資源簡介

專題04 直線方程綜合應用難題（12題型）
一、核心考點題型歸納 【題型一】斜率幾何意義型應用 【題型二】斜率與傾斜角應用 【題型三】直線平行與垂直求參數 【題型四】隱藏型垂直求最值 【題型五】利用斜率解三角形 【題型六】直線方程理論 【題型七】光學性質 【題型八】最小面積求直線 【題型九】切線型求面積最值 【題型十】數形結合求最值：距離公式 【題型十一】數形結合求最值：絕對值型轉化 【題型十二】直線最值范圍綜合應用 二、期中期末好題培優練
【題型一】斜率幾何意義型應用
（2021春·天津薊州·高二校考期末）
1．如圖，過點作直線：的垂線，垂足為點，過點作軸，垂足為點，過點作，垂足為點，…，如此依次下去，得到一組線段：，，，……，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高二專題練習）
2．1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
（2022秋·江蘇徐州·高一校考階段練習）
3．已知函數，若滿足的整數解恰有3個，則實數的范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高二課堂例題）
4．若函數，且a＞b＞c＞0，則、、的大小關系是 （　 ）
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
（2021·江蘇·高二專題練習）
5．已知正三角形的三個頂點均在拋物線上，其中一條邊所在直線的斜率為，則的三個頂點的橫坐標之和為 ．
【題型二】斜率與傾斜角應用
（2023·全國·高二專題練習）
6．已知點，，則直線的傾斜角為 ．
（2023·全國·高二專題練習）
7．已知實數，滿足方程，當時，的取值范圍為 ．
（2020·高二課時練習）
8．已知直線過原點且傾斜角為，其中，若在上，且滿足條件，則的值等于 .
（2021·高二課時練習）
9．已知坐標平面內兩個不同的點，（），若直線的傾斜角是鈍角，則的取值范圍是
（2023·全國·高二專題練習）
10．已知過點，的直線l的傾斜角為，若，則實數m的取值范圍為 .
【題型三】 直線平行與垂直
（2019·北京·高二校考強基計劃）
11．設a為實數，若直線兩兩相交，且交點恰是直角三角形的三個頂點，則這樣的有（ ）
A．2組 B．3組 C．4組 D．5組
（2022·高二課時練習）
12．設直線（、不同時為零），（、不同時為零），則“、相交”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
（2022·全國·高二專題練習）
13．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
（2023秋·江蘇宿遷·高二校考階段練習）
14．已知直線：，：互相垂直，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校考開學考試）
15．已知，為正整數，且直線與直線互相平行，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．16
【題型四】兩動直線隱藏型垂直求最值
（2023·高二課時練習）
16．設直線與直線的交點為；分別為上任意兩點，點為的中點，若，則的值為
A． B． C． D．
（2021·高二課時練習）
17．，動直線過定點動直線過定點，若與交于點（異于點，），則的最大值為
A． B． C． D．
（2023秋·山西大同·高二大同一中校考階段練習）
18．將一張坐標紙折疊一次，使得點與點重合，點與點重合，則 ．
（2021·江蘇·高二專題練習）
19．，動直線過定點，動直線過定點，則點坐標為 ；若直線與相交于點（異于點,），則周長的最大值為 ．
（2021·江蘇·高二專題練習）
20．設分別是△中的對邊邊長，則直線與直線的位置關系是 ．
（2022秋·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）
21．已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則以下說法錯誤的是（ ）
A．點的坐標為 B．
C． D．的最大值為5
【題型五】利用斜率解三角形三大線
（2023·全國·高二專題練習）
22．已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（ ）
A． B． C．8 D．
（2022·全國·高二）
23．已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·河南·高二階段練習）
24．若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為 .
（2022·全國·高二課時練習）
25．如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
（2021·黑龍江·寶泉嶺高級中學高二階段練習）
26．若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為 .
（2022·江蘇·高二單元測試）
27．已知為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為 .
【題型六】直線方程理論
（2021·江蘇·高二專題練習）
28．在平面直角坐標系內，設，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（ ）
A．存在唯一的實數δ，使點N在直線上
B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行
C．若，則直線經過線段M，N的中點；
D．若，則點M，N在直線l的同側，且直線l與線段M，N的延長線相交；
（2022·江蘇·高二專題練習）
29．設是直線:的一個方向向量，是直線的一個法向量.設向量與向量的夾角為，則為（ ）
A． B．
C． D．
（2022·江蘇·高二專題練習）
30．設，為不同的兩點，直線.記，則下列結論中正確的個數是（ ）
①不論為何值，點都不在直線上；
②若，則過的直線與直線相交；
③若，則直線經過的中點.
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個.
（2023·全國·高二專題練習）
31．已知與是直線（為常數）上兩個不同的點，則關于和的交點情況是（ ）
A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點
C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點
（2020秋·上海浦東新·高二華師大二附中校考期中）
32．已知是直線上一點，是外一點，則方程表示的直線（ ）
A．與重合 B．與交于點 C．過與平行 D．過與相交
【題型七】光學性質
（2022秋·全國·高二期中）
33．已知，，從點射出的光線經直線反射后，再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
（2022秋·湖北·高二校聯考階段練習）
34．在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經反射后又回到點，如圖，若光線經過的重心，則（ ）
A． B． C．1 D．2
（2021·廣東·廣州市第十六中學高二期中）
35．已知直線和點，，若直線上存在點使得最小，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2021·廣東·廣州奧林匹克中學高二期中）
36．已知點，O為坐標原點，P，Q分別在線段上運動，則的周長的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
（2021·江蘇·高二專題練習）
37．如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為 ．
【題型八】最小面積求直線
（2023·全國·高二對口高考）
38．在平面直角坐標系中，是坐標原點，與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數，使的面積為的直線僅有一條；
②存在正實數，使的面積為的直線僅有兩條；
③存在正實數，使的面積為的直線僅有三條；
④存在正實數，使的面積為的直線僅有四條；
其中所有真命題的序號是（ ）
A．①②③ B．③④
C．②④ D．②③④
（2021·江蘇·高二專題練習）
39．已知直線與兩坐標軸圍成一個三角形，該三角形的面積記為.當時，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·遼寧葫蘆島·高二校考開學考試）
40．已知，直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為（ ）
A． B． C． D．1
（2022秋·河北邢臺·高二統考階段練習）
41．已知直線的斜率小于0，且經過點，并與坐標軸交于，兩點，，當的面積取得最小值時，直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高二專題練習）
42．直線 ，動直線 ，動直線 ．設直線與兩坐標軸分別交于兩點，動直線l1與l2交于點P，則的面積最大值（ ）
A． B． C． D．11
【題型九】切線型求面積最值
（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）
43．已知拋物線，點在上，直線與坐標軸交于兩點，若面積的最小值為1，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
（2022春·全國·高二期中）
44．設函數的圖象為曲線C，為C上任意一點，過點R的直線PQ與C相切，且與x軸交于點P，與y軸交于點Q，當三角形POQ的面積取得最小值時，的值為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高二專題練習）
45．若直線與拋物線相切，且切點在第一象限，則與坐標軸圍成三角形面積的最小值為 .
【題型十】數形結合求最值：距離公式
知識點與技巧：求解形如的式子的最小值思路： （1）先將問題轉化為點到點的距離之和問題； （2）畫出圖示，必要時借助點關于直線的對稱點知識進行分析； （3）根據距離之和的最小值得到原式的最小值.
（2023·全國·高二專題練習）
46．我國著名數學家華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以都轉化為幾何問題加以解決，列如，與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線，點在直線上，且，結合上述觀點，的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
（2023·全國·高二專題練習）
47．已知函數，給出下列四個結論：
①函數的圖像是軸對稱圖形； ②函數在上單調遞減；
③函數的值域是； ④方程有4個不同的實數解．
其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2022·全國·高二專題練習）
48．已知，則的最小值為（ ）
A． B．3
C． D．6
（2022秋·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學校考階段練習）
49．已知，為實數，代數式的最小值是 .
（2022·全國·高二專題練習）
50．已知二元函數的最小值為，則正實數a的值為 ．
【題型十一】數形結合：絕對值--點到直線距離公式
（2023·全國·高二專題練習）
51．已知實數，則的取值范圍是 .
（2023·全國·高二專題練習）
52．若恰有三組不全為0的實數對,滿足關系式，則實數t的所有可能的值為 ．
（2021·高二單元測試）
53．已知直線交圓于，兩點，則的取值范圍為 .
（2021·湖北·武漢市洪山高級中學高二階段練習）
54．已知滿足方程，則M的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
【題型十二】直線最值范圍綜合應用
（2022秋·四川綿陽·高二三臺中學校考階段練習）
55．過點作直線l：的垂線，垂足為點Q，則點Q到直線的距離的最小值為 ．
（2021秋·湖北武漢·高二武漢市第一中學校考階段練習）
56．在平面直角坐標系中，已知直線：與曲線從左至右依次交于、、三點，若直線：上存在滿足，則實數的取值范圍是 ．
（2023·全國·高二專題練習）
57．在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(3,1)和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點．
其中真命題的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2022秋·四川內江·高二威遠中學校校考階段練習）
58．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）
59．已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．8
一、單選題
（2023·全國·高二專題練習）
60．設 ，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高二專題練習）
61．人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（ ）
（參考數據：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
（2023·全國·高二專題練習）
62．函數的最大值為（ ）.
A． B． C． D．3
（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第三中學校考階段練習）
63．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·湖南懷化·高二校考階段練習）
64．，，，，，一束光線從點出發射到上的點，經反射后，再經反射，落到線段上（不含端點），則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）
65．已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．8
（2022·全國·高二專題練習）
66．設平面點集包含于，若按照某對應法則，使得中每一點都有唯一的實數與之對應，則稱為在上的二元函數，且稱為的定義域，對應的值為在點的函數值，記作，若二元函數，其中，，則二元函數的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023秋·全國·高二階段練習）
67．在平面直角坐標系中，已知點滿足，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
（2023秋·全國·高二隨堂練習）
68．已知直線，則下列結論正確的是（　　）
A．原點到直線l距離等于2
B．若點在直線l上，則
C．點到直線l距離的最大值等于
D．點到直線l距離的最小值等于
（2023·全國·高二專題練習）
69．已知平面上三條直線，，，若這三條直線將平面分為六部分，則的可能取值為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
（2023·全國·高二專題練習）
70．已知，過點作直線的垂線，垂足為，則（ ）
A．直線過定點 B．點到直線的最大距離為
C．的最大值為3 D．的最小值為2
（2023·全國·高二專題練習）
71．已知直線：，：，則下列結論正確的是（ ）
A．直線過定點 B．當時，
C．當時， D．當時，兩直線，之間的距離為
三、填空題
（2023秋·全國·高二階段練習）
72．在平面直角坐標系中，已知動點到兩直線與的距離之和為，則的取值范圍是 .
（2022·全國·高二專題練習）
73．在中，，，，D是邊上的點，關于直線的對稱點分別為，則面積的最大值為 .
（2022·全國·高二專題練習）
74．已知，是拋物線上的兩個動點，過，的兩條切線交于點，若，則點的縱坐標為 .
（2022·全國·高二專題練習）
75．已知直線與圓交于兩點，且，則的最大值為 .
四、解答題
（2023秋·高二課時練習）
76．如圖，已知的頂點為，，，AD是BC邊上的高，AE是的平分線．

(1)求高AD所在直線的方程；
(2)求AE所在直線的方程．（提示：在上取與長度相等的向量，則的方向就是的方向．）
（2023秋·高二課時練習）
77．已知兩條平行直線與分別過點與點，、之間的距離為，求的最大值，并指出此時、的方程．
（2023·全國·高二專題練習）
78．已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
（2023·全國·高二專題練習）
79．已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據已知條件找到規律，從而確定正確答案.
【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，
所以，，
，……，
以此類推可知.
故選：B
2．C
【分析】根據5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.
【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，
∴OO3平分第三顆小星的一個角，
又五角星的內角為36°知：∠BAO3＝18°，
過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，
∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.
故選：C
3．A
【分析】將問題轉化為函數的圖象在直線下方的部分有3個整點，然后數形結合可解.
【詳解】得，所以滿足的整數解恰有3個，等價于函數的圖象在直線下方的部分有3個整點.
如圖，當直線的斜率m滿足時滿足題意，其中
所以，，所以.
故選：A
4．B
【分析】把,,分別看作函數圖象上的點與原點連線的斜率，對照圖象可得答案．
【詳解】
由題意可得，,,分別看作函數圖象上的點與原點連線的斜率，
結合圖象可知當時，>>．
故選：B．
5．
【分析】設點，則可得，，，不妨設，且直線的傾斜角為，可得，然后利用算出答案即可.
【詳解】設點，
則，，
不妨設，且直線的傾斜角為
因為是等邊三角形，所以
所以
故答案為：
【點睛】本題以拋物線為載體，考查了直線的斜率和三角函數的和差公式，屬于較難題.
6．
【詳解】方法一：由斜率和傾斜角關系，利用兩點連線斜率公式可得，由此可得傾斜角；
方法二：根據三角函數定義可知在圓上，根據圖形關系可求得，由此可得傾斜角.
【分析】方法一：設直線的傾斜角為，
則.
直線的傾斜角為；
方法二：由三角函數的定義可知：點在圓上，如圖所示，
設為直線與軸的交點，則，，
，又，，
，直線的傾斜角為.
故答案為：.
7．
【分析】可知表示直線上的點與點連線的斜率，即可求出.
【詳解】實數，滿足方程，當時，
表示直線上的點與點連線的斜率，
設、為直線上的兩個點，且，
的斜率為，的斜率為 ，
故的范圍為，
故答案為：．
8．
【分析】求出的值后可得，再利用同角的三角基本關系式可求的值.
【詳解】因為，故，
所以或，所以或.
因為，故，所以，
所以，解得.
故答案為：.
【點睛】本題考查直線的傾斜角和同角的三角函數的基本關系式，注意根據角的范圍對所求的三角函數值進行取舍，本題屬于基礎題.
9．
【分析】由直線的傾斜角是鈍角，可知直線的斜率存在,且,即可得到,求解即可.
【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以直線的斜率存在,且,
,
則,解得.
故答案為:.
【點睛】本題考查了直線的斜率與傾斜角的關系,考查了不等式的解法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.
10．
【分析】由傾斜角可得斜率k的范圍，再由斜率公式可得m的取值范圍.
【詳解】設直線l的斜率為k，
則，因為，
所以．所以，
即解得或.
故答案為： .
11．A
【分析】算出三條直線的方向向量，根據法向量相互垂直可求a的值，故可得正確的選項.
【詳解】三條直線的法向量分別為，
于是a的值必然在集合．
經驗證，當時，中有重合的直線，當時，三線共點，因此所求組數為2．
故選:A.
12．C
【分析】分均不為0和有且只有一個為0兩種情況討論，分別證得充分性和必要性即可得出結論.
【詳解】當直線斜率都存在即均不為0時，若“、相交”，則兩直線的斜率不相等，得，即，當直線斜率有一個不存在即有且只有一個為0時，也成立，故充分性成立；
反之，均不為0時，若“”，則，則兩直線的斜率不相等，即、相交，有且只有一個為0時，、也相交，故必要性成立；綜上，則“、相交”是“”的充要條件，
故選：C.
13．D
【分析】根據可得、的關系式，再由基本不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，所以，，
所以
，
當且僅當即，時取等號，的最小值為，
故選：D
14．B
【分析】由直線與直線垂直的性質得，再上，，能求出的取值范圍.
【詳解】解：∵直線：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】本題考查兩直線垂直的條件的應用，屬于中檔題.
15．B
【解析】由已知兩直線平行得出滿足的關系，然后由基本不等式求得最小值．
【詳解】由題意，，即，
∴，當且僅當，即（滿足是正整數）時等號成立．
∴的最小值是9．
故選：B．
【點睛】本題考查兩直線平行的條件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值時，注意其條件：一正二定三相等，其中定值有時需要湊配，“1”的代換是常用方法．
16．A
【詳解】
根據題意畫出圖形，如圖所示；
直線 與直線 的交點為 ； 為 的中點，
若，則，
即 解得 ．
故選A．
17．B
【詳解】由題意可得：，，且兩直線斜率之積等于，∴直線和直線垂直，則，即，的最大值為，故選．
18．1
【分析】根據直線對稱的性質，結合直線斜率公式、中點坐標公式、互相垂直的直線斜率之間的關系進行求解即可.
【詳解】設點為點，點為點，所以線段的中點為.
設點為點，設點為點，所以線段的中點為，
由題意可知，
于是有： ，
故答案為：1
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是根據直線對稱，得到斜率之間的關系.
19．
【分析】分別求出兩條直線過的定點，根據兩直線的位置關系兩得直線垂直，是直角三角形，由不等式得到答案.
【詳解】由條件知直線過定點，直線過定點，所以，
又因為，所以，即，
所以，
當且僅當時取等號，所以，
故周長的最大值為
故答案為：①； ②.
【點睛】本題主要考直線查過定點，兩直線的位置關系與垂直時滿足，不等式的應用.
20．垂直
【分析】求出兩條直線的斜率，根據正弦定理，然后判斷兩條直線的位置關系．
【詳解】分別是△內角 所對邊的邊，
故：，
的斜率為：
的斜率為：
根據正弦定理：
由
兩條直線垂直
故答案為：垂直．
【點睛】本題主要考查了判斷兩條直線的位置關系問題，解題關鍵是掌握正弦定理和兩條直線垂直的判定方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．
21．D
【分析】根據定點判斷方法、直線垂直關系、勾股定理、三角函數輔助角求最值即可得解.
【詳解】因為可以轉化為，
故直線恒過定點A，故A選項正確；
又因為：即恒過定點B，
由 和 , 滿足 ，
所以 , 可得 , 故B選項正確；
所以 , 故C選項正確;
因為 , 設為銳角,
則,
所以, 所以當 時, 取最大值 , 故選項D錯誤.
故選：D.
22．C
【分析】首先求得直線與直線的交點的坐標，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點的坐標.利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.
【詳解】直線的方程為，即.
由解得.
設，直線的方程分別為 ，即
，.根據角平分線的性質可知，到直線的距離相等，所以
，
，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得
，解得（），所以.
所以到直線的距離為，而，所以.
故選：C

【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.
23．D
【分析】先求出，進而得到，再由點斜式寫出直線方程即可.
【詳解】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.
故選：D.
24．3
【分析】根據題意得到該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角，進而求出三邊所在直線的斜率，求出和即可.
【詳解】因為一條中線所在直線的斜率為1，所以此中線所在直線的傾斜角為，
可得該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角分別為，
因為，，
，
即該等邊三角形的三邊所在直線的斜率分別為，
所以該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為3.
故答案為：3
25．A
【分析】求出點的坐標，根據題意可得，設的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，從而可得，再根據直線的點斜式方程即可得解.
【詳解】解：聯立，解得，即，
因為，所以，即，
設的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，
則，
即的角平分線所在直線的斜率為，
所以的角平分線所在直線的方程為，即.
故選：A.
26．6x－5y－9＝0
【解析】先計算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設B（x0，y0），AB的中點M為，根據解得答案.
【詳解】由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，
聯立直線AC與直線CM方程得 解得
頂點C的坐標為C（4，3）.設B（x0，y0），AB的中點M為 ，
由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
聯立 解得 所以頂點B的坐標為（－1，－3）.
于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.
故答案為：6x－5y－9＝0
【點睛】本題考查了直線方程，意在考查學生的計算能力和轉化能力.
27．
【分析】設，由中點公式求出點A坐標，根據等腰直角三角形可知，，建立與，與間關系，即可求出，進而根據點斜式求出直線的方程.
【詳解】因為中線CE所在直線方程為，
所以可設，
由AC中點為，可得，
所以，
為等腰直角三角形，CE為中線，
,，
①，
又是的中點，,
,，
化簡得： ②，
由①②解得，
所以點,又因為，
所以直線方程為,
即所求方程為.
故答案為：
【點睛】本題主要考查了兩直線垂直位置關系，根據兩直線垂直研究斜率之間的關系，直線方程的點斜式，考查了推理能力和運算能力，屬于中檔題.
28．A
【分析】根據題意對一一分析，逐一驗證．
【詳解】解：對于，化為：，即點，不在直線上，因此不正確．
對于，，則，即過，兩點的直線與直線的斜率相等，又點，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；
對于，，則，化為，因此直線經過線段的中點，故正確；
對于，，則，則點，在直線的同側，故正確；
故選A
【點睛】本題考查了直線系方程的應用、平行直線的判定、點與直線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
29．C
【分析】根據給定條件求出直線的方向向量，直線的法向量，再利用向量夾角公式計算即可得解.
【詳解】因是直線:的一個方向向量，則，
又是直線的一個法向量，則，
則有向量與向量的夾角為，，
所以.
故選：C
30．C
【分析】①通過分母不為0，確定，可以判斷①的對錯；②③通過對條件整理變形，利用直線的相關性質判斷.
【詳解】因為，分母不為0，所以，所以不論為何值，點都不在直線上，①正確；
當時，設，（），則，為直線上的兩個點，顯然直線與直線平行，故過的直線與直線不會相交，②錯誤；
當時，設，整理得：，因為，，所以的中點坐標為，故若，則直線經過的中點.③正確；正確的個數為2個
故選：C
31．A
【分析】根據在直線可得，從而可得有唯一交點，從而可得正確的選項.
【詳解】因為與是直線（為常數）上兩個不同的點，
所以即，
故既在直線上，也在直線上.
因為與是兩個不同的點，故、不重合，
故無論，，如何，總有唯一交點.
故選：A.
32．C
【解析】由題意有可得，，，，根據當兩直線方程的一次項系數相等，但常數項不相等時，兩直線平行，得出結論．
【詳解】解：由題意有可得，，，，則方程，，，
即，，，它與直線的一次項系數相等，但常數項不相等，
故，，表示過點且與平行的直線，
故選：C ．
【點睛】根據平行直線系方程，即兩直線方程與互相平行.
33．C
【分析】求出關于直線的對稱點和它關于軸的對稱點，則的長就是所求路程．
【詳解】由題意直線方程為，設關于直線的對稱點，
則，解得，即，又關于軸的對稱點為，
．
故選：C
34．C
【分析】根據題意，建立坐標系，設點的坐標，可得關于直線的對稱點的坐標，和關于軸的對稱點的坐標，由，，四點共線可得直線的方程，由于過的重心，代入可得關于的方程，解之可得的坐標，進而可得的值，即可得答案．
【詳解】根據題意，建立如圖所示的坐標系，可得，，
故直線的方程為，
又由，，，則 的重心為，
設，其中，點關于直線 的對稱點，則有，
解得，即，
易得關于 軸的對稱點，
由光的反射原理可知，，，四點共成直線的斜率，
故直線的方程為，
由于直線過 的重心，代入化簡可得，
解得：或 舍，即，故，
故選：C．
35．C
【分析】根據題意，求出點關于直線的對稱點為，結合三角形兩邊之和大于第三邊，即可求解.
【詳解】根據題意，易得點，在直線的同一側.
設點關于直線的對稱點為，則，解得，故.
因此，當、、 三點共線時，等號成立.
故選：C.
36．A
【分析】求折線段長度的最小值一般通過作對稱點的方法解決，本題分別作關于的對稱點，此時和分別交于，得到，此時的長即為所求最小值.
【詳解】首先易得到方程為，關于即軸的對稱點記做，顯然，設關于的對稱點為，于是，且中點在上，即，解得，即，此時和分別交于，此時的周長的最小，最小值為.若兩點不這樣取，例如如圖所示取這樣的，則的周長為折線段之和，即有
.
故選：A
37．
【分析】求出關于直線的對稱點，過作平行于的直線為，將的值轉化為的最小值，利用數形結合以及根據兩點間的距離公式，求解出的坐標.
【詳解】關于直線的對稱點為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時直線為.過作，則，則.由于是常數，要使的值取最小，則的值取最小，即三點共線時最小.設，由得，即，解得（舍去.），即.設，則，解得，即，設，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】本小題主要考查兩點間距離公式的應用，考查對稱性，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.
38．D
【分析】用表示的面積，討論其單調性和值域后可得正確的選項.
【詳解】因為，故，其中且.
故的面積，
故，
由對勾函數的性質可得：
在上為減函數，在為增函數，
所以當時，的取值范圍為.
而因為在上為減函數，在為增函數，
所以當時，的取值范圍為，
故的圖象如圖所示：
所以當時，使的面積為的直線僅有四條；
當時，使的面積為的直線僅有三條；
當時，使的面積為的直線僅有兩條；
故②③④正確.
故選：D.
39．C
【解析】求出直線與兩坐標軸的交點坐標，可得出的表達式，然后利用基本不等式可求出的最小值.
【詳解】在直線的方程中，令，得；令，可得.
，當且僅當時，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：C.
【點睛】本題考查直線與坐標軸圍成的三角形面積的最值的計算，解題的關鍵就是求出直線與兩坐標軸的交點坐標，考查計算能力，屬于中等題.
40．C
【分析】求出四邊形四個頂點的坐標，表示出四邊形面積，借助函數思想求最小值.
【詳解】過定點，也過定點，如圖所示，
在的方程中，令，則，
在的方程中，令，則，
則點，，
．
由二次函數性質可得，當時，S取得最小值．
故選：C.
41．C
【分析】由題意可設直線：，由題意分別求出，，即可表示出的面積，再由均值不等式即可求出答案.
【詳解】由題意可設直線：，將點的坐標代入，
得，則，則.
不妨假設在軸上，則，
記為坐標原點，因為線段與的長度分別為，，
所以的面積，
當且僅當，即時，等號成立.
故選：C.
42．C
【分析】根據兩直線的交點為，聯立直線方程用表示參數，整理可得點軌跡為圓，而，要使的面積最大，即到直線 距離最大，進而求面積.
【詳解】由題意，動直線l1與l2交于點，則，
∴消去參數a，整理可得：，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓上，而到直線 的距離，故到直線 最大距離為，
由，則，
∴此時有最大面積為.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：根據兩動直線的交點，通過設動點結合動直線方程求其軌跡—圓，結合圓上點到直線距離最大時有最大面積，即可求三角形面積的最大值.
43．B
【分析】先分析直線和拋物線不會相交，然后分析出點的位置為斜率為的直線和拋物線的切點時面積最小，最后用點到直線的距離公式計算.
【詳解】
不妨設，由題可得無解，
否則若直線和拋物線有交點時，當時，面積將趨近，
故，解得.
由圖可知，當恰好為斜率為的直線和拋物線的切點時，的面積最小.
令，不妨，則，
又點到直線的距離為，
則，解得（舍去）.
故選：B
44．C
【分析】表達出切線方程，三角形POQ的面積，利用導函數求出極值，最小值及的值.
【詳解】，切線PQ的方程為，化簡，得，所以，，三角形POQ的面積為，令，，令，則，得：或-1（舍去），當時，單調遞減，當時，單調遞增，由于，解得：，當且僅當時，三角形POQ的面積取得最小值．
故選：C
45．4
【分析】設切點坐標，利用導數求切線方程，然后表示出三角形面積，利用導數可得最小值.
【詳解】設切點為，
因為，所以切線斜率為，
得切線l的方程為
與坐標軸的交點分別為，
令，解得，
因為切點在第一象限，所以，
所以與坐標軸圍成三角形面積
令，則
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以當時，有最小值
所以
故答案為：4
46．D
【分析】根據兩點距離公式將目標函數轉化為點到點的距離與點到點的距離和，過點作，垂足為，證明，由 求目標函數最小值.
【詳解】由已知表示點到點的距離，
表示點到點的距離，
所以，
過點作，垂足為，
因為直線的方程為，，
所以，
又直線與直線平行，，
所以，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
又，
當且僅當三點共線時等號成立，
所以當點為線段與直線的交點時，
取最小值，最小值為，
因為過點與直線垂直的直線的方程為，
聯立，可得，
所以點的坐標為，所以，
所以的最小值為，
故選：D.
【點睛】本題解決的關鍵在于根據兩點距離公式將目標函數轉化為求線段的距離和問題，進一步結合圖形將問題轉化為兩點之間的距離問題.
47．D
【分析】根據函數解析式的幾何意義，數形結合判斷選項正誤.
【詳解】表示x軸上的點到，和的距離之差的絕對值.
對于①，當點在左右對稱位置時，到，和的距離之差的絕對值相等，所以的圖象是軸對稱圖形，①正確；
對于②，時，點從左向右靠近，到，和的距離之差的絕對值變小，所以在上單調遞減，②正確；
對于③，當點在時，，取最小值0，又因為，所以值域為，③正確；
對于④，由③得，當時，，所以在上有兩個不同的解，，和各有兩個解，故有4個實數解，④正確.
故選：D.
【點睛】④中方程解的個數問題，注意的值域為，所以的解需在上，才能有兩個解.
48．C
【解析】將問題轉化為“點到點的距離加上點到點的距離加上點到點的距離之和的最小值”，采用分類討論的方法并畫出輔助圖示求解出最小值.
【詳解】因為表示點到點的距離，表示點到點的距離，
表示點到點的距離，設，
則表示的長度和，
顯然當點與點在軸的非負半軸上，對應原式的結果更小，
當均不在坐標原點，如下圖所示：
考慮到求解最小值，所以，設關于原點的對稱點為，
所以；
當其中一個在坐標原點，如下圖所示：
此時分別有，，
所以；
當都在坐標原點時，，
綜上可知：的最小值為，
故選：C.
【點睛】思路點睛：求解形如的式子的最小值思路：
（1）先將問題轉化為點到點的距離之和問題；
（2）畫出圖示，必要時借助點關于直線的對稱點知識進行分析；
（3）根據距離之和的最小值得到原式的最小值.
49．
【分析】利用兩點間的距離公式的幾何意義，將代數問題轉化為幾何問題求解，即可得到答案；
【詳解】如圖所示，

構造點，，，，
，
分別作關于軸的對稱點，關于軸的對稱點，連接，，，，，
，
當且僅當，分別為與軸 軸的交點時，等號成立，
故答案為：.
50．.
【分析】根據兩點間距離公式，可得的表達式的幾何意義為：點與點的距離之和，作出圖形，根據兩點間線段最短，可得的距離即為最小值，化簡計算，即可得結果.
【詳解】由題意得，
其幾何意義為：點與點的距離之和，如圖所示：
設點，則求的最小值即可，
以B為旋轉中心，將繞點B順時針旋轉至，連接，
則均為等邊三角形，
所以，
所以，取等號時四點共線，
即，
又，所以，
化簡可得，
左右同時平方，根據，解得，
故答案為：2.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于數形結合思想的運用，通過將復雜的函數最值問題借助圖形轉化為容易求解的幾何問題，通過分析圖形中幾何元素的關系直觀解答問題.
51．
【分析】根據題意，設直線：，則的幾何意義為，點到直線的距離，即可求出取值范圍.
【詳解】根據題意，設直線：，設點
那么點到直線的距離為：，
因為，所以，且直線的斜率，
當直線的斜率不存在時，，所以，
當時， ，
所以，即，
因為，所以，
故答案為：.
52．或或
【分析】化簡得到，然后對進行分類討論即可求解.
【詳解】由已知得，整理得，
看成有且僅有三條直線滿足和到直線(不過原點)的距離t相等，
又，
（1）當，此時易得符合題意的直線 l 為線段AB的垂直平分線以及與直線平行的兩條直線和；
（2）當時，有4條直線l會使得點和到它們的距離相等，注意到l不過原點，
所以當其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．
設點A到l的距離為d，
①作為增根被舍去的直線l，過原點和A，B的中點，其方程為，此時，符合；
②作為增根被舍去的直線l，過原點且與平行，其方程為，此時，符合；
綜上，滿足題意的實數t為或或
故答案為：或或
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是化簡得到，將問題轉化為有且僅有三條直線滿足和到直線(不過原點)的距離t相等，然后分類討論即得.
53．
【分析】轉化為，表示，兩點到直線的距離和，設中點為，則到直線的距離和為點到直線距離和的2倍，只需求出點到直線距離范圍，根據已知條件求出點的軌跡，數形結合，即可求解.
【詳解】設中點為，圓，
圓心，化為，
過定點，所以由，
所以點的軌跡為以為直徑的圓在圓內的圓弧，
其方程為，聯立，解得，
，所以的軌跡為，
圓心到直線的距離為，
過與直線垂直的直線方程為，
與圓的交點為，
在點軌跡上，不在點軌跡上，
所以到直線距離的最大值為，
點到直線的距離為，
設點到直線的距離為，，
，.
故答案為:.
【點睛】本題考查直線與圓的關系，考查相交弦的中點軌跡，要注意軌跡的范圍，考查圓弧上點到直線的距離，解題的關鍵要利用點到直線的距離的幾何意義，屬于較難題.
54．A
【分析】將方程轉化為，利用方程的幾何意義判斷.
【詳解】滿足方程，
即滿足方程，
幾何意義為：點M到直線x-2y+3=0和到點（-1，1）的距離相等，
又因為點（-1，1）在直線x-2y+3=0上，
所以點M的軌跡為一條直線，
故選：A
55．
【分析】直線l：，化為，可得直線l經過定點線段PM的中點根據可得點Q在以點G為圓心，以為半徑點圓上利用點到直線的距離公式可得點Q到直線的距離的最小值．
【詳解】解：直線l：，化為，
聯立，解得，．
直線l經過定點．
線段PM的中點．
．
點Q在以點G為圓心，以為半徑點圓上．
其圓的標準方程為：．
圓心G到直線點距離．
點Q到直線的距離的最小值為．
故答案為．
【點睛】本題考查了直線系的應用、圓的方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
56．或
【分析】由曲線及直線：的圖象都關于原點對稱，所以B為原點，且為AC中點， ，因為直線：上存在滿足，所以直線上存在點到原點的距離為，得，解得k的取值范圍
【詳解】因為曲線及直線：的圖象都關于原點對稱，所以B為原點，且B為AC中點，所以 ，因為直線：上存在滿足，即，所以直線上存在點到原點的距離為，得，解得或
【點睛】根據函數性質，數形結合，理解題目問題的幾何意義，建立不等關系求解參數的取值范圍
57．A
【分析】①討論，，三點共線，以及不共線的情況，結合圖象和新定義，即可判斷；
②設點是直線上一點，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數的性質，可得最小值；
③運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；
④討論在坐標軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．
【詳解】解：①對任意三點、、，若它們共線，設，、，，
，，如右圖，結合三角形的相似可得，，
為，，，或，，，則，，，；
若，或，對調，可得，，，；
若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，
，，，；
則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；
設點是直線上一點，且，
可得，，
由，解得，即有，
當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，，，．無最值，
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．
故②正確；
③由題意，到原點的“切比雪夫距離” 等于的點設為，則，
若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；
④定點、，動點
滿足，，，
可得不軸上，在線段間成立，
可得，解得，
由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；
若在第一象限內，滿足，，，
即為，為射線，
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點的軌跡與直線為常數）有且僅有2個公共點．
故④正確；
綜上可得，真命題的個數為4個，
故選:.
【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查數形結合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．
58．B
【分析】先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b； ③若點M在點A的左側，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結果．
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為 1，
由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），
由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故0，故點M在射線OA上．
設直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．
①若點M和點A重合，如圖：
則點N為線段BC的中點，故N（，），
把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．
②若點M在點O和點A之間，如圖：
此時b，點N在點B和點C之間，
由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若點M在點A的左側，
則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．
設直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由 求得點P的坐標為（，），
此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 （1﹣b） |xN﹣xP|，
即（1﹣b） ||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此時 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
兩邊開方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得 b＞1，
故有1b．
綜上可得b的取值范圍應是 ，
故選B．
【點睛】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．
59．C
【分析】根據條件設出直線l3的方程，求出點A，B坐標，用m表示出，再借助幾何意義即可計算得解.
【詳解】因直線垂直于，，則設直線l3的方程為：，
由得點，由得點，而，，
于是得，
而表示動點到定點與的距離的和，
顯然，動點在直線上，點與在直線兩側，因此，，
當且僅當點M是直線與線段EF：的交點，即原點時取“=”，此時m=0，
從而得取最小值，
所以，當直線l3方程為：時，取最小值.
故選：C
60．B
【分析】構造，結合上點與所成直線的斜率大小判斷各式的大小關系.
【詳解】構造斜率函數 ，即上點與所成直線的斜率，

由題設，構造的斜率都是正數，
由圖象知：傾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，
可得：，即.
故選：B
61．B
【分析】根據題意分析可得在正方形的邊上運動，結合圖象分析的最大值，即可得結果.
【詳解】設，
由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點在正方形的邊上運動，
因為，由圖可知：
當取到最小值，即最大，點有如下兩種可能：
①點為點A，則，可得；
②點在線段上運動時，此時與同向，不妨取，
則；
因為，
所以的最大值為.
故選：B.

【點睛】方法定睛：在處理代數問題時，常把代數轉化為幾何圖形，數形結合處理問題.
62．D
【分析】利用三角函數的平方關系將轉化為點到點的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結合三角函數的值域即可求得結果.
【詳解】因為，
所以，
故的最大值轉化為點到與的距離之差的最大值，
因為，，，
所以，
當且僅當時，等號成立，則，
經檢驗，此時，，
所以，即的最大值為.
故選：D.
63．B
【分析】先由兩直線方程求出的坐標，由于兩直線垂直，所以，若設，則，，然后表示出變形后，利用三角函數的性質可求得其范圍.
【詳解】解：由題意可知，動直線經過定點，
動直線，即，經過點定點，
動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，
又是兩條直線的交點，
，．
設，則，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線過定點問題，考查兩直線的位置關系，考查三角函數的應用，解題的關鍵是由已知得到，通過三角換元轉化為利用三角函數的性質求的取值范圍，考查數學轉化思想，屬于較難題.
64．D
【分析】先根據題意求得關于直線對稱的點為，點關于直線的對稱點為，點關于直線的對稱點為，再數形結合得到點的變動范圍，從而得到，由此得解.
【詳解】設直線方程為，則，解得，即，即，
設關于直線對稱的點為，則，解得，即，，
同理可得：
點關于直線的對稱點為，
點關于直線的對稱點為，
如圖所示：
利用光線反射的性質可知，當這束光線反射后最終經過點時，則其先經過點；當這束光線反射后最終經過點時，則其先經過點；
所以點之間為點的變動范圍，
因為，，所以直線，即直線斜率不存在，而，
所以，即.
故選：D
65．C
【分析】根據條件設出直線l3的方程，求出點A，B坐標，用m表示出，再借助幾何意義即可計算得解.
【詳解】因直線垂直于，，則設直線l3的方程為：，
由得點，由得點，而，，
于是得，
而表示動點到定點與的距離的和，
顯然，動點在直線上，點與在直線兩側，因此，，
當且僅當點M是直線與線段EF：的交點，即原點時取“=”，此時m=0，
從而得取最小值，
所以，當直線l3方程為：時，取最小值.
故選：C
66．C
【分析】二元函數的幾何意義是動點到定點距離的和，結合三點確定的線段和差關系即可得解.
【詳解】依題意，因，，則點在由直線圍成的矩形ABCD區域內(含邊界)，如圖，
而表示動點到定點距離的和，在矩形ABCD及內部任取點P，
連接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，當且僅當點P在線段OQ上時取“=”，，當且僅當點P在線段AC上時取“=”，
于是得，當且僅當點P是線段OQ與AC的交點時取“=”，
顯然直線AC：與y軸交點在線段OQ上，即當點時，，
所以二元函數的最小值為7.
故選：C
67．C
【分析】根據直線過定點確定出對于給定的一點，取最大值時且，然后根據點為正方形上任意一點求解出，由此可知.
【詳解】直線過定點，
對于任意確定的點，
當時，此時，
當不垂直時，過點作，此時，如圖所示：
因為，所以，所以，
由上可知：當確定時，即為，且此時；
又因為在如圖所示的正方形上運動，所以，
當取最大值時，點與重合，此時，
所以，
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于利用圖像分析取最大值時與直線的位置關系，通過位置關系的分析可將問題轉化為點到點的距離問題，根據圖像可直觀求解.
68．ABCD
【分析】由點到直線的距離公式判斷A；由輔助角公式判斷B；由距離公式結合正弦函數的性質判斷CD.
【詳解】對于A：由點到直線的距離公式知，，故A正確；
對于B：由題意得，當時，則，
其中，因為，所以，即.
當時，，則，即，
綜上，點在直線l上，則，故B正確；
對于CD：因為，
所以的最大值等于，最小值等于，故CD正確；
故選：ABCD
69．ABC
【分析】根據題意，分為三條直線中有兩條平行，另外一條與這兩條相交和三條直線相交于一點，兩種情況討論，結合兩直線的位置關系，即可求解.
【詳解】（1）當三條直線中有兩條平行，另外一條與這兩條相交，此時符合題意，
若直線與直線平行，可得，此時滿足題意；
若直線與直線平行，可得，此時滿足題意，
（2）若三條直線相交于一點，也符合題意，
由，解得，即兩直線的交點為，
將代入直線，可得，
綜上可得，實數的值為或或.
故選：ABC.
70．AC
【分析】由點斜式確定定點，由點在以原點為圓心，直徑為的圓上，結合圓的性質判斷即可.
【詳解】可化為，則直線過定點，故A正確；
因為直線的斜率存在，所以點與點不重合，
因為，所以點在以原點為圓心，直徑為的圓上（去掉點B），
點到直線的距離為，由圖可知，，故B錯誤；
由圖可知，，即，故C正確，D錯誤；
故選：AC

71．AB
【分析】不管為何值，當時，，即可判斷A；根據兩直線垂直的判定即可求得的值，從而可判斷B；根據兩直線平行的判定即可求得的值，從而可判斷C；結合C選項可得兩直線的方程，再根據兩直線平行的距離公式即可判斷D．
【詳解】不管為何值，當時，，所以直線過定點，故A正確；
當時，有，得，故B正確；
當時，有，得，故C錯誤；
結合C選項知當時，，所以直線：，：，
所以兩平行線間的距離為，故D錯誤．
故選：AB．
72．
【分析】由題意可知滿足為四邊形的四邊上任意一點，然后畫圖由幾何意義求解即可.
【詳解】將直線與的方程化為一般式為，
，所以到兩直線的距離之和為：，
所以①.
當時，①式變形為：；
當時，①式變形為：；
當時，①式變形為：；
當時，①式變形為：；
則動點為如圖所示的四邊形的邊，

的幾何意義為正方形邊上任意一點與連線的斜率.
，，，.
則的取值范圍是：.
故答案為：.
73．
【分析】易得，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸建立如圖所示的直角坐標系，設，設與AD交于點E，分別求得直線的方程，利用點到直線的距離公式求得C到直線BE的距離，即到的距離，及的長度，從而可求得三角形的面積，再利用導數即可得出答案.
【詳解】解：在中，，，
則，
所以，
所以為直角三角形，且，
則以C為原點，CA為x軸，CB為y軸建立如圖所示的直角坐標系，
則，，，設，
則直線，即．
設與AD交于點E，則，
又因為直線，即，
此時C到直線BE的距離為，即到的距離為，
所以，
則的面積，
因為，
所以當時，，當時，，
所以函數在上遞增，在上遞減，
所以當時，，
即面積的最大值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了直線中的對稱性問題及點到直線的距離公式，考查了利用導數求最值，綜合性較強，有一定的難度.
74．
【分析】設切點，，設的直線方程為：，與拋物線聯立消去得：，根據題意得，求出，得到的直線方程，同理求出的直線方程，聯立求出，再根據，即可求解.
【詳解】設切點，，不妨設在第一象限，
設的直線方程為：，
與拋物線聯立消去得：，因為相切，所以，
解得，所以的直線方程為：，
同理得的直線方程為：，聯立和的直線方程，
解得，因為，所以，
解得，
即點的縱坐標為：.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查拋物線方程和性質，考察直線和拋物線位置關系，直線方程的求法和運用，同時考察化簡能力，屬于難題.
75．##
【分析】的幾何意義為點到直線的距離之和，根據梯形中位線知其最大值是的中點到直線的距離的2倍.求出M的軌跡即可求得該最大值.
【詳解】的幾何意義為點到直線的距離之和，其最大值是的中點到直線的距離的2倍.
由題可知，為等邊三角形，則，
∴AB中點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
故點到直線的最大距離為，
∴的最大值為，
∴的最大值為＝.
故答案為：.
76．(1)；
(2).
【分析】（1）求出直線的斜率，由垂直關系求出直線的斜率，并求出其方程作答.
（2）求出與同向且長度等于的向量，再求出即得直線的方向向量，再求出直線方程作答.
【詳解】（1）依題意，直線的斜率，于是邊上高所在直線的斜率，
所以直線方程為，即.
（2）依題意，，在向量方向上取，使，
而，則，令，
顯然平分，于是的平分線所在直線的方向向量為，即直線的斜率為3，
所以直線的方程為，即.
77．的最大值為，此時，.
【分析】由兩直線平行且過定點，可知，根據取等時直線、與直線的位置關系可得直線方程.
【詳解】因為兩條平行直線與分別過點與點，
所以兩平行線間的距離，
當且僅當直線、均與直線垂直時等號成立，
此時，所以，
所以，也即；
，也即.
78．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點；
（2）先令令，再表達出三角形面積，最后利用基本不等式求解即可.
【詳解】（1）證明：直線的方程為：
提參整理可得：．
令，可得，
不論為何值，直線必過定點.
（2）設直線的方程為．
令 則，
令．則，
直線與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積．
當且僅當，即時，三角形面積最小．
此時的方程為．
79．
【分析】由題意可得，求出過點和點的直線的方程代入化簡即可得出答案.
【詳解】把坐標代入直線和直線，
得,，
∴，
過點和點的直線的方程是：，
∴，則，
∵，
∴，
∴所求直線方程為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑