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第54講 二項分布與正態(tài)分布
【練基礎】
1．如果生男孩和生女孩的概率相等，則有3個小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為(　　)
A．0.12　　　　　　　　 B．0.42
C．0.46 D．0.88
3．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，則μ與D(ξ)的值分別為(　　)
A．μ＝，D(ξ)＝ B．μ＝，D(ξ)＝7
C．μ＝3，D(ξ)＝7 D．μ＝3，D(ξ)＝
4．用電腦每次可以自動生成一個(0,1)內的實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能的，若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，則這3個實數(shù)都大于的概率為(　　)
A. B．
C. D．
5．甲、乙、丙三人參加學業(yè)水平測試，已知他們通過測試的概率分別為，，，且每人是否通過測試相互獨立，則這三人中至少有一人通過測試的概率為(　　)
A. B.
C. D.
6．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
7．有歌唱道：“江西是個好地方，山清水秀好風光．”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到江西旅游，分別準備從廬山、三清山、龍虎山和明月山4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇廬山，事件B：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
8．某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(　　)
A. B．
C. D．
9.在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σA．1 193 B．1 359
C．2 718 D．3 413
10．一臺機床有的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率為，加工零件B時，停機的概率是，則這臺機床停機的概率為(　　)
A. B．　
C. D．
【練提升】
1．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(　　)
A. B.
C. D.
2．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　)
A. B．3×
C.× D．C×3×
3．某班有48名學生，一次數(shù)學考試的成績近似地服從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，理論上說在80分到90分的人數(shù)約為(　　)
附：若隨機變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－σA．32 B．16
C．8 D．24
4．已知1號箱中有2個白球和4個紅球、2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是________．
5．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？浚粼撾娞菰诘讓佑?位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝________.
6．對一個物理量做n次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果．已知最后結果的誤差εn～N，為使誤差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要測量________次(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)．
7．已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率為________．
8．某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．若一個運動員出線記1分，未出線記0分．假設甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的．
(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；
(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．
9．九節(jié)蝦的真身是虎斑蝦，蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購進一批九節(jié)蝦，并隨機抽取了40只統(tǒng)計質量，得到的結果如下表所示：
質量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
數(shù)量 4 12 11 8 5
(1)若購進這批九節(jié)蝦35 000 g，且同一組數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結果保留整數(shù))；
(2)以頻率估計概率，若在本次購買的九節(jié)蝦中隨機挑選4只，記質量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列．
10．高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動了我國經濟的巨大發(fā)展，據統(tǒng)計，在2019年這一年內從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本，得到下表(單位：人次)：
滿意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高鐵 乘坐飛機 乘坐高鐵 乘坐飛機 乘坐高鐵 乘坐飛機
10分(滿意) 12 1 20 2 20 1
5分(一般) 2 3 6 2 4 9
0分(不滿意) 1 0 6 3 4 4
(1)在樣本中任取1個，求這個出行人恰好不是青年人的概率．
(2)在2019年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取2人次，記其中老年人出行的人次為X.以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學期望．
(3)如果甲將要從A市出發(fā)到B市，那么根據表格中的數(shù)據，你建議甲是乘坐高鐵還是飛機？并說明理由．
第54講 二項分布與正態(tài)分布
【練基礎】
1．如果生男孩和生女孩的概率相等，則有3個小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】B
【解析】設女孩個數(shù)為X，女孩多于男孩的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×2×＋C×3＝3×＋＝.
2．甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為(　　)
A．0.12　　　　　　　　 B．0.42
C．0.46 D．0.88
【答案】D
【解析】因為甲、乙兩人是否被錄取相互獨立，又因為所求事件的對立事件為“兩人均未被錄取”，由對立事件和相互獨立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.
3．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，則μ與D(ξ)的值分別為(　　)
A．μ＝，D(ξ)＝ B．μ＝，D(ξ)＝7
C．μ＝3，D(ξ)＝7 D．μ＝3，D(ξ)＝
【答案】C
【解析】∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，7)，∴正態(tài)曲線關于x＝μ對稱．∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝＝3，D(ξ)＝σ2＝7.
4．用電腦每次可以自動生成一個(0,1)內的實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能的，若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，則這3個實數(shù)都大于的概率為(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】由題意可得，用該電腦生成1個實數(shù)，且這個實數(shù)大于的概率為P＝1－＝，則用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，這3個實數(shù)都大于的概率為3＝.故選C.
5．甲、乙、丙三人參加學業(yè)水平測試，已知他們通過測試的概率分別為，，，且每人是否通過測試相互獨立，則這三人中至少有一人通過測試的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】所求事件的對立事件為“三人均未通過測試”，概率為××＝，故至少有一人通過測試的概率為1－＝.故選D.
6．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)＜P(X＝6)，即Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4 (1－p)2＜p2 p＞0.5，
∴p＝0.6，故選B.
7．有歌唱道：“江西是個好地方，山清水秀好風光．”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到江西旅游，分別準備從廬山、三清山、龍虎山和明月山4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇廬山，事件B：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題知，事件A：甲和乙至少一人選擇廬山共有n(A)＝C·C＋1＝7種情況，
事件AB：甲和乙選擇的景點不同，且至少一人選擇廬山，
共有n(AB)＝C·C＝6種情況，
所以P(B|A)＝＝.
8．某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝，P(AB)＝，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝＝＝.故選C.
9.在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σA．1 193 B．1 359
C．2 718 D．3 413
【答案】B
【解析】對于正態(tài)分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關于直線x＝－1對稱，故題圖中陰影部分的面積為×[P(－3所以點落入題圖中陰影部分的概率P＝＝0.135 9，
投入10 000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10 000×0.135 9＝1 359.故選B.
10．一臺機床有的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率為，加工零件B時，停機的概率是，則這臺機床停機的概率為(　　)
A. B．　
C. D．
【答案】A
【解析】假設總時間為1，則在1時間內，加工零件A停機的概率是×＝，加工零件B停機的概率是×＝，所以這臺機床停機的概率是＋＝.
【練提升】
1．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，X～B，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2，∴X～B，∴D(X)＝5××＝.故選B.
2．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　)
A. B．3×
C.× D．C×3×
【答案】B
【解析】由題意知，第四次取球后停止是當且僅當前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情況，此事件發(fā)生的概率為3×.
3．某班有48名學生，一次數(shù)學考試的成績近似地服從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，理論上說在80分到90分的人數(shù)約為(　　)
附：若隨機變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－σA．32 B．16
C．8 D．24
【答案】B
【解析】∵數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，∴P(|X－80|<10)＝0.682 7.根據正態(tài)曲線的對稱性知位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，∴理論上說在80分到90分的人數(shù)約為×48≈16.故選B.
4．已知1號箱中有2個白球和4個紅球、2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是________．
【解析】設“從1號箱取到紅球”為事件A，“從2號箱取到紅球”為事件B.
由題意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以兩次都取到紅球的概率為.
【答案】
5．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層停靠．若該電梯在底層有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝________.
【解析】由題意知，X～B，則P(X＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(X＝4)＝C4×1＝.
【答案】
6．對一個物理量做n次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果．已知最后結果的誤差εn～N，為使誤差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要測量________次(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)．
【解析】根據正態(tài)曲線的對稱性知：要使誤差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，則(μ－2σ，μ＋2σ) (－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝ ，∴0.5≥2 n≥32.
【答案】32
7．已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率為________．
【解析】設“從1號箱取到紅球”為事件A，“從2號箱取到紅球”為事件B.
由題意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以兩次都取到紅球的概率為.
【答案】
8．某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．若一個運動員出線記1分，未出線記0分．假設甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的．
(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；
(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．
【解析】(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，
則P(D)＝1－P( )＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝，
P(ξ＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝，
P(ξ＝2)＝P(A B )＋P(A C)＋P( B C)＝，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
9．九節(jié)蝦的真身是虎斑蝦，蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購進一批九節(jié)蝦，并隨機抽取了40只統(tǒng)計質量，得到的結果如下表所示：
質量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
數(shù)量 4 12 11 8 5
(1)若購進這批九節(jié)蝦35 000 g，且同一組數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結果保留整數(shù))；
(2)以頻率估計概率，若在本次購買的九節(jié)蝦中隨機挑選4只，記質量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列．
【解析】(1)由表中數(shù)據可以估計每只九節(jié)蝦的質量為
×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因為35 000÷29.5≈1 186(只)，
所以這批九節(jié)蝦的數(shù)量約為1 186只．
(2)由表中數(shù)據知，任意挑選1只九節(jié)蝦，質量在[5,25)間的概率p＝＝，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，
則P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝4＝.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
10．高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動了我國經濟的巨大發(fā)展，據統(tǒng)計，在2019年這一年內從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本，得到下表(單位：人次)：
滿意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高鐵 乘坐飛機 乘坐高鐵 乘坐飛機 乘坐高鐵 乘坐飛機
10分(滿意) 12 1 20 2 20 1
5分(一般) 2 3 6 2 4 9
0分(不滿意) 1 0 6 3 4 4
(1)在樣本中任取1個，求這個出行人恰好不是青年人的概率．
(2)在2019年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取2人次，記其中老年人出行的人次為X.以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學期望．
(3)如果甲將要從A市出發(fā)到B市，那么根據表格中的數(shù)據，你建議甲是乘坐高鐵還是飛機？并說明理由．
【解析】(1)設事件：“在樣本中任取1個，這個出行人恰好不是青年人”為M，
由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19,39,42，
所以在樣本中任取1個，這個出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝.
(2)由題意，X的所有可能取值為0,1,2，
因為在2019年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取1人次，此人為老年人的概率是＝，
所以P(X＝0)＝C×2＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×2＝，
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)從滿意度的均值來分析問題如下：
由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：
＝，
乘坐飛機的人滿意度均值為：
＝.
因為>，所以建議甲乘坐高鐵從A市到B市．第54講 二項分布與正態(tài)分布
【學科素養(yǎng)】
1.結合古典概型，考查條件概率、獨立事件的概率的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
2．結合n次獨立重復試驗的概念，考查隨機變量的二項分布，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．
3．結合頻率分布直方圖，考查正態(tài)分布曲線的特點、3σ原則的應用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
【課標解讀】
1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.
2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題.
3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預測2022年將會考查：①條件概率的計算；②事件獨立性的應用；③獨立重復試驗與二項分布的應用．題型為解答題，試題難度不會太大，屬中檔題型。
【核心知識】
1．條件概率
(1)條件概率的定義
設A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
(2)條件概率的性質
①條件概率具有一般概率的性質，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互獨立事件的概率
(1)相互獨立事件的定義及性質
①定義：設A，B是兩個事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
②性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
(2)獨立重復試驗概率公式
在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二項分布的定義
在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
3．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)，稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作N(μ，σ2)．
(3)正態(tài)曲線的特點
①曲線位于x軸的上方，與x軸不相交．
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．
③曲線在x＝μ處達到峰值.
④曲線與x軸之間的面積為1.
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移．
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
(4)正態(tài)分布中的3σ原則
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高頻考點】
高頻考點一　事件的相互獨立性及條件概率
例1．（2023·全國高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
【變式探究】(1)現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)2020年疫情的到來給人們生活學習等各方面帶來種種困難．為了順利迎接高考，某省制定了周密的畢業(yè)年級復學計劃．為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測的篩查．學生先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測．已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為0.2%，且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立，假設該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗呈陽性的概率為99%.若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的概率為(　　)
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【方法技巧】條件概率的3種求法
定義法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝
縮樣法 縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡
【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
【方法技巧】利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路
(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥簡單事件的和．
(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．　　
【變式探究】一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1,2,3需要調整的概率分別為0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立．
(1)求設備在一天的運轉中，部件1,2中至少有1個需要調整的概率；
(2)記設備在一天的運轉中需要調整的部件個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
高頻考點二　獨立重復試驗與二項分布
【例2】“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理想之地．為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間，把“研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下：
研學游類型 科技體驗游 民俗人文游 自然風光游
學校數(shù) 40 40 20
該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響)．
(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；
(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”的學校數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．
【方法技巧】與二項分布有關的期望、方差的求法
(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．
(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b). 　　
【變式探究】一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．
(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；
(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．
高頻考點三　正態(tài)分布
例3．（2023·全國高考真題）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【變式探究】為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準點率，減少居民乘車候車時間，為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進行統(tǒng)計．乘客候車時間受公交車準點率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響，在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時間隨機變量X滿足正態(tài)分布N(μ，σ2)．在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調查了大量乘客的候車時間，經過統(tǒng)計得到如圖頻率分布直方圖．
(1)在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點值代表該組中的各個值，試估計μ，σ2的值；
(2)在統(tǒng)計學中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認為，在正常情況下，一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生的．在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機調查了該站的10名乘客的候車時間，發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時間超過15分鐘，試判斷該天公交車準點率是否正常，并說明理由．
參考數(shù)據：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ【方法技巧】正態(tài)分布下兩類常見的概率計算
(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．
(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面結論的活用：
①對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．　　
【變式探究】為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，某企業(yè)每天從該生產線上隨機抽取10 000個零件，并測量其內徑(單位：cm)．根據長期生產經驗，認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的內徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．如果加工的零件內徑小于μ－3σ或大于μ＋3σ均為不合格品，其余為合格品．
(1)假設生產狀態(tài)正常，請估計一天內抽取的10 000個零件中不合格品的個數(shù)；
(2)若生產的某件產品為合格品則該件產品盈利；若生產的某件產品為不合格品則該件產品虧損．已知每件產品的利潤L(單位：元)與零件的內徑X有如下關系：
L＝
求該企業(yè)一天從生產線上隨機抽取10 000個零件的平均利潤．
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ第54講 二項分布與正態(tài)分布
【學科素養(yǎng)】
1.結合古典概型，考查條件概率、獨立事件的概率的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
2．結合n次獨立重復試驗的概念，考查隨機變量的二項分布，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．
3．結合頻率分布直方圖，考查正態(tài)分布曲線的特點、3σ原則的應用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
【課標解讀】
1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.
2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題.
3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預測2022年將會考查：①條件概率的計算；②事件獨立性的應用；③獨立重復試驗與二項分布的應用．題型為解答題，試題難度不會太大，屬中檔題型。
【核心知識】
1．條件概率
(1)條件概率的定義
設A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
(2)條件概率的性質
①條件概率具有一般概率的性質，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互獨立事件的概率
(1)相互獨立事件的定義及性質
①定義：設A，B是兩個事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
②性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
(2)獨立重復試驗概率公式
在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二項分布的定義
在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
3．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)，稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作N(μ，σ2)．
(3)正態(tài)曲線的特點
①曲線位于x軸的上方，與x軸不相交．
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．
③曲線在x＝μ處達到峰值.
④曲線與x軸之間的面積為1.
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移．
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
(4)正態(tài)分布中的3σ原則
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高頻考點】
高頻考點一　事件的相互獨立性及條件概率
例1．（2023·全國高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
【答案】B
【解析】 ，
故選B。
【變式探究】(1)現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)2020年疫情的到來給人們生活學習等各方面帶來種種困難．為了順利迎接高考，某省制定了周密的畢業(yè)年級復學計劃．為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測的篩查．學生先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測．已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為0.2%，且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立，假設該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗呈陽性的概率為99%.若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的概率為(　　)
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【解析】(1)法一：設第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則P(B|A)＝＝＝.故選C.
法二：在第1次抽到理科題的條件下，還有2道理科題和2道文科題，故在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為.故選C.
(2)設A為“某人檢驗呈陽性”，B為“此人患病”，則“某人檢驗呈陽性時他確實患病”為B|A，由題意知P(B|A)＝＝＝49.5%，故選C.
【答案】(1)C　(2)C
【方法技巧】條件概率的3種求法
定義法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝
縮樣法 縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡
【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
【解析】(1)X＝2就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲獲勝，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
【方法技巧】利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路
(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥簡單事件的和．
(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．　　
【變式探究】一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1,2,3需要調整的概率分別為0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立．
(1)求設備在一天的運轉中，部件1,2中至少有1個需要調整的概率；
(2)記設備在一天的運轉中需要調整的部件個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
【解析】(1)設部件1,2,3需要調整分別為事件A，B，C，
由題知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立，
所以部件1,2都不需要調整的概率P(·)＝P()·P()＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1,2中至少有1個需要調整的概率為1－P(·)＝0.28.
(2)X可取0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(··)＝P()·P()·P()＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
高頻考點二　獨立重復試驗與二項分布
【例2】“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理想之地．為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間，把“研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下：
研學游類型 科技體驗游 民俗人文游 自然風光游
學校數(shù) 40 40 20
該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響)．
(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；
(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”的學校數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．
【解析】(1)依題意，學校選擇“科技體驗游”的概率為，選擇“自然風光游”的概率為，
∴若這3所學校選擇研學游類型為“科技體驗游”和“自然風光游”，則這兩種類型都有學校選擇的概率為
P＝C2＋C2＝.
(2)X可能取值為0,1,2,3.
則P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【方法技巧】與二項分布有關的期望、方差的求法
(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．
(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b). 　　
【變式探究】一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．
(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；
(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．
【解析】(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
E(X)＝3×0.6＝1.8.
高頻考點三　正態(tài)分布
例3．（2023·全國高考真題）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【答案】D
【解析】對于A，為數(shù)據的方差，所以越小，數(shù)據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤，故選D。
【變式探究】為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準點率，減少居民乘車候車時間，為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進行統(tǒng)計．乘客候車時間受公交車準點率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響，在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時間隨機變量X滿足正態(tài)分布N(μ，σ2)．在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調查了大量乘客的候車時間，經過統(tǒng)計得到如圖頻率分布直方圖．
(1)在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點值代表該組中的各個值，試估計μ，σ2的值；
(2)在統(tǒng)計學中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認為，在正常情況下，一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生的．在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機調查了該站的10名乘客的候車時間，發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時間超過15分鐘，試判斷該天公交車準點率是否正常，并說明理由．
參考數(shù)據：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ【解析】(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，
σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.
(2)μ＋σ≈10＋4.38＝14.38，
設3名乘客候車時間超過15分鐘的事件為A，
則P(X>14.38)＝＝0.158 65，
所以P(A)＝C(0.158 65)3(0.841 35)7≈0.143>0.003，
即準點率正常．
【方法技巧】正態(tài)分布下兩類常見的概率計算
(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．
(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面結論的活用：
①對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．　　
【變式探究】為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，某企業(yè)每天從該生產線上隨機抽取10 000個零件，并測量其內徑(單位：cm)．根據長期生產經驗，認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的內徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．如果加工的零件內徑小于μ－3σ或大于μ＋3σ均為不合格品，其余為合格品．
(1)假設生產狀態(tài)正常，請估計一天內抽取的10 000個零件中不合格品的個數(shù)；
(2)若生產的某件產品為合格品則該件產品盈利；若生產的某件產品為不合格品則該件產品虧損．已知每件產品的利潤L(單位：元)與零件的內徑X有如下關系：
L＝
求該企業(yè)一天從生產線上隨機抽取10 000個零件的平均利潤．
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內的概率為0.997 3，從而抽取一個零件為不合格品的概率為0.002 7，因此一天內抽取的10 000個零件中不合格品的個數(shù)約為 10 000×0.002 7＝27.
(2)結合正態(tài)分布曲線和題意可知：
P(X<μ－3σ)＝0.001 35，
P(μ－3σ≤X<μ－σ)＝(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，
P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3－0.157 3＝0.840 0，
P(X>μ＋3σ)＝0.001 35，
故隨機抽取10 000個零件的平均利潤為：
10 000L＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元．

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