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第06講 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．(2021·山東省淄博模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α＝(　　)
A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
2．(2021·河南省焦作模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2021·河北滄州模擬)若冪函數(shù)f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖象如圖所示，則(　　)
A．m，n是奇數(shù)，且<1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>1
4．(2021·湖北省襄陽模擬)已知α∈，若f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)α的值是(　　)
A．－1,3 B.，3
C．－1，，3 D.，，3
5．(2021·河北模擬)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f(x)的最小值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．0
6．(2021·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，設(shè)a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
7．(2021·浙江溫州模擬)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)，f(x)的值域?yàn)閇k，＋∞)，則實(shí)數(shù)k的最大值為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
8．(2021·廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，則(　　)
A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋b＝0
C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋b＝0
【練提升】
1．(2021·重慶市萬州三中模擬)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．無法判斷
2．(2021·河北省正定中學(xué)模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④　　　　　　　　　 B．①④
C．②③ D．①③
3．(2021·山西省朔州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f≥，則f(x)的圖象可能是(　　)
4．(2021·遼寧省丹東模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
5．(2021·黑龍江省大慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，則實(shí)數(shù)k＝________.
6．(2021·浙江省諸暨中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．
7．(2021·江蘇省華羅庚中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍．
8．(2021·安徽省安慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2bx＋c，設(shè)函數(shù)g(x)＝|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值為M.
(1)若b＝2，試求出M；
(2)若M≥k對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值．
第06講 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．(2021·山東省淄博模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α＝(　　)
A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1，又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，所以＝，解得α＝，則k＋α＝.
2．(2021·河南省焦作模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，
∴解得a>.
3．(2021·河北滄州模擬)若冪函數(shù)f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖象如圖所示，則(　　)
A．m，n是奇數(shù)，且<1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>1
【答案】C
【解析】由圖知冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且<1，排除B，D；當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)非偶函數(shù)，排除A；選C.
4．(2021·湖北省襄陽模擬)已知α∈，若f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)α的值是(　　)
A．－1,3 B.，3
C．－1，，3 D.，，3
【答案】B
【解析】因?yàn)閒(x)＝xα為奇函數(shù)，所以α∈.又f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以α∈.
5．(2021·河北模擬)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f(x)的最小值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．0
【答案】A
【解析】當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，x＋2∈[0，1]，則f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f(x)＝(x2＋3x＋2)＝－，所以當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取得最小值，且最小值為－，故選A.
6．(2021·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，設(shè)a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【解析】由點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函數(shù)．因?yàn)?＜＜＜1＜ln π，所以f＜f＜f(ln π)，即a＜c＜b.
7．(2021·浙江溫州模擬)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)，f(x)的值域?yàn)閇k，＋∞)，則實(shí)數(shù)k的最大值為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】C
【解析】設(shè)t＝f(x)，由題意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c，t≥k，
函數(shù)y＝at2＋bt＋c，t≥k的圖象為y＝f(x)的圖象的部分，即有g(shù)(x)的值域?yàn)閒(x)的值域的子集，
即[2，＋∞) [k，＋∞)，
可得k≤2，即有k的最大值為2.
故選C.
8．(2021·廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，則(　　)
A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋b＝0
C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋b＝0
【答案】B
【解析】因?yàn)閒(1)＝f(3)，則直線x＝2為對(duì)稱軸，故－＝2，則4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向下，所以a＜0.
【練提升】
1．(2021·重慶市萬州三中模擬)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．無法判斷
【答案】A
【解析】∵對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足＞0，∴冪函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴解得m＝2，則f(x)＝x2015.
∵函數(shù)f(x)＝x2015在R上是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＋f(b)>0.故選A.
2．(2021·河北省正定中學(xué)模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④　　　　　　　　　 B．①④
C．②③ D．①③
【答案】B
【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正確；對(duì)稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a3．(2021·山西省朔州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f≥，則f(x)的圖象可能是(　　)
【答案】C
【解析】二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，則b＝0，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以排除A，D；對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f≥，所以函數(shù)f(x)為上凸函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a＜0，即排除B.故選C.
4．(2021·遼寧省丹東模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以當(dāng)0≤x≤a2時(shí)，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；
當(dāng)a2＜x＜2a2時(shí)，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；
當(dāng)x≥2a2時(shí)，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.
綜上，函數(shù)f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0時(shí)的解析式等價(jià)于f(x)＝
因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如下，
觀察圖象可知，要使 x∈R，f(x－1)≤f(x)，則需滿足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.
5．(2021·黑龍江省大慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，則實(shí)數(shù)k＝________.
【答案】
【解析】設(shè)g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
設(shè)不等式g(x)≤0的解集為a≤x≤b.
則Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，m]恒成立；
所以(1，m] [a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，m的最大值為b，所以有b＝5.
即x＝5是方程g(x)＝0的一個(gè)根，代入x＝5，
解得k＝.
6．(2021·浙江省諸暨中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．
【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由題意知f(x)＝x2＋bx，原命題等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0]．
7．(2021·江蘇省華羅庚中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍．
【解析】(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[2,3]上為增函數(shù)，
故
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在[2,3]上為減函數(shù)，
故
故當(dāng)a>0時(shí)，a＝1，b＝0，當(dāng)a<0時(shí)，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上單調(diào)，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范圍為(－∞，2]∪[6，＋∞)．
8．(2021·安徽省安慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2bx＋c，設(shè)函數(shù)g(x)＝|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值為M.
(1)若b＝2，試求出M；
(2)若M≥k對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值．
【解析】(1)當(dāng)b＝2時(shí)，f(x)＝－x2＋4x＋c在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)，
則M是g(－1)和g(1)中較大的一個(gè)，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
則M＝.
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
(ⅰ)當(dāng)|b|>1時(shí)，y＝g(x)在區(qū)間[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
則2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.
(ⅱ)當(dāng)|b|≤1時(shí)，函數(shù)y＝g(x)的對(duì)稱軸x＝b位于區(qū)間[－1，1]之內(nèi)，
此時(shí)M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
①當(dāng)－1≤b≤0時(shí)，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
則M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
②當(dāng)0則M＝max{g(b)，g(－1)}≥(g(b)＋g(－1))≥|f(b)－f(－1)|＝(b＋1)2>.
綜上可知，對(duì)任意的b、c都有M≥.
而當(dāng)b＝0，c＝時(shí)，g(x)＝在區(qū)間[－1，1]上的最大值M＝，
故M≥k對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為.第06講 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.了解二次函數(shù)、冪函數(shù)的概念，掌握冪函數(shù)，，的圖象和性質(zhì)。
2.了解冪函數(shù)的變化特征。
【備考策略】
1.與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題，除單獨(dú)考查外，多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)；
2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用；
3.在分段函數(shù)中考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).
(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.
知識(shí)點(diǎn)二 二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).
零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
值域
對(duì)稱軸 x＝－
頂點(diǎn)坐標(biāo)
奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性 在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù) 在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)
【特別提醒】
1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例1.（2023·上海卷)已知α∈，.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝______.
【方法技巧】冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系
(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．
(2)判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．
(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0.　
【變式探究】(2021·衡水中學(xué)調(diào)研)已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f (x)＝(m－1)xn的圖象上．設(shè)a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2eq \s\up8(－))，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)【變式探究】(2021·山西省晉城模擬)當(dāng)0高頻考點(diǎn)二 求二次函數(shù)的解析式
例2.(2021·遼寧省鞍山模擬)已知二次函數(shù)f (x)＝x2－bx＋c滿足f (0)＝3，對(duì) x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，則f (x)＝________.
【方法技巧】求二次函數(shù)解析式的策略
（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式
（2）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值，選用頂點(diǎn)式
（3）已知與x軸兩點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式
【變式探究】(2021·吉林省四平模擬)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
高頻考點(diǎn)三　二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例3.(2021·黑龍江省雙鴨山模擬)已知abc>0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
【方法技巧】1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.
【變式探究】(2021·江蘇省常州模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1.
下面四個(gè)結(jié)論中正確的是(　　)
A． b2<4ac B．2a－b＝1
C．a(chǎn)－b＋c＝0 D．5a高頻考點(diǎn)四 二次函數(shù)的單調(diào)性
例4.（2023·廣東廣雅中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
【方法技巧】
(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．
(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．
【變式探究】（2023·山東淄博模擬）函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定
高頻考點(diǎn)五 二次函數(shù)的最值問題
例5.(2021·安徽省蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值與最小值；
(2)f(x)的最小值記為g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．
【方法技巧】(1)確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個(gè)要點(diǎn)
一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；
二是看對(duì)稱軸和最值，它確定二次函數(shù)圖象的具體位置；
三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等．
從這三個(gè)方面入手，能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象．反之，也可以從圖象中得到如上信息．
(2)二次函數(shù)最值的求法
二次函數(shù)的區(qū)間最值問題一般有三種情況：①對(duì)稱軸和區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱軸動(dòng)，區(qū)間固定；③對(duì)稱軸定，區(qū)間變動(dòng)．解決這類問題的思路是抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸．具體方法是利用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解．
對(duì)于②、③，通常要分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)、區(qū)間外兩大類情況進(jìn)行討論．
【變式探究】(2021·福建省福清華僑中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)對(duì)任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．
高頻考點(diǎn)六 　二次函數(shù)中的恒成立問題
例6.（2023·湖北武漢模擬） 已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【方法技巧】由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).
(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
【變式探究】(2021·山東省煙臺(tái)模擬)設(shè)函數(shù)f (x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
第06講 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.了解二次函數(shù)、冪函數(shù)的概念，掌握冪函數(shù)，，的圖象和性質(zhì)。
2.了解冪函數(shù)的變化特征。
【備考策略】
1.與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題，除單獨(dú)考查外，多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)；
2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用；
3.在分段函數(shù)中考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).
(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.
知識(shí)點(diǎn)二 二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).
零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
值域
對(duì)稱軸 x＝－
頂點(diǎn)坐標(biāo)
奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性 在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù) 在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)
【特別提醒】
1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例1.（2023·上海卷)已知α∈，.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝______.
【答案】－1
【解析】由題意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴α<0，取α＝－1.
【方法技巧】冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系
(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．
(2)判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．
(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0.　
【變式探究】(2021·衡水中學(xué)調(diào)研)已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f (x)＝(m－1)xn的圖象上．設(shè)a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2eq \s\up8(－))，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)【答案】A　
【解析】因?yàn)閒 (x)＝(m－1)xn為冪函數(shù)，
所以m－1＝1，則m＝2，f (x)＝xn.
又點(diǎn)(2,8)在函數(shù)f (x)＝xn的圖象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f (x)＝x3，且在R上是增函數(shù)．
又ln π>1>2eq \s\up8(－)＝>，
所以f (ln π)>f (2eq \s\up8(－))>f ，則b>c>a.
【變式探究】(2021·山西省晉城模擬)當(dāng)0【解析】如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的圖象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．
【答案】h(x)>g(x)>f(x)
高頻考點(diǎn)二 求二次函數(shù)的解析式
例2.(2021·遼寧省鞍山模擬)已知二次函數(shù)f (x)＝x2－bx＋c滿足f (0)＝3，對(duì) x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，則f (x)＝________.
【答案】x2－2x＋3　
【解析】由f (0)＝3，得c＝3.又f (1＋x)＝f (1－x)，
所以函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
所以＝1，所以b＝2，所以f (x)＝x2－2x＋3.
【方法技巧】求二次函數(shù)解析式的策略
（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式
（2）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值，選用頂點(diǎn)式
（3）已知與x軸兩點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式
【變式探究】(2021·吉林省四平模擬)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
【解】法一：(利用一般式)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得
解得所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用頂點(diǎn)式)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因?yàn)閒(2)＝f(－1)，
所以拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝.
所以m＝.
又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因?yàn)閒(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零點(diǎn)式)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
高頻考點(diǎn)三　二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例3.(2021·黑龍江省雙鴨山模擬)已知abc>0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
【答案】D
【解析】A項(xiàng)，因?yàn)閍<0，－<0，所以b<0.
又因?yàn)閍bc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A錯(cuò)．
B項(xiàng)，因?yàn)閍<0，－>0，所以b>0.
又因?yàn)閍bc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B錯(cuò)．
C項(xiàng)，因?yàn)閍>0，－<0，所以b>0.又因?yàn)閍bc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C錯(cuò)．
D項(xiàng)，因?yàn)閍>0，－>0，所以b<0，因?yàn)閍bc>0，
所以c<0，而f(0)＝c<0，故選D.
【方法技巧】1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.
【變式探究】(2021·江蘇省常州模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1.
下面四個(gè)結(jié)論中正確的是(　　)
A． b2<4ac B．2a－b＝1
C．a(chǎn)－b＋c＝0 D．5a【答案】D　
【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A錯(cuò)誤；二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B錯(cuò)誤；結(jié)合圖象知，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a高頻考點(diǎn)四 二次函數(shù)的單調(diào)性
例4.（2023·廣東廣雅中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
【答案】D　
【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意．
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知解得－3≤a＜0.
綜上，a的取值范圍為[－3,0]．
【方法技巧】
(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．
(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．
【變式探究】（2023·山東淄博模擬）函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定
【答案】A
【解析】 由題意知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，則bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故選A.
高頻考點(diǎn)五 二次函數(shù)的最值問題
例5.(2021·安徽省蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值與最小值；
(2)f(x)的最小值記為g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．
【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，
則當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)的最小值為0，x＝－1時(shí)，f(x)的最大值為4.
(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，
當(dāng)a<－1時(shí)，f(x)的最小值為f(－1)＝2＋2a，
當(dāng)－1≤a≤2時(shí)，f(x)的最小值為f(a)＝1－a2，
當(dāng)a>2時(shí)，f(x)的最小值為f(2)＝5－4a，
則g(a)＝
可知，g(a)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(a)的最大值為g(0)＝1.
【方法技巧】(1)確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個(gè)要點(diǎn)
一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；
二是看對(duì)稱軸和最值，它確定二次函數(shù)圖象的具體位置；
三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等．
從這三個(gè)方面入手，能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象．反之，也可以從圖象中得到如上信息．
(2)二次函數(shù)最值的求法
二次函數(shù)的區(qū)間最值問題一般有三種情況：①對(duì)稱軸和區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱軸動(dòng)，區(qū)間固定；③對(duì)稱軸定，區(qū)間變動(dòng)．解決這類問題的思路是抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸．具體方法是利用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解．
對(duì)于②、③，通常要分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)、區(qū)間外兩大類情況進(jìn)行討論．
【變式探究】(2021·福建省福清華僑中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)對(duì)任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．
【解析】因?yàn)閍＞0，所以二次函數(shù)f(x)＝ax2＋20x＋14的圖象開口向上．
在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1，x2，
使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，
只需t＝－時(shí)f(t＋1)－f(t)≥8，
即a(t＋1)2＋20(t＋1)＋14－(at2＋20t＋14)≥8，
即2at＋a＋20≥8，將t＝－代入得a≥8.
所以a的最小值為8.
故答案為8.
【答案】8
高頻考點(diǎn)六 　二次函數(shù)中的恒成立問題
例6.（2023·湖北武漢模擬） 已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m＜－1.
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．
【方法技巧】由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).
(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
【變式探究】(2021·山東省煙臺(tái)模擬)設(shè)函數(shù)f (x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
　【解析】由題意得a>－對(duì)1又－＝－2＋，<<1，
所以max＝.所以a>.

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