，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，若平面平面ABCD，，，，求l與平面MAC所成角的正弦值．
【題型三】二面角的平面角
（2023秋·全國·高二期中）
6．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)的射影為D．
(1)求證：平面BDE；
(2)若點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面BDE的距離；
(3)若點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍．
（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
7．如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點(diǎn)，且滿足平面平面.
(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡長度；
(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.
【題型四】異面直線探索性點(diǎn)
（2022秋·北京昌平·高二校考階段練習(xí)）
8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).

(1)求證平面；
(2)試在線段上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是.
（2021秋·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）
9．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，，，，點(diǎn)是AB的中點(diǎn)．
(1)求直線到平面的距離．
(2)在線段AB上找一點(diǎn)，使得與CP所成角為60°，求的值．
（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）
10．在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.
(1)求二面角的余弦值；
(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M（不含端點(diǎn)），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由.
【題型五】線面角探索性點(diǎn)
（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）
11．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.
（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）
12．如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)．

(1)求證：‖平面CPM；
(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長．
（2023·全國·高二專題練習(xí)）
13．如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【題型六】二面角探索性點(diǎn)
（2022秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）
14．三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.

(1)求證：面面ABC；
(2)若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請說明理由.
（2023春·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習(xí)）
15．如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足.若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.
（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）
16．如圖，在梯形中，AB，四邊形為矩形，且平面.

(1)求證：平面平面；
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
【題型七】空間向量求點(diǎn)到面的距離
（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）
17．如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.

(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)求平面與平面夾角大??；
(3)若在線段上存在點(diǎn)，使得平面，求點(diǎn)到平面的距離.
（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）
18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考開學(xué)考試）
19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面平面，.

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值.
【題型八】翻折型：求異面直線所成的角
（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）
20．如圖1，是平行四邊形，，．如圖2，把平行四邊形沿對角線AC折起，使與成角，

(1)求的長；
(2)求異面直線與所成的角的余弦值.
（2023秋·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）
21．如圖，梯形ABCD中，，，，沿對角線AC將折起，使點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的投影O恰在AC上.

(1)求證：平面BCD；
(2)求異面直線BC與AD所成的角；
【題型九】翻折型：直線與平面所成的角
（2023秋·湖北宜昌·高二長陽土家族自治縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）
22．如圖1，四邊形是梯形，，，是的中點(diǎn)，將沿折起至，如圖2，點(diǎn)在線段上.

(1)若是的中點(diǎn)，求證：平面平面；
(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的余弦值.
（2023秋·福建寧德·高二?？奸_學(xué)考試）
23．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（），連接，，．

(1)證明：；
(2)設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【題型十】 翻折型：二面角
2023·全國·高二假期作業(yè)）
24．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.
(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；
(2)若，求銳二面角的大小.
（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）
25．如圖1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接PB，PC，得到四棱錐P-BCED，如圖2所示，設(shè)平面平面PBC=l.
(1)求證：平面PBD；
(2)若點(diǎn)B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值.
（2022秋·全國·高二期中）
26．在中，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)求與平面所成角的大?。?br/>(2)在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請說明理由.
（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）
27．用文具盒中的兩塊直角三角板(直角三角形和直角三角形)繞著公共斜邊翻折成二面角，如圖和，，，，，將翻折到，使，為邊上的點(diǎn)，且.

(1)證明： 平面平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校?br/>28．如圖，四棱錐中，，，，，，為線段中點(diǎn)，線段與平面交于點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求四棱錐的體積.
（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
29．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且∥平面．

(1)證明：；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
（2023·全國·高一專題練習(xí)）
30．如圖，四棱臺(tái)中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.
（2023·全國·高二專題練習(xí)）
31．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.
(2)若，，，點(diǎn)M在直線上，求直線AB與平面所成角的正弦值的最大值.
（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）
32．如圖，四棱臺(tái)中，上 下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，分別為的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.

(1)求證：∥平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由
（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）
33．如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為直角梯形，分別為的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的坐標(biāo)，根據(jù)，可得，即可求得答案；
（2）根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的棱長為2，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接，
因?yàn)闉檎切?，故?br/>以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，為軸，以過點(diǎn)O和平行的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
于是，，，
因?yàn)?，故，則，
故，
因?yàn)?，所以?br/>即.
（2）由（1）知，所以，，
所以，，
所以，
由于異面直線所成角的范圍為，
所以異面直線PC與所成角的余弦值是.
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用中位線，直線平面的平行問題得出，根據(jù)直線平面的垂直問題得出平面，即可得出直線平面；
（2）建立坐標(biāo)系得出平面的法向量，分別求出,，,，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解．
【詳解】（1）證明：，分別為，中點(diǎn)，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，
，
，
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
直線平面.
（2）如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，過作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則,0,，,0,，,0,，,2,，,0,，,,，
,0,為平面的法向量，,2,，,,，
,，,，
設(shè)直線分別與平面、直線所成的角分別為，，，
，，，
即，求解，存在,1,或,,，
即當(dāng)時(shí)，．
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直進(jìn)而得線線垂直，由二面角定義可得，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)得線線垂直即可求，
（2）由線面平行的性質(zhì)可得線線平行，由線線角的幾何法可利用三角形的邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫覂善矫娼痪€為,，平面
所以平面，所以，是二面角的平面角，故 ．
連接，E為棱的中點(diǎn)，則，從而．
又，，平面AED，所以平面，平面,因此．
（2）解法1：設(shè)，則，所以．
連交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連．因?yàn)槠矫?，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG
所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以G為中點(diǎn)，故．且直線與所成角等于直線與所成角．
在中，，因?yàn)椋?br/>所以．
因此直線AE與DF所成角的余弦值為．
解法2；設(shè)，則，所以．
取中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，則．
連接交于點(diǎn)，連，因?yàn)槠矫妫矫鍭GE，平面AGE平面BDF=IH，所以．
與所成角等于直線與所成角．
正方形中，，，所以，故．
在中，，，
由余弦定理．在中，．
因此直線與所成角的余弦值為．
解法3:由（1）知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為2個(gè)單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由（1）知，得，．
則，，，．
由，得．
因?yàn)槠矫鍮DF，所以存在唯一的，，
使得，
故，解得，
從而．
所以直線與所成角的余弦值為．
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）欲證明一條直線平行于一個(gè)平面，只需證明該直線平行于平面內(nèi)的一條直線即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算線面角.
【詳解】（1）
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，
則，，∴四邊形為平行四邊形，
所以，∵平面，平面，
平面；
（2）在平面中過點(diǎn)作于，連接，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
由菱形，，得，，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，解得，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
綜上，直線與平面所成角的正弦值為.
5．(1)證明見解析
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）延長，交于點(diǎn)，再根據(jù)平面的性質(zhì)即可得解；
（3）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，?br/>所以，
又因M是棱PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）延長，交于點(diǎn)，
所以時(shí)平面與平面的公共點(diǎn)，
所以直線就是平面與平面的交線；
（3）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，?br/>所以，所以，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
則，
即l與平面MAC所成角的正弦值為．

6．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；
（2）建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；
（3）利用空間向量求面面夾角，整理得，換元令，結(jié)合二次函數(shù)取值范圍.
【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切?，D為AC中點(diǎn)，所以，
又平面ABC，平面ABC，所以，
又，AC，平面，
所以平面，又平面，所以
由題設(shè)知四邊形為菱形，所以，
因?yàn)镈，E分別為AC，中點(diǎn)，所以，即，
又，BD，平面BDE，
所以平面BDE.
（2）由平面ABC，BD，平面ABC，則有，，
又為等邊三角形，D為AC中點(diǎn)，則有，
則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
由（1）可知即為平面BDE的一個(gè)法向量，
點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則，可知，
所以點(diǎn)到F到平面BDE的距離．
（3）因?yàn)?，，?br/>設(shè)，則，
設(shè)平面FBD的法向量，則，
令，則，，則
，
令，則，
∴；
∵，∴，∴，
即平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍為．
7．(1)
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再由線面垂直推出，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得到，建立坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)一步求解扇形的弧長；
（2）由（1）知，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用向量法求得二面角的余弦值，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再根據(jù)向量法求二面角的平面角余弦值.
【詳解】（1）作交于，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面?br/>又因?yàn)槠矫?，所以?br/>因?yàn)槠矫?，且平面，所以?br/>因?yàn)?，，、平面，?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br/>分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
設(shè)AB中點(diǎn)為N，則，
如圖，
又，所以，
因此，的軌跡為圓弧，其長度為.
（2）由（1）知，可設(shè)，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即，
令，則，
可得平面的一個(gè)法向量為，
易知平面的一個(gè)法向量為，
所以.
當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，，
解得或（M與A重合，舍去），
所以，，
易知平面的一個(gè)法向量為，
所以.
由圖知，二面角的平面角為鈍角，
故二面角的余弦值為.
8．(1)證明見解析
(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線證明線線共線，從而利用線面平行的判定證明即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式建立方程，即可求解點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）因?yàn)檎叫魏途匦嗡诘钠矫婊ハ啻怪保?br/>且平面平面，且，平面，
所以平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，連結(jié)，則，，，
又，.
，且與不共線，，
又平面，平面，平面.
（2）設(shè)，，又，，，
則，.
又與所成的角為，，
解之得或（舍去），故點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)滿足題意.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知條件可證得平面，從而直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系, 求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；
（2）設(shè)，則，利用空間向量夾角余弦公式列出方程，即可解出答案．
【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接DE，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
∴E是的中點(diǎn)，又是AB的中點(diǎn)，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∴直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，
因?yàn)樵谌庵校瑐?cè)棱平面，平面，，
則以CA為軸，CB為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
又，，，
故，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，令，得，，所以，
又，
所以點(diǎn)到平面的距離，即直線到平面的距離為；
（2）因?yàn)?，，?br/>所以，，，
設(shè)，所以，
因?yàn)榕cCP所成角為60°，
所以，
整理得，即，
解得，即．
10．(1)
(2)存在，點(diǎn)M位置為
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值；
（2）設(shè)，利用向量法求異面直線的夾角，得到，解方程即得解.
【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，為正三角形，則.
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，
又平面PAD，所以面ABCD.
又因?yàn)?，?br/>所以為正三角形，所以，
以為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
于是，，.
設(shè)平面PEC的法向量為，
由即可取.
平面EBC的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，則
由圖知為為鈍角，所以二面角的余弦值為.
（2）設(shè)，則，
，，
所以，
解得或0（舍），所以存在點(diǎn)M使得.
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得，再由線面垂直的判定定理得平面，從而得到，再由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，求出平面的一個(gè)法向量，由線面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，
所以為邊長為的等邊三角形，
作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?br/>平面，可得，
又，，平面，可得平面，
因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)閭?cè)面為菱形，所以，
，平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，
則，所以平面，
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，
設(shè)，可得，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，可得，
可得，
解得舍去，或，所以.
12．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）連接EM，則根據(jù)題意可證得四邊形EMCF為平行四邊形，則‖，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，
（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求即可.
【詳解】（1）證明：連接EM，因?yàn)椤?，‖，?br/>所以‖，，所以四邊形ABQP為平行四邊形，
又點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)，
則‖，，，
所以‖，且，
所以四邊形EMCF為平行四邊形，所以‖，
又平面CPM，平面CPM，
所以‖平面CPM；
（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，
因?yàn)?，所以兩兩垂直?br/>所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，，
，，，，
設(shè)平面QPM的一個(gè)法向量為，則，
令，則；
設(shè)，則，
所以，，
由題意直線DN與平面QPM所成的角為，
則，解得或（舍），
所以，即線段QN的長為．

13．(1)證明見解析
(2)存在點(diǎn)，
【分析】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，從而得到平面，則，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?，平面?br/>所以平面，
又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，在三棱柱中，，
所以.
（2）
因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，?br/>所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過與平行的直線為軸，
所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
整理得，解得或（舍去），
所以，
所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).
14．(1)證明見解析
(2)存在點(diǎn)P滿足條件，此時(shí)（即P是AC中點(diǎn)時(shí)）.
【分析】（1）由題，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）證明：，
側(cè)面是菱形，
，又，，
平面，平面，
，
因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，
又，
平面，又平面,
.
（2）由（1），以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由條件，，，設(shè)，
由（1），面，所以，面的法向量為.
設(shè)面的法向量為，
由，即，
可設(shè)，
∴，
∴，得，
即，得，（舍），即，
所以，存在點(diǎn)P滿足條件，此時(shí)（即P是中點(diǎn)時(shí)）.
15．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）通過證明平面來證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】（1）∵為等腰梯形，，∴
∵，則，∴.
又∵，則，
∴，∵平面，平面，∴.
∵平面，∴平面，
∵四邊形為矩形，則，
∴平面.
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，，則，
，設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，∴，令，
則，取平面的法向量，
，
由題意，.
解得.
因此在線段上存在點(diǎn)，
使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，
且滿足.
16．(1)證明見解析
(2)點(diǎn)M在到E的距離為的位置
【分析】（1）通過證明AC⊥BC，AC⊥CF，可得AC⊥平面BCF，結(jié)合ACEF可證明結(jié)論；（2）由（1）如圖建立以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M(t，0，1)，其中，分別求出平面與平面法向量，利用平面與平面所成銳二面角的余弦值為可得答案.
【詳解】（1）證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因?yàn)椋瑒t，所以
又因?yàn)椋瑒t，
∴AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF.
又∵平面BCF，，∴AC⊥平面BCF，因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，AC∥EF，則EF⊥平面BCF ，EF在平面EFD內(nèi)，因此，平面EFD⊥平面BCF；
（2）因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
在直角三角形中，因則A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，設(shè)點(diǎn)M(t，0，1)，其中.
設(shè)平面MAB的法向量為，則，.
則，取，可得.又由題易知平面FCB的一個(gè)法向量為
則，
得或（舍去），所以，即點(diǎn)M在到E的距離為的位置.

17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出和平面的法向量，即可求出與平面所成角的正弦值；
（2）求出平面與平面的法向量，即可得到平面與平面夾角大小；
（3）設(shè)出，求出平面的法向量，得出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）由題意，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∵底面為菱形，
∴，
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)作平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，
∴，
平面的一個(gè)法向量是，
設(shè)與平面所成的角為，所以，
∴與平面所成的角的正弦值為
（2）由題意及（1）得，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，
令，則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>∴平面與平面的夾角為.
（3）由題意，（1）及（2）得，
，
設(shè)，，
∵平面，所以，即，
解得：，
∴點(diǎn)為中點(diǎn)，，
∴點(diǎn)到平面的距離為：.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由底面，證得，再由為正方形，得到，證得平面，得到，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，利用平面的一個(gè)法向量為，利用夾角公式列出方程求得，再求得平面的法向量為，結(jié)合向量的距離公式，即可求解.
【詳解】（1）證明，因?yàn)榈酌?，且底面，所以?br/>因?yàn)闉檎叫危裕?br/>又因?yàn)?，且平面，所以平面?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>由，為線段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)榍移矫妫云矫?
（2）解：因?yàn)榈酌?，且?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，所以，
設(shè)，則，
因?yàn)檩S平面，所以平面的一個(gè)法向量為
所以，解得，所以；
又因?yàn)椋?br/>設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以.
因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.

19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到面，從而得到，再結(jié)合已知條件利用線面垂直的判定得到面，即可得到，即可證明.
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為，軸建立坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)闉檎切危瑒t.
面面，面面，面，則面.
面，故，
又，，面，，所以面，
面，故，則平行四邊形為矩形.
（2）如下圖所示：

以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，，
所以，，，，
設(shè)面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，解得.
所以.
設(shè)面的法向量為，則，
令，則，
則.
因?yàn)槠矫媾c平面所成角為銳角，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用空間向量加法運(yùn)算知，再利用空間向量模長公式求解即可；
（2）利用空間向量的加法運(yùn)算及空間向量求夾角公式求解即可.
【詳解】（1）由已知，，，
利用空間向量的加法運(yùn)算知，
所以
，
所以.
（2）由已知，，，
所以
，
所以，
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
21．(1)證明見解析
(2)60°
【分析】（1）由，得到，再由點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的投影O恰在AC上，得到平面ACD，則，從而平面ABC，則，然后利用線面垂直的判定定理證明；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OE，OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線BC與AD所成的角為，由求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以，
又，，故，
由余弦定理得，
所以，
∴，
∴.
由題意得平面ACD，平面ACD，
∴，
∵，BO，平面ABC，
∴平面ABC，
∵平面ABC，
∴，
∵，BC，平面BCD，
∴平面BCD；
（2）取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則，
故.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OE，OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，
，，
設(shè)異面直線BC與AD所成的角為，
∴，即異面直線BC與AD所成的角為60°.
22．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，證得平面，得到，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可證得平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，利用向量的夾角公式，列出方程求得，再求得平面的一個(gè)法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，
四邊形是梯形，，是的中點(diǎn)，且，
可得，所以，
又由，且是的中點(diǎn)，可得，所以，
因?yàn)?，且平面，所以平面?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋移矫?，所以平面?br/>因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）解：在中，由，且為的中點(diǎn)，可得，
在中，由，且為的中點(diǎn)，可得，
因?yàn)?，所以，可得?br/>又因?yàn)椋?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，
設(shè)，則，可得，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
即，解得或（舍去），
所以，且，且，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，可得，
則，直線與平面所成角的余弦值為.

23．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到折疊前，折疊后由等腰三角形得到，，從而證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得到；
（2）根據(jù)二面角的定義得到二面角的平面角為，結(jié)合（1）得到平面平面，從而可以確定的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解．
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋裕瑒t，
所以折疊后，，又，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）因?yàn)?，?br/>且平面，平面，平面平面，
所以二面角的平面角為，
所以，則，
由（1）知，平面，平面，
所以平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，
在等邊中，
所以，即，，，
過作直線交于點(diǎn)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，取，
設(shè)直線與平面所成角為
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
24．(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)
(2)
【分析】（1）在取點(diǎn)使，根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定及性質(zhì)定理即得；
（2）取的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解銳二面角的大小.
【詳解】（1）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
證明如下：
如圖，
在取點(diǎn)，連接，,使得，
又，所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
（2）如圖，取的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)OE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?br/>又，則，
由題意，點(diǎn)P在過點(diǎn)O且垂直AE的平面上，故設(shè)，
則，
因?yàn)椋?，解得?br/>故，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，不妨取，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
記銳二面角的平面角為，所以，
又，則，所以銳二面角的大小為.
25．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理進(jìn)行證明.
（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及空間向量、平面與平面的夾角公式進(jìn)行計(jì)算求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所?
因?yàn)镈，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
所以，所以DE⊥BD，DE⊥PD.
又BD，平面PBD，，
所以DE⊥平面PBD.
因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC.
又平面PDE，平面平面，
所以，所以平面PBD.
（2）
如圖，過點(diǎn)B作，垂足為F.
由（1）可知，平面PDE⊥平面PBD.
又平面平面PBD=PD，所以BF⊥平面PDE，
所以點(diǎn)B到平面PDE的距離即為BF的長，則.
在中，，所以.
又BD=PD=2，所以是邊長為2的等邊三角形.
取BD的中點(diǎn)O，連接OP，則，.
由（1）可知，DE⊥平面PBD.
又平面PBD，所以DE⊥OP.
又，BD，平面BCED，
所以O(shè)P⊥平面BCED.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸，
且以過點(diǎn)D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面PEC的法向量為，
則
令，得，，
所以是平面PEC的一個(gè)法向量.
易知是平面PBD的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
26．(1)
(2)存在，
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線面角的大小.
（2）設(shè)，用表示平面和平面的法向量后可求的值，從而可求兩條線段的比值.
【詳解】（1）在中，因?yàn)?，故?br/>故在四棱錐中，有，
而，故平面，因平面，
所以，而，故，
而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

在中，因?yàn)榻?jīng)過的重心G（如圖），連接并延長，交于H，
則，故，
因?yàn)?，故?br/>在中，，
則，
故，故，又，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
故，
故與平面所成角的正弦值為，
因?yàn)榕c平面所成角為銳角，故該角為.
（2）設(shè)，則，故，
又，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
因?yàn)槠矫嫫矫?，故?br/>所以，故，
所以.
27．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；
（2）首先證明平面，再以的中點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并求平面的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解.
【詳解】（1）由已知，又三角形為等腰直角三角形，
，又，所以，
，又，平面
∴平面，又平面，
∴ 平面平面.
（2）取BC中點(diǎn)F，連接，
中，，，，
所以，則，，
中，，根據(jù)余弦定理可知，，
所以，即，
由（1）可知， 平面平面.，且平面平面，
且平面，所以平面
中，,,，
根據(jù)余弦定理可知，

中，，所以，
以分別為軸的正方向，過點(diǎn)作軸，軸平行于，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
故，，，
設(shè)平面的法向量，則，則，
令，則，即，
設(shè)直線與平面所成角為，，
則
所以直線與平面所成角的為.
28．(1)證明見詳解
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可得平面，進(jìn)而可得，根據(jù)三線合一以及勾股定理可證平面，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）建系，利用空間向量求面面夾角；
（3）設(shè)，根據(jù)線面關(guān)系可得，利用向量求面積以及點(diǎn)到面的距離，結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）連接，
因?yàn)?，且為線段中點(diǎn)，則，
又因?yàn)?，，平面?br/>所以平面，
由平面，可得，所以，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋瑒t，且，
可知，可得，
且，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
則，
且平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）設(shè)，
因?yàn)椋瑒t，解得，即，
可得，
又因?yàn)椋獾?，即?br/>可得，
則，
可得，
可知為鈍角，則，
所以的面積為，
又因?yàn)?，則，
可得，
可知為銳角，則，
所以的面積為，
可知四邊形的面積為，
又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離，
所以四棱錐的體積.
29．(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直可證平面，則，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證∥，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可證平面，根據(jù)線面夾角可知為等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榱庑?，則，
又因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，
，平面，所以平面，
且平面，則，
又因?yàn)椤纹矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>可得∥，所以.
（2）因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，
且，，平面，所以平面，
可知與平面所成的角為，即為等邊三角形，
設(shè)，則，且平面，平面，
可得平面，平面，
且平面平面，所以，即交于一點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的重心，
且∥，則，
設(shè)，則，
如圖，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

30．(1)證明見解析
(2)存在，線段的長為1.
【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，從而得到是的中位線，得到線線平行，證明出線面平行；
（2）法一：作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)到坐標(biāo)，設(shè)出，，利用空間向量線面角的求解公式列出方程，求出答案；
法二：作出輔助線，得到平面平面，得到直線與平面所成的角即為與平面所成的角，設(shè)，由三角形相似得到，表達(dá)出，，進(jìn)而表達(dá)出或，故，從而列出方程，求出，得到答案.
【詳解】（1）連接，與相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
所以且，故四邊形為平行四邊形，
故，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，
故，
因?yàn)槠矫?，平面?br/>所以平面；

（2）法一：存在，線段的長為1，理由如下：
取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
連接，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>則，，
因?yàn)榕c側(cè)棱所在直線所成的角為45°，所以，，
所以，
設(shè)，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，
則，
設(shè)直線與平面所成的角的大小為，
則，
解得或34（舍去），

故，線段的長為.
法二：存在，線段的長為1，理由如下：
連接，顯然過點(diǎn)，連接，過點(diǎn)，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
由（1）知：且，故四邊形為平行四邊形，
故，
因?yàn)槠矫?，平面?br/>所以平面，
因?yàn)?，平面?br/>所以平面平面，
故直線與平面所成的角即為與平面所成的角，
設(shè)，連接，
因?yàn)榇怪庇谏舷碌酌?，上、下底面均是正方形?br/>所以⊥平面，故即為與平面所成的角，
連接，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>則，，
因?yàn)榕c側(cè)棱所在直線所成的角為45°，所以，，
，解得，
因?yàn)?，所以，設(shè)，
則，即，解得，
故，
過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則或，
故，
由勾股定理得，即，
解得，
故線段的長為.

31．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接AO，證明出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)推理作答；
（2）以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）連接，交于O，連接，
因?yàn)閭?cè)面為菱形，則，
而，O為的中點(diǎn)，即有，
又，且平面，于是平面，
而平面，所以；
（2）設(shè)，而，有，，
又，則，
即有，因此，即，，兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
則，
設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>則，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
所以，
設(shè)直線AB與平面所成角為，
則
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
則，
所以，
綜上所述，直線AB與平面所成角的正弦值的最大值為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
32．(1)詳見解析；
(2)；
(3)存在點(diǎn)，此時(shí).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后，用直線的方向向量和平面的法向量垂直,即可證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解；
（3）假設(shè)存在，列出方程求解即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閭?cè)棱所在的直線與上下底面中心的連線所成的角為，則
，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，則，
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（3）解：假設(shè)邊上存在點(diǎn)滿足條件，，
則，
設(shè)直線與平面所成角為，
由題意可得，
化簡得，則或（舍去），
即存在點(diǎn)符合題意，此時(shí).
33．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，易證四邊形為平行四邊形，則有，再由線面平行的判定證結(jié)論；
（2）由題設(shè)及面面、線面垂直的性質(zhì)可得、，線面垂直的判定有平面，連接得到為三棱柱，設(shè)，用表示多面體的體積求參，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，
所以，且，又，且，
所以，且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面平面，
故平面.
（2）連接，在菱形中，則.
在直角梯形中，所以，
因?yàn)槊婷?，面面面?br/>所以平面，又平面，故，
又，面，所以平面.
連接，因?yàn)?，即，且?br/>所以為平行四邊形，且，則為三棱柱，
設(shè)，則，三棱柱的體積.
連接，則三棱錐的體積.
取中點(diǎn)，連接，則，
面面，面面面，則面，
所以三棱錐的體積，
由多面體的體積為，得：，解得.
綜上，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
，，
設(shè)面的法向量為，由，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
故直線與平面所成角的正弦值為.
答案第1頁，共2頁
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