資源簡介

專題05 直線與圓綜合大題18種題型歸類
一、核心考點題型歸納
【題型一】求圓的方程
【題型二】求軌跡方程
【題型三】阿波羅尼斯圓軌跡
【題型四】中點弦
【題型五】弦長
【題型六】中點弦軌跡
【題型七】切線型面積范圍最值
【題型八】圓上點代入型最值
【題型九】圓與直線相交弦型面積最值
【題型十】圓與直線“五個方程”型
【題型十一】圓與直線“五個方程”型最值
【題型十二】圓與直線“五個方程”型線過定點
【題型十三】圓過定點
【題型十四】定直線
【題型十五】定值
【題型十六】兩圓關系：公共弦長及方程
【題型十七】兩圓關系：公切線
【題型十八】兩圓關系：公切線最值
二、期中期末好題培優練
熱點
好題歸納
【題型一】求圓的方程
知識點與技巧：
解決直線與圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、圓的條件；
（2）強化利用幾何法求解圓的弦長，代入公式化簡得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率等問題．
（2022·高二課時練習）
1．在①圓Q經過直線：與直線：的交點，②圓心Q在直線上這兩個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并作答．
問題：是否存在圓Q，使得點，均在圓Q上，且______？若存在，求圓Q的方程；若不存在，請說明理由．
（2022·高二課時練習）
2．求滿足下列條件的圓的方程．
(1)經過點且和直線相切，同時圓心在直線上的圓；
(2)經過點，且與直線l：相切于點的圓．
（2023·全國·高二專題練習）
3．已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．
(1)求直線的方程；
(2)求圓的標準方程．
【題型二】求軌跡方程
知識點與技巧：
求軌跡方程的常見方法
①直接法：將動點滿足的（與斜率、距離、數量積等有關的，或由平面幾何知識推出的）等量關系，直接坐標化，即可得到動點軌跡方程．
②定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），可根據定義直接求，又稱幾何法，利用平面幾何知識轉化是關鍵．
③代入法：若動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知（或容易先確定的）曲線上，則可先用，的代數式表示，，再將，代入已知曲線即可得到要求的軌跡方程．又稱相關點法或轉移法．
（2023·全國·高二專題練習）
4．已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
（2023·全國·高二專題練習）
5．已知圓經過，，三點.
(1)求圓的方程；
(2)設點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為，求的方程.
（2023·全國·高二專題練習）
6．已知圓C過三個點．
(1)求圓C的方程：
(2)已知O為坐標原點，點A在圓C上運動，求線段的中點P的軌跡方程．
【題型三】阿波羅尼斯圓軌跡
（2023·全國·高二專題練習）
7．已知圓經過點，，且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若平面上有兩個點，，點是圓上的點且滿足，求點的坐標.
（2022·高二課時練習）
8．已知圓，點，為上一動點，始終為的中點.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)若存在定點和常數，對軌跡上的任意一點，恒有，求與的值.
【題型四】中點弦
（2023·全國·高二專題練習）
9．已知圓，AB為過點且傾斜角為α的弦．
(1)當時，求弦AB的長；
(2)若弦AB被點P平分，求直線AB的方程．
（2022·高二課時練習）
10．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．
（1）求圓的方程；
（2）設直線與該圓相交于兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得過點的直線l垂直平分弦？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
（2021·全國·高三專題練習）
11．在平面直角坐標中曲線與坐標軸的交點都在圓上，若直線被圓截得的弦恰以為中點，求的值.
【題型五】弦長
（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）
12．圓C：內有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.
(1)當弦AB最長時，求直線l的方程；
(2)當直線l被圓C截得的弦長為時，求l的方程.
（2023·全國·高二專題練習）
13．已知圓，點.
(1)求過點P的圓C的切線l的方程；
(2)若直線m過點P且被圓C截得的弦長為8，求直線m的方程.
（2021秋·高二單元測試）
14．在直角坐標系中，曲線與軸交于，兩點，點的坐標為．
(1)能否出現的情況？請說明理由；
(2)證明過，，三點的圓在軸上截得的弦長為定值；
(3)若定點，圓過，，三點，且存在定直線被圓截得的弦長為定值，求定直線的方程．
【題型六】中點弦軌跡
（2022·高二課時練習）
15．已知圓：，直線：，點．
(1)判斷直線與圓的位置關系；
(2)設直線與圓交于不同的兩點，求弦的中點的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，若，求直線的方程．
（2023秋·高二課時練習）
16．從定點向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點，求弦PQ的中點M的軌跡方程.
（2023秋·高二課時練習）
17．的頂點B，C的坐標分別是，，頂點A在圓上運動，求的重心G的軌跡方程.
【題型七】切線型面積范圍最值
（廣東省深圳市寶安中學2022-2023學年高二上學期期中數學試題）
18．平面直角坐標系中，直線，設圓經過，，圓心在上.
(1)求圓的標準方程；
(2)設圓上存在點P，滿足過點P向圓作兩條切線PA，PB，切點為，四邊形的面積為10，求實數m的取值范圍．
（浙江省舟山市2022-2023學年高二上學期期末數學試題）
19．已知點，圓C：.
(1)若過點.A可以作兩條圓的切線，求m的取值范圍；
(2)當時，過直線上一點P作圓的兩條切線PM PN，求四邊形PMCN面積的最小值.
（四川省成都市樹德中學2022-2023學年高二上學期期中考試數學（理）試題）
20．已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長為
(1)求圓C的方程；
(2)由直線上一點P向圓C引切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值．
【題型八】圓上點代入型最值
（2023·全國·高二專題練習）
21．已知圓過點，，且點關于直線的對稱點仍在圓上．
（1）求圓的方程；
（2）設是圓上任意一點，，求的最大值和最小值．
（2023·全國·高二隨堂練習）
22．已知，，三點，點P在圓上運動，求的最大值和最小值．
（2022·高二課時練習）
23．已知圓經過，，.
(1)求圓的標準方程；
(2)若點，點是圓上的一個動點，求的最小值.
【題型九】圓與直線相交弦型面積最值
（安徽省亳州市渦陽縣第三中學等校2022-2023學年高二上學期12月期末聯考數學試題）
24．已知圓，直線l過原點．
(1)若直線l與圓M相切，求直線l的方程；
(2)若直線l與圓M交于P，Q兩點，當的面積最大時，求直線l的方程．
（江蘇省揚州中學2022-2023學年高二上學期12月月考數學試題）
25．已知圓.
(1)若直線l過點且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；
(2)若直線l過點且與圓C相交于M，N兩點，求的面積的最大值，并求此時直線l的方程.
（浙江省湖州市三賢聯盟2022-2023學年高二上學期期中聯考數學試題）
26．已知圓的方程為，是經過且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點，交軸于點．
(1)若，求直線的方程；
(2)求面積的最小值．
【題型十】圓與直線“五個方程”型
（2021秋·江蘇南京·高二南京市第五高級中學校考階段練習）
27．已知圓O：x2+y2＝4．
(1)過點P（1，2）向圓O引切線，求切線l的方程；
(2)過點M（1，0）任作一條直線交圓O于A、B兩點，問在x軸上是否存在點N，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出N的坐標，若不存在，請說明理由．
（2021秋·安徽·高二校聯考期中）
28．設圓的圓心為，半徑為，圓過點，直線交圓與兩點，.
(1)求圓的方程；
(2)已知，過點的直線與圓相交于兩點，其中，若存在，使得軸為的平分線，求正數的值.
（2021·全國·高二期中）
29．已知圓經過兩點，，且圓心在直線上.
（1）求圓的標準方程；
（2）設直線與圓相交于，兩點，為坐標原點，若，求的值.
【題型十一】 直線與圓“五個方程”型最值
（2022·全國·高二專題練習）
30．若圓的內接矩形的周長最大值為．
(1)求圓O的方程；
(2)若過點的直線與圓O交于A，B兩點，如圖所示，且直線的斜率，求的取值范圍．
（2023·全國·高二專題練習）
31．已知圓心在軸上的圓與直線切于點.
(1)求圓的標準方程；
(2)已知，經過原點且斜率為正數的直線與圓交于，.求的最大值．
（2021秋·全國·高二專題練習）
32．已知定點，，動點P滿足.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若A，B為（1）中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點.設直線，，的斜率分別為，，.當時，求k的取值范圍.
【題型十二】 直線與圓“五個方程”型 :直線過定點
（江蘇省泰州市口岸中學2019-2020學年高一下學期第二次月度質量檢測數學試題）
33．已知圓O：與直線相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若過點的直線l被圓O所截得的弦長為4，求直線l的方程；
（3）若過點作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點，且，求證：直線BC恒過定點．并求出該定點的坐標．
34．已知圓C的圓心坐標為，與y軸的正半軸交于點A且y軸截圓C所得弦長為8．
(1)求圓C的標準方程；
(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．
（2023·全國·高二專題練習）
35．已知圓過點，，.
(1)求圓的標準方程；
(2)若過點且與軸平行的直線與圓交于點，，點為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，（與不重合），證明：直線過定點.
【題型十三】圓過定點
（內蒙古北方重工業集團有限公司第三中學2021-2022學年高二上學期期中數學試題）
36．已知圓，圓．
（1）過的直線截圓所得的弦長為，求該直線的斜率；
（2）動圓同時平分圓與圓的周長．
①求動圓圓心的軌跡方程；
②問動圓是否過定點，若經過，則求定點坐標；若不經過，則說明理由．
（浙江省紹興市諸暨中學2021-2022學年高二上學期10月月考數學試題）
37．已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長為.
(1)求圓C的方程；
(2)設P是直線上的動點，過點P作圓C的切線PA，切點為A，證明：經過A，P，C三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.
（2022秋·全國·高二專題練習）
38．如圖，已知圓，直線的方程為，點是直線上一動點，過點作圓的切線 ，切點為 .
（1）當的橫坐標為時，求的大小；
（2）求證：經過 三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.
【題型十四】定直線
39．已知曲線C：．
(1)求證：不論m取何實數，曲線C恒過一定點；
(2)證明當時，曲線C是一個圓，且圓心在一條定直線上；
(3)若曲線C與軸相切，求m的值．
（江蘇省徐州市賈汪中學2022-2023學年高二上學期月考（一）數學試題）
40．已知圓O:x2+y2=1和定點T(2，1)，由圓O外一動點P(m，n)向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PT|.
(1)求證:動點P在定直線上，求出定直線的一般式方程;
(2)求線段PQ長的最小值，并寫出此時點P的坐標.
（江蘇省宿遷中學2022-2023學年高二下學期入學檢測數學試題）
41．在平面直角坐標系中，圓M是以，兩點為直徑的圓，且圓N與圓M關于直線對稱.
(1)求圓N的標準方程；
(2)設，，過點C作直線，交圓N于P、Q兩點，P、Q不在y軸上.
（i）過點C作與直線垂直的直線，交圓N于E、F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；
（ii）設直線OP，DQ相交于點G，試討論點G是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.
【題型十五】定值
（甘肅省慶陽市寧縣第二中學2022-2023學年高二上學期期末數學試題）
42．已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點．
(1)若﹐求直線l的方程：
(2)若直線l與直線交于點N，直線l過定點A，求證：為定值．
（2023·全國·高二專題練習）
43．過點的直線與圓交于兩點，為圓與軸正半軸的交點．
(1)若，求直線的方程；
(2)證明：直線的斜率之和為定值．
（2023·全國·高二專題練習）
44．已知，為上三點.
（1）求的值；
（2）若直線過點(0，2)，求面積的最大值；
（3）若為曲線上的動點，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【題型十六】兩圓關系：公共弦長及方程
（2023·全國·高二隨堂練習）
45．已知圓與圓相交，求交點所在直線的方程.
（2023·全國·高二專題練習）
46．求圓和圓公共弦所在直線方程，并求弦長．
（2021·高二課時練習）
47．已知兩圓和.
（1） 判斷兩圓的位置關系；
（2） 求兩圓公共弦所在的直線方程及公共弦的長.
【題型十七】兩圓關系：公切線
知識點與技巧：
過一點求圓的切線的方法：
（1）過圓上一點（x0，y0）的圓的切線方程的求法：
先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關系知切線斜率為，由點斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.
（2）過圓外一點（x0，y0）的圓的切線方程的求法：
當斜率存在時，設為k，切線方程為y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程．當斜率不存在時要加以驗證．
（2023·全國·高二課堂例題）
48．求圓與的公切線的方程．
（2023·全國·高二專題練習）
49．已知圓，圓．
(1)求兩圓的公共弦長；
(2)求兩圓的公切線方程．
（2022·高二課時練習）
50．求圓與圓的公切線所在直線的方程.
【題型十八】兩圓關系：公切線最值
（2023·全國·高二專題練習）
51．已知圓與圓相交于兩點，點位于軸上方，且兩圓在點處的切線相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直線與圓 圓分別切于兩點，求的最大值.
（2023·全國·高二專題練習）
52．過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點，，相交于點，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點到直線的距離的最小值．
培優練
（2022秋·全國·高二期中）
53．已知圓C的圓心坐標為，且該圓經過點.
(1)求圓C的標準方程；
(2)直線n交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標.
(3)直線m交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.
（2023秋·浙江臺州·高二臺州市書生中學校考開學考試）
54．已知直線，圓.
(1)證明：直線l與圓C相交；
(2)設l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
（2023秋·高二單元測試）
55．如圖，已知圓，點.

(1)求圓心在直線上，經過點，且與圓相外切的圓的方程；
(2)若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.
（2023·全國·高二專題練習）
56．已知圓過點，，.
(1)求圓的標準方程；
(2)若過點且與軸平行的直線與圓交于點，，點為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，（與不重合），證明：直線過定點.
（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）
57．已知在平面直角坐標系xOy中，，，平面內動點P滿足．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)點P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點，E為直線l：x＝4上的動點，直線CE，DE與曲線的另一個交點分別為M，N，直線MN與x軸交點為Q，求點Q的坐標．
（2023·全國·高二專題練習）
58．已知圓：，點.
(1)若，求以為圓心且與圓相切的圓的方程；
(2)若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求的值.
（2023·全國·高二專題練習）
59．已知圓和定點，動點在圓上．
(1)過點作圓的切線，求切線方程；
(2)若滿足，求證：直線過定點．
（2023秋·高二單元測試）
60．已知圓和點．
(1)過M作圓O的切線，求切線的方程；
(2)過M作直線l交圓O于點C，D兩個不同的點，且CD不過圓心，再過點C，D分別作圓O的切線，兩條切線交于點E，求證：點E在一條定直線上，并求出該直線的方程；
(3)已知，設P為滿足方程的任意一點，過點P向圓O引切線，切點為B，試探究：平面內是否存在一定點N，使得為定值？若存在，則求出定點N的坐標，并指出相應的定值；若不存在，則說明理由．
（2022秋·重慶巴南·高三重慶市實驗中學校考期中）
61．已知圓，直線與圓O交于A，B兩點．
(1)求；
(2)設過點的直線交圓O于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點S滿足．證明：直線SN過定點．
（2022·全國·高三專題練習）
62．已知圓過點，且與圓關于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)直線過點，截圓所得的弦長為2，求直線的方程；
(3)過點作兩條相異直線分別與圓相交于，，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由．
（2022秋·高二課時練習）
63．平面直角坐標系中，圓M經過點，，．
(1)求圓M的方程；
(2)設，過點D作直線，交圓M于PQ兩點，PQ不在y軸上，過點D作與直線垂直的直線，交圓M于E、F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值．
（2022·全國·高二期中）
64．如圖，已知圓，點為直線上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，．
(1)求直線的方程，并判斷直線是否過定點若是，求出定點的坐標，若不是，請說明理由；
(2)求線段中點的軌跡方程；
(3)若兩條切線，與軸分別交于，兩點，求的最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．存在；．
【分析】設圓心Q的坐標為，圓的半徑為r.如果選擇①，根據求出的值即得解；如果選擇②，根據求出，即得解.
【詳解】解：因為點，均在圓Q上，所以圓心Q在線段AB的垂直平分線上．
又直線AB的方程為，所以線段AB的垂直平分線的方程為，
則可設圓心Q的坐標為，圓的半徑為r．
如果選①，
由，解得，即直線和的交點為，則圓Q過點，
所以，解得，則，
即存在圓Q，且圓Q的方程為．
如果選②，
由圓心Q在直線上可得，則，
所以．
即存在圓Q，且圓Q的方程為．
2．(1)和
(2)
【分析】（1）由題，設圓心為，由圓心到直線的距離等于到點的距離列等式，整理解出a，即可進一步求出半徑，即得圓的方程；
（2）由AB坐標求AB的中垂線方程，再求過點B且與l垂直的直線，由兩直線交點求出圓心，進一步求出半徑，即得圓的方程.
【詳解】（1）圓心在直線上，設圓心為，圓心到直線的距離等于到點的距離，
即，
整理得，解得或．
當時，圓心為，半徑為，方程為；
當時，圓心為，半徑為，方程為．
（2）圓心到A、B的距離相等，即在線段AB的中垂線上，AB的中垂線的點法向式方程為，化簡得．
另一方面，圓心在過點B且與l垂直的直線上，其點法向式方程為，化簡得．
聯立方程組解得圓心坐標為，則到點A的距離．
綜上所述，圓的方程為．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由題設，代入得出直線的方程；
（2）設圓心，根據得出圓的標準方程.
【詳解】（1）由題設，
代入得，于是的方程為.
（2）設圓心，則，
即，
解得：，
，又圓心，
圓的標準方程為.
4．(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
（2）設點，，由得，代入圓的方程即得解.
【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，
它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；
（2）設，，由，得，
所以，又點在圓上，故，
所以，化簡得的軌跡方程為
5．(1)；
(2).
【分析】（1）利用待定系數法求出圓的方程即可；
（2）設，利用得到點的坐標，將點代入圓，化簡即可得到點的軌跡方程.
【詳解】（1）設圓的方程為，
將三點，，分別代入方程，
則，解得，，，
所以圓的方程為；
（2）設，，
因為點滿足，，
所以，，
則，所以.
因為點在圓上運動，
所以，
所以，所以，
所以點的軌跡方程為.
6．(1)
(2)
【分析】（1）設圓的方程為，將三個點代入求解；
（2）設動點P的坐標為， A的坐標是，由P為線段OA的中點，得到 ，代入圓上的點求解.
【詳解】（1）解：設圓的方程為，
因為圓過三個點，
所以，解得，
所以圓的方程為，即．
（2）設動點P的坐標為， A的坐標是．
由于P為線段OA的中點，所以 ， ，
所以有 ①
A是圓上的點，
所以A坐標滿足：②
將①代入②整理，得，
所以P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，方程為．
7．(1)
(2)或
【分析】（1）設出圓心，利用點到直線的距離公式即可求得圓的方程.
（2）根據已知條件求得滿足的方程聯立即可求得的坐標.
【詳解】（1）∵圓心在直線上，
設圓心，
已知圓經過點，，則由，
得
解得，所以圓心為，
半徑，
所以圓的方程為；
（2）設，
∵在圓上，∴，
又，，
由可得：，
化簡得，
聯立
解得或.
8．(1)
(2)，
【分析】（1）設，由中點公式可得，代入到圓的方程中，整理即可求解；
（2）設，由兩點間距離公式可得，結合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.
【詳解】（1）設，
因為為的中點，，所以，即，
因為圓的方程為，則，整理得，，
故動點Q的軌跡方程為.
（2）設，則且，
整理得，
因為在Q的軌跡上，所以，
故，
當且僅當時上式恒成立，此時，，則，
解得或9，
當時，，不合題意，舍去；
當時，，符合題意，
故，.
9．(1)弦AB的長為3；
(2).
【分析】（1）本小題先根據傾斜角求直線斜率，再求直線方程，求圓心到直線的距離，結合弦長公式求弦AB的長；；
（2）本小題借圓的弦的幾何意義先求直線的斜率，再根據點斜式求直線方程.
【詳解】（1）當時，直線AB的斜率為，
因為直線AB過點，
所以直線AB的方程為：即，
圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以，
所以弦AB的長為3；
（2）因為，，
所以 ，
因為弦AB被點平分，所以 ，
所以，
所以直線AB的方程：，
所以直線AB的方程：
10．（1）；（2）；（3）存在實數，理由見解析.
【解析】（1）設圓心為M（m，0），根據相切得到，計算得到答案.
（2）把直線ax﹣y+5＝0，代入圓的方程，計算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.
（3）l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，過點M（1，0），計算得到答案.
【詳解】（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29＝0相切，且半徑為5，
所以 ，即|4m﹣29|＝25．因為m為整數，故m＝1．
故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2＝25．
（2）把直線ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圓的方程，消去y，
整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，
由于直線ax﹣y+5＝0交圓于A，B兩點，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以實數a的取值范圍是（）．
（3）設符合條件的實數a存在，則直線l的斜率為，
l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，
故存在實數，使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB.
【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力.
11．
【分析】先求出曲線與坐標軸的交點，根據題意求出圓心坐標和半徑，即可寫出圓的方程，設點，由垂徑定理可知與直線垂直，結合斜率關系可求得的值.
【詳解】曲線與軸的交點為，
令，解得，，
即曲線與軸的交點為、，
故可設圓的圓心為，則有，解得，
則圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.
直線的斜率為，
由垂徑定理可知與直線垂直，故.
12．(1)
(2)或
【分析】（1）弦AB最長時，直線l過點和圓心,可求方程；
（2）根據弦長，求得圓心到直線距離，利用點到距離公式可求直線方程.
【詳解】（1）圓C：化為標準方程為，則圓C的圓心為.
又弦AB最長時，直線l過點和，所以直線l的方程為，
即.
（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，即，
弦長為時，由圓的半徑為3，由垂徑定理和勾股定理得，
圓心到直線距離為，即，解得，
此時直線l的方程為，
經檢驗k不存在時的直線也符合條件.
所以直線l的方程為或.
13．(1)
(2)或
【分析】（1）當直線斜率不存在時，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當直線的斜率存在時：設直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解；
（2）直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，直線被截的弦長為判斷；當直線的斜率存在時：設直線方程為，再由直線被截的弦長為求解.
【詳解】（1）解：當直線斜率不存在時，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，不成立；
當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，
圓心到直線的距離等于半徑為：，
解得，所以直線方程為：，
即；
（2）當直線斜率不存在時，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，則直線被截的弦長為，成立；
當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，
圓心到直線的距離為：，
直線被截的弦長為，解得，
所以直線方程為：，
即，
綜上：直線方程為：或
14．(1)不能，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用根與系數的關系及斜率乘積即可得結論；
（2）分別求出 的中垂線方程，聯立求得圓心坐標與半徑，利用勾股定理求弦長 ，則結論得證；
( 3 ) 設過三點的圓的方程為，由為0時方程的系數相等可得與，結合圓 過可得，再由圓系方程求解定值線的方程.
【詳解】（1）不能出現的情況，理由如下：
二次函數的圖象與軸交于，兩點，設，，，，
則，
又的坐標為，
故的斜率與的斜率之積為，
所以不能出現的情況
（2）證明：的中點坐標為，可得的中垂線方程為，
由（1）可得，所以的中垂線方程為，
聯立，又，
可得，，
過，，三點的圓的圓心坐標為，，半徑，
故圓在軸上截得的弦長為，為定值
（3）設過，，三點的圓的方程為，
由時與等價，可得，，
圓的方程為．
又圓過，所以，即圓．
則直線．
15．(1)相交
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出動直線經過的定點，判斷定點和圓的位置關系即可；
（2）連接圓心和弦的中點，利用垂徑定理找出幾何關系來解決；
（3）聯立直線和圓的方程，利用韋達定理來解決.
【詳解】（1）因為直線：過定點，
又，所以在圓內，
所以直線與圓相交；
（2）設，當與不重合，即時，連接，，則，根據勾股定理．則，化簡得：（）；當與重合時，，也滿足上式，故弦的中點的軌跡方程為；
（3）設，，因為，所以，
所以，化簡得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③聯立，解得，
所以直線的方程為或．
16．（在圓C內部的部分）
【分析】設所求軌跡上任一點，求得圓C的圓心坐標為，因為，所以，求解即可．
【詳解】設所求軌跡上任一點，
圓C的方程可化為
則圓心坐標為，，

因為，所以點M的軌跡是以AC為直徑的圓（在圓C內部的部分），
因為AC的中點坐標為，
所以點M的軌跡方程為（在圓C內部的部分）．
17．
【分析】重心G的軌跡方程是指點G的坐標滿足的關系式，點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足圓的方程，建立點G與點A坐標之間的關系，就可以建立點G的坐標滿足的條件，進而求出點G的軌跡方程.
【詳解】設的重心G的坐標是，點A的坐標是.
已知點B，C的坐標分別是，，
則的重心G的坐標滿足，.
因此有，.①
因為點A在圓上運動，
所以點A的坐標滿足方程，
即滿足方程.②
將①代入②，得.
即所求軌跡方程為.

18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用代入法，通過解方程組進行求解即可；
（2）根據圓的切線性質，結合三角形面積公式、圓與圓的位置關系進行求解即可.
【詳解】（1）設圓的標準方程為，
因為圓經過，，圓心在上，
所以有，即圓的標準方程；
（2）四邊形的面積10，而四邊形是由兩個全等的直角三角形組成， 的面積為5，即，又，，
，動點P的軌跡為以為圓心，以5為半徑的圓，
即點P在圓
又點P在圓 上，
圓E與圓有公共點．
，即，
解得 ．實數m的取值范圍為
19．(1)或
(2)
【分析】（1）利用點在圓外代入得到不等式，結合曲線方程表示圓即可解答；
（2）首先得到，再根據點到直線的距離公式求出的最小值，最后得到四邊形面積的最小值.
【詳解】（1）由題意得在圓外，則，即
又，即或
所以或.
（2）時，圓方程為，則圓的半徑，圓心，
直線方程為，設圓心到直線的距離為，
，
20．(1)
(2)
【分析】（1）設出圓心坐標，判斷出圓的半徑，利用直線截圓所得弦長列方程來求得，從而求得圓的方程.
（2）先求得，通過求的最小來求得的最小值.
【詳解】（1）依題意，設圓的圓心坐標為，半徑為，
到直線的距離為，
所以，解得，
所以圓的方程為.
（2）由（1）得，圓的圓心為，半徑，
，所以當最小時，最小.
到直線的距離為，
所以的最小值為，
所以四邊形PACB面積的最小值為.
21．（1）；（2）最大值88；最小值72．
【解析】（1）先判斷圓心在直線上，設圓心坐標為，利用圓過點，，建立方程，求出圓心與半徑，即可求圓的方程；
（2）由，結合兩點間距離公式可得，再利用可求其最大值和最小值．
【詳解】（1）因為關于直線的對稱點仍在圓上，
所以直線經過圓心，
設圓心坐標為，
又圓過點，，
，
解得，
圓心坐標為，半徑為2，
圓的方程為；
（2）設點坐標為，則：
，
，，
，
，
當，有最大值88；當，有最小值72．
【點睛】方法點睛：求圓的方程常見思路與方法有:①直接設出動點坐標 ，根據題意列出關于的方程即可；②根據幾何意義直接找到圓心坐標和半徑，寫出方程；③待定系數法，可以根據題意設出圓的標準方程或一般式方程，再根據所給條件求出參數即可.
22．最大值為88，最小值為72
【分析】設，利用兩點間的距離公式得到，再由點P在圓上運動，化簡為求解.
【詳解】設，
因為，，三點，
所以
，
，
因為點P在圓上運動，
則，解得，
所以，
當時，取的最大值88，
當時，取的最小值72.
23．(1)
(2)
【分析】（1）設出圓的標準方程，將已知點代入得出方程組可求；
（2）利用數量積的運算律轉化結合數量積的定義求出.
【詳解】（1）設圓的標準方程為，
由于圓經過，，，
所以有，解得
所以圓的標準方程為.
（2）由（1）知，圓的半徑為，
.
當與共線且同向時，取得最小值.
所以的最小值為.
24．(1)或
(2)或．
【分析】（1）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，結合圓心到直線的距離等于半徑來求得直線的方程.
（2）設出直線的方程，由點到直線的距離公式、弦長公式求得三角形面積的表達式，結合二次函數的性質求得的面積最大時直線的方程.
【詳解】（1）①當直線l的斜率不存在時，直線l為，顯然符合直線與圓相切，
②當斜率存在時，設直線為，圓M的圓心坐標，
圓心到直線的距離，
由題意得：直線l與圓M相切，則，解得：，
所以直線l的方程為：，
綜上所述，直線l的方程為：或
（2）直線l的斜率不存在時，直線l為與圓相切，不符合題意，故直線l斜率必存在，
設直線l的方程為：，
圓心到直線的距離，弦長，
所以，
當時，面積S最大，
這時，整理得，解得，或，
所以直線l的方程：或．
25．(1)或；
(2)最大值為8，或.
【分析】（1）求出圓的圓心和半徑，再由弦長，弦心距和半徑的關系求出圓心C到直線l的距離，然后分直線l的斜率不存在和存在兩情況討論求解即可；
（2）設直線l的方程為，求出圓心C到直線l的距離，而的面積，從而可求出的面積的最大值，再由的值可求出，進而可求出直線方程.
【詳解】（1）圓C的圓心坐標為，半徑，
因為直線l被圓C截得的弦長為，所以由勾股定理得到圓心C到直線l的距離.
①當直線l的斜率不存在時，，顯然不滿足；
②當直線l的斜率存在時，設，即，
由圓心C到直線l的距離，得，
即，解得或，
故直線l的方程為或.
（2）因為直線l過點且與圓C相交，所以直線l的斜率一定存在，設直線l的方程為，即，
則圓心C到直線l的距離為，
又的面積，
所以當時，S取最大值8.
由，得，解得或，
所以直線l的方程為或.
26．(1)
(2)
【分析】（1）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設出直線方程，根據點到直線的距離公式得到，解得答案.
（2）考慮當斜率不存在和不存在兩種情況，計算圓心到直線的距離和弦長，得到三角形面積為，對比斜率不存在的情況得到答案.
【詳解】（1）圓的方程為，圓心，半徑．
若垂直于軸，則不合題意，
故斜率存在，設為，則的方程為，即．
，到的距離，，解得，
故直線的方程為，即．
（2）由已知，斜率不為0，故斜率存在．
當斜率不存在時，方程為，則，此時方程為，此時，
．
當斜率存在時，設即，則圓心到直線的距離為．
，
方程為，即，，則點到的距離為．
.
綜上：面積的最小值為．
27．(1)或
(2)存在，
【分析】（1）設切線的方程為，由已知條件結合點到直線的距離公式即可求出的方程；
（2）假設存在，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，代入，得，設，，，，求出，，再由化簡，然后結合已知條件即可求出的值，則答案可求．
【詳解】（1）（1）由題意，斜率存在，設切線的方程為，
與圓相切，
，解得或．
的方程為或；
（2）假設存在，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，
代入，得，
設，，，，
，．
，
而
，
，
，即，得．
當直線與軸垂直時，也成立．
故存在點，使得．
28．(1)或
(2)4
【分析】（1）設圓C的方程為，根據題意，利用待定系數法，即可求出結果；
（2）由（1）知，圓C的方程為，設直線PQ的方程為，聯立直線與圓的方程，化簡整理得到韋達定理，然后再根據軸平分，可得，化簡整理可得，求解方程即可得到結果.
【詳解】（1）解：設圓C的方程為，
由題意得，，解得，或，
∴圓C的方程為或.
（2）解：由（1）知，圓C的方程為.
設直線PQ的方程為，
聯立，化簡得，
∴，.
∵軸平分，∴，則，
∴，
即，
∴，解得，
∴當時，軸為的平分線.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）利用幾何法求出圓心坐標，圓心到點的距離求出半徑，最后寫出圓的半徑；（2）聯立直線方程和圓的方程，根據求出直線的斜率，再根據求出的值.
【詳解】（1）因為，，所以線段的中點的坐標為，
直線的斜率，
因此直線的垂直平分線的方程是：，即.
圓心的坐標是方程組的解.
解此方程組，得，所以圓心的坐標是，
圓心為的圓的半徑長為，
所以，圓心為的圓的標準方程是.
（2）設，，
聯立直線與圓的方程，得
消元得，
因為直線與圓相交，所以，
解得，
且，，
所以.
因為，所以，
解得或3，因為，所以，
此時直線的方程為，即，
此時圓心到直線的距離，
則.
【點睛】圓的弦長的常用求法：
(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；
(2)代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式：.
30．（1）（2）
【分析】(1) 設矩形在第一象限點為 (x，y) (x> 0，y> 0)，則，表示出矩形的周長，利用基本不等式求其最大值，根據等號的成立條件可得，進而可得圓的方程；
(2) )設直線AB：，，聯立：，利用韋達定理求出和，利用單調性求出的取值范圍.
【詳解】解：(1) 設矩形在第一象限點為 (x，y) (x> 0，y> 0)，則，
∴矩形周長 ，
∵　，
∴，
∴，
當且僅當取“=”
∴矩形周長的最大值為，
∴r = 2，∴圓O的方程：
(2)設直線AB：， ,
聯立：，
消去y并整理得，
∴，
∴，
同理：
∴
，
∵，
∴異號，
∴
　　　　　　　
∴ ，
∵，
∴，
∴.
【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，考查利用韋達定理解決最值問題，是中檔題.
31．(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標準方程.
（2）設出直線的方程，并與圓的方程聯立，化簡寫出根與系數關系，求得的表達式，結合換元法以及基本不等式求得的最大值.
【詳解】（1）由圓心在軸上的圓與直線切于點，設，
直線的斜率為，
則，所以．
所以，所以，，即，
所以圓的標準方程為．
（2）設直線，與圓聯立方程組，
可得，
，由根與系數的關系得，，
，
令，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號，此時，
所以的最大值為.
【點睛】本題的難點在于第二問，求最值.求解最值有關的題目，首先要將表達式求出，本題是結合根與系數關系求得表達式.然后根據表達式的結構來選擇求最值的方法，可考慮二次函數的性質、基本不等式或函數的單調性來求解最值.
32．（1）；（2）.
【分析】（1）設動點P的坐標為，由題中條件利用直接法求出軌跡方程即可；
（2）設點，，直線的方程為，與圓的方程聯立可得，再利用韋達定理和斜率公式計算即可得出.
【詳解】（1）設動點P的坐標為，
因為，，且，
所以，
整理得，
所以動點P的軌跡C的方程為；
（2）設點，，直線的方程為，
由消去y，整理得，（）
由得，①
由（）知，，②
所以，
即，③
將②代入③，整理得，④
由④得，解得，⑤
由①和④，解得或，⑥
要使，，有意義，則，，
所以0不是方程（）的根，
所以，即，⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范圍是.
【點睛】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關系的應用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常考題.
33．（1）；（2）或；（3）證明詳見解析，該點坐標為．
【分析】（1）利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出.
（2）根據題意可得圓心到直線的距離，分類討論，當斜率不存在時，，滿足題意；當直線的斜率存在，利用點斜式求出直線方程，再利用點到直線的距離公式即可求解.
（3）設直線AB：，直線： ，分別與圓的方程聯立，求出點、，進而求出直線BC方程，根據直線方程即可求解.
【詳解】解：（1）圓O：與直線相切，
圓心到直線的距離等于半徑，即，
，
圓O的方程為；
（2）直線l被圓O所截得的弦長為4，
圓心到直線的距離，
斜率不存在時，，滿足題意；
斜率存在時，設方程為，
即，
圓心到直線的距離，，
直線l的方程為，
綜上所述，直線l的方程為或；
（3）由題意知，設直線AB：，
與圓方程聯立，消去y得：，
，，即，
設直線： ，
與圓的方程聯立，消去y得：，
，，
，用代替得：，
直線BC方程為，
令，可得，則直線BC定點
【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、點斜式方程，考查了考生的基本運算能力，屬于基礎題.
34．(1);
(2)證明見解析，定點為.
【分析】（1）設圓的標準為，求出即得解；
（2）直線n斜率不存在時，不存在；直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.
【詳解】（1）設圓的標準為，y軸截圓C所得弦長為8，
即，
故圓的標準方程為．
（2）證明：令，可得，，又點在正半軸，故，
當直線n斜率不存在時，設，，
直線，的斜率之積為2，
，即，
點在圓上，
，
聯立，，舍去，
當直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，
①
聯立方程，
，，
代入①，得，
化簡得或，
若，則直線過，與題設矛盾， 舍.
直線n的方程為：，所以且
所以.
所以過定點．
35．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數法求得圓一般方程，再將其轉化為標準方程；
（2）求出點，的坐標，設，根據，得出，的坐標，當直線斜率存在時，設直線方程為，與圓方差聯立方程組，利用根與系數關系化簡得出與的關系，進而得出直線恒過的定點坐標，再驗證斜率不存在時仍成立.
【詳解】（1）設圓的一般方程為，
又圓過點，，，
則，
解得，
所以圓的一般方程為，
即其標準方程為；
（2）由題意得，所以直線，點，點，
設點，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圓上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
當直線斜率存在時，設直線的方程為，
代入，
得，
則，，
所以，
即，
即，
得或，
當時，直線的方程為，過點，
當時，直線的方程為，過點，在直線上，不成立，
當直線斜率不存在時，，即，解得或（舍），所以直線過成立，
綜上所述，直線恒過點.
36．（1）或；（2）①，②.
【詳解】試題分析：（1）設出直線的方程，根據勾股定理和弦長得到圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式即得直線斜率的值；（2）①由于圓與圓半徑相等，要使得圓都平分它們，必有，知在的中垂線上，求的垂直平分線方程即得點的軌跡；②根據的軌跡方程設出的坐標，由勾股定理得，從而得到圓的方程，分離參數，解方程組即得圓經過的定點.
試題解析：（1）設直線為，由弦長可得圓心到直線的距離為，
點到直線的距離為，化簡得：，
解得，或
（2）①作出圖形可證，知在的中垂線上，求得，
②設，作出圖形知，
圓的方程：
，
得兩個定點為，
考點：直線方程、圓的方程及直線與圓的位置關系的應用.
【方法點晴】本題主要考查了直線與圓相交關系的應用，解決這類問題的關鍵是通過勾股定理建立半徑、半弦與弦心距三者之間的關系，本題中第（1）問、第（2）問中的②都用到了這一關系；同時解答本題的難點是對“動圓同時平分圓與圓的周長”這一條件的處理，解答時應結合圖形分析出其本質還是點到兩點的距離相等，進而得到點的軌跡.
37．(1)
(2)證明見解析，定點為與.
【分析】(1)利用直線被圓截得的弦長公式即可求解；(2)求出過的圓的方程，求解定點.
【詳解】（1）設圓心，則圓心到直線的距離為.
因為圓被直線截得的弦長為，所以，
解得或（舍），故圓C：.
（2）已知P是直線上的動點，設，
∵為切線，∴，∴過三點的圓是以為直徑的圓.
又中點坐標為，且.
∴經過三點的圓的方程為，
即.
若過定點，即定點與m無關，
將方程整理得，
令，
解得或，
所以定點為與.
38．（1）；（2）證明見解析，.
【分析】（1）由題可知，圓的半徑，，，根據，可得，從而可求的大小；
（2）設的坐標，求出經過 三點的圓的方程即可得到圓過定點.
【詳解】（1）由題可知，圓的半徑，，
因為是圓的一條切線，所以
又因，
又，所以；
（2）設，因為，
所以經過 三點的圓以為直徑，方程為：，
即
由，解得或，
所以圓過定點.
【點睛】本題主要考查直線與圓的綜合，考查圓的定點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平..
39．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）將曲線C的方程改寫為，解方程組得到答案；
（2）將曲線C的方程改寫為，由此判斷可得答案；
（3）根據條件得到，求解即可．
【詳解】（1）將曲線C的方程改寫為，
則不論為何值，曲線C必過圓與直線的交點，
解方程組，得，．
曲線C恒過定點．
（2）將曲線C的方程改寫為．
當時，表示圓心為，半徑為的圓，圓心在直線上．
（3）若曲線C與軸相切，可知，
則，即，解得．
40．(1)證明見解析，
(2)最小值為，P
【分析】（1）利用圖形，建立等量關系，列式求得點滿足的直線方程；
（2）由圖形，將切線長表示為，代入坐標運算后，利用二次函數求最值，并求得點的坐標.
【詳解】（1）證明:由得，
所以，
即
即動點P在定直線上；
（2）由(1)可得，
==
=，
故當時，，
即線段PQ長的最小值為，此時P.
41．(1)
(2)（i）7；（ii）是，
【分析】（1）先求出圓的方程，再根據對稱性求出圓的方程即可得解；
（2）（i）設出直線、的方程，利用幾何方法求出弦長和，再求出面積，然后根據基本不等式求出最大值可得結果；（ii）聯立直線與圓的方程，設，，得到和.聯立直線和的方程求出交點的橫坐標，代入直線的方程，利用和變形可得交點的縱坐標為定值，從而可得結果.
【詳解】（1）由題意得：圓M的半徑為，
圓心M即AB的中點為，
圓M的方程為：，
因為圓N與圓M關于直線對稱，
所以圓N的圓心，半徑為，
所以圓N的標準方程為：；
（2）依題意可知，直線的斜率存在，
設直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
（i）若，則直線斜率不存在，則，，
則，
若，則直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
則
，
當且僅當即時取等號，
綜上所述，因為，所以S的最大值為；
（ii）設，，
聯立，消去y得，恒成立，
則，，
直線OP的方程為，
直線DQ的方程為，
聯立，解得，
因為，，所以，所以，
則
，
所以，
所以點G在定直線上.
42．(1)或；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據圓的弦長公式結合條件即得；
（2）根據圓的性質結合平面幾何知識可得，然后根據距離公式即得.
【詳解】（1）由圓，可知圓心為，半徑為2，
因為，直線，即，
所以，
解得或，
所以直線方程為或，
即或；
（2）由直線可知直線過定點，
又，可知，又直線，，
所以，
如圖設，又M為線段PQ的中點，直線l與直線交于點N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以為定值，
若直線過圓心，則與重合，與重合，顯然，
綜上，為定值.
43．(1)或
(2)證明見解析
【分析】(1)首先考慮斜率不存在是否滿足題意，再考慮斜率存在時，假設直線方程，結合垂徑定理列方程求解斜率即可；
(2)由題設得到點坐標,假設直線方程并聯立圓的方程，結合韋達定理寫出的表達式，化簡即可.
【詳解】（1）①直線垂直于軸時，可得出直線為，
此時直線與圓的兩交點距離為，滿足題意；
②當直線不垂直軸時，設直線方程為，
因為，所以半弦長為，由勾股定理得弦心距，
又有點到直線的距離公式可得弦心距，解得，
此時直線方程為，
所以滿足題設條件的直線的方程為或
（2）由題設容易得到點坐標，
設直線方程為，聯立圓的方程，可得關于的一元二次方程：，
設點，，由根與系數的關系（韋達定理）可得，，
的斜率，
的斜率，
則
，
所以與的斜率之和為定值，從而結論得證．
44．（1）；（2）；（3）定值為：.
【分析】（1）由為圓上的點即可得；
（2）設，，，，根據利用韋達定理即可求解；
（3）直線和直線的斜率之積為，設，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【詳解】解：（1）∵為圓上，
所以
∴
（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，，將代入得，
所以
令，則，
當，即時面積取得最大值
（3）設直線和直線的斜率之積為
設，，則
①，
因為，為圓上，所以，
化簡得
整理得②
因為，所以
從而，又因為為曲線的動點
所以展開得
將①代入得
化簡得
將②代入得
，整理得
，
因為所以從而
又所以
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與證明，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用，屬于中檔題．
45．.
【分析】根據給定條件，判斷兩圓位置關系，再把兩個方程相減即可作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓圓心，半徑，

顯然，即圓與圓相交，設它們的交點坐標為，
由，得，同理，
顯然點都滿足方程，
所以兩圓交點所在直線的方程為.
46．，.
【分析】先證明兩圓相交，再將兩圓方程相減可得公共弦方程，根據弦長公式求弦長.
【詳解】方程可化為，
所以圓的圓心坐標為，半徑，
方程可化為，
所以圓的圓心坐標為，半徑，
所以兩圓的圓心距為，
又，
所以圓與圓相交.
將兩圓的方程相減可得，即，
所以兩圓公共弦所在直線方程為，
又點到直線的距離為，
所以公共弦長為.
47．（1）兩圓相交；（2）公共弦所在的直線方程為,公共弦長為.
【解析】（1）先求出的大小，再比較它們的關系即得解；
（2）兩圓作差得公共弦所在的直線方程，再求出公共弦長.
【詳解】（1）由題意可知：圓心，半徑；圓心，半徑
兩圓心距離
且滿足.
所以，兩圓相交.
（2）兩圓作差得公共弦所在的直線方程為.
所以到直線的距離為，
所以公共弦長為.
【點睛】本題主要考查兩圓位置關系的判定，考查兩圓公共弦所在直線方程的求法和公共弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
48．或或或
【分析】分類討論公切線的斜率不存在，根據點到直線的距離公式結合切線的性質可得，運算求解即可.
【詳解】因為圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
所以，
所以圓與圓相離，所以有4條公切線，如圖所示．

當公切線的斜率不存在時，直線是兩圓的一條公切線．
當公切線的斜率存在時，設公切線方程為，
到直線的距離為，
到直線的距離為，
所以，
所以或，整理得或，
當時，，解得，
所以公切線方程為3x＋4y＋10＝0；
當時，，
所以，整理得，解得或，
當時，，公切線方程為；
當時，，公切線方程為；
綜上所述：公切線的方程為或或或．
49．(1)
(2)和
【分析】（1）聯立兩圓方程可得公共弦直線方程，求出點到的距離，利用半徑、到的距離、公共弦長的一半構成的直角三角形可得答案；
（2）由圖象、方程特征可知一條公切線為：；求出直線與的交點，設另一條公切線的方程為，利用點到此公切線的距離解得，可得答案.
【詳解】（1）易知圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，
兩圓方程、相減可得公共弦直線方程為
，所以點到的距離為，
所以公共弦長為；
（2）因為圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，
由圖象可知，有一條公切線為：，
直線與的交點為，
設另一條公切線的方程為，也即，
則點到此公切線的距離，解得：，
所以另一條公切線的方程為：，
綜上，兩圓的公切線方程為和．
50．，，，.
【分析】設公切線方程，利用幾何法求切線方程.
【詳解】由題意得，圓心為，半徑，，圓心為，半徑，
可知兩圓的公切線所在直線的斜率存在，
設公切線所在直線的方程為，即
由，得，得或，
當時，，解得或，
當時，，解得或，
綜上，兩圓的公切線所在直線的方程為，，，.
51．(1)
(2)最大值為3
【分析】（1）根據切線的性質構造直角三角形，結合勾股定理求解；
（2）平移公切線構造直角三角形，由勾股定理結合基本不等式求解的最大值.
【詳解】（1）如圖，由題意可知與圓相切，與圓相切，
且，
故，
即.
（2）作于點H，連接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，當且僅當時取等號，
故，
即的最大值為3.
52．(1)24
(2)
【分析】（1）根據題意設直線的方程為，聯立拋物線的方程可得關于的一元二次方程，從而可得，，進而可得點的坐標，即可得到的坐標表示，同理可得，求解即可；
（2）結合（1），根據拋物線的定義得，，進而可得，即可得到圓的半徑，從而可得到圓的方程，同理也可得到圓的方程，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再根據點到直線的距離公式即可求解．
【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點為，且其在拋物線內部，設直線的方程為，
由，得，
設，兩點的坐標分別為，則是上述方程的兩個實數根，
所以
所以點的坐標為，，
同理可得的坐標為，，
于是，
又，所以．
（2）結合（1），
由拋物線的定義得，，
所以，
所以圓的半徑，
所以圓的方程為
化簡得，
同理可得圓的方程為，
于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，
又，則直線的方程為，
所以點到直線的距離，
故當時，取最小值．
【點睛】關鍵點點睛：解答小問（2）的關鍵是根據拋物線的定義求得，，進而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據點到直線的距離公式求解．
53．(1)；
(2)證明見解析，；
(3)證明見解析，.
【分析】（1）根據給定條件，求出圓C的半徑即可作答.
（2）在直線n的斜率存在時，設其方程，再與圓C的方程聯立，借助韋達定
理及已知探求k，t的關系，然后討論斜率不存在的情況作答.
（3）設出直線AM，AN的方程，與圓C的方程聯立，求出點M，N的坐標，再用斜率坐標公式計算作答.
【詳解】（1）依題意，圓C的半徑，
所以圓C的標準方程是：.
（2）當直線n的斜率不存在時，設，由直線AM，AN的斜率之積為2，得，
即，又由點M，N在圓C上得，消去b得：，
而，則，此時，因此，無解，
當直線n的斜率存在時，設其方程為，由消去y并整理得：
，設，
則，，直線斜率，直線斜率，
則
，整理得，此時直線n：過定點，
所以直線n過一個定點，該定點坐標是.
（3）設直線方程為：，由消去y并整理得：，
則有點，而直線：，同理，
于是得直線的斜率，
所以直線m的斜率是定值，該定值為.
【點睛】思路點睛：與曲線相交的直線過定點問題，設出直線的斜截式方程，與曲線方程聯立，
借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關系即可解決問題.
54．(1)證明見解析；
(2)；
(3)點Q恒在直線上，理由見解析.
【分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內部，故證明直線l與圓C相交；（2）設出點，利用垂直得到等量關系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓的方程，聯立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.
【詳解】（1）證明：直線過定點，代入得：，故在圓內，故直線l與圓C相交；
（2）圓的圓心為，設點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：
（3）設點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.
【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據四點共圓，直徑的端點坐標，求出此圓的方程，與曲線聯立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關鍵.
55．(1)
(2)或
【分析】（1）通過求圓的圓心和半徑來求得圓的方程.
（2）首先判斷出，求得到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得正確答案.
【詳解】（1）由，
化為標準方程：.
所以圓的圓心坐標為，
又圓的圓心在直線上，
所以當兩圓外切時，切點為，設圓的圓心坐標為，
則有，
解得，
所以圓的圓心坐標為，半徑，
故圓的方程為.

（2）因為圓弧PQ恰為圓C周長的，所以.
所以點到直線的距離為.
當直線的斜率不存在時，點C到軸的距離為，直線即為軸，
所以此時直線的方程為.

當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，
即.
所以，解得.
所以此時直線的方程為，
即，故所求直線的方程為或.

【點睛】求圓的方程，有很多方法，一是求得圓心和半徑，從而求得圓的標準方程；一是根據圓所過的三個點，設出圓的一般方程，然后列方程組來求解；一是利用相關點代入法進行求解.求解直線和圓的位置關系有關題目時，要注意直線的斜率是否存在.
56．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數法求得圓一般方程，再將其轉化為標準方程；
（2）求出點，的坐標，設，根據，得出，的坐標，當直線斜率存在時，設直線方程為，與圓方差聯立方程組，利用根與系數關系化簡得出與的關系，進而得出直線恒過的定點坐標，再驗證斜率不存在時仍成立.
【詳解】（1）設圓的一般方程為，
又圓過點，，，
則，
解得，
所以圓的一般方程為，
即其標準方程為；
（2）由題意得，所以直線，點，點，
設點，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圓上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
當直線斜率存在時，設直線的方程為，
代入，
得，
則，，
所以，
即，
即，
得或，
當時，直線的方程為，過點，
當時，直線的方程為，過點，在直線上，不成立，
當直線斜率不存在時，，即，解得或（舍），所以直線過成立，
綜上所述，直線恒過點.
57．(1)
(2)．
【分析】(1) 設點為曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表示條件關系，化簡等式可得軌跡方程；
(2) 設，聯立直線的方程和曲線的方程求點的坐標，聯立直線的方程和曲線的方程求點的坐標，求直線的方程，確定其與軸的交點坐標即可.
【詳解】（1）設點為曲線上任意一點，
因為，，，
則，
化簡得．
（2）由題意得，，
設，則直線的方程為，
直線的方程為，
聯立得，
則，
即，，
所以
聯立得，
則，即，，
所以
當時，直線的斜率，
則直線的方程為，
即，所以，
當時，直線垂直于軸，方程為，也過定點．
綜上，直線恒過定點．
【點睛】本題為直線與圓的綜合問題，解決的關鍵在于聯立方程組求出交點坐標，對學生的運算能力要求較高.
58．(1)或
(2)或
【分析】（1）由題意，可設圓的方程為，判斷出點在圓外，則圓與圓外切或內切，分類討論兩圓內切與外切兩種情況，列方程求解，從而可得圓的方程；
（2）先排除過點與軸垂直的情況，從而設過點的直線方程為，再根據圓的弦長公式建立方程并化簡可得，結合根與系數的關系以及，從而可得的方程，解方程即可得解.
【詳解】（1）當時，，設圓的方程為，
因為，所以點在圓外，
所以圓與圓外切或內切，又，圓的半徑為，
當兩圓外切時：，可得；
當兩圓內切時：，可得；
所以以為圓心且與圓相切的圓的方程為或.
（2）若過點的直線與軸垂直時，直線方程為，
圓心到直線的距離為，直線與圓相離，不滿意題意；
設過點的直線方程為，即，
由題意得，，
化簡得，設直線、的斜率分別為，
則，且，
對過點的直線，令，得，
，
，解得，
所以.
【點睛】方法點睛：解決直線與圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、圓的條件；
（2）強化利用幾何法求解圓的弦長，代入公式化簡得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率等問題．
59．(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）設直線方程后由點到直線的距離公式列式求解即可；
（2）分類討論直線斜率存在與否的情況，聯立直線與圓的方程，直接求得或由韋達定理化簡，從而證得直線過定點.
【詳解】（1）因為圓，所以圓心，半徑，
當直線斜率不存在時，直線為，易得圓心與的距離為，則直線與相離，不滿足題意；
當直線斜率存在時，設切線方程為，即，
則，解得或，
所以切線方程為或，即或.
（2）若直線斜率不存在，由對稱性得，
又，所以，故直線為，
聯立，解得或（舍去），
故，則，直線方程為，
若直線斜率存在，設直線方程為，
聯立，消去，得，
所以，，，
而，
化簡得，解得或，
當時，直線為，顯然過點，不符合題意，舍去，
故，直線為，顯然過定點，而直線也過，
綜上：直線過定點.
60．(1)x＝1和
(2)證明見解析，
(3)存在，或
【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況求切線方程即可；
（2）設，，，根據，得到，再結合，得到，同理得到，即可得到直線的方程為，再根據M在CD上，即可得到點的軌跡方程；
（3）設，根據得到，再設，，即可得到，再根據存在，使為定值，列方程求解即可.
【詳解】（1）當斜率不存在時，顯然x＝1與圓相切；
當斜率存在時，設切線為，由圓心到切線的距離為1，
∴，解得，則，整理得
綜上，切線方程為x＝1和.
（2）設，，，，，
∴由，則，即，又，
故，同理，∴直線CD為，又M在CD上，
∴，故E恒在直線上．
（3）由題設，若則，整理可得，
若存在，使為定值，而，．
∴，整理得，
∴，
整理得，
要使為定值，則,解得或.
綜上，存在或，使為定值．
【點睛】關鍵點點睛：（1）過一定點，求圓的切線時，首先判斷點與圓的位置關系．若點在圓外，有兩個結果，若只求出一個，應該考慮切線斜率不存在的情況；
（2）求動點軌跡時，主要是要利用題目中的條件取列等式，然后利用等式去導出動點橫縱坐標的關系；
（3）存在，使為定值，關鍵在于對任意點都要滿足，也就是等式的成立跟，的值無關，將等式整理成關于，的等式，讓，的系數等于零，同時保證等式成立，解方程，有解則存在，無解則不存在.
61．(1)
(2)證明見解析，定點為
【分析】（1）先求圓心到直線的距離，再根據勾股定理即可求得弦長；
（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，結合根與系數的關系，表示出直線SN的方程，從而確定定點.
【詳解】（1）易知圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
所以弦長.
（2）當直線的斜率不存在，即軸時，
直線的方程為，代入圓方程得：或，
設，，則直線方程為，
代入直線得：，
故，因為，
所以是的中點，得，
所以，
所以直線的方程為：，
即，直線過點.
當直線的斜率存在時，如圖所示：
設直線方程為：，即，
設，
聯立得：，
，解得或，
由韋達定理得：，
所以③，
④，且⑤，
將代入直線得：，
所以，是的中點，得，
所以，
所以直線的方程為：，
將點的坐標代入并整理，
化簡得：，
將①③④⑤代入上式得：
，
顯然成立.
綜上可得：直線過定點.
【點睛】(1)解答直線與圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
62．(1)
(2)或
(3)直線和一定平行，理由見解析
【分析】（1）由題意可得點和點關于直線對稱，設，由對稱性求出點的坐標，再根據圓過點，求出半徑，即可得解；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，結合圓的弦長公式計算即可得解；
（3）可設，，聯立，利用韋達定理求得，同理求得，再證明即可.
【詳解】（1）解：由題意可得點和點關于直線對稱，
且圓和圓的半徑相等，都等于，
設，則，解得，
故圓的方程為，
再把點代入圓的方程，求得，
故圓的方程為；
（2）解：直線過點，當直線的斜率不存在時，方程為，
截圓得到的弦長等于，滿足條件，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
再由弦長公式可得，解得，
故所求的直線方程為，即，
綜上可得，直線的方程為或；
（3）解：過點作兩條相異直線分別與圓相交于，，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標原點，
則得直線和平行，理由如下：
由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數，
故可設，，
由，得，
因為的橫坐標一定是該方程的解，故利用韋達定理求得，
同理，所以，
則的斜率的斜率），
所以，直線和一定平行．
【點睛】本題考查了直線與圓當中關于直線對稱性的問題，考查了圓的弦長公式，考查了直線位置關系的證明問題，考查了計算能力，有一定的難度.
63．(1)
(2)7
【分析】（1）設圓M的方程為，利用待定系數法求解；
（2）設直線的方程為，分k＝0和k≠0兩種情況討論，利用圓的弦長公式分別求出，，再根據，結合基本不等式即可得出答案．
【詳解】（1）設圓M的方程為，
則，解得，
所以圓M的標準方程為；
（2）設直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
（i）若，則直線斜率不存在，則，，則，
（ii）若，則直線得方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
綜上所述，因為，所以S的最大值為7．
64．(1)，過定點，
(2)
(3)
【分析】（1）求出以為圓心，為半徑的圓的方程，再根據線段為圓和圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得直線的方程，再令直線中參數項的自變量為0求解定點即可；
（2）設的中點為點，直線過的定點為點，根據幾何性質可得始終垂直于，進而求得方程即可；
（3）設切線方程為，根據直線與圓相切化簡可得，設，的斜率分別為，，則，為的兩根，表達出，再代入韋達定理，結合函數的范圍求解即可.
【詳解】（1），，，
故以為圓心，為半徑的圓的方程為，
顯然線段為圓和圓的公共弦，
則直線的方程為，即，
經判斷直線過定點，即所以直線過定點
（2）因為直線過定點，的中點為直線與直線的交點，
設的中點為點，直線過的定點為點，
易知始終垂直于，所以點的軌跡為以為直徑的圓，又，，故該圓圓點，半徑，且不經過.
點的軌跡方程為
（3）設切線方程為，即，
故到直線的距離，即，
設，的斜率分別為，，則，，
把代入，得，
則，
故當時，取得最小值為．
答案第1頁，共2頁
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