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第08講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．（2023·山西省忻州一中模擬）實(shí)數(shù)lg 4＋2lg 5的值為(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
2.(2021·遼寧沈陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
3．（2023·江蘇省南京模擬函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
4．（2023·遼寧省錦州模擬若實(shí)數(shù)a滿足loga＞1＞loga，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
5．（2023·安徽省懷遠(yuǎn)模擬若函數(shù)f(x)＝ax－1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則函數(shù)g(x)＝loga的圖象是(　　)
6．(2021·云南曲靖模擬)設(shè)a＝log0.30.4，b＝log30.4，則(　　)
A．a(chǎn)b＜a＋b＜0 B．a(chǎn)＋b＜ab＜0
C．a(chǎn)b＜0＜a＋b D．a(chǎn)＋b＜0＜ab
7．（2023·安徽省阜陽一中模擬設(shè)函數(shù)f(x)＝log(x2＋1)＋，則不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集為(　　)
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
8．（2023·福建省莆田模擬已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln (2－x)，則(　　)
A．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增
B．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減
C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱
D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
【練提升】
1．（2023·江西省新余一中模擬設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　)
A．2x<3y<5z　　　　　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
2．（2023·山東省東營模擬設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
3．(2021·浙江寧波高三模擬)兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個(gè)函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函數(shù)是(　　)
A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)
C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)
4．(2021·北京海淀模擬)如圖，點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n)，則m＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
5．(2021·湖北宜昌模擬)若函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上單調(diào)遞增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，則(　　)
A．cC．a(chǎn)6．(2021·浙江寧波高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，則a的取值范圍是________．
7．（2023· 河南省汝州模擬若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)沒有最小值，則a的取值范圍是________．
8．（2023·湖北省鐘祥模擬函數(shù)f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
第08講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．（2023·山西省忻州一中模擬）實(shí)數(shù)lg 4＋2lg 5的值為(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
【答案】A
【解析】lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故選A.
2.(2021·遼寧沈陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】A
【解析】f＝log2＝－1.
3．（2023·江蘇省南京模擬函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
【答案】A
【解析】因?yàn)閒(x)＝，所以要使函數(shù)f(x)有意義，需使即－34．（2023·遼寧省錦州模擬若實(shí)數(shù)a滿足loga＞1＞loga，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由loga>1>loga，得
由①得，當(dāng)a>1時(shí)，a<，此時(shí)a∈ ；當(dāng)0，則.因此5．（2023·安徽省懷遠(yuǎn)模擬若函數(shù)f(x)＝ax－1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則函數(shù)g(x)＝loga的圖象是(　　)
【答案】D
【解析】由題意可知f(4)＝2，即a3＝2，a＝.
所以g(x)＝log＝－log(x＋1)．
由于g(0)＝0，且g(x)在定義域上是減函數(shù)，故排除A，B，C.
6．(2021·云南曲靖模擬)設(shè)a＝log0.30.4，b＝log30.4，則(　　)
A．a(chǎn)b＜a＋b＜0 B．a(chǎn)＋b＜ab＜0
C．a(chǎn)b＜0＜a＋b D．a(chǎn)＋b＜0＜ab
【答案】A
【解析】因?yàn)閍＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又＝＋＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.
7．（2023·安徽省阜陽一中模擬設(shè)函數(shù)f(x)＝log(x2＋1)＋，則不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集為(　　)
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝log(x2＋1)＋＝f(x)，所以f(x)為R上的偶函數(shù)．
易知其在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，
令t＝log2x，所以logx＝－t，
則不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化為f(t)＋f(－t)≥2，
即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，
又因?yàn)閒(1)＝log2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，在R上為偶函數(shù)，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈，故選B.
8．（2023·福建省莆田模擬已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln (2－x)，則(　　)
A．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增
B．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減
C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱
D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
【答案】C
【解析】f(x)的定義域?yàn)?0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．設(shè)u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，則u＝－x2＋2x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減．又y＝ln u在其定義域上單調(diào)遞增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減．∴A，B錯(cuò)誤．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴C正確．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒為0，∴f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，∴D錯(cuò)誤．故選C.
【練提升】
1．（2023·江西省新余一中模擬設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　)
A．2x<3y<5z　　　　　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】設(shè)2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因?yàn)?x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因?yàn)?y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因?yàn)?x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故選D.
2．（2023·山東省東營模擬設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【解析】∵2x＝3y＝5z，∴l(xiāng)n 2x＝ln 3y＝ln 5z，∴xln 2＝y(tǒng)ln 3＝zln 5，∴＝，∴＝＝＝＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故選D.
3．(2021·浙江寧波高三模擬)兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個(gè)函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函數(shù)是(　　)
A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)
C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)
【答案】A
【解析】f3(x)＝log2x2是偶函數(shù)，而其余函數(shù)無論怎樣變換都不是偶函數(shù)，故其他函數(shù)圖象經(jīng)過平移后不可能與f3(x)的圖象重合，故排除選項(xiàng)B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，將f2(x)＝log2(x＋2)的圖象沿著x軸先向右平移兩個(gè)單位得到y(tǒng)＝log2x的圖象，再沿著y軸向上平移一個(gè)單位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的圖象，根據(jù)“同形”函數(shù)的定義可知選A.
4．(2021·北京海淀模擬)如圖，點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n)，則m＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€BC∥y軸，所以B，C的橫坐標(biāo)相同；又B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2.由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以所以log2m＋2＋1＝log2(m＋)＋2，所以m＝.
5．(2021·湖北宜昌模擬)若函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上單調(diào)遞增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，則(　　)
A．cC．a(chǎn)【答案】B
【解析】由5＋4x－x2>0，得－16．(2021·浙江寧波高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，則a的取值范圍是________．
【解析】由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，
由實(shí)數(shù)a滿足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，
則有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，
即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，
即有f(|log3a|)≥f(1)，
由于f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，
則|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
【答案】
7．（2023· 河南省汝州模擬若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)沒有最小值，則a的取值范圍是________．
【答案】(0,1)∪[2，＋∞)
【解析】當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)沒有最小值，當(dāng)a＞1時(shí)，若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)沒有最小值，則x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，綜上可知，a的取值范圍是(0,1)∪[2，＋∞)．
8．（2023·湖北省鐘祥模擬函數(shù)f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
【解析】(1)令t＝ax－3＝2x－3，則它在(2，＋∞)上是增函數(shù)，所以t>22－3＝1，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則可知，f(x)＝log(2x－3)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以f(x)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，
所以t＝ax－3在(－∞，－2)上單調(diào)遞減且恒為正數(shù)，即解得0【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1. 理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式.
2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.
3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征.
【備考策略】
1.對(duì)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算；
2.對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小；
3.圖象過定點(diǎn)；
4.底數(shù)分類討論問題.
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
知識(shí)點(diǎn)二 對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
知識(shí)點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
性質(zhì) 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)
當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)01時(shí)，y<0；當(dāng)00
在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)
知識(shí)點(diǎn)四 反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.
【特別提醒】
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.
3.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值
例1．【2020·全國Ⅲ卷】已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則
A．a(chǎn)C．b【方法技巧】
1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
【舉一反三】(2021·杭州市七校聯(lián)考)計(jì)算：若a＝log43，則2a＋2－a＝________
【變式探究】(2021·北京二中高三月考)在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數(shù)10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù)： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A． B． C． D．
高頻考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用
例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的圖象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　 D
【方法技巧】
(1)識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線．
(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【變式探究】（2023·湖北武漢模擬）已知函數(shù)f (x)＝關(guān)于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
高頻考點(diǎn)三 比較對(duì)數(shù)值的大小
例3．【2020·全國Ⅱ卷】若2x 2y<3 x 3 y，則
A．ln(y x+1)>0 B．ln(y x+1)<0
C．ln|x y|>0 D．ln|x y|<0
【舉一反三】【2019·天津卷】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A． B．
C． D．
【方法技巧】
（1）若對(duì)數(shù)值同底數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較
（2）若對(duì)數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較
（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較
【變式探究】【2019·全國Ⅰ卷】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點(diǎn)四 解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式
例4.（2023·山東菏澤模擬）設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【方法技巧】解決此類問題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值．
【變式探究】（2023·廣東湛江一中模擬） 若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________．
高頻考點(diǎn)五 對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
例5.（2023·河北衡水中學(xué)模擬）若函數(shù)f (x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
【方法技巧】解決此類問題有以下三個(gè)步驟：
(1)求出函數(shù)的定義域；
(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；
(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性
【變式探究】（2023·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).
(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。
第08講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1. 理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式.
2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.
3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征.
【備考策略】
1.對(duì)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算；
2.對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小；
3.圖象過定點(diǎn)；
4.底數(shù)分類討論問題.
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
知識(shí)點(diǎn)二 對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
知識(shí)點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
性質(zhì) 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)
當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)01時(shí)，y<0；當(dāng)00
在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)
知識(shí)點(diǎn)四 反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.
【特別提醒】
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.
3.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值
例1．【2020·全國Ⅲ卷】已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則
A．a(chǎn)C．b【答案】A
【解析】由題意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
綜上所述，.
【方法技巧】
1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
【舉一反三】(2021·杭州市七校聯(lián)考)計(jì)算：若a＝log43，則2a＋2－a＝________
【答案】
【解析】因?yàn)閍＝log43＝log223＝log23＝log2，
所以2a＋2－a＝2log2＋2－log2
＝＋2log2
＝＋
＝.
【變式探究】(2021·北京二中高三月考)在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數(shù)10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù)： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　
【解析】由題設(shè)有＝＝1014[H＋]2.又10－7.45≤[H＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H＋]2≤－0.7.又lg ≈－0.3，lg ＝－0.48，lg ＝－0.78，lg ＝－1，只有l(wèi)g 在范圍之中．故選C．
高頻考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用
例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的圖象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　 D
【答案】D　
【解析】對(duì)于函數(shù)y＝loga(x＋)，當(dāng)y＝0時(shí)，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga(x＋)的圖象恒過定點(diǎn)(，0)，排除選項(xiàng)A、C；函數(shù)y＝與y＝loga(x＋)在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項(xiàng)B，故選D。
【方法技巧】
(1)識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線．
(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【變式探究】（2023·湖北武漢模擬）已知函數(shù)f (x)＝關(guān)于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】(1，＋∞)　
【解析】問題等價(jià)于函數(shù)y＝f (x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知a>1.
高頻考點(diǎn)三 比較對(duì)數(shù)值的大小
例3．【2020·全國Ⅱ卷】若2x 2y<3 x 3 y，則
A．ln(y x+1)>0 B．ln(y x+1)<0
C．ln|x y|>0 D．ln|x y|<0
【答案】A
【解析】由得：，
令，
為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，
，
，，，則A正確，B錯(cuò)誤；
與的大小不確定，故CD無法確定.
故選：A．
【舉一反三】【2019·天津卷】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閍＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A。
【方法技巧】
（1）若對(duì)數(shù)值同底數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較
（2）若對(duì)數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較
（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較
【變式探究】【2019·全國Ⅰ卷】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
則．
故選B．
高頻考點(diǎn)四 解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式
例4.（2023·山東菏澤模擬）設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】由題意，得
或
解得a>1或－1【答案】C
【方法技巧】解決此類問題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值．
【變式探究】（2023·廣東湛江一中模擬） 若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________．
【答案】(，1)
【解析】由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同時(shí)2a＞1，所以a＞.綜上，a∈(，1)．
高頻考點(diǎn)五 對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
例5.（2023·河北衡水中學(xué)模擬）若函數(shù)f (x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
【答案】D　
【解析】由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立，且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,4)．故選D．
【方法技巧】解決此類問題有以下三個(gè)步驟：
(1)求出函數(shù)的定義域；
(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；
(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性
【變式探究】（2023·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).
(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。
【解析】(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，
則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，
x∈[0，2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)恒有意義，
即x∈[0，2]時(shí)，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范圍是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).
∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，
∴a>1，x∈[1，2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1。

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