資源簡介

第05講 函數的奇偶性與周期性
【練基礎】
1．(2020·浙江舟山模擬)下列函數既是奇函數，又在(0，＋∞)上單調遞增的是(　　)
A．y＝－x2　　　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝log2x D．y＝－3－x
2．(2021·河北石家莊模擬)函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)·g(x)的圖象可能為(　　)
3．(2021·安徽省太湖中學模擬)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函數，則一定有(　　)
A．b＝0 B．ac＝0
C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0
4．(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數y＝f(x)＋x是偶函數，且f(2)＝1，則f(－2)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
5．(2021·江西省宜春中學模擬)若函數f(x)＝ln(ax＋)是奇函數，則a的值為(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
6．(2021·四川成都模擬)若函數f(x)＝1－的圖象關于原點對稱，則實數a等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
7．(2021·杭州四中模擬)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(2)＝0，則不等式≤0的解集為(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]
8．(2021·沈陽市高三質檢)已知函數f(x)＝，實數a，b滿足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，則下列不等關系恒成立的是(　　)
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
【練提升】
1．(2021·河北模擬)已知函數f(x)是定義在區間[－a，a](a＞0)上的奇函數，若g(x)＝f(x)＋2019，則g(x)的最大值與最小值之和為(　　)
A．0 B．1
C．2019 D．4038
2．(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝x2＋3x＋2.若當x∈[1，3]時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為　(　　)
A. B．2
C. D.
3．(2021·河南南陽模擬)函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
4．(2021·浙江寧波效實中學模擬)對于函數f(x)，若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準偶函數．下列函數中是準偶函數的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
5．(2021·湖北省葛洲壩中學模擬)若函數f(x)＝x為偶函數，則a＝________.
6．(2021·石家莊二中高三質檢)已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數．
(1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍．7．(2021·河北重點中學聯考)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函數，下面是關于f(x)的判斷：
①f(x)的圖象關于點P(1,0)對稱；②f(0)是函數f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是減函數；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正確的是________(正確的序號都填上)．
8．(2021·山東濟南高三模擬)設常數a∈R，函數f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)是奇函數，且關于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對所有的x∈[－2，2]恒成立，求實數m的取值范圍．
第05講 函數的奇偶性與周期性
【練基礎】
1．(2020·浙江舟山模擬)下列函數既是奇函數，又在(0，＋∞)上單調遞增的是(　　)
A．y＝－x2　　　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝log2x D．y＝－3－x
【答案】B
【解析】A.函數y＝－x2為偶函數，不滿足條件．
B．函數y＝x3為奇函數，在(0，＋∞)上單調遞增，滿足條件．
C．y＝log2x的定義域為(0，＋∞)，為非奇非偶函數，不滿足條件．
D．函數y＝－3－x為非奇非偶函數，不滿足條件．
2．(2021·河北石家莊模擬)函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)·g(x)的圖象可能為(　　)
【答案】A
【解析】因為f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數，排除B；由兩函數的圖象可知當x∈時，y＝f(x)·g(x)<0；當x∈時，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有選項A符合題意，故選A.
3．(2021·安徽省太湖中學模擬)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函數，則一定有(　　)
A．b＝0 B．ac＝0
C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0
【答案】C
【解析】設函數g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函數．因為f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函數．所以h(x)＝ax2＋bx＋c為奇函數．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.當a＝c＝b＝0時，f(x)＝0，也是偶函數，故選C.
4．(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數y＝f(x)＋x是偶函數，且f(2)＝1，則f(－2)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵y＝f(x)＋x是偶函數，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，則f(－2)＝f(2)＋4＝5，故選D.
5．(2021·江西省宜春中學模擬)若函數f(x)＝ln(ax＋)是奇函數，則a的值為(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
【答案】C
【解析】因為f(x)＝ln(ax＋)是奇函數，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.
6．(2021·四川成都模擬)若函數f(x)＝1－的圖象關于原點對稱，則實數a等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由已知得，函數f(x)為奇函數，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.
7．(2021·杭州四中模擬)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(2)＝0，則不等式≤0的解集為(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]
【答案】D
【解析】因為函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(2)＝0，所以函數f(x)在(0，2)上的函數值為正，在(2，＋∞)上的函數值為負，當x>0時，不等式≤0等價于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函數，所以有f(x)≥0，所以有08．(2021·沈陽市高三質檢)已知函數f(x)＝，實數a，b滿足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，則下列不等關系恒成立的是(　　)
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
【答案】C
【解析】由題意知f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，又f(x)＝＝＝－1，所以f(x)在R上為減函數，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故選C.
【練提升】
1．(2021·河北模擬)已知函數f(x)是定義在區間[－a，a](a＞0)上的奇函數，若g(x)＝f(x)＋2019，則g(x)的最大值與最小值之和為(　　)
A．0 B．1
C．2019 D．4038
【答案】D
【解析】因為函數f(x)是定義在區間[－a，a]上的奇函數，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.
2．(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝x2＋3x＋2.若當x∈[1，3]時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為　(　　)
A. B．2
C. D.
【答案】A
【解析】設x＞0，則－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，當x＝時，f(x)max＝；當x＝3時，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.
3．(2021·河南南陽模擬)函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】C
【解析】若x∈[－2,0]，則－x∈[0,2]，∵當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函數，
∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即當x∈[－2,0]時，f(x)＝－x－1，即在一個周期[－2,2]內，f(x)＝若x∈[2,4]，則x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函數f(x)在[－2,4]上的圖象如圖：
則當x∈[－1,3]時，不等式xf(x)>0等價為或即10在[－1,3]上的解集為(－1,0)∪(1,3)．
4．(2021·浙江寧波效實中學模擬)對于函數f(x)，若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準偶函數．下列函數中是準偶函數的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
【答案】D
【解析】由f(x)為準偶函數的定義可知，若f(x)的圖象關于x＝a(a≠0)對稱，則f(x)為準偶函數，A，C中兩函數的圖象無對稱軸，B中函數圖象的對稱軸只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的圖象關于x＝kπ－1(k∈Z)對稱．
5．(2021·湖北省葛洲壩中學模擬)若函數f(x)＝x為偶函數，則a＝________.
【答案】1或－1
【解析】令u(x)＝1－，根據函數f(x)＝x為偶函數，可知u(x)＝1－為奇函數，利用u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
6．(2021·石家莊二中高三質檢)已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數．
(1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍．
【解析】(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立．
若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1，
因為f(x)在[－1，1]上是減函數且為奇函數，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1，
同理可證f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
綜上得證，對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因為f(1－a)＋f(1－a2)＜0 f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定義域[－1，1]上是減函數，得即解得0≤a＜1.
故所求實數a的取值范圍是[0，1)．
7．(2021·河北重點中學聯考)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函數，下面是關于f(x)的判斷：
①f(x)的圖象關于點P(1,0)對稱；②f(0)是函數f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是減函數；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正確的是________(正確的序號都填上)．
【答案】①②④
【解析】因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的圖象關于點P(1,0)對稱，所以①正確；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正確；因為f(x)是以4為周期的函數，且在[－2,0]上是增函數，所以f(x)在[2,4]上也是增函數，因此③不正確；因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(x)在[0,2]上是減函數，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4為周期的函數，所以②正確．所以正確的判斷是①②④.
8．(2021·山東濟南高三模擬)設常數a∈R，函數f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)是奇函數，且關于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對所有的x∈[－2，2]恒成立，求實數m的取值范圍．
【解析】(1)當a＝1時，f(x)＝(1－x)|x|＝，
當x≥0時，f(x)＝(1－x)x＝－＋，
所以f(x)在內是增函數，
在內是減函數；
當x<0時，f(x)＝(x－1)x＝－，
所以f(x)在(－∞，0)內是減函數；
綜上可知，f(x)的單調增區間為，
單調減區間為(－∞，0)，.
(2)因為f(x)是奇函數，所以f(－1)＝－f(1)，
即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0.
所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|；
所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|，
即m>對所有的x∈[－2，2]恒成立．
因為x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]．
所以≤＝＝x2＋1＋－2≤.
所以m>.
所以實數m的取值范圍為.第05講 函數的奇偶性與周期性
【學科素養】數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理、直觀想象
【課標解讀】
1.抽象函數的奇偶性與周期性；
2.利用奇偶性與周期性求參數取值范圍；
3.函數性質的綜合應用問題.
【備考策略】
1.判斷函數的奇偶性與周期性；
2.函數的奇偶性、周期性，通常與抽象函數、函數的圖象以及函數的單調性結合考查，常結合三角函數加以考查．
【核心知識】
知識點一 函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱
奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱
知識點二 函數的周期性
(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.
【特別提醒】
1.(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.
3.函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
4.對稱性的三個常用結論
(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.
【高頻考點】
高頻考點一 函數奇偶性的判定
例1．【2020·全國Ⅱ卷】設函數，則f(x)
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【方法技巧】判斷函數奇偶性的常用方法
(1)定義法：
確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)圖象法：
f(x)的圖像關于原點對稱，f(x)為奇函數；
f(x)的圖像關于y軸對稱，f(x)為偶函數。
(3)性質法：
設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【舉一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模擬)設f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結論錯誤的是(　　)
A．|g(x)|是偶函數　　　　 B．f(x)g(x)是奇函數
C．f(x)|g(x)|是偶函數 D．f(x)＋g(x)是奇函數
【變式探究】【2020年高考浙江】函數y=xcos x+sin x在區間[–π，π]上的圖象可能是
高頻考點二 函數奇偶性的應用
例2．【2020·江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則的值是 ．
【方法技巧】與函數奇偶性有關的問題及解題策略
(1)求函數的值：利用奇偶性將待求值轉化為已知區間上的函數值求解．
(2)求函數解析式：先將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的參數值：在定義域關于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數 f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．
【舉一反三】(2019·全國卷Ⅱ)設f (x)為奇函數，且當x≥0時，f (x)＝ex－1，則當x<0時，f (x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝________.
高頻考點三 函數的周期性
例3. （2023·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0 C.2 D.50
【方法技巧】
(1)求解與函數的周期性有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)周期函數的圖象具有周期性，如果發現一個函數的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數一定具有周期性．
【變式探究】(2021·廣東省韶關市一中模擬)已知函數f (x)的圖象關于原點對稱，且周期為4，若f (－1)＝2，則f (2 021)＝(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
高頻考點四 函數性質的綜合應用
例4. (2021·河北模擬)定義在R上的偶函數f (x)滿足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上單調遞減．設a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
【舉一反三】(2021·海南省三亞市一中模擬)定義在R上的偶函數f (x)滿足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【方法技巧】函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略
(1)函數單調性與奇偶性的綜合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性。
(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解。
(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解。
（4）應用奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱。
【變式探究】(2021·陜西省延安中學模擬)在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區間[1，2]上是減函數，則f(x)(　　)
A．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3，4]上是增函數
B．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3，4]上是減函數
C．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3，4]上是增函數
D．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3，4]上是減函數
第05講 函數的奇偶性與周期性
【學科素養】數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理、直觀想象
【課標解讀】
1.抽象函數的奇偶性與周期性；
2.利用奇偶性與周期性求參數取值范圍；
3.函數性質的綜合應用問題.
【備考策略】
1.判斷函數的奇偶性與周期性；
2.函數的奇偶性、周期性，通常與抽象函數、函數的圖象以及函數的單調性結合考查，常結合三角函數加以考查．
【核心知識】
知識點一 函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱
奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱
知識點二 函數的周期性
(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.
【特別提醒】
1.(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.
3.函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
4.對稱性的三個常用結論
(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.
【高頻考點】
高頻考點一 函數奇偶性的判定
例1．【2020·全國Ⅱ卷】設函數，則f(x)
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【答案】D
【解析】由得定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數，可排除AC；
當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，排除B；
當時，，
在上單調遞減，在定義域內單調遞增，
根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確。
【方法技巧】判斷函數奇偶性的常用方法
(1)定義法：
確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)圖象法：
f(x)的圖像關于原點對稱，f(x)為奇函數；
f(x)的圖像關于y軸對稱，f(x)為偶函數。
(3)性質法：
設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【舉一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模擬)設f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結論錯誤的是(　　)
A．|g(x)|是偶函數　　　　 B．f(x)g(x)是奇函數
C．f(x)|g(x)|是偶函數 D．f(x)＋g(x)是奇函數
【答案】D
【解析】f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)為偶函數．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)為奇函數．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|為偶函數，A正確；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]
＝－f(x)g(x)，
所以f(x)g(x)為奇函數，B正確；
f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，
所以f(x)|g(x)|是偶函數，C正確；
f(x)＋g(x)＝2ex，
f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，
且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，
所以f(x)＋g(x)既不是奇函數也不是偶函數，D錯誤，故選D.
【變式探究】【2020年高考浙江】函數y=xcos x+sin x在區間[–π，π]上的圖象可能是
【答案】A
【解析】因為，則，
即題中所給的函數為奇函數，函數圖象關于坐標原點對稱，
據此可知選項CD錯誤；
且時，，據此可知選項B錯誤，故選A。
高頻考點二 函數奇偶性的應用
例2．【2020·江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則的值是 ．
【答案】－4
【解析】，因為為奇函數，所以。
【方法技巧】與函數奇偶性有關的問題及解題策略
(1)求函數的值：利用奇偶性將待求值轉化為已知區間上的函數值求解．
(2)求函數解析式：先將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的參數值：在定義域關于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數 f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．
【舉一反三】(2019·全國卷Ⅱ)設f (x)為奇函數，且當x≥0時，f (x)＝ex－1，則當x<0時，f (x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【答案】D　
【解析】當x<0時，－x>0.因為當x≥0時，f (x)＝ex－1，所以 f (－x)＝e－x－1. 又因為 f (x)為奇函數，所以f (x)＝－f (－x)＝－e－x＋1.
【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝________.
【答案】－3
【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
則f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函數可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－eeq \s\up5(aln ))＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
高頻考點三 函數的周期性
例3. （2023·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0 C.2 D.50
【答案】C
【解析】
方法一：　∵f(x)在R上是奇函數，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，則函數f(x)是周期為4的函數，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一個符合題意的函數f(x)＝2sin，則結合該函數的圖象易知數列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
【方法技巧】
(1)求解與函數的周期性有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)周期函數的圖象具有周期性，如果發現一個函數的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數一定具有周期性．
【變式探究】(2021·廣東省韶關市一中模擬)已知函數f (x)的圖象關于原點對稱，且周期為4，若f (－1)＝2，則f (2 021)＝(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
【答案】C　
【解析】因為函數f (x)的圖象關于原點對稱，且周期為4，所以f (x)為奇函數，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－2，故選C。
高頻考點四 函數性質的綜合應用
例4. (2021·河北模擬)定義在R上的偶函數f (x)滿足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上單調遞減．設a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】D　
【解析】因為偶函數f (x)滿足f (x＋2)＝f (x)，所以函數f (x)的周期為2.所以a＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因為－0.8<－0.5<－0.4，且函數f (x)在[－1,0]上單調遞減，所以a>c>b.故選D．
【舉一反三】(2021·海南省三亞市一中模擬)定義在R上的偶函數f (x)滿足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【答案】D　
【解析】因為f (x＋3)＝f (x)，所以f (x)是定義在R上的以3為周期的函數，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因為函數f (x)是偶函數，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)，故選D。
【方法技巧】函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略
(1)函數單調性與奇偶性的綜合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性。
(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解。
(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解。
（4）應用奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱。
【變式探究】(2021·陜西省延安中學模擬)在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區間[1，2]上是減函數，則f(x)(　　)
A．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3，4]上是增函數
B．在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3，4]上是減函數
C．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3，4]上是增函數
D．在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3，4]上是減函數
【答案】B
【解析】由f(x)＝f(2－x)，函數f(x)關于x＝1對稱，
又因為f(x)在R上是偶函數，所以f(x)關于y軸對稱．
又因為f(x)在區間[1，2]上是減函數，
所以f(x)在[0，1]上為增函數，在[－1，0]上為減函數，故函數圖象如圖所示．由圖可知B正確．

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