資源簡介

第15講 任意角和弧度制及任意角的三角函數
【練基礎】
1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
2．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－6π　　　　　　　　 B.－6π
C．－－8π D.－8π
3．已知點P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為(　　)
A．－ B.
C．－ D．－
4．已知銳角α的終邊上一點P(sin 40°，1＋cos 40°)，則銳角α＝(　　)
A．80° B．20°
C．70° D．10°
5．已知角α的終邊經過點(3，－4)，則sin α＋＝(　　)
A．－ B.
C. D.
6．下列結論中錯誤的是(　　)
A．若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0)，則sin α＝
B．若α是第二象限角，則為第一或第三象限角
C．若扇形的周長為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度
D．若0<α<，則sin α7．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α＝，則點P的坐標為(　　)
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
8．已知點P(4m，－3m)(m<0)在角α的終邊上，則2sin α＋cos α＝________.
9．若α＝1 560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.
10．已知一個扇形的周長為8 cm，則當該扇形的半徑r＝________ cm時，面積最大．
【練提升】
1．已知角α的終邊經過點(，－1)，則角α的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
2．在直角坐標系xOy中，角α的始邊為x軸的正半軸，頂點為坐標原點O，已知角α的終邊l與單位圓交于點A(0.6，m)，將l繞原點逆時針旋轉與單位圓交于點B(x，y)，若tan α＝－，則x＝(　　)
A．0.6 B．0.8
C．－0.6 D．－0.8
3．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，則(　　)
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
4．已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
5．已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(sin 132°，cos 132°)，則tan(α＋12°)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
6．已知扇形的周長為4，當它的半徑為________和圓心角為______弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．
7．已知角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號．
8．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值．
9．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求終邊所在的象限；
(3)試判斷 tansin cos的符號．
10．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)，由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現有圓心角為，弦長等于9 m的弧田．
(1)計算弧田的實際面積；
(2)按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少m2？(結果保留兩位小數)
第15講 任意角和弧度制及任意角的三角函數
【練基礎】
1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
【答案】C
【解析】將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角．故A、B不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的，即為－×2π＝－.
2．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－6π　　　　　　　　 B.－6π
C．－－8π D.－8π
【答案】D
【解析】－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋，故選D.
3．已知點P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為(　　)
A．－ B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】因為P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.
4．已知銳角α的終邊上一點P(sin 40°，1＋cos 40°)，則銳角α＝(　　)
A．80° B．20°
C．70° D．10°
【答案】C
【解析】∵銳角α的終邊上一點P(sin 40°，1＋cos 40°)，
∴tan α＝＝＝＝＝tan 70°，∴α＝70°.
5．已知角α的終邊經過點(3，－4)，則sin α＋＝(　　)
A．－ B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵角α的終邊經過點(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故選D.
6．下列結論中錯誤的是(　　)
A．若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0)，則sin α＝
B．若α是第二象限角，則為第一或第三象限角
C．若扇形的周長為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度
D．若0<α<，則sin α【答案】A
【解析】當k＝－1時，P(－3，－4)，則sin α＝－，故A錯誤；∵2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋<7．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α＝，則點P的坐標為(　　)
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
【答案】D
【解析】設P(x，y)，則sin α＝＝sin，∴y＝1.
又cos α＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．
8．已知點P(4m，－3m)(m<0)在角α的終邊上，則2sin α＋cos α＝________.
解析：∵m<0，∴r＝＝－5m，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝2×－＝.
答案：
9．若α＝1 560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.
解析：因為α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．已知一個扇形的周長為8 cm，則當該扇形的半徑r＝________ cm時，面積最大．
解析：設扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝8，扇形的面積為rl＝(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以當r＝2時，面積最大為4.
答案：2
【練提升】
1．已知角α的終邊經過點(，－1)，則角α的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin α＝＝－，且α的終邊在第四象限，∴角α的最小正值是.
2．在直角坐標系xOy中，角α的始邊為x軸的正半軸，頂點為坐標原點O，已知角α的終邊l與單位圓交于點A(0.6，m)，將l繞原點逆時針旋轉與單位圓交于點B(x，y)，若tan α＝－，則x＝(　　)
A．0.6 B．0.8
C．－0.6 D．－0.8
【答案】B
【解析】已知角α的終邊l與單位圓交于點A(0.6，m)，且tan α＝－，則tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α為第四象限角．由l繞原點逆時針旋轉與單位圓交于點B(x，y)，可知點B(x，y)在第一象限，則∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋α))＝－sin α，即：＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())，解得x＝0.8.
3．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，則(　　)
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
【答案】D
【解析】因為α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α>0，所以tan2α>tan2β，因為tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故選D.
4．已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
【答案】B
【解析】由O，A，B三點共線，從而得到b＝2a，因為cos 2α＝2cos2α－1＝
2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2－1＝，解得a2＝， 即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝，故選B.
5．已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(sin 132°，cos 132°)，則tan(α＋12°)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】由α終邊過點P(sin 132°，cos 132°)，即x＝sin 132°>0，y＝cos 132°<0，所以tan α＝＝＝＝－tan 42°＝tan(－42°)，取α＝－42°，則tan(α＋12°)＝tan(－42°＋12°)＝－tan 30°＝－.
6．已知扇形的周長為4，當它的半徑為________和圓心角為______弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．
解析：設扇形圓心角為α，半徑為r，則
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴當r＝1時，(S扇形)max＝1，此時|α|＝2.
答案：1　2　1
7．已知角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號．
解：(1)因為角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
當a＞0時，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
當a＜0時，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)當a＞0時，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
則cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
當a＜0時，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
則cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
綜上，當a＞0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負；
當a＜0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為正．
8．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：設角α終邊上任一點為P(k，－3k)，
則r＝＝|k|.
當k＞0時，r＝k，
所以sin α＝＝－，＝＝，
所以10sin α＋＝－3＋3＝0；
當k＜0時，r＝－k，
所以sin α＝＝，
＝＝－，
所以10sin α＋＝3－3＝0.
綜上，10sin α＋＝0.
9．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求終邊所在的象限；
(3)試判斷 tansin cos的符號．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y軸的負半軸上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合為.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故終邊在第二、四象限．
(3)當在第二象限時，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正號；
當在第四象限時，tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正號．
因此，tansin cos 取正號．
10．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)，由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現有圓心角為，弦長等于9 m的弧田．
(1)計算弧田的實際面積；
(2)按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少m2？(結果保留兩位小數)
解：(1)在△OAB中，AB＝9，∠AOB＝，
則∠AOC＝，∠ACO＝，
則AC＝，OA＝3，
即扇形半徑r＝3.
所以扇形面積S扇＝αr2＝××(3)2＝9π，S△AOB＝r2sin＝，
故弧田面積S＝S扇－S△AOB＝9π－(m2)．
(2)因為圓心到弦的距離等于r，所以矢長為r，按照上述弧田面積經驗公式計算得
(弦×矢＋矢2)＝＝.
因為9π－－－≈1.52，
所以按照弧田面積經驗公式計算結果比實際少1.52 m2.第15講 任意角和弧度制及任意角的三角函數
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能進行弧度與角度的互化．
3.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講內容屬于基礎考查范圍．預測2022年高考會考查三角函數的定義、根據終邊上點的坐標求三角函數值或根據三角函數值求參數值．常以客觀題形式考查，屬中、低檔試題.
【核心知識】
知識點一 角的概念
1．角的定義
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．
2．角的分類
角的分類
3．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知識點二 弧度制及應用
1．弧度制的定義
把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
2．弧度制下的有關公式
角α的弧度數公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
知識點三 任意角的三角函數
三角函數 正弦 余弦 正切
定義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么
叫做α的正弦，記作sin α 叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α
各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函數線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線
【高頻考點】
高頻考點一 象限角的判斷
【例1】(2020·全國卷Ⅱ)若α為第四象限角，則(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　　　 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【方法技巧】象限角的兩種判斷方法
①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；
②轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
【變式探究】設集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
【舉一反三】終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為______________．
高頻考點二　扇形的弧長及面積公式的應用
【例2】若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12 cm，則弧長l等于(　　)
A.π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積的最大值時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【變式探究】“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，M為ON的一個靠近點N的三等分點，若在整個扇形區域內隨機取一點，則此點取自扇面(扇環)部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
高頻考點三 三角函數的概念
【例3】我國古代數學家僧一行應用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ(0°≤θ≤80°)的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表．根據三角學知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即l＝htan θ.已知天頂距θ＝1°時，晷影長l≈0.14.現測得午中晷影長度l≈0.42，則天頂距θ為(　　)
(參考數據：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°【方法技巧】三角函數定義解題的技巧
(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值．先求點P到原點的距離，再用三角函數的定義求解．
(2)已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，根據定義中的兩個量列方程求參數值．
(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．
(4)已知一角的三角函數值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況．
【變式探究】已知角α的終邊上一點P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，則cos α＝________，tan α＝________.
高頻考點四 三角函數線的應用
【例4】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，動點P，Q從點A(1,0)出發在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，則P，Q兩點在第2 019次相遇時，點P的坐標為________．
【方法技巧】利用三角函數線求解三角不等式的方法
對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態，注意實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區域，由此寫出不等式的解集．　　
【變式探究】 如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，P，Q的縱坐標分別為，.
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
第15講 任意角和弧度制及任意角的三角函數
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能進行弧度與角度的互化．
3.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講內容屬于基礎考查范圍．預測2022年高考會考查三角函數的定義、根據終邊上點的坐標求三角函數值或根據三角函數值求參數值．常以客觀題形式考查，屬中、低檔試題.
【核心知識】
知識點一 角的概念
1．角的定義
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．
2．角的分類
角的分類
3．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知識點二 弧度制及應用
1．弧度制的定義
把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
2．弧度制下的有關公式
角α的弧度數公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
知識點三 任意角的三角函數
三角函數 正弦 余弦 正切
定義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么
叫做α的正弦，記作sin α 叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α
各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函數線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線
【高頻考點】
高頻考點一 象限角的判斷
【例1】(2020·全國卷Ⅱ)若α為第四象限角，則(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　　　 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【答案】∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可負、可為零．
【方法技巧】象限角的兩種判斷方法
①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；
②轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
【變式探究】設集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
【答案】B　由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M N.故選B.
【舉一反三】終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為______________．
【解析】如圖，在坐標系中畫出直線y＝x，可以發現它與x軸的夾角是，
在[0,2π)內，終邊在直線y＝x上的角有兩個：，π；
在[－2π，0)內，滿足條件的角有兩個：－π，－π.
故滿足條件的角α構成的集合為.
【答案】
高頻考點二　扇形的弧長及面積公式的應用
【例2】若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12 cm，則弧長l等于(　　)
A.π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】設扇形的半徑為r cm，如圖．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積的最大值時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【變式探究】“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，M為ON的一個靠近點N的三等分點，若在整個扇形區域內隨機取一點，則此點取自扇面(扇環)部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】設ON＝r，扇形的圓心角為α，
則整個扇形的面積為S′＝αr2，
扇環的面積為S＝αr2－αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝αr2，
由幾何概型的概率公式得P＝＝.
高頻考點三 三角函數的概念
【例3】我國古代數學家僧一行應用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ(0°≤θ≤80°)的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表．根據三角學知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即l＝htan θ.已知天頂距θ＝1°時，晷影長l≈0.14.現測得午中晷影長度l≈0.42，則天頂距θ為(　　)
(參考數據：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°
【答案】B
【解析】由題意，可得晷影長l＝htan θ，且頂距θ＝1°時，晷影長l＝0.14.
所以h＝＝＝8，
當晷影長度l≈0.42，則tan θ＝＝＝0.0524，
所以θ＝3°.
【方法技巧】三角函數定義解題的技巧
(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值．先求點P到原點的距離，再用三角函數的定義求解．
(2)已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，根據定義中的兩個量列方程求參數值．
(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．
(4)已知一角的三角函數值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況．
【變式探究】已知角α的終邊上一點P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，則cos α＝________，tan α＝________.
【解析】設P(x，y)．由題設知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O為原點)，即r＝，
所以sin α＝＝＝＝，
所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.
當m＝時，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝－；
當m＝－時，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝.
【答案】－　－或
高頻考點四 三角函數線的應用
【例4】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，動點P，Q從點A(1,0)出發在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，則P，Q兩點在第2 019次相遇時，點P的坐標為________．
【解析】因為點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，所以兩點相遇1次的路程是單位圓的周長，即2π，所以兩點相遇一次用了1秒，因此當兩點相遇2 019次時，共用了2 019秒，所以此時點P所轉過的弧度為＝＝＋336π.由終邊相同的角的概念可知，與的終邊相同，所以此時點P位于y軸正半軸上，故點P的坐標為(0,1)．
【答案】(0,1)
【方法技巧】利用三角函數線求解三角不等式的方法
對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態，注意實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區域，由此寫出不等式的解集．　　
【變式探究】 如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，P，Q的縱坐標分別為，.
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
【解析】(1)因為點P為角α的終邊與單位圓的交點，且縱坐標為，將y＝代入x2＋y2＝1，
因為α是銳角，x>0，所以x＝，P.
由三角函數的定義可得：sin α＝.
(2)由sin α＝，α是銳角，可得cos α＝，
因為銳角β的終邊與單位圓相交于Q點，且縱坐標為，將y＝代入x2＋y2＝1，
因為β是銳角，x>0，可得x＝，Q，
所以sin β＝，cos β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝0.
因為0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
所以α＋β＝.

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