資源簡介

第11講 函數模型及其應用
【練基礎】
1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
2．據統計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y(只)與時間x(年)近似地滿足關系y＝alog3(x＋2)，觀察發現2020年(作為第1年)到該濕地公園越冬的白鶴數量為3000只，估計到2020年到該濕地公園越冬的白鶴的數量為(　　)
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
3．一種放射性元素的質量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質量為最初質量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)
A．5.2 B．6.6
C．7.1 D．8.3
4．汽車的“燃油效率”，是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B．以相同速度行駛相同的路程，三輛汽車中，甲車消耗汽油量最多
C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D．某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該城市用丙車比用乙車更省油
5.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(　　)
A．40萬元 B．60萬元
C．120萬元 D．140萬元
6．某地區的綠化面積每年平均比上一年增長18%，經過x年后，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)
7．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．
加油時間 加油量(升) 加油時的累計里程(千米)
2021年5月1日 12 35 000
2021年5月15日 48 35 600
注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程．
在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為________升．
8．某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為________．
9．里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．
10．某地區居民生活用電分高峰和低谷兩個時間段進行計價，該地區電網銷售電價表如下：
高峰時間段用電價格表 低谷時間段用電價格表
高峰月用電量(單位：千瓦時) 高峰電價(單位：元/千瓦時) 低谷月用電量(單位：千瓦時) 低谷電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超過50至200的部分 0.598 超過50至200的部分 0.318
超過200的部分 0.668 超過200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元．(用數字作答)
【練提升】
1．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數)．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　)
A．16小時 B．20小時
C．24小時 D．28小時
2．國家規定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個人的稿費為(　　)
A．3000元 B．3800元
C．3818元 D．5600元
3．某類產品按工藝共分10個檔次，最低檔次產品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產最低檔次產品60件，每提高一個檔次將少生產3件產品，則每天獲得利潤最大時生產產品的檔次是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
4．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質的量的濃度(單位mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg [H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數據：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　)
A. B.
C. D.
5．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．
6．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述：設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t(單位：min)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta稱為環境溫度，h稱為半衰期，現有一杯用85 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在21 ℃的房間中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么這杯咖啡要從37 ℃降到29 ℃，還需要________ min.
7．某醫藥研究所開發的一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．
(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式；
(2)據進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間．
8．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120.設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收入為f(x)(單位：萬元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入f(x)最大？
9．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設甲大棚的投入為x(單元：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？
10．某公司為了實現2020年銷售利潤1000萬元的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：從銷售利潤達到10萬元開始，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過銷售利潤的25%.現有三個獎勵模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請說明理由．
(參考數據：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)
第11講 函數模型及其應用
【練基礎】
1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
【答案】B
【解析】由題中表可知函數在(0，＋∞)上是增函數，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.
2．據統計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y(只)與時間x(年)近似地滿足關系y＝alog3(x＋2)，觀察發現2020年(作為第1年)到該濕地公園越冬的白鶴數量為3000只，估計到2020年到該濕地公園越冬的白鶴的數量為(　　)
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
【答案】C
【解析】當x＝1時，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故選C.
3．一種放射性元素的質量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質量為最初質量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)
A．5.2 B．6.6
C．7.1 D．8.3
【答案】B
【解析】設這種放射性元素的半衰期是x年，則(1－10%)x＝，化簡得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故選B.
4．汽車的“燃油效率”，是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B．以相同速度行駛相同的路程，三輛汽車中，甲車消耗汽油量最多
C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D．某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該城市用丙車比用乙車更省油
【答案】D
【解析】根據圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故A錯誤；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故C錯誤；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故D正確．
5.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(　　)
A．40萬元 B．60萬元
C．120萬元 D．140萬元
【答案】C
【解析】甲6元時該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×2＝40萬元，乙4元時該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×2＝80萬元，共獲利40＋80＝120萬元，故選C.
6．某地區的綠化面積每年平均比上一年增長18%，經過x年后，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)
【答案】D
【解析】設某地區起始年的綠化面積為a，因為該地區的綠化面積每年平均比上一年增長18%，所以經過x年后，綠化面積g(x)＝a(1＋18%)x，因為綠化面積與原綠化面積的比值為y，則y＝f(x)＝＝(1＋18%)x＝1.18x，因為y＝1.18x為底數大于1的指數函數，故可排除A，C，當x＝0時，y＝1，可排除B，故選D.
7．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．
加油時間 加油量(升) 加油時的累計里程(千米)
2021年5月1日 12 35 000
2021年5月15日 48 35 600
注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程．
在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為________升．
【解析】因為每次都把油箱加滿，第二次加了48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷6＝8(升)．
【答案】8
8．某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為________．
【答案】－1
【解析】設年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.
9．里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．
【解析】M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
設9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lg A1－lg A0＝lg ，則＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，則＝105，所以＝104.
即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10 000倍．
【答案】6　10 000
10．某地區居民生活用電分高峰和低谷兩個時間段進行計價，該地區電網銷售電價表如下：
高峰時間段用電價格表 低谷時間段用電價格表
高峰月用電量(單位：千瓦時) 高峰電價(單位：元/千瓦時) 低谷月用電量(單位：千瓦時) 低谷電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超過50至200的部分 0.598 超過50至200的部分 0.318
超過200的部分 0.668 超過200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元．(用數字作答)
【答案】148.4
【解析】據題意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．
【練提升】
1．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數)．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　)
A．16小時 B．20小時
C．24小時 D．28小時
【答案】C
【解析】由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
將①代入②得e22k＝，則e11k＝，
當x＝33時，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝×192＝24，所以該食品在33 ℃的保鮮時間是24小時．故選C.
2．國家規定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個人的稿費為(　　)
A．3000元 B．3800元
C．3818元 D．5600元
【答案】B
【解析】由題意可建立納稅額y關于稿費x的函數解析式為y＝顯然稿費應為8003．某類產品按工藝共分10個檔次，最低檔次產品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產最低檔次產品60件，每提高一個檔次將少生產3件產品，則每天獲得利潤最大時生產產品的檔次是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】由題意，當生產第k檔次的產品時，每天可獲利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當k＝9時，獲得利潤最大．選C.
4．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質的量的濃度(單位mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg [H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數據：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg (100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2,10－0.7<<，
∴<<.故選C.
5．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．
【解析】因為m＝6.5，所以[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
【答案】4.24
6．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述：設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t(單位：min)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta稱為環境溫度，h稱為半衰期，現有一杯用85 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在21 ℃的房間中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么這杯咖啡要從37 ℃降到29 ℃，還需要________ min.
【答案】8
【解析】由題意知Ta＝21 ℃.令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·，∴h＝8.令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，則29－21＝(37－21)·，∴t＝8.
7．某醫藥研究所開發的一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．
(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式；
(2)據進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間．
【解析】(1)由題圖，設y＝
當t＝1時，由y＝4得k＝4，
由＝4得a＝3.
所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5－＝(小時)．
8．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120.設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收入為f(x)(單位：萬元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入f(x)最大？
【解析】(1)若投入甲大棚50萬元，則投入乙大棚150萬元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)由題知，
f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依題意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，則t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
當t＝8，即x＝128時，y取得最大值282，所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收入最大，且最大收入為282萬元．
9．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設甲大棚的投入為x(單元：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？
【解析】(1)由題意知甲大棚投入50萬元，
則乙大棚投入150萬元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(萬元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得 20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，則t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
當t＝8，即x＝128時，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元．
10．某公司為了實現2020年銷售利潤1000萬元的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：從銷售利潤達到10萬元開始，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過銷售利潤的25%.現有三個獎勵模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請說明理由．
(參考數據：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)
【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當x∈[10,1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x·25%.
(1)對于y＝0.025x，易知滿足①，但當x>200時，y>5，不滿足公司的要求．
(2)對于y＝1.003x，易知滿足①，但當x>538時，y>5，不滿足公司的要求．
(3)對于y＝ln x＋1，易知滿足①.
當x∈[10,1000]時，y≤ln 1000＋1.
下面證明ln 1000＋1<5.
因為ln 1000＋1－5＝ln 1000－4＝(ln 1000－8)
≈(ln 1000－ln 2981)<0，滿足②.
再證明ln x＋1≤x·25%，即2ln x＋4－x≤0.
設F(x)＝2ln x＋4－x，則F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1000]，所以F(x)在[10,1000]上為減函數，
F(x)max＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，滿足③.
綜上，獎勵模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求．第11講 函數模型及其應用
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.了解指數函數、對數函數及冪函數的增長特征，掌握求解函數應用題的步驟．(重點)
2.了解函數模型及擬合函數模型；在同一坐標系中能對不同函數的圖象進行比較．
3.建立函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的)，要正確地確定實際背景下的定義域，將數學問題還原為實際問題．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個冷考點．預測2022年高考將主要考查現實生活中的生產經營、工程建設、企業的贏利與虧損等熱點問題中的增長或減少問題，以一次函數、二次函數、指數、對數型函數及對勾函數模型為主，考查考生建模能力和分析解決問題的能力.
【核心知識】
知識點一 指數、對數、冪函數模型性質比較
函數性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值變化而各有不同
知識點二 種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
【特別提醒】
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長速度緩慢.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.
3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性.
【高頻考點】
高頻考點一 利用函數模型解決實際問題
例1.【2019·北京卷】李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
【方法技巧】
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
(3)利用該模型求解實際問題．
【變式探究】某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費f (x)(單位：元)滿足關系f (x)＝已知某家庭2020年前三個月的煤氣費如表：
月份 用氣量 煤氣費
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　)
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
【舉一反三】某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q＝8 300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)(　　)
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
高頻考點二 構建一次函數、二次函數模型解決實際問題
例2.某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30－R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是(　　)
A．[4，8]　　　　　　　　　　 B．[6，10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
【方法突破】
(1)二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；
(2)確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；
(3)解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．
【變式探究】如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．
(1)設MP＝x米，PN＝y米，將y表示成x的函數，并求該函數的解析式及定義域；
(2)求矩形BNPM面積的最大值．
高頻考點三 構建指數函數、對數函數模型解決實際問題
例3．【2020·全國Ⅰ卷】基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型I(t)＝ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位：天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 ＝1＋rT.有學者基于已有數據估計出R0＝3.28，T＝6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【方法技巧】
(1)要先學會合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．
(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題．　　　　
【變式探究】某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(　　)
(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【舉一反三】某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(　　)
(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
高頻考點四 構建分段函數模型解決實際問題
例4.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時)
【方法突破】
(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；
(2)構造分段函數時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；
(3)分段函數的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 　　　　
【變式探究】某景區提供自行車出租，該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．
(1)求函數y＝f(x)的解析式；
(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？
第11講 函數模型及其應用
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.了解指數函數、對數函數及冪函數的增長特征，掌握求解函數應用題的步驟．(重點)
2.了解函數模型及擬合函數模型；在同一坐標系中能對不同函數的圖象進行比較．
3.建立函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的)，要正確地確定實際背景下的定義域，將數學問題還原為實際問題．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個冷考點．預測2022年高考將主要考查現實生活中的生產經營、工程建設、企業的贏利與虧損等熱點問題中的增長或減少問題，以一次函數、二次函數、指數、對數型函數及對勾函數模型為主，考查考生建模能力和分析解決問題的能力.
【核心知識】
知識點一 指數、對數、冪函數模型性質比較
函數性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值變化而各有不同
知識點二 種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
【特別提醒】
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長速度緩慢.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.
3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性.
【高頻考點】
高頻考點一 利用函數模型解決實際問題
例1.【2019·北京卷】李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
【答案】①130；②15
【解析】①x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②設顧客一次購買水果的促銷前總價為元，
當元時，李明得到的金額為，符合要求；
當元時，有恒成立，
即，
因為，所以的最大值為.
綜上，①130；②15.
【方法技巧】
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
(3)利用該模型求解實際問題．
【變式探究】某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費f (x)(單位：元)滿足關系f (x)＝已知某家庭2020年前三個月的煤氣費如表：
月份 用氣量 煤氣費
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　)
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
【答案】A　
【解析】根據題意可知f (4)＝C＝4，f (25)＝C＋B(25－A)＝14，f (35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f (x)＝所以f (20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
【舉一反三】某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q＝8 300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)(　　)
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
【答案】D　
【解析】設毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當p∈(0,30)時，L′(p)>0；當p∈(30，＋∞)時，L′(p)<0.故L(p)在p＝30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23 000.
高頻考點二 構建一次函數、二次函數模型解決實際問題
例2.某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30－R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是(　　)
A．[4，8]　　　　　　　　　　 B．[6，10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
【答案】A
【解析】根據題意，要使附加稅不少于128萬元，
需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4，8]．
【方法突破】
(1)二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；
(2)確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；
(3)解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．
【變式探究】如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．
(1)設MP＝x米，PN＝y米，將y表示成x的函數，并求該函數的解析式及定義域；
(2)求矩形BNPM面積的最大值．
【解析】(1)如圖，作PQ⊥AF于點Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，
所以＝，所以y＝－x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．
(2)設矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是關于x的二次函數，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調遞增，所以當x＝8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米．
高頻考點三 構建指數函數、對數函數模型解決實際問題
例3．【2020·全國Ⅰ卷】基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型I(t)＝ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位：天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 ＝1＋rT.有學者基于已有數據估計出R0＝3.28，T＝6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B　
【解析】因為R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為t1天，則e＝2e0.38t，所以e＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8(天)．故選B．
【方法技巧】
(1)要先學會合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．
(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題．　　　　
【變式探究】某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(　　)
(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【答案】B
【解析】根據題意，知每年投入的研發資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發資金組成一個等比數列{an}，其中，首項a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，兩邊同時取對數，得n－1>，又≈＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發資金開始超過200萬元，故選B.
【舉一反三】某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(　　)
(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【答案】B
【解析】根據題意，知每年投入的研發資金增長的百分率相同，所以從2015年起，每年投入的研發資金組成一個等比數列{an}，其中首項a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，兩邊同時取對數，得n－1>，又≈＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發資金開始超過200萬元，故選B.
高頻考點四 構建分段函數模型解決實際問題
例4.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時)
【解析】(1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；
當20再由已知得解得
故函數v(x)的表達式為v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得
f(x)＝
當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200；
當20f(x)＝x(200－x)≤＝，
當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立．所以當x＝100時，f(x)在區間(20，200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區間上取得最大值≈3 333，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時．
【方法突破】
(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；
(2)構造分段函數時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；
(3)分段函數的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 　　　　
【變式探究】某景區提供自行車出租，該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．
(1)求函數y＝f(x)的解析式；
(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？
【解析】(1)當x≤6時，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x為整數，∴3≤x≤6，x∈Z.
當x>6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，結合x為整數得6∴y＝
(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
顯然當x＝6時，ymax＝185；
對于y＝－3x2＋68x－115
＝－32＋(6當x＝11時，ymax＝270.
∵270>185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．

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