資源簡介

第03講 函數及其表示
【練基礎】
1．（2023·河北衡水二中模擬）函數f(x)＝＋ln(3x－x2)的定義域是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
2．（2023·山西省長治市六中模擬）若f＝，則當x≠0，且x≠1時，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
3．（2023·遼寧省沈陽擬）下列哪個函數與y＝x相等(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
4．（2023·浙江省奉化中學模擬）設f(x)＝則f[f(－2)]等于(　　)
A．－1 B.
C. D.
5．（2023·江蘇省南京市秦淮中學模擬）已知f＝，則f(x)的解析式為(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
6．（2023·安徽省太湖中學模擬）已知函數f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7．（2023·河北邯鄲模擬）設函數f(x)＝，若f(f())＝2，則實數n為(　　)
A．－ B．－
C. D.
8．（2023·福建省莆田一中模擬）若函數f(x)在閉區間[－1,2]上的圖象如圖所示，則此函數的解析式為________．
【練提升】
1．（2023·河北石家莊質檢）具有性質：f＝－f(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數．下列函數：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中滿足“倒負”變換的函數是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
2．（2023·福建省龍巖市一中模擬）設x∈R，定義符號函數sgn x＝則(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
3．（2023·江西省贛州市二中模擬）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函數f(x)對任意的x∈R都成立的序號為________．
4．（2023·山東省濟寧模擬）設函數f(x)＝已知f(a)＞1，則a的取值范圍是________．
5．（2023·湖北省石首模擬）已知函數f(x)＝則f(2＋log32)的值為________．
6．（2023·湖南省郴州模擬）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))與g(f(2))；
(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達式．
7．（2023·廣東省茂名模擬）已知函數f(x)對任意實數x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在區間[0，1]上有表達式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)寫出f(x)在區間[－2，2]上的表達式．
8．（2023·重慶市鳳鳴山中學模擬）已知函數f(x)對任意實數x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在區間[0,1]上有表達式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)寫出f(x)在區間[－1,1]上的表達式．
第03講 函數及其表示
【練基礎】
1．（2023·河北衡水二中模擬）函數f(x)＝＋ln(3x－x2)的定義域是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】由解得2＜x＜3，則該函數的定義域為(2，3)，故選C.
2．（2023·山西省長治市六中模擬）若f＝，則當x≠0，且x≠1時，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
【答案】B
【解析】當x≠0，且x≠1時，f＝＝，所以f(x)＝.
3．（2023·遼寧省沈陽擬）下列哪個函數與y＝x相等(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
【答案】D
【解析】y＝x的定義域為R，而y＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定義域為{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定義域為x∈R，對應關系與y＝x的對應關系不同，排除C；而y＝()3＝x，定義域和對應關系與y＝x均相同，故選D.
4．（2023·浙江省奉化中學模擬）設f(x)＝則f[f(－2)]等于(　　)
A．－1 B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，f(－2)＝2－2＝，f[f(－2)]＝f＝1－＝1－＝.
5．（2023·江蘇省南京市秦淮中學模擬）已知f＝，則f(x)的解析式為(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
【答案】C
【解析】令＝t，則x＝，所以f(t)＝＝，故函數f(x)的解析式為f(x)＝，故選C.
6．（2023·安徽省太湖中學模擬）已知函數f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】A
【解析】當a≤1時，不符合題意，所以a>1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.
7．（2023·河北邯鄲模擬）設函數f(x)＝，若f(f())＝2，則實數n為(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】D
【解析】因為f()＝2×＋n＝＋n，當＋n＜1，即n＜－時，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合題意；當＋n≥1，即n≥－時，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故選D.
8．（2023·福建省莆田一中模擬）若函數f(x)在閉區間[－1,2]上的圖象如圖所示，則此函數的解析式為________．
【答案】f(x)＝
【解析】由題意，當－1≤x＜0時，直線的斜率為1，方程為y＝x＋1；當0≤x≤2時，直線的斜率為－，方程為y ＝－x.所以函數的解析式為
f(x)＝
【練提升】
1．（2023·河北石家莊質檢）具有性質：f＝－f(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數．下列函數：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中滿足“倒負”變換的函數是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
【答案】B
【解析】對于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，滿足題意；對于②，f(x)＝ln ，則f＝ln ≠－f(x)，不滿足；對于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，滿足題意．
2．（2023·福建省龍巖市一中模擬）設x∈R，定義符號函數sgn x＝則(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】D
【解析】當x<0時，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故選D.
3．（2023·江西省贛州市二中模擬）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函數f(x)對任意的x∈R都成立的序號為________．
【解析】①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，則f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1對x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，對0＜t≤1，y＝f(t)不能構成函數，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1時，x∈ ；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能構成函數；④f(|x|)＝3x＋3－x，當x≥0時，f(x)＝3x＋3－x；當x＜0時，f(－x)＝3x＋3－x；將x換為－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．綜上可得①④符合條件．
【答案】①④
4．（2023·山東省濟寧模擬）設函數f(x)＝已知f(a)＞1，則a的取值范圍是________．
【答案】(－∞，－2)∪
【解析】解法一：(數形結合)畫出f(x)的圖象，如圖所示，作出直線y＝1，由圖可見，符合f(a)＞1的a的取值范圍為(－∞，－2)∪.
解法二：(分類討論)
①當a≤－1時，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②當－11，得a＞－，
又－1③當a≥1時，由－1>1，得0又a≥1，∴此時a不存在．
綜上可知，a的取值范圍為(－∞，－2)∪.
5．（2023·湖北省石首模擬）已知函數f(x)＝則f(2＋log32)的值為________．
【答案】
【解析】∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，
∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)．
又3<3＋log32<4，
∴f(3＋log32)＝3＋log32＝3×log32＝×(3－1)log32＝×3－log32＝×3log3＝×＝，∴f(2＋log32)＝.
6．（2023·湖南省郴州模擬）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))與g(f(2))；
(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達式．
【解析】(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)當x>0時，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
當x<0時，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
7．（2023·廣東省茂名模擬）已知函數f(x)對任意實數x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在區間[0，1]上有表達式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)寫出f(x)在區間[－2，2]上的表達式．
【解析】(1)由題意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)當x∈[0，1]時，f(x)＝x2；
當x∈(1，2]時，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
當x∈[－1，0)時，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
當x∈[－2，－1)時，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝.
8．（2023·重慶市鳳鳴山中學模擬）已知函數f(x)對任意實數x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在區間[0,1]上有表達式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)寫出f(x)在區間[－1,1]上的表達式．
【解析】(1)由題意知
f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)當x∈[0,1]時，f(x)＝x2；
因為 x∈R，都有f(x)＝－2f(x＋1)，
所以當x∈[－1,0)時，x＋1∈[0,1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
所以f(x)＝第03講 函數及其表示
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1．了解函數的概念，會求簡單的函數的定義域和值域.
2．理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.
3．了解簡單的分段函數，會用分段函數解決簡單的問題.
【備考策略】
1．理解函數的概念、函數的定義域、值域、函數的表示方法；
2．以分段函數為背景考查函數的相關性質問題.
【核心知識】
知識點1．函數的概念
一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f ，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f ：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f (x)，x∈A．
知識點2．函數的定義域、值域
(1)在函數y＝f (x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f (x)|x∈A}叫做函數的值域．
(2)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．
知識點3．函數的表示方法
(1)用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做解析法．
(2)用圖象表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做圖象法．
(3)列出表格表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做列表法．
知識點4．函數的三要素
(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(2)兩個函數相等：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等．
知識點5．分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．
知識點6．復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數y＝f(g(x))的外層函數，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內層函數．
【高頻考點】
高頻考點一 求函數的定義域
例1.（2023·北京卷）函數的定義域是____________．
　
【方法技巧】
1.已知函數的具體解析式求定義域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集．
(2)復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可．
2．抽象函數的定義域的求法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．
【舉一反三】（2023·安徽省巢湖市四中模擬）函數y＝＋log2(tan x－1)的定義域為________；
【變式探究】（2023·江蘇卷）函數的定義域是 .
高頻考點二 求函數的解析式
例2.（2023·福建省廈門市一中模擬）已知f (x)是一次函數，且f (f (x))＝4x＋3，則f (x)的解析式為________．
【方法技巧】函數解析式的常見求法
(1)配湊法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理或配湊成只含h(x)的式子，然后用x將h(x)代換．
(2)待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數f(x)可設為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出a，b，c即可．
(3)換元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時，往往可設h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元．應用換元法時要注意新元的取值范圍．
(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
【舉一反三】（2023·江西省廬山中學模擬）已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝________.
【變式探究】（2023·河北衡水模擬）已知f ＝＋，則f (x)＝(　　)
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
高頻考點三 分段函數求值
例3.（2023·山東省曲阜一中模擬）設f (x)＝則f (f (1))的值為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧】
(1)求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區間，然后代入該區間對應的解析式求值．
(2)當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．
(3)當自變量的值所在區間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。
【變式探究】（2023·河南省安陽市二中模擬）已知函數f(x)＝則f等于(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
高頻考點四　已知函數值求參數的值(或取值范圍)
例4．（2023·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝則滿足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【方法技巧】解分段函數與方程或不等式問題的策略
求解與分段函數有關的方程或不等式問題，主要表現為解方程或不等式．應根據每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據自變量的情況直接代入相應的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍．【舉一反三】（2023·湖北大學附屬中學模擬）設函數f(x)＝則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________________．
【變式探究】（2023·湖南省岳陽市一中模擬）已知函數f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，則實數a的取值范圍為________．
高頻考點五 函數的新定義問題
例5.（2023·廣東省深圳市觀瀾中學模擬）在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，若函數f(x)的圖象恰好經過n(n∈N*)個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．給出下列函數：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一階整點函數的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【感悟提升】本題意在考查考生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養．破解新定義函數題的關鍵是：緊扣新定義的函數的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點函數轉化為函數f(x)的圖象恰好經過1個整點，問題便迎刃而解．
【變式探究】（2023·四川省綿陽中學模擬）若定義在R上的函數f(x)當且僅當存在有限個非零自變量x，使得f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為“類偶函數”，則下列函數中為類偶函數的是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
第03講 函數及其表示
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1．了解函數的概念，會求簡單的函數的定義域和值域.
2．理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.
3．了解簡單的分段函數，會用分段函數解決簡單的問題.
【備考策略】
1．理解函數的概念、函數的定義域、值域、函數的表示方法；
2．以分段函數為背景考查函數的相關性質問題.
【核心知識】
知識點1．函數的概念
一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f ，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f ：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f (x)，x∈A．
知識點2．函數的定義域、值域
(1)在函數y＝f (x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f (x)|x∈A}叫做函數的值域．
(2)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．
知識點3．函數的表示方法
(1)用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做解析法．
(2)用圖象表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做圖象法．
(3)列出表格表示兩個變量之間的對應關系的方法叫做列表法．
知識點4．函數的三要素
(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(2)兩個函數相等：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等．
知識點5．分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．
知識點6．復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數y＝f(g(x))的外層函數，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內層函數．
【高頻考點】
高頻考點一 求函數的定義域
例1.（2023·北京卷）函數的定義域是____________．
【答案】(0，＋∞)　
【解析】要使函數有意義，需滿足即x>0，所以函數f (x)的定義域為(0，＋∞)．
【方法技巧】
1.已知函數的具體解析式求定義域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集．
(2)復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還需要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可．
2．抽象函數的定義域的求法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．
【舉一反三】（2023·安徽省巢湖市四中模擬）函數y＝＋log2(tan x－1)的定義域為________；
【答案】.
【解析】(1)要使函數y＝＋log2(tan x－1)有意義，則1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ可得則函數的定義域為.
【變式探究】（2023·江蘇卷）函數的定義域是 .
【答案】 [-1,7 ]
【解析】由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域.
由已知得,即，解得，故函數的定義域為[-1,7 ].
高頻考點二 求函數的解析式
例2.（2023·福建省廈門市一中模擬）已知f (x)是一次函數，且f (f (x))＝4x＋3，則f (x)的解析式為________．
【答案】f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1　
【解析】設f (x)＝ax＋b(a≠0)，則f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以
解得或
故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.
【方法技巧】函數解析式的常見求法
(1)配湊法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理或配湊成只含h(x)的式子，然后用x將h(x)代換．
(2)待定系數法：已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法，比如二次函數f(x)可設為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數，根據題設條件，列出方程組，解出a，b，c即可．
(3)換元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時，往往可設h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元．應用換元法時要注意新元的取值范圍．
(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
【舉一反三】（2023·江西省廬山中學模擬）已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝________.
【答案】＋
【解析】在f(x)＝2f·－1中，
將x換成，則換成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
【變式探究】（2023·河北衡水模擬）已知f ＝＋，則f (x)＝(　　)
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
【答案】C　
【解析】f ＝＋＝－＋1.令＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.
高頻考點三 分段函數求值
例3.（2023·山東省曲阜一中模擬）設f (x)＝則f (f (1))的值為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B　
【解析】因為f (x)＝ 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝log28＝3. 故選B．
【方法技巧】
(1)求分段函數的函數值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區間，然后代入該區間對應的解析式求值．
(2)當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．
(3)當自變量的值所在區間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點。
【變式探究】（2023·河南省安陽市二中模擬）已知函數f(x)＝則f等于(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
【答案】B
【解析】f＝log5＝－2，
f＝f(－2)＝.
高頻考點四　已知函數值求參數的值(或取值范圍)
例4．（2023·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝則滿足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【答案】D
【解析】將函數f(x)的圖象畫出來，觀察圖象可知解得x<0，所以滿足f(x＋1)【方法技巧】解分段函數與方程或不等式問題的策略
求解與分段函數有關的方程或不等式問題，主要表現為解方程或不等式．應根據每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據自變量的情況直接代入相應的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍．
【舉一反三】（2023·湖北大學附屬中學模擬）設函數f(x)＝則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________________．
【答案】(－∞，－2]∪[0，10]
【解析】因為f(x)是分段函數，所以f(x)≥1應分段求解．當x＜1時，f(x)≥1 (x＋1)2≥1 x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1.當x≥1時，f(x)≥1 4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
【變式探究】（2023·湖南省岳陽市一中模擬）已知函數f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，則實數a的取值范圍為________．
【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)
【解析】當a＝0時，顯然不成立．當a>0時，不等式f (a)－f (－a)>0可化為a2＋a－3a>0，解得a>2. 當a<0時，不等式f (a)－f (－a)>0可化為－a2－2a>0，解得－2高頻考點五 函數的新定義問題
例5.（2023·廣東省深圳市觀瀾中學模擬）在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，若函數f(x)的圖象恰好經過n(n∈N*)個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．給出下列函數：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一階整點函數的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【答案】C
【解析】對于函數f(x)＝sin 2x，它的圖象(圖略)只經過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數，排除D；
對于函數g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數，排除A；
對于函數h(x)＝，它的圖象(圖略)經過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數，排除B.故選C.
【感悟提升】本題意在考查考生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養．破解新定義函數題的關鍵是：緊扣新定義的函數的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點函數轉化為函數f(x)的圖象恰好經過1個整點，問題便迎刃而解．
【變式探究】（2023·四川省綿陽中學模擬）若定義在R上的函數f(x)當且僅當存在有限個非零自變量x，使得f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為“類偶函數”，則下列函數中為類偶函數的是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
【答案】D
【解析】A中函數為偶函數，則在定義域內均滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；B中，當x＝kπ(k∈Z)時，滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合題意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，滿足題意，故選D.

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