資源簡介

第10講 函數與方程
【練基礎】
1．已知函數y＝f(x)的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
則函數y＝f(x)在區間[1，6]上的零點至少有(　　)
A．2個　　　　　　　　　 B．3個
C．4個 D．5個
2．若函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數g(x)＝bx2－ax的零點是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
3．已知函數f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
5．已知奇函數f(x)是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
6．已知函數f(x)＝－kx2(k∈R)有四個不同的零點，則實數k的取值范圍是(　　)
A．k<0 B．k<1
C．01
7．若函數f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)內恰有一個零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
8．已知函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為________．
9．若函數f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零點，則正實數a的取值范圍是________．
10．設函數f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的零點；
(2)若對任意b∈R，函數f(x)恒有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．
【練提升】
1．函數f(x)＝xcos(x2－2x－3)在區間[－1,4]上的零點個數為(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
2．已知函數f(x)＝，則下列關于函數y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零點個數的判斷正確的是(　　)
A．當k>0時，有3個零點；當k<0時，有4個零點
B．當k>0時，有4個零點；當k<0時，有3個零點
C．無論k為何值，均有3個零點
D．無論k為何值，均有4個零點
3．設方程10x＝|lg (－x)|的兩個根分別為x1，x2，則(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．04．若關于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一個正數解，則實數a的取值范圍是________．
5．已知函數f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點．
(1)求m的值；
(2)求函數的零點．
6．已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區間[0,2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍．
第10講 函數與方程
【練基礎】
1．已知函數y＝f(x)的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
則函數y＝f(x)在區間[1，6]上的零點至少有(　　)
A．2個　　　　　　　　　 B．3個
C．4個 D．5個
【答案】B
【解析】依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據零點存在性定理可知，f(x)在區間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個零點，故函數y＝f(x)在區間[1，6]上的零點至少有3個．
2．若函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數g(x)＝bx2－ax的零點是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
【答案】C
【解析】因為函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，所以2a＋b＝0，b＝－2a，所以g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，由g(x)＝0得x＝0或－，故g(x)的零點是0，－.
3．已知函數f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】作出g(x)＝與h(x)＝cos x的圖象如圖所示，可以看到其在[0，2π]上的交點個數為3，所以函數f(x)在[0，2π]上的零點個數為3，故選C.
4．若函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C
【解析】因為函數f(x)＝2x－－a在區間(1,2)上單調遞增，又函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得05．已知奇函數f(x)是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】C
【解析】因為函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數根，又函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0 f(2x2＋1)＝－f(λ－x) f(2x2＋1)＝f(x－λ) 2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故選C.
6．已知函數f(x)＝－kx2(k∈R)有四個不同的零點，則實數k的取值范圍是(　　)
A．k<0 B．k<1
C．01
【答案】D
【解析】分別畫出y＝與y＝kx2的圖象如圖所示，
當k<0時，y＝kx2的開口向下，此時與y＝只有一個交點，顯然不符合題意；
當k＝0時，此時與y＝只有一個交點，顯然不符合題意，
當k>0，x≥0時，
令f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2－x＝0，
即x(kx2＋2kx－1)＝0，
即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，
因為Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一負根，所以當x>0時，方程有唯一解．即當x≥0時，方程有兩個解．
當k>0，x<0時，f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，
此時必須有兩個解才滿足題意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1，
綜上所述k>1.
7．若函數f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)內恰有一個零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】C
【解析】當a＝0時，函數f(x)的零點是－1，－1 {x|0即解得a>1；當Δ＝0，即a＝－時，函數f(x)的零點是－2，－2 {x|08．已知函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為________．
【解析】由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
【答案】－
9．若函數f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零點，則正實數a的取值范圍是________．
【答案】(0,1]
【解析】當x∈(－∞，1]時，2x∈(0,2]．由函數f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零點，可得010．設函數f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的零點；
(2)若對任意b∈R，函數f(x)恒有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．
【解析】(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函數f(x)的零點為3和－1.
(2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不同實根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即對于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0 a2－a<0，解得0【練提升】
1．函數f(x)＝xcos(x2－2x－3)在區間[－1,4]上的零點個數為(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由題意可知x＝0或cos(x2－2x－3)＝0，又x∈[－1,4]，所以x2－2x－3＝(x－1)2－4∈[－4,5]，當cos(x2－2x－3)＝0時，x2－2x－3＝kπ＋，k∈Z，在相應的范圍內，k只有－1,0,1三個值可取，所以總共有4個零點，故選B.
2．已知函數f(x)＝，則下列關于函數y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零點個數的判斷正確的是(　　)
A．當k>0時，有3個零點；當k<0時，有4個零點
B．當k>0時，有4個零點；當k<0時，有3個零點
C．無論k為何值，均有3個零點
D．無論k為何值，均有4個零點
【答案】C
【解析】令f[f(kx)＋1]＋1＝0得，
或，
解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝；
由f(kx)＋1＝0得，
或；
即x＝0或kx＝；
由f(kx)＋1＝得，
或；
即ekx＝1＋(無解)或kx＝e－1；
綜上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1；
故無論k為何值，均有3個解，故選C.
3．設方程10x＝|lg (－x)|的兩個根分別為x1，x2，則(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0【答案】D
【解析】作出y＝10x與y＝
|lg (－x)|的大致圖象，如圖．
顯然x1<0，x2<0.
不妨設x1所以10x1＝lg (－x1)，10x2＝－lg (－x2)，
此時10x1<10x2，
即lg (－x1)<－lg (－x2)，
由此得lg (x1x2)<0，所以04．若關于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一個正數解，則實數a的取值范圍是________．
【解析】不等式為2－x2>|x－a|，則0<2－x2.
在同一坐標系畫出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|兩個函數圖象，將絕對值函數y＝|x|向左移動，當右支經過(0，2)點時，a＝－2；將絕對值函數y＝|x|向右移動讓左支與拋物線y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切時，
由，可得x2－x＋a－2＝0，
再由Δ＝0解得a＝.
數形結合可得，實數a的取值范圍是.
【答案】
5．已知函數f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點．
(1)求m的值；
(2)求函數的零點．
【解析】(1)因為f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．
設2x＝t(t>0)，則t2＋mt＋1＝0.
當Δ＝0時，即m2－4＝0，所以m＝±2，
當m＝－2時，t＝1；
當m＝2時，t＝－1(不符合題意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合題意．
當Δ>0時，即m>2或m<－2，t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，
即f(x)有兩個零點或沒有零點．
所以這種情況不符合題意．
綜上可知，當m＝－2時，f(x)有唯一零點．
(2)由(1)可知，該函數的零點為0.
6．已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區間[0,2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍．
【解析】由f(x－4)＝f(x)知，函數的周期為4，又函數為偶函數，
所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函數圖象關于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三個不同的根，
則如圖滿足
解得【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．
2.根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是函數零點(方程的根)個數的判斷及由零點存在性定理判斷零點是否存。預測2022年高考將以零點個數的判斷或根據零點的個數求參數的取值范圍為主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現。
【核心知識】
知識點一 函數的零點
(1)函數零點的概念
對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.
(2)函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點.
(3)零點存在性定理
如果函數y＝f(x)滿足：①在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.
知識點二 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
與x軸的交點 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點
零點個數 2 1 0
【特別提醒】
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2.由函數y＝f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件.
【高頻考點】
高頻考點一 函數零點所在區間的判定
例1．設函數f (x)＝x－ln x，則函數y＝f (x)(　　)
A．在區間，(1，e)內均有零點
B．在區間，(1，e)內均無零點
C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點
D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點
【方法技巧】確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法
(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．
【變式探究】設f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，則函數h(x)＝f(x)－g(x)存在的零點一定位于下列哪個區間(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
高頻考點二 判斷函數零點個數
例2.(2019·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零點個數為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【變式探究】（2023·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝cos在[0，π]的零點個數為________．
【方法技巧】
(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；
(2)零點存在性定理，要求函數f(x)在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數；
(3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數．
【變式探究】設函數f (x)＝x－ln x，則函數y＝f (x)(　　)
A．在區間，(1，e)內均有零點
B．在區間，(1，e)內均無零點
C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點
D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點
高頻考點三 根據函數零點個數或存在情況求參數范圍
例3．【2020·天津卷】已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【舉一反三】【2019·浙江卷】已知，函數．若函數恰有3個零點，則（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
2018·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
高頻考點四 根據函數零點的區間求參數范圍
例4.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0,1)內，另一個根在(1,2)內，則實數a的取值范圍為________．
【方法技巧】解決此類問題應先判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理，建立參數所滿足的不等式，解不等式，即得參數的取值范圍。
【變式探究】函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)【舉一反三】若函數f (x)＝x2－ax＋1在區間上有零點，則實數a的取值范圍是________．
第10講 函數與方程
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．
2.根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是函數零點(方程的根)個數的判斷及由零點存在性定理判斷零點是否存。預測2022年高考將以零點個數的判斷或根據零點的個數求參數的取值范圍為主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現。
【核心知識】
知識點一 函數的零點
(1)函數零點的概念
對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.
(2)函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點.
(3)零點存在性定理
如果函數y＝f(x)滿足：①在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.
知識點二 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
與x軸的交點 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點
零點個數 2 1 0
【特別提醒】
1.若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2.由函數y＝f(x)(圖象是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件.
【高頻考點】
高頻考點一 函數零點所在區間的判定
例1．設函數f (x)＝x－ln x，則函數y＝f (x)(　　)
A．在區間，(1，e)內均有零點
B．在區間，(1，e)內均無零點
C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點
D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點
【答案】D　
【解析】當x∈時，函數圖象連續不斷，且f ′(x)＝－＝<0，所以函數f (x)在上單調遞減．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函數f (x)有唯一的零點在區間(1，e)內．
【方法技巧】確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法
(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．
【變式探究】設f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，則函數h(x)＝f(x)－g(x)存在的零點一定位于下列哪個區間(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
【答案】A
【解析】h(x)＝f(x)－g(x)的零點等價于方程f(x)－g(x)＝0的根，
即為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點的橫坐標，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個交點A，橫坐標的范圍為(0，1)，故選A.
高頻考點二 判斷函數零點個數
例2.(2019·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零點個數為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B　
【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零點有3個，故選B.
【變式探究】（2023·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝cos在[0，π]的零點個數為________．
【答案】3
【解析】由題意可知，當3x＋＝kπ＋(k∈Z)時，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，
∴當3x＋取值為，，時，f(x)＝0，
即函數f(x)＝cos在[0，π]的零點個數為3.
【方法技巧】
(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；
(2)零點存在性定理，要求函數f(x)在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數；
(3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數．
【變式探究】設函數f (x)＝x－ln x，則函數y＝f (x)(　　)
A．在區間，(1，e)內均有零點
B．在區間，(1，e)內均無零點
C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點
D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點
【答案】D　
【解析】當x∈時，函數圖象連續不斷，且f ′(x)＝－＝<0，所以函數f (x)在上單調遞減．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函數f (x)有唯一的零點在區間(1，e)內．
高頻考點三 根據函數零點個數或存在情況求參數范圍
例3．【2020·天津卷】已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
即可，令，即與的圖象有個不同交點.
因為，
當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；
當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選D。
【舉一反三】【2019·浙江卷】已知，函數．若函數恰有3個零點，則（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；
當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
當a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調遞增，
則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；
當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數單調遞增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數單調遞減，則函數最多有2個零點.
根據題意，函數y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點 函數y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，
如圖：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，則a>–1，b<0，故選C。
【變式探究】（2023·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐標系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象，可知當直線y＝－x－a過點(0,1)時，有2個交點，此時1＝－0－a，a＝－1.當y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1時，僅有1個交點，不符合題意．當y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1時，有2個交點，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．故選C.
高頻考點四 根據函數零點的區間求參數范圍
例4.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0,1)內，另一個根在(1,2)內，則實數a的取值范圍為________．
【答案】　
【解析】設f (x)＝x2＋ax＋1，
由題意知
解得－【方法技巧】解決此類問題應先判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理，建立參數所滿足的不等式，解不等式，即得參數的取值范圍。
【變式探究】函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C　
【解析】因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故選C。
【舉一反三】若函數f (x)＝x2－ax＋1在區間上有零點，則實數a的取值范圍是________．
【答案】　
【解析】由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．設t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是，所以實數a的取值范圍是.

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