資源簡介

第55講 坐標系
【練基礎】
1．在極坐標系中，已知圓C經過點P，圓心C為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．
2.如圖，在極坐標系中，曲線C：ρ＝4cos θ，以極點O為旋轉中心，將曲線C逆時針旋轉得到曲線C′.
(1)求曲線C′的極坐標方程；
(2)求曲線C與曲線C′公共部分圍成圖形的面積．
3．設M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離．
4．在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.
(1)當θ0＝時，求ρ0及l的極坐標方程；
(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．
5．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直線l的極坐標方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AB的長．
6．以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，將曲線C1繞極點逆時針旋轉后得到曲線C2.
(1)求曲線C2的極坐標方程；
(2)若直線l：θ＝α(ρ∈R)與C1，C2分別相交于異于極點的A，B兩點，求|AB|的最大值．
7．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：
(m>0，α為參數)，直線C2：y＝x，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
(1)寫出曲線C1，直線C2的極坐標方程；
(2)直線C3：θ＝(ρ∈R)，設曲線C1與直線C2交于點O，A，曲線C1與直線C3交于點O，B，△OAB的面積為6，求實數m的值．
8．在平面直角坐標系xOy中，由x2＋y2＝1經過伸縮變換得到曲線C1，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ.
(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；
(2)若直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)，l與曲線C1，曲線C2在第一象限分別交于P，Q兩點，且|OP|＝|PQ|，點M的極坐標為，求△PMQ的面積．
【練提升】
9.在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.,(1)當θ0＝時，求ρ0及l的極坐標方程；,(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．
10．在平面直角坐標系中，直線m的參數方程為(t為參數，0≤α<π)．以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．曲線E的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0，直線m與曲線E交于A，C兩點．
(1)求曲線E的直角坐標方程和直線m的極坐標方程；
(2)過原點且與直線m垂直的直線n與曲線E交于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最大值．
11．在平面直角坐標系xOy中，直線C1：x＋y－1＝0，曲線C2：(φ為參數，a>0)，以坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系．
(1)說明C2是哪一種曲線，并將C2的方程化為極坐標方程；
(2)曲線C3的極坐標方程為θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈，且曲線C3分別交C1，C2于A，B兩點．若|OB|＝3|OA|＋，求a的值．
12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，直線C2的方程為y＝x.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程；
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋.
13.如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.
(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；
(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標．
14．在直角坐標系xOy中，曲線C1：(x－1)2＋y2＝1，曲線C2：＋＝1.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(且A，B均異于原點O)，當0<α<時，求|OB|2－|OA|2的最小值．
第55講 坐標系
【練基礎】
1．在極坐標系中，已知圓C經過點P，圓心C為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．
【解析】在直線ρsin＝－中，
令θ＝0得ρ＝2.所以圓C的圓心坐標為C(2,0)．
因為圓C經過點P，
所以圓C的半徑|PC|＝ ＝2，
所以圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ.
2.如圖，在極坐標系中，曲線C：ρ＝4cos θ，以極點O為旋轉中心，將曲線C逆時針旋轉得到曲線C′.
(1)求曲線C′的極坐標方程；
(2)求曲線C與曲線C′公共部分圍成圖形的面積．
【解析】(1)設曲線C上的點(ρ，θ)旋轉之后為(ρ′，θ′)，
故即代入曲線C：ρ＝4cos θ，
得曲線C′：ρ′＝4cos，即曲線C′的極坐標方程為ρ＝4cos.
(2)易知曲線C，C′是半徑均為2的兩個圓，如圖，兩圓相交于點O，A，連接OA，AC，OC′，AC′，
顯然四邊形OC′AC為菱形，∠COC′＝，
故∠OC′A＝，
所以曲線C與曲線C′公共部分的面積S＝2S弓形OCA＝2(S扇形OC′A－S△OC′A)＝－2.
3．設M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離．
【解析】因為M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1.
4．在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.
(1)當θ0＝時，求ρ0及l的極坐標方程；
(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．
【解析】(1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，
當θ0＝時，ρ0＝4sin＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
設Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點．
連接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
經檢驗，點P在曲線ρcos＝2上，
所以l的極坐標方程為ρcos＝2.
(2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因為P在線段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范圍是.
所以P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈.
5．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直線l的極坐標方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AB的長．
【解析】(1)由得y＝x，∴在平面直角坐標系中，
直線l經過坐標原點，傾斜角是，
因此，直線l的極坐標方程是θ＝(ρ∈R)．
(2)把θ＝代入曲線C的極坐標方程
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得ρ2－ρ－3＝0，
由一元二次方程根與系數的關系，得ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－3，
∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝
＝.
6．以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，將曲線C1繞極點逆時針旋轉后得到曲線C2.
(1)求曲線C2的極坐標方程；
(2)若直線l：θ＝α(ρ∈R)與C1，C2分別相交于異于極點的A，B兩點，求|AB|的最大值．
【解析】(1)設C2上任意一點的極坐標為(ρ，θ)，
則在C1上，所以ρ＝4sin，
故曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin.
(2)設A(ρA，α)，B(ρB，α)，
則|AB|＝|ρA－ρB|＝
＝|6sin α＋2cos α|＝4≤4，
當且僅當α＝時，等號成立，
故|AB|的最大值為4.
7．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：
(m>0，α為參數)，直線C2：y＝x，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
(1)寫出曲線C1，直線C2的極坐標方程；
(2)直線C3：θ＝(ρ∈R)，設曲線C1與直線C2交于點O，A，曲線C1與直線C3交于點O，B，△OAB的面積為6，求實數m的值．
【解析】(1)由題意消去曲線C1的參數α，得曲線C1的普通方程為(x－m)2＋y2＝m2.
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴曲線C1的極坐標方程為ρ＝2mcosθ.
直線C2的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)．
(2)由得∴A.
由得∴B.
∴S△OAB＝ρA·|ρB |·sin∠AOB＝6，
即·m·m·sin＝6，解得m2＝8.
又m>0，∴m＝2.
8．在平面直角坐標系xOy中，由x2＋y2＝1經過伸縮變換得到曲線C1，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ.
(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；
(2)若直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)，l與曲線C1，曲線C2在第一象限分別交于P，Q兩點，且|OP|＝|PQ|，點M的極坐標為，求△PMQ的面積．
【解析】(1)由得代入x2＋y2＝1得到曲線C1的直角坐標方程為＋y′2＝1，即＋y2＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲線C1的極坐標方程為ρ2＝.
C2：ρ＝4cos θ ρ2＝4ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，
所以曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)由解得ρP＝，
由解得ρQ＝4cos α.
由于|OP|＝|PQ|，所以ρQ＝2ρP，
故4cos α＝2，解得sin2α＝，cos2α＝，
所以ρP＝＝，ρQ＝4cos α＝.
S△PQM＝S△OQM－S△OPM
＝|OQ|·|OM|sin－|OP|·|OM|sin
＝×(ρQ－ρP)sin
＝×(ρQ－ρP)cos α
＝.
【練提升】
9.在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.,(1)當θ0＝時，求ρ0及l的極坐標方程；,(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．
【解析】(1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，,所以當θ0＝時，ρ0＝4sin＝2.,由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.,設Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點．,在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
經檢驗，點P在曲線ρcos＝2上，
所以，l的極坐標方程為ρcos＝2.
(2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，
即ρ＝4cosθ.
因為P在線段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范圍是.
所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cosθ，θ∈.
10．在平面直角坐標系中，直線m的參數方程為(t為參數，0≤α<π)．以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．曲線E的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0，直線m與曲線E交于A，C兩點．
(1)求曲線E的直角坐標方程和直線m的極坐標方程；
(2)過原點且與直線m垂直的直線n與曲線E交于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最大值．
【解析】(1)由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲線E的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4，
直線m的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)．
(2)設點A，C的極坐標分別為(ρ1，α)，(ρ2，α)．
由得ρ2＋2ρcos α－3＝0，
∴ρ1＋ρ2＝－2cos α，ρ1ρ2＝－3，
∴|AC|＝|ρ1－ρ2|＝2.
同理得|BD|＝2.
∵S四邊形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤cos2α＋3＋sin2α＋3＝7，
當且僅當cos2α＋3＝sin2α＋3，即α＝或時，等號成立，
∴四邊形ABCD面積的最大值為7.
11．在平面直角坐標系xOy中，直線C1：x＋y－1＝0，曲線C2：(φ為參數，a>0)，以坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系．
(1)說明C2是哪一種曲線，并將C2的方程化為極坐標方程；
(2)曲線C3的極坐標方程為θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈，且曲線C3分別交C1，C2于A，B兩點．若|OB|＝3|OA|＋，求a的值．
【解析】(1)由消去參數φ，
得C2的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2.
∴C2是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓．
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴C2的極坐標方程為(ρcosθ)2＋(ρsinθ－1)2＝a2，
即C2的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲線C3的極坐標方程為θ＝α0(ρ>0)，tanα0＝2，α0∈，
∴曲線C3的直角坐標方程為y＝2x(x>0)，sinα0＝.
由解得∴A.
∴|OA|＝.
∵|OB|＝3|OA|＋，∴|OB|＝2.
故點B的極坐標為(2，α0)，
代入ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，得a＝.
12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，直線C2的方程為y＝x.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程；
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋.
【解析】(1)曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，
則C1的極坐標方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直線C2過原點，且傾斜角為，
故其極坐標方程為θ＝(ρ∈R)．
(2)由
得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，
設A，B對應的極徑分別為ρ1，ρ2，
則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
13.如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.
(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；
(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標．
【解析】(1)由題設可得，弧，，所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，
所以M1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，
M2的極坐標方程為ρ＝2sin θ，
M3的極坐標方程為ρ＝－2cos θ.
(2)設P(ρ，θ)，由題設及(1)知：
若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝.
綜上，P的極坐標為或或，或.
14．在直角坐標系xOy中，曲線C1：(x－1)2＋y2＝1，曲線C2：＋＝1.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(且A，B均異于原點O)，當0<α<時，求|OB|2－|OA|2的最小值．
【解析】(1)C1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，
C2的極坐標方程為ρ2＝.
(2)聯立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標方程得|OA|2＝4cos2α，
聯立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標方程得|OB|2＝，
則|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8
≥2－8＝8－8，
當且僅當sin α＝時取等號，
所以|OB|2－|OA|2的最小值為8－8.第55講 坐標系
【課標解讀】
1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.
3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內容．預測2022年將會考查：極坐標與直角坐標的轉化，極坐標方程化為直角坐標方程，要特別注意圖象的伸縮變換．題型為解答題，屬中、低檔題型.
【核心知識】
1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換
設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．
2．極坐標系的概念
(1)極坐標系
如圖所示，在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．
【特別提醒】極坐標系的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位和它的正方向．四者缺一不可．
(2)極坐標
①極徑：設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.由極徑的意義知ρ＞0時，當極角θ的取值范圍是[0,2π)時，平面上的點(除去極點)與極坐標(ρ，θ)建立一一對應關系．約定極點的極坐標是極徑ρ＝0，極角可取任意角．
②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.
③極坐標：有序數對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記為M(ρ，θ)．
一般不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數．
④極坐標與直角坐標的重要區別：多值性．
3．極坐標與直角坐標的互化
設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關系為：
這就是極坐標與直角坐標的互化公式．
【特別提醒】把直角坐標化為極坐標時，一定要明確點所在的象限(即極角的終邊的位置)和極角的范圍，以便正確求出極角，否則點的極坐標將不唯一．
4．簡單曲線的極坐標方程
曲線 圖形 極坐標方程
圓心為極點，半徑為r的圓 (0≤θ<2π)
圓心為(r,0)，半徑為r的圓
圓心為，半徑為r的圓 (0≤θ<π)
過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線
過點，與極軸平行的直線 (0<θ<π)
【高頻考點】
高頻考點一　平面直角坐標系中的伸縮變換
例1．在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ：
(1)求點A經過φ變換所得點A′的坐標；
(2)求直線l：y＝6x經過φ變換后所得直線l′的方程．
【變式探究】在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換后的圖形．
(1)5x＋2y＝0.
(2)x2＋y2＝1.
【舉一反三】將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個伸縮變換公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．
高頻考點二　極坐標與直角坐標的互化
例2．（2023·全國高考真題）在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．
（1）寫出的一個參數方程;
（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．
【舉一反三】在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.
(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程；
(2)曲線C1，C2的交點為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標．
【方法技巧】
1．極坐標方程與直角坐標方程的互化方法
(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標方程并化簡即可．
(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應用公式進行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．
2．極角的確定
由tan θ確定角θ時，應根據點P所在象限取最小正角．
(1)當x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．
(2)當x＝0時，tan θ沒有意義，這時可分三種情況處理：
當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當x＝0，y>0時，可取θ＝；當x＝0，y<0時，可取θ＝.　　
【變式探究】在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝.
(1)求圓 O和直線l的直角坐標方程；
(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O的公共點的一個極坐標．
高頻考點三　極坐標方程及應用
例3.在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
【方法技巧】利用極坐標系解決問題的技巧
(1)用極坐標系解決問題時要注意題目中的幾何關系，如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標方程，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決．
(2)已知極坐標方程解答最值問題時，通?？赊D化為三角函數模型求最值問題，這種方法比在直角坐標系中求最值的運算量小．
(3)根據極坐標方程判斷曲線的位置關系時，只需聯立曲線的極坐標方程得方程組，判斷方程組解的情況即可．在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉化的等價性．　　
【變式探究】C1的參數方程為(α為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(1)把C1的參數方程化為極坐標方程；
(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π) .
第55講 坐標系
【課標解讀】
1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.
3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內容．預測2022年將會考查：極坐標與直角坐標的轉化，極坐標方程化為直角坐標方程，要特別注意圖象的伸縮變換．題型為解答題，屬中、低檔題型.
【核心知識】
1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換
設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．
2．極坐標系的概念
(1)極坐標系
如圖所示，在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．
【特別提醒】極坐標系的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位和它的正方向．四者缺一不可．
(2)極坐標
①極徑：設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.由極徑的意義知ρ＞0時，當極角θ的取值范圍是[0,2π)時，平面上的點(除去極點)與極坐標(ρ，θ)建立一一對應關系．約定極點的極坐標是極徑ρ＝0，極角可取任意角．
②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.
③極坐標：有序數對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記為M(ρ，θ)．
一般不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數．
④極坐標與直角坐標的重要區別：多值性．
3．極坐標與直角坐標的互化
設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關系為：
這就是極坐標與直角坐標的互化公式．
【特別提醒】把直角坐標化為極坐標時，一定要明確點所在的象限(即極角的終邊的位置)和極角的范圍，以便正確求出極角，否則點的極坐標將不唯一．
4．簡單曲線的極坐標方程
曲線 圖形 極坐標方程
圓心為極點，半徑為r的圓 (0≤θ<2π)
圓心為(r,0)，半徑為r的圓
圓心為，半徑為r的圓 (0≤θ<π)
過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線
過點，與極軸平行的直線 (0<θ<π)
【高頻考點】
高頻考點一　平面直角坐標系中的伸縮變換
例1．在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ：
(1)求點A經過φ變換所得點A′的坐標；
(2)求直線l：y＝6x經過φ變換后所得直線l′的方程．
【解析】(1)設點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：
得∴
∴點A′的坐標為(1，－1)．
(2)設P′(x′，y′)是直線l′上任意一點．
由伸縮變換φ：得代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，∴y＝x為所求直線l′的方程．
【變式探究】在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換后的圖形．
(1)5x＋2y＝0.
(2)x2＋y2＝1.
【解析】伸縮變換則
(1)若5x＋2y＝0，則5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0經過伸縮變換后的方程為5x′＋3y′＝0，為一條直線．
(2)若x2＋y2＝1，則(2x′)2＋(3y′)2＝1，則x2＋y2＝1經過伸縮變換后的方程為4x′2＋9y′2＝1，為橢圓．
【舉一反三】將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個伸縮變換公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．
【解析】將變換后的橢圓＋＝1改寫為＋＝1，把伸縮變換公式φ：(λ，μ>0)代入上式，
得＋＝1，
即2x2＋2y2＝1，
與x2＋y2＝1比較系數，
得所以
高頻考點二　極坐標與直角坐標的互化
例2．（2023·全國高考真題）在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．
（1）寫出的一個參數方程;
（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．
【答案】（1），（為參數）；（2）或.
【解析】（1）由題意，的普通方程為，
所以的參數方程為，（為參數）
（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，
由圓心到直線的距離等于1可得，
解得，所以切線方程為或，
將，代入化簡得
或
【舉一反三】在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.
(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程；
(2)曲線C1，C2的交點為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標．
【解析】(1)由ρsin＝，得
ρ＝，
將代入上式得x＋y＝1，
即C1的直角坐標方程為x＋y－1＝0，
同理由ρ2＝，可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐標方程為3x2－y2＝1.
(2)由題意可知，先求以MN為直徑的圓，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得3x2－(1－x)2＝1，
即x2＋x－1＝0，
∴則MN的中點坐標為，
由弦長公式，可得|MN|＝|x1－x2|＝·＝.
∴以MN為直徑的圓為2＋2＝2＝.
令x＝0，得＋2＝，即2＝，
∴y＝0或y＝3，
∴以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標為(0,0)或(0,3)．
【方法技巧】
1．極坐標方程與直角坐標方程的互化方法
(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標方程并化簡即可．
(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應用公式進行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．
2．極角的確定
由tan θ確定角θ時，應根據點P所在象限取最小正角．
(1)當x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．
(2)當x＝0時，tan θ沒有意義，這時可分三種情況處理：
當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當x＝0，y>0時，可取θ＝；當x＝0，y<0時，可取θ＝.　　
【變式探究】在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝.
(1)求圓 O和直線l的直角坐標方程；
(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O的公共點的一個極坐標．
【解析】(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
所以圓O的直角坐標方程為x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0.
直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
所以直線l的直角坐標方程為y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直線l與圓O的公共點的一個極坐標為.
高頻考點三　極坐標方程及應用
例3.在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．
由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.
由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．
當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．
當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.
經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當k＝時，l2與C2沒有公共點．
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2.
【方法技巧】利用極坐標系解決問題的技巧
(1)用極坐標系解決問題時要注意題目中的幾何關系，如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標方程，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決．
(2)已知極坐標方程解答最值問題時，通常可轉化為三角函數模型求最值問題，這種方法比在直角坐標系中求最值的運算量?。?br/>(3)根據極坐標方程判斷曲線的位置關系時，只需聯立曲線的極坐標方程得方程組，判斷方程組解的情況即可．在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉化的等價性．　　
【變式探究】C1的參數方程為(α為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(1)把C1的參數方程化為極坐標方程；
(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π) .
【解析】(1)曲線C1的參數方程為(α為參數)，
轉換為直角坐標方程為(x－2)2＋(y－4)2＝4，
轉換為極坐標方程為ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0.
(2)曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
轉換為直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，
所以
整理出公共弦的直線方程為x＋y－4＝0，
聯立
解得或
轉換為極坐標為或.

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