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專題1.9 全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講
1．全稱量詞與全稱量詞命題
2.存在量詞與存在量詞命題
3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
(2)存在量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
4．命題的否定與原命題的真假
一個(gè)命題的否定，仍是一個(gè)命題，它和原命題只能是一真一假．
【題型1 全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】
【方法點(diǎn)撥】
判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞．要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．
【例1】（2021秋 普寧市校級(jí)月考）下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為（　　）
①正方形的對(duì)角線互相平分；
②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】直接利用特稱命題和全稱命題的判定求出結(jié)果．
【解答過程】解：對(duì)于①正方形的對(duì)角線互相平分，為全稱量詞命題；
對(duì)于②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，為全稱量詞命題；
③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等，為特稱量詞命題．
故選：C．
【變式1-1】（2021秋 臨沂期中）下列命題中，是全稱量詞命題的是（　　）
A． x∈R，x2≤0
B．當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax+b是增函數(shù)
C．存在平行四邊形的對(duì)邊不平行
D．平行四邊形都不是正方形
【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答過程】解：對(duì)于A，命題中含有表示存在量詞的符號(hào) ，故該命題為特稱命題，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，命題不含有全稱量詞，故不是全稱量詞命題，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，命題中的“存在”是存在量詞，故該命題為特稱命題，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，命題中的“都不是”屬于全稱量詞，故該命題為全稱量詞命題，所以D正確；
故選：D．
【變式1-2】（2020秋 滄州期中）下列命題是全稱量詞命題的是（　　）
A．有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)
B．至少存在一個(gè)奇數(shù)能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°
【解題思路】直接利用全稱命題和特稱命題的定義判斷即可．
【解答過程】解：A，有一個(gè)，存在性量詞，特稱命題，
B，至少存在一個(gè)，存在性量詞，特稱命題，
C，有些，存在性量詞，特稱命題，D，每個(gè)，全稱量詞，全稱命題，
故選：D．
【變式1-3】（2021秋 蒼南縣校級(jí)月考）下列命題中
（1）有些自然數(shù)是偶數(shù)；
（2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的數(shù)也能被3整除；
（4）對(duì)于任意x∈R，總有．
存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的定義，判斷即可．
【解答過程】解：對(duì)于（1），有些自然數(shù)是偶數(shù)，含有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；
對(duì)于（2），正方形是菱形，可以寫成“所有的正方形都是菱形”，它是全稱量詞命題；
對(duì)于（3），能被6整除的數(shù)也能被3整除，可以寫成“所有能被6整除的數(shù)也能被3整除”，是全稱量詞命題；
對(duì)于（4），對(duì)于任意x∈R，總有，含有全稱量詞“任意的”，是全稱量詞命題．
所以存在量詞命題的序號(hào)是（1），有1個(gè)．
故選：B．
【題型2 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
【方法點(diǎn)撥】
判斷全稱量詞命題真假的方法：要判定一個(gè)全稱量詞命題為真命題，需要進(jìn)行推理證明，或用前面已經(jīng)學(xué)過的定義、定理作證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
判斷存在量詞命題真假的方法：判斷存在量詞命題“ x∈M，p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性．若找到一個(gè)元素x∈M，使p(x)成立，則該命題是真命題；若不存在x∈M，使p(x)成立，則該命題是假命題．
【例2】（2022春 荊州校級(jí)月考）下列結(jié)論中正確的是（　　）
A． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題
B． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題
C． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題
D． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題
【解題思路】舉例說明n＝1時(shí)2n2+5n+2不能被2整除，n＝2時(shí)2n2+5n+2能被2整除，從而得出結(jié)論．
【解答過程】解：當(dāng)n＝1時(shí)，2n2+5n+2不能被2整除，
當(dāng)n＝2時(shí)，2n2+5n+2能被2整除，
所以A、B、D錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確．
故選：C．
【變式2-1】（2021秋 武漢期末）下列命題為真命題的是（　　）
A．對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)
B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+4＝0
C．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)
D．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)
【解題思路】根據(jù)含有量詞的命題的真假進(jìn)行判斷即可．
【解答過程】解：A．若x，則x2＝2是有理數(shù)，故A錯(cuò)誤
B．∵x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，∴存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+4＝0錯(cuò)誤．
C．∵2＝1×2，∴有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)正確，
D.2是質(zhì)數(shù)，但2不是奇數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：C．
【變式2-2】（2022春 豐城市校級(jí)期中）下列四個(gè)命題中的真命題為（　　）
A． x0∈Z，1＜4x0＜3 B． x0∈Z，4x0+1＝0
C． x∈R，x2﹣1＝0 D． x∈R，x2﹣2x+2≥0
【解題思路】根據(jù)全稱命題和特稱命題的定義進(jìn)行推理和證明即可．
【解答過程】解：若1＜4x0＜3，得x0，則x0 z，故A錯(cuò)誤，
由4x0+1＝0得x0，則x0 z，故B錯(cuò)誤，
由x2﹣1＝0得x＝±1，故C錯(cuò)誤，
x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥0恒成立，故D正確，
故選：D．
【變式2-3】（2022春 羅甸縣校級(jí)月考）下列命題中是假命題是（　　）
A． x∈R，|x|+1＞0 B． x∈R，1＝2
C． x∈R，|x|＜1 D． x∈N*，（x﹣1）2＞0
【解題思路】根據(jù) x∈R，|x|≥0，可判斷A，給x取值可判斷BCD．
【解答過程】解：因?yàn)?x∈R，|x|≥0，所以 x∈R，|x|+1＞0恒成立，所以A為真命題；取x＝1，滿足1＝2，所以B為真命題；
取x＝0.1，滿足|x|＜1，所以C為真命題；取x＝1∈N*，不滿足（x﹣1）2＞0，所以D為假命題．
故選：D．
【題型3 根據(jù)命題的真假求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決．
(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)．
【例3】（2021春 泰安期末）已知命題p： x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解題思路】由p為假命題，得￢p為真命題，即： x＞0，x+a﹣1≠0，則x≠1﹣a，由此可得a的取值范圍．
【解答過程】解：∵p為假命題，
∴￢p為真命題，即： x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，
∴1﹣a≤0，則a≥1．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：D．
【變式3-1】（2020秋 普寧市期中）若命題p： x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1
【解題思路】命題p： x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命題，則m≠﹣（x2﹣2x），利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值即可得出．
【解答過程】解：命題p： x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命題，則m≠﹣（x2﹣2x），∵﹣（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+1≤1，
∴m＞1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）．
故選：B．
【變式3-2】（2022 四川模擬）若“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]
【解題思路】由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．由“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，可得m＞1．利用“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命題，即可得出．
【解答過程】解：由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．
∵“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，
∴m＞1．
∵“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命題，
∴﹣1＜m≤1．
故選：B．
【變式3-3】（2021秋 黃石月考）已知命題“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
【解題思路】根據(jù)條件，可得“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命題，然后求出m的取值范圍即可．
【解答過程】解：命題“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命題，
所以它的否定命題“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命題，
即m≠2x，所以m≤﹣4或m≥6，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．
故選：D．
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟：
①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞( )存在量詞( )．
②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．
對(duì)存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟：
①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞( )全稱量詞( )．
②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．
【例4】（2022春 阿勒泰地區(qū)期末）全稱命題： x∈R，x2+5x＝4的否定是（　　）
A． x∈R，x2+5x＝4 B． x∈R，x2+5x≠4
C． x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正確
【解題思路】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．
【解答過程】解：∵全稱命題的否定是特稱命題，
∴ x∈R，x2+5x＝4的否定是： x∈R，x2+5x≠4．
故選：C．
【變式4-1】（2021秋 荷塘區(qū)校級(jí)期末）命題“ x∈R，使x＞1”的否定是（　　）
A． x∈R，都有x＞1 B． x∈R，使x＜1
C． x∈R，都有x≤1 D． x∈R，使x≤1
【解題思路】根據(jù)命題“ x∈R，使得x＞1”是特稱命題，其否定為全稱命題，即 x∈R，使得x≤1，從而得到答案．
【解答過程】解：∵命題“ x∈R，使得x＞1”是特稱命題
∴否定命題為： x∈R，使得x≤1
故選：C．
【變式4-2】命題“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）
A． x∈R，x3﹣x2+1≥0 B． x∈R，x3﹣x2+1＞0
C． x∈R，x3﹣x2+1≤0 D． x∈R，x3﹣x2+1＞0
【解題思路】將量詞否定，結(jié)論否定，可得結(jié)論．
【解答過程】解：將量詞否定，結(jié)論否定，可得 x∈R，x3﹣x2+1＞0
故選：B．
【變式4-3】（2021 衡陽縣校級(jí)四模）設(shè)x∈Z，集合A為偶數(shù)集，若命題p： x∈Z，2x∈A，則￢p（　　）
A． x∈Z，2x A B． x Z，2x∈A C． x∈Z，2x∈A D． x∈Z，2x A
【解題思路】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷．
【解答過程】解：全稱命題的否定是特稱命題，∴￢p： x∈Z，2x A．
故選：D．
【題型5 命題否定的真假判斷】
【方法點(diǎn)撥】
(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；
(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，
當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真.
【例5】寫出下列命題的否定，并判斷真假．
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x﹣3＞x；
（3） x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【解題思路】逐一寫出并判斷
【解答過程】解：（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．
（2）命題的否定： x∈R，有4x﹣3≤x．因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，4×2﹣3＝5＞2，所以“ x∈R，有4x﹣3≤x”是假命題．
（3）命題的否定： x∈R，使x+1≠2x．因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，x+1＝2+1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x+1≠2x”是真命題．
（4）命題的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命題．
【變式5-1】（2021秋 鄒城市期中）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請(qǐng)寫出它們的否定，并判斷其真假：
（Ⅰ）p：對(duì)任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q： x∈R，使x2+3x+5≤0．
【解題思路】判斷命題是特稱命題還是全稱命題，然后利用否定形式寫出命題的否定，進(jìn)而判斷真假即可．
【解答過程】解：（Ⅰ）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，
因此，該命題是全稱量詞命題．
又因?yàn)椤叭我獾摹钡姆穸椤按嬖谝粋€(gè)”，
所以其否定是：存在一個(gè)x∈R，使x2+x+1＝0成立，
即“ x∈R，使x2+x+1＝0．”
因?yàn)棣ぃ僵?＜0，所以方程x2+x+1＝0無實(shí)數(shù)解，
此命題為假命題．
（Ⅱ）由于“： x∈R”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，
因此，該命題是存在量詞命題．
又因?yàn)椤按嬖谝粋€(gè)”的否定為“任意一個(gè)”，
所以其否定是：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有x2+3x+5＞0成立．
即“ x∈R，有x2+3x+5＞0”．
因?yàn)棣ぃ僵?1＜0，所以對(duì) ：x∈R，x2+3x+5＞0總成立，
此命題是真命題．
【變式5-2】（2021秋 廣平縣校級(jí)期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
（1） x∈N，x3＞x2；
（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；
（3） x0∈R，x02﹣x0+1≤0；
（4）存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．
【解題思路】（1）全稱命題，為假命題．（2）全稱命題，為假命題．（3）特稱命題，假命題．（4）特稱命題真命題．
【解答過程】解：（1）全稱命題，當(dāng)x＝0時(shí)，結(jié)論不成立，所以為假命題．命題的否定： x∈N，x3≤x2
（2）全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0或5；為假命題．命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；
（3）特稱命題，x02﹣x0+1，所以結(jié)論不成立，為假命題．命題的否定： x∈R，x2﹣x+1＞0．
（4）特稱命題，菱形的對(duì)角線互相垂直，真命題．命題的否定：任意的四邊形，它的對(duì)角線不互相垂直．
【變式5-3】（2021秋 澄城縣校級(jí)月考）判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定，并說出這些否定的真假，不必證明．
（1）存在實(shí)數(shù)x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等邊三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一個(gè)根都不是奇數(shù)．
【解題思路】判斷命題的量詞，根據(jù)特稱命題和全稱命題的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答過程】解：（1）含有特稱量詞存在，命題為特稱命題，
命題的否定是：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有x2+2x+3＞0；該命題為真命題．
（2）含有特稱量詞有些，命題為特稱命題，
命題的否定是：所有的三角形都不是等邊三角形；故命題為假命題．
（3）含有全稱量詞每一個(gè)，命題為全稱命題，
命題的否定是：方程x2﹣8x﹣10＝0的至少有一個(gè)根是奇數(shù)．故命題為假命題．
【題型6 根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合題目條件，根據(jù)命題的否定的真假與原命題的真假之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，進(jìn)而求出參數(shù)即可.
【例6】（2022春 荊州期末）已知命題p： a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有實(shí)根；若￢p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）
【解題思路】根據(jù)命題p與￢p的真假性相反得出p是假命題，
利用Δ＜0求出a的取值范圍．
【解答過程】解：命題p： a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有實(shí)根；
若￢p是真命題，則命題p是假命題，
所以一元二次方程x2﹣ax+1＝0沒有實(shí)根；
即Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2）．
故選：B．
【變式6-1】（2022 香洲區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）若命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解題思路】由命題的否定是假命題，可得該命題是真命題，利用Δ＞0求得a的取值范圍．
【解答過程】解：命題“ x0∈R，x（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，
則命題“ x0∈R，x（a﹣1）x0+1＜0”是真命題，
即Δ＝（a﹣1）2﹣4＞0，
解得a﹣1＞2或a﹣1＜﹣2，
即a＞3或a＜﹣1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故選：D．
【變式6-2】（2022春 福建月考）若命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解題思路】命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命題，可得：“ x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命題．
則Δ＜0．
【解答過程】解：命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命題，
∴“ x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命題．
∴Δ＝（a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣1＜a＜3．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣1，3）．
故選：B．
【變式6-3】（2021 棗莊校級(jí)模擬）命題p： x∈R，ax2+ax+1≥0，若 p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（0，4] B．[0，4]
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
【解題思路】將條件轉(zhuǎn)化為ax2+ax+1＜0成立，檢驗(yàn)a＝0是否滿足條件，討論a＞0以及a＜0時(shí)，不等式的解集情況，從而求出a的取值范圍．
【解答過程】解：命題p的否定是￢p： x∈R，ax2+ax+1＜0成立，
即ax2+ax+1＜0成立是真命題；
當(dāng)a＝0時(shí)，1＜0，不等式不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，要使不等式成立，須a2﹣4a＞0，
解得a＞4，或a＜0，即a＞4；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式一定成立，即a＜0；
綜上，a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
故選：D．專題1.9 全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講
1．全稱量詞與全稱量詞命題
2.存在量詞與存在量詞命題
3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
(2)存在量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
4．命題的否定與原命題的真假
一個(gè)命題的否定，仍是一個(gè)命題，它和原命題只能是一真一假．
【題型1 全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】
【方法點(diǎn)撥】
判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞．要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．
【例1】（2021秋 普寧市校級(jí)月考）下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為（　　）
①正方形的對(duì)角線互相平分；
②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1-1】（2021秋 臨沂期中）下列命題中，是全稱量詞命題的是（　　）
A． x∈R，x2≤0
B．當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax+b是增函數(shù)
C．存在平行四邊形的對(duì)邊不平行
D．平行四邊形都不是正方形
【變式1-2】（2020秋 滄州期中）下列命題是全稱量詞命題的是（　　）
A．有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)
B．至少存在一個(gè)奇數(shù)能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°
【變式1-3】（2021秋 蒼南縣校級(jí)月考）下列命題中
（1）有些自然數(shù)是偶數(shù)；
（2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的數(shù)也能被3整除；
（4）對(duì)于任意x∈R，總有．
存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型2 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
【方法點(diǎn)撥】
判斷全稱量詞命題真假的方法：要判定一個(gè)全稱量詞命題為真命題，需要進(jìn)行推理證明，或用前面已經(jīng)學(xué)過的定義、定理作證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
判斷存在量詞命題真假的方法：判斷存在量詞命題“ x∈M，p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性．若找到一個(gè)元素x∈M，使p(x)成立，則該命題是真命題；若不存在x∈M，使p(x)成立，則該命題是假命題．
【例2】（2022春 荊州校級(jí)月考）下列結(jié)論中正確的是（　　）
A． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題
B． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題
C． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題
D． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題
【變式2-1】（2021秋 武漢期末）下列命題為真命題的是（　　）
A．對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)
B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+4＝0
C．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)
D．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)
【變式2-2】（2022春 豐城市校級(jí)期中）下列四個(gè)命題中的真命題為（　　）
A． x0∈Z，1＜4x0＜3 B． x0∈Z，4x0+1＝0
C． x∈R，x2﹣1＝0 D． x∈R，x2﹣2x+2≥0
【變式2-3】（2022春 羅甸縣校級(jí)月考）下列命題中是假命題是（　　）
A． x∈R，|x|+1＞0 B． x∈R，1＝2
C． x∈R，|x|＜1 D． x∈N*，（x﹣1）2＞0
【題型3 根據(jù)命題的真假求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決．
(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)．
【例3】（2021春 泰安期末）已知命題p： x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【變式3-1】（2020秋 普寧市期中）若命題p： x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1
【變式3-2】（2022 四川模擬）若“ x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]
【變式3-3】（2021秋 黃石月考）已知命題“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟：
①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞( )存在量詞( )．
②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．
對(duì)存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟：
①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞( )全稱量詞( )．
②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．
【例4】（2022春 阿勒泰地區(qū)期末）全稱命題： x∈R，x2+5x＝4的否定是（　　）
A． x∈R，x2+5x＝4 B． x∈R，x2+5x≠4
C． x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正確
【變式4-1】（2021秋 荷塘區(qū)校級(jí)期末）命題“ x∈R，使x＞1”的否定是（　　）
A． x∈R，都有x＞1 B． x∈R，使x＜1
C． x∈R，都有x≤1 D． x∈R，使x≤1
【變式4-2】命題“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）
A． x∈R，x3﹣x2+1≥0 B． x∈R，x3﹣x2+1＞0
C． x∈R，x3﹣x2+1≤0 D． x∈R，x3﹣x2+1＞0
【變式4-3】（2021 衡陽縣校級(jí)四模）設(shè)x∈Z，集合A為偶數(shù)集，若命題p： x∈Z，2x∈A，則￢p（　　）
A． x∈Z，2x A B． x Z，2x∈A C． x∈Z，2x∈A D． x∈Z，2x A
【題型5 命題否定的真假判斷】
【方法點(diǎn)撥】
(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；
(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，
當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真.
【例5】寫出下列命題的否定，并判斷真假．
（1）正方形都是菱形；
（2） x∈R，使4x﹣3＞x；
（3） x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【變式5-1】（2021秋 鄒城市期中）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請(qǐng)寫出它們的否定，并判斷其真假：
（Ⅰ）p：對(duì)任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q： x∈R，使x2+3x+5≤0．
【變式5-2】（2021秋 廣平縣校級(jí)期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
（1） x∈N，x3＞x2；
（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；
（3） x0∈R，x02﹣x0+1≤0；
（4）存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．
【變式5-3】（2021秋 澄城縣校級(jí)月考）判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定，并說出這些否定的真假，不必證明．
（1）存在實(shí)數(shù)x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等邊三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一個(gè)根都不是奇數(shù)．
【題型6 根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合題目條件，根據(jù)命題的否定的真假與原命題的真假之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，進(jìn)而求出參數(shù)即可.
【例6】（2022春 荊州期末）已知命題p： a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有實(shí)根；若￢p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）
【變式6-1】（2022 香洲區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）若命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【變式6-2】（2022春 福建月考）若命題“ x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【變式6-3】（2021 棗莊校級(jí)模擬）命題p： x∈R，ax2+ax+1≥0，若 p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（0，4] B．[0，4]
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）

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