資源簡介

第16講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
【練基礎(chǔ)】
1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－，則tan(α＋π)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
2．已知x∈，cos x＝，則tan x的值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
3．若＝，則tan θ＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．記cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．若tan α＝，則sin4α－cos4α的值為(　　)
A．－ B.
C. D．－
6．已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．已知sin＝，則cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
8．若θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且tan θ＝－，則sin＋cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
9.若點(diǎn)P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
10．已知角α的終邊上的一點(diǎn)P(1,2)，則eq \f(sin＋3sin α,2cos α＋sinπ－α)的值為(　　)
A. B.
C. D.
【練提升】
1．已知sin＝，則cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．已知＝－tan 22.5°，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
3．若θ∈，則 等于(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
4．已知α≠(k∈Z)，＋＋的值為(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
5．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，則sin·tan(π＋α)＝(　　)
A. B.
C．－ D.
6．已知直線l與曲線f(x)＝sin x切于點(diǎn)A(α，sin α)，且直線l與曲線f(x)＝sin x交于點(diǎn)B(β，sin β)．若α－β＝π，則tan α的值為________．
7．在△ABC中，若tan A＝，則sin A＝________.
8．已知sin·cos＝，且0<α<，則sin α＝________，cos α＝________.
9．已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．
10．已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)求滿足f(α)≥的α的取值集合．
第16講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
【練基礎(chǔ)】
1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－，則tan(α＋π)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
【答案】D
【解析】因?yàn)閟ineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝cos α＝－，且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－2，所以tan(α＋π)＝tan α＝－2，故選D.
2．已知x∈，cos x＝，則tan x的值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】因?yàn)閤∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故選B.
3．若＝，則tan θ＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
【答案】D
【解析】因?yàn)?br/>＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
4．記cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，從而sin 80°＝＝，∴tan 80°＝＝，故tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－.
5．若tan α＝，則sin4α－cos4α的值為(　　)
A．－ B.
C. D．－
【答案】D
【解析】∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故選D.
6．已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】A
【解析】sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
7．已知sin＝，則cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
【答案】A
【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故選A.
8．若θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且tan θ＝－，則sin＋cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】C
【解析】由題意得，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，
故sin θ>0，cos θ<0.
又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.
因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.
9.若點(diǎn)P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】A
【解析】由點(diǎn)P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，得tan α＝－2，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))＝cos 2α＝＝＝－.
10．已知角α的終邊上的一點(diǎn)P(1,2)，則eq \f(sin＋3sin α,2cos α＋sinπ－α)的值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】＝＝.
因?yàn)榻铅恋慕K邊上的一點(diǎn)P(1,2)，所以tan α＝＝2，
所以＝＝.
【練提升】
1．已知sin＝，則cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】A
【解析】cos＝cos＝sin＝.故選A.
2．已知＝－tan 22.5°，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
【答案】C
【解析】由題意得＝－，
所以sin 22.5°cos 22.5°＋mcos222.5°＝msin222.5°－sin 22.5°cos 22.5°，
移項(xiàng)得m(cos222.5°－sin222.5°)＝－2sin 22.5°cos 22.5°，
所以mcos 45°＝－sin 45°，即m＝－＝－tan 45°＝－1.
3．若θ∈，則 等于(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
【答案】A
【解析】因?yàn)?br/>＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
所以原式＝sin θ－cos θ.故選A.
4．已知α≠(k∈Z)，＋＋的值為(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】B
【解析】＋＋
＝＋＋
＝＋＋＝－1.
5．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，則sin·tan(π＋α)＝(　　)
A. B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，
因?yàn)棣痢?0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，
即sin·tan(π＋α)＝.故選D.
6．已知直線l與曲線f(x)＝sin x切于點(diǎn)A(α，sin α)，且直線l與曲線f(x)＝sin x交于點(diǎn)B(β，sin β)．若α－β＝π，則tan α的值為________．
【解析】由題意f′(x)＝cos x，
∴直線l的方程為y－sin α＝cos α(x－α)，
又直線l過點(diǎn)B(β，sin β)，
∴sin β－sin α＝cos α(β－α)，由α－β＝π得β＝α－π，
∴sin(α－π)－sin α＝cos α(－π)，整理得2sin α＝πcos α，
∴tan α＝.
【答案】
7．在△ABC中，若tan A＝，則sin A＝________.
【解析】因?yàn)閠an A＝>0，所以A為銳角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
【答案】
8．已知sin·cos＝，且0<α<，則sin α＝________，cos α＝________.
【解析】sincos＝(－cos α)·(－sin α)
＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0聯(lián)立解得sin α＝，cos α＝.
【答案】　
9．已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．
【解析】(1)∵cos α－sin α＝，α∈，
平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.
(2)∵sin α＋cos α＝
＝＝，
∴原式＝＝
＝(cos α＋sin α)＝.
10．已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)求滿足f(α)≥的α的取值集合．
【解析】(1)f(α)＝＝sin αcos α.
(2)由(1)可得f(α)＝sin αcos α＝，
則(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴sin α>cos α，
即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－.
(3)由題意得f(α)＝sin αcos α＝sin 2α≥，∴sin 2α≥，
∴＋2kπ≤2α≤＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤α≤＋kπ，k∈Z，
∴α的取值集合為.第16講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)命題，但它是三角函數(shù)的基礎(chǔ)．預(yù)測2022年高考將以誘導(dǎo)公式為基礎(chǔ)內(nèi)容，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角恒等變換進(jìn)行考查，試題以客觀題為主，難度小，具有一定的技巧性.
【核心知識】
知識點(diǎn)一 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝.
2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧
技巧 解讀 適合題型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表達(dá)式中含有sin θ，cos θ與tan θ
“1”的變換 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化
和積轉(zhuǎn)換 利用關(guān)系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 表達(dá)式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ
知識點(diǎn)二 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
【例1】已知角α的終邊過點(diǎn)P(－7,24)，則sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))的值為(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
【方法技巧】
1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.
3．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
【變式探究】設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
高頻考點(diǎn)二　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及應(yīng)用
【例2】（2023·新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則（ ）
A B.
C. D.
【方法技巧】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論．
(3)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(4)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【變式探究】(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
高頻考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)的基本式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
【例3】已知f(α)＝ .
(1)化簡f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范圍．
【方法技巧】同角三角函數(shù)基本關(guān)系在求值與化簡時(shí)，常用方法有
(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝進(jìn)行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切．
(2)和積轉(zhuǎn)換法：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·＝tan＝….
【變式探究】已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，則＋的值為________．
第16講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)命題，但它是三角函數(shù)的基礎(chǔ)．預(yù)測2022年高考將以誘導(dǎo)公式為基礎(chǔ)內(nèi)容，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角恒等變換進(jìn)行考查，試題以客觀題為主，難度小，具有一定的技巧性.
【核心知識】
知識點(diǎn)一 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝.
2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧
技巧 解讀 適合題型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表達(dá)式中含有sin θ，cos θ與tan θ
“1”的變換 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化
和積轉(zhuǎn)換 利用關(guān)系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 表達(dá)式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ
知識點(diǎn)二 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
【例1】已知角α的終邊過點(diǎn)P(－7,24)，則sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))的值為(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
解析：選A　因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)P(－7,24)，
所以sin α＝＝，
則sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－.
【方法技巧】
1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.
3．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
【變式探究】設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
【答案】　
【解析】因?yàn)閒(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.
高頻考點(diǎn)二　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及應(yīng)用
【例2】（2023·新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
【方法技巧】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論．
(3)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(4)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【變式探究】(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
【答案】B
【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因?yàn)棣痢剩詂os α＝，所以2sin α＝1－sin2 α，解得sin α＝，故選B。
高頻考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)的基本式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
【例3】已知f(α)＝ .
(1)化簡f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范圍．
解：(1)f(α)＝
＝＝＝－sin α.
(2)由已知得－sin α<，∴sin α>－，
∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.
∵－<α<，∴－<α<.
故α的取值范圍為.
【方法技巧】同角三角函數(shù)基本關(guān)系在求值與化簡時(shí)，常用方法有
(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝進(jìn)行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切．
(2)和積轉(zhuǎn)換法：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·＝tan＝….
【變式探究】已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，則＋的值為________．
【答案】　
【解析】由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，
∵＜α＜π，
∴sin α－cos α＝＝，
∴＋＝－＝＝＝.

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