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第07講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．(2021·河北承德模擬)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)
2．(2021·江西上饒摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，則(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
3．(2021·湖北省沙市模擬)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
4．(2021·四川宜賓模擬)若函數(shù)f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(－1,4)，則m＋n＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－2
5．(2021·寧波效實(shí)中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
6．(2021·湖南省瀏陽模擬)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與函數(shù)y＝(a－1)x2－2x－1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是(　　)
7．(2021·廣東省深圳模擬)已知函數(shù)y＝f(x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)和y＝F(x)在區(qū)間[a，b]同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間[a，b]叫作函數(shù)y＝f(x)的“不動(dòng)區(qū)間”，若區(qū)間[1，2]為函數(shù)y＝|2x－t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　)
A．(0，2] B.
C. D.∪
8．(2021·廣西百色模擬)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為(　　)
A. B.
C. D.
【練提升】
1．(2021·四川省廣元中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
2．(2021·山東菏澤聯(lián)考)函數(shù)y＝2x－x2的值域?yàn)?　　)
A. B.
C. D．(0,2]
3．(2021·陜西省銅川模擬)已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有(　　)
A．0對(duì) B．1對(duì)
C．2對(duì) D．3對(duì)
4．(2021·湖南株洲模擬)如圖，四邊形OABC是面積為8的平行四邊形，AC⊥CO，AC與BO交于點(diǎn)E，某指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，B，則a＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
5．(2021·安徽省淮南五中模擬)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位后，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，函數(shù)h(x)＝若對(duì)于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，則實(shí)數(shù)λ的最大值為________．
6．(2021·福建省廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍．
7．(2021·山東省棲霞模擬)已知a>0，且a≠1，若函數(shù)y＝|ax－2|與y＝3a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
8．(2021·河北衡水中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1，1]，函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列條件：
①m>n>3；
②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．
第07講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【練基礎(chǔ)】
1．(2021·河北承德模擬)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)
【答案】A
【解析】將函數(shù)解析式與圖象對(duì)比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)．
2．(2021·江西上饒摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，則(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因?yàn)閏＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.
3．(2021·湖北省沙市模擬)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因?yàn)楹瘮?shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因?yàn)閥＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因?yàn)?.8－1＝1.25，所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大?。?yàn)閥＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因?yàn)?.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
4．(2021·四川宜賓模擬)若函數(shù)f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(－1,4)，則m＋n＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
5．(2021·寧波效實(shí)中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝得a2＝.
又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.
因?yàn)間(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，＋∞)．
6．(2021·湖南省瀏陽模擬)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與函數(shù)y＝(a－1)x2－2x－1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是(　　)
【答案】C
【解析】兩個(gè)函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)過點(diǎn)(0，－1)，故排除A，D；二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，＜0，C符合題意；當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，＞0，B不符合題意，故選C.
7．(2021·廣東省深圳模擬)已知函數(shù)y＝f(x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)和y＝F(x)在區(qū)間[a，b]同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間[a，b]叫作函數(shù)y＝f(x)的“不動(dòng)區(qū)間”，若區(qū)間[1，2]為函數(shù)y＝|2x－t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　)
A．(0，2] B.
C. D.∪
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，
因?yàn)閰^(qū)間[1，2]為函數(shù)f(x)＝|2x－t|的“不動(dòng)區(qū)間”，
所以函數(shù)f(x)＝|2x－t|和函數(shù)F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上單調(diào)性相同，
因?yàn)閥＝2x－t和函數(shù)y＝2－x－t的單調(diào)性相反，
所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，
即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，故答案為C.
8．(2021·廣西百色模擬)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)a＜1時(shí)，41－a＝21，所以a＝；當(dāng)a＞1時(shí)，4a－1＝2a－(1－a)，無解．故選B.
【練提升】
1．(2021·四川省廣元中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
【答案】D
【解析】作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，因?yàn)閍f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故選D.
2．(2021·山東菏澤聯(lián)考)函數(shù)y＝2x－x2的值域?yàn)?　　)
A. B.
C. D．(0,2]
【答案】A
【解析】因?yàn)?x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函數(shù)y＝2x－x2的值域?yàn)?
3．(2021·陜西省銅川模擬)已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有(　　)
A．0對(duì) B．1對(duì)
C．2對(duì) D．3對(duì)
【答案】B
【解析】作出函數(shù)y＝f(x)圖象如圖所示：
再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分(對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，記為曲線C，發(fā)現(xiàn)y＝與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
因此滿足條件的對(duì)稱點(diǎn)只有一對(duì)，圖中的A、B就是符合題意的點(diǎn)．故選B.
4．(2021·湖南株洲模擬)如圖，四邊形OABC是面積為8的平行四邊形，AC⊥CO，AC與BO交于點(diǎn)E，某指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，B，則a＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
【答案】A
【解析】設(shè)C(0，yC)，因?yàn)锳C⊥CO，則設(shè)A(xA，yC)，于是B(xA，2yC)，E.
因?yàn)槠叫兴倪呅蜲ABC的面積為8，所以yC·xA＝8，因?yàn)辄c(diǎn)E，B在y＝ax的圖象上，則axA＝2yC，a＝y(tǒng)C，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，則xA＝4，于是a4＝4，因?yàn)閍>0，所以a＝.
5．(2021·安徽省淮南五中模擬)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位后，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，函數(shù)h(x)＝若對(duì)于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，則實(shí)數(shù)λ的最大值為________．
【解析】依題意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐標(biāo)系中分別作出g(x)，h(x)的圖象如圖所示，觀察可得，要使得h(x)≥g(x)，則有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，實(shí)數(shù)λ的最大值為ln 2＋.
【答案】ln 2＋
6．(2021·福建省廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，則t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，
故值域?yàn)?
(2)關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
設(shè)2x＝m>0，
等價(jià)于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
記g(m)＝2am2－m－1，
當(dāng)a＝0時(shí)，解為m＝－1<0，不成立．
當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸m＝<0，
過點(diǎn)(0，－1)，不成立．
當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸m＝>0，過點(diǎn)(0，－1)，必有一個(gè)根為正，綜上得a>0.
7．(2021·山東省棲霞模擬)已知a>0，且a≠1，若函數(shù)y＝|ax－2|與y＝3a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】①當(dāng)0若直線y＝3a與函數(shù)y＝|ax－2|(0則由圖象可知0<3a<2，所以0②當(dāng)a>1時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|ax－2|與y＝3a的圖象如圖2.
若直線y＝3a與函數(shù)y＝|ax－2|(a>1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知0<3a<2，此時(shí)無解．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
8．(2021·河北衡水中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1，1]，函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列條件：
①m>n>3；
②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．
【解析】(1)因?yàn)閤∈[－1，1]，
所以f(x)＝∈，
設(shè)t＝∈.
則y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
當(dāng)a<時(shí)，ymin＝h(a)＝φ＝－；
當(dāng)≤a≤3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
當(dāng)a>3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以h(a)＝
(2)假設(shè)存在m，n滿足題意．
因?yàn)閙>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是減函數(shù)，
又因?yàn)閔(a)的定義域?yàn)閇n，m]，
值域?yàn)閇n2，m2]，
所以兩式相減得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，與m>n>3矛盾，
所以滿足題意的m，n不存在．第07講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.了解指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算。
2．理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.
3.了解指數(shù)函數(shù)的變化特征.
【備考策略】
1.有理指數(shù)冪的運(yùn)算；
2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小；
3.圖象過定點(diǎn)；
4.底數(shù)分類討論問題.
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).
(2)性質(zhì)：()n＝a(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝
知識(shí)點(diǎn)二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知識(shí)點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質(zhì) 過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，01；當(dāng)x>0時(shí)，0在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
【特別提醒】
1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　指數(shù)冪的運(yùn)算
例1.(2021·山東省青島市模擬)化簡a·b－2·÷(a，b>0)
【方法技巧】
1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.
2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).
3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
【變式探究】(2021·河南省登封模擬)若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(aeq \s\up8(－))4＝
高頻考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用
例2.(2021·湖北省武漢市二中模擬)函數(shù)y＝(a>1)的圖象大致是(　　)
【方法技巧】有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路
(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．
(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．
(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．
(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．
【變式探究】(2021·廣州市番禺中學(xué)模擬)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍為________．
高頻考點(diǎn)三 比較指數(shù)式的大小
例3．【2020·天津卷】設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小；
【變式探究】(2021·河北模擬)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)C．b高頻考點(diǎn)四 解簡單的指數(shù)方程或不等式
例4.(2020·全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【方法技巧】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；
【變式探究】(2021·山西省陽泉市模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
高頻考點(diǎn)五 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5.（2023·江西九江一中調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【方法技巧】解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。
【變式探究】(2021·北京朝陽區(qū)二模)把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1 ℃，空氣的溫度是θ0 ℃，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)．現(xiàn)有80 ℃的物體，放在20 ℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是40 ℃，則k約等于(參考數(shù)據(jù)：ln 3≈1.099)(　　)
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
第07講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.了解指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算。
2．理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.
3.了解指數(shù)函數(shù)的變化特征.
【備考策略】
1.有理指數(shù)冪的運(yùn)算；
2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小；
3.圖象過定點(diǎn)；
4.底數(shù)分類討論問題.
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).
(2)性質(zhì)：()n＝a(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝
知識(shí)點(diǎn)二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知識(shí)點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質(zhì) 過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，01；當(dāng)x>0時(shí)，0在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
【特別提醒】
1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　指數(shù)冪的運(yùn)算
例1.(2021·山東省青島市模擬)化簡a·b－2·÷(a，b>0)
【解析】原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－
＝－·＝－.
【答案】.
【方法技巧】
1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.
2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).
3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
【變式探究】(2021·河南省登封模擬)若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(aeq \s\up8(－))4＝
【答案】D
【解析】對(duì)于A，(－2)－2＝，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,2a－3＝，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，(－2)0＝1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，(aeq \s\up8(－))4＝，故D正確。
高頻考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用
例2.(2021·湖北省武漢市二中模擬)函數(shù)y＝(a>1)的圖象大致是(　　)
【答案】B
【解析】y＝因?yàn)閍>1，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知選B.
【方法技巧】有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路
(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．
(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．
(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．
(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．
【變式探究】(2021·廣州市番禺中學(xué)模擬)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍為________．
【答案】　
【解析】y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個(gè)單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的．當(dāng)a>1時(shí)，如圖1，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0高頻考點(diǎn)三 比較指數(shù)式的大小
例3．【2020·天津卷】設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>，
，
所以.
故選D．
【方法技巧】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小；
【變式探究】(2021·河北模擬)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)C．b【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝0.6x是減函數(shù)，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.綜上，b【答案】C
高頻考點(diǎn)四 解簡單的指數(shù)方程或不等式
例4.(2020·全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【答案】A　
【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，則f (x)在R上單調(diào)遞增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，滿足2x－2y＜3－x－3－y，
此時(shí)ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
【方法技巧】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；
【變式探究】(2021·山西省陽泉市模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為－7<1，即<8，即<，因?yàn)?<<1，所以a>－3，此時(shí)－3【答案】C
高頻考點(diǎn)五 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5.（2023·江西九江一中調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解析】(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.
(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)，
應(yīng)使y＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，
因此只能a＝0(因?yàn)槿鬭≠0，則y＝ax2－4x＋3為二次函數(shù)，其值域不可能為R)．
故a的值為0。
【方法技巧】解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。
【變式探究】(2021·北京朝陽區(qū)二模)把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1 ℃，空氣的溫度是θ0 ℃，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)．現(xiàn)有80 ℃的物體，放在20 ℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是40 ℃，則k約等于(參考數(shù)據(jù)：ln 3≈1.099)(　　)
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】D　
【解析】由題知，80 ℃的物體放在20 ℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是40 ℃，則40＝20＋(80－20)e－4k.從而e－4k＝.所以－4k＝ln ＝－ln 3，得k＝ln 3≈≈0.3.故選D．

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