資源簡介

第18講 三角恒等變換
【練基礎】
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．
C. D．－
2．tan 105°＝(　　)
A．2＋　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．－2－
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
4．sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．若cos＝－，則cos＋cos α＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
6．已知sin α＝，則cos(－2α)的值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
7．已知α為第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，則sin的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
8．設α為銳角，若cos＝，則sin的值為(　　)
A. B.
C．－ D．－
9．已知函數f(x)＝4cos2x，則下列說法中正確的是(　　)
A．f(x)為奇函數
B．f(x)的最小正周期為
C．f(x)的圖象關于直線x＝對稱
D．f(x)的值域為[0,4]
10．在平面直角坐標系中，角α＋的終邊經過點P(1,2)，則sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
【練提升】
1．已知cos＝－cos(π－α)，則cos＝(　　)
A．－　　　　　　 B.
C. D．－
2．已知sin＋sin α＝－，則cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
3．已知函數f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－(ω＞0)，若將函數f(x)的圖象平移后能與函數y＝sin 2x的圖象完全重合，則下列說法不正確的是(　　)
A．函數f(x)的最小正周期為π
B．將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數圖象關于y軸對稱
C．當x∈時，函數f(x)的值域為
D．當函數f(x)取得最值時，x＝＋(k∈Z)
4.在如圖所示的直角坐標系中，角α，角β均以Ox為始邊，終邊分別交單位圓于A，B兩點，若B點的縱坐標為－，且滿足S△AOB＝，則sin＋的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
5.如圖，點P是單位圓上的一個動點，它從初始位置P0(單位圓與x軸正半軸的交點)開始沿單位圓按逆時針方向運動角α到達點P1，然后繼續沿單位圓逆時針方向運動到達點P2，若點P2的橫坐標為－，則cos α的值等于________．
6．已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值．
7．已知函數f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin.
(1)求f(x)的對稱中心；
(2)若x＝x0為f(x)的一個零點，求cos 2x0的值．
8．已知＝－4.
(1)求tan α的值；
(2)若0＜β ＜π，且tan(α－β)＝，求β.
9．已知函數f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當x∈時，求f(x)的值域．
10．已知函數f(x)＝cos 2x＋2cos2.
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
第18講 三角恒等變換
【練基礎】
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．
C. D．－
【答案】B
【解析】sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．tan 105°＝(　　)
A．2＋　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．－2－
【答案】D
【解析】因為105°＝45°＋60°，所以tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝＝＝－2－.
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，
∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝.故選B.
4．sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】A
【解析】依題意，原式＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10°＝sin(40°－10°)＝sin 30°＝，故選A.
5．若cos＝－，則cos＋cos α＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝ cos＝－1.
6．已知sin α＝，則cos(－2α)的值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】C
【解析】cos(－2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
7．已知α為第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，則sin的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin2α－2＝2cos 2α sin2α－2＝2(1－2sin2α) sin α＝±，由α為第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝－，
所以sin＝(sin 2α－cos 2α)＝.
8．設α為銳角，若cos＝，則sin的值為(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】B
【解析】∵α為銳角，即0＜α＜，∴＜α＋＜，∵cos＝，
∴sin＝＝，
∴sin＝sin
＝2sincos
＝2××＝，故選B.
9．已知函數f(x)＝4cos2x，則下列說法中正確的是(　　)
A．f(x)為奇函數
B．f(x)的最小正周期為
C．f(x)的圖象關于直線x＝對稱
D．f(x)的值域為[0,4]
【答案】D
【解析】f(x)＝4cos2x＝2cos 2x＋2，該函數的定義域為R.∵f(－x)＝2cos(－2x)＋2＝2cos 2x＋2＝f(x)，∴函數y＝f(x)為偶函數，A選項錯誤；函數y＝f(x)的最小正周期為T＝＝π，B選項錯誤；∵f＝2cos＋2＝2，∴f既不是函數y＝f(x)的最大值，也不是該函數的最小值，C選項錯誤；∵－1≤cos 2x≤1，∴f(x)＝2cos 2x＋2∈[0,4]，D選項正確．
10．在平面直角坐標系中，角α＋的終邊經過點P(1,2)，則sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意知sin＝，cos＝，故sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
【練提升】
1．已知cos＝－cos(π－α)，則cos＝(　　)
A．－　　　　　　 B.
C. D．－
【答案】B
【解析】由cos＝－cos(π－α)可得cos α－sin α＝＋cos α，即sin α＋cos α＝－，即cos＝－，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，cos＝cos＝－cos＝，故選B.
2．已知sin＋sin α＝－，則cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】D
【解析】因為sin＋sin α＝－，
所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
所以－cos＝－，即cos＝，
所以cos＝cos＝，故選D.
3．已知函數f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－(ω＞0)，若將函數f(x)的圖象平移后能與函數y＝sin 2x的圖象完全重合，則下列說法不正確的是(　　)
A．函數f(x)的最小正周期為π
B．將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數圖象關于y軸對稱
C．當x∈時，函數f(x)的值域為
D．當函數f(x)取得最值時，x＝＋(k∈Z)
【答案】C
【解析】f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－
＝sin 2ωx＋－＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝sin，
因為函數f(x)的圖象平移后能與函數y＝sin 2x的圖象完全重合，所以ω＝1，所以f(x)＝sin，所以函數的最小正周期T＝＝π，A正確；將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度，得到y＝sin
＝sin＝cos 2x的圖象，該函數為偶函數，圖象關于y軸對稱，B正確；
當x∈時，2x－∈，sin∈[－1,1)，即函數的值域為[－1,1)，C不正確；令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，即當函數f(x)取得最值時，x＝＋(k∈Z)，D正確，故選C.
4.在如圖所示的直角坐標系中，角α，角β均以Ox為始邊，終邊分別交單位圓于A，B兩點，若B點的縱坐標為－，且滿足S△AOB＝，則sin＋的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】B
【解析】由題知∠xOA＝α，∠xOB＝β，sin β＝－.
因為S△AOB＝·OA·OB·sin∠AOB＝，
所以sin∠AOB＝，又sin β＝－>－，
所以∠AOB＝，即α－β＝，即α＝＋β，
則sin＋
＝sincos－sin2＋
＝sin α－(1－cos α)＋
＝sin α＋cos α＝sin
＝sin＝sin
＝cos β＝＝.故選B.
5.如圖，點P是單位圓上的一個動點，它從初始位置P0(單位圓與x軸正半軸的交點)開始沿單位圓按逆時針方向運動角α到達點P1，然后繼續沿單位圓逆時針方向運動到達點P2，若點P2的橫坐標為－，則cos α的值等于________．
【解析】由三角函數的定義可知：點P2的坐標為，因為0<α<，
所以<α＋<.
已知點P2的橫坐標為－，即cos＝－，
所以sin＝ ＝，
因此有cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
【答案】
6．已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值．
【解析】(1)因為α為銳角，所以cos α≠0，因為tan α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝＝＝＝.
(2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)，
因為cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝ ＝，
所以tan(α＋β)＝－3，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
7．已知函數f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin.
(1)求f(x)的對稱中心；
(2)若x＝x0為f(x)的一個零點，求cos 2x0的值．
【解析】(1)f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sin·sin＝sin2x＋sin 2x＋(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)的對稱中心為：，k∈Z.
(2)根據題意得：f(x0)＝2sin＋＝0，
∴sin＝－，
∵0≤x0≤，－≤2x0－≤，
又sin<0，
∴－≤2x0－≤0，∴cos＝，
∴cos 2x0＝cos＝×＋×＝.
8．已知＝－4.
(1)求tan α的值；
(2)若0＜β ＜π，且tan(α－β)＝，求β.
【解析】(1)＝＝＝＝－4，解得tan α＝－.
(2)由兩角差的正切公式得tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1.
又0＜β ＜π，因此，β＝.
9．已知函數f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當x∈時，求f(x)的值域．
【解析】(1)f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期為π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域為.
10．已知函數f(x)＝cos 2x＋2cos2.
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
【解析】(1)∵f(x)＝cos 2x＋1＋cos
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，
∴函數f(x)的最小正周期為π.
(2)由f(α)＝可得，sin＝，∵α∈，∴2α＋∈，又∵0＜sin＝＜，
∴2α＋∈，∴cos＝－，
∴cos 2α＝cos＝coscos＋sinsin＝.第18講 三角恒等變換
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1．會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。
2．會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。
3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換。　　　
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個必考內容，但很少獨立命題．預測2022年高考仍是以兩角和與差的公式為基礎，結合輔助角公式及三角函數的相關性質，如周期性、單調性、最值、對稱性求三角函數的值等．題型既可能是客觀題，也可能是解答題，難度屬中檔.
【核心知識】
知識點一 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β) tan(α－β)＝；變形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝；變形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
知識點二 二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；變形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
【高頻考點】
高頻考點一 公式的直接應用
【例1】(2020·全國卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，則sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　 　C.　　 　 D.
【方法技巧】兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數表示α±β的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，則tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
高頻考點二　公式的逆用與變形用
例２．(2020·全國卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，則sin＝(　　)
A. B.
C. D.
【變式探究】設a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b【方法技巧】逆用、變形用公式的關鍵
觀察題中所給的式子，準確找出與相關公式的異同，創造條件應用公式．
常用和差角公式變形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)，
tan α·tan β＝1－＝－1.　　
【變式探究】已知sin αcos β＝，則cos αsin β的取值范圍________．
高頻考點三 三角函數式的化簡求值
【例３】（2023·全國卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】＝________ 。
【方法技巧】
1.三角函數式化簡的方法
(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次，去掉根號．
2．三角恒等式的證明方法
(1)從等式的比較復雜的一邊化簡變形到另一邊，相當于解決化簡題目．
(2)等式兩邊同時變形，變形后的結果為同一個式子．
(3)先將要證明的式子進行等價變形，再證明變形后的式子成立．
3．三角函數式的化簡遵循的三個原則
(1)一看“角”，這是最重要的一環，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的變換，從而正確使用公式．
(2)二看“名”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降冪”等．
【變式探究】已知cos＝2cos(π－α)，則tan＝(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
高頻考點四 三角函數的給值求值(角)
【例４】(2020·全國卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，則tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，則sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　　
C.　　　　 D.
【方法技巧】
1．給值求值問題的求解思路
(1)化簡所求式子．
(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯系(從三角函數名及角入手)．
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．
2．給值求角問題的解題策略
(1)討論所求角的范圍．
(2)根據已知條件，選取合適的三角函數求值．
①已知正切函數值，選正切函數；
②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數．若角的范圍是，選正、余弦函數皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數較好；若角的范圍為，選正弦函數較好．
(3)由角的范圍，結合所求三角函數值寫出要求的角．　　
【舉一反三】已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝(　　)
A. B．
C. D．
高頻考點五 三角恒等變換的綜合問題
【例５】（2023·浙江卷）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【舉一反三】已知函數f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a的最大值為1.
(1)求實數a的值；
(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區間上的最大值和最小值．
【變式探究】(2019·浙江卷)設函數f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函數f(x＋θ)是偶函數，求θ的值；
(2)求函數y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．
【方法技巧】求函數周期、最值、單調區間的方法步驟
(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根據自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為求二次函數的最值；
(4)根據正、余弦函數的單調區間列不等式求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調區間．　　
【變式探究】設函數f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
第18講 三角恒等變換
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析
【課標解讀】
1．會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。
2．會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。
3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換。　　　
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個必考內容，但很少獨立命題．預測2022年高考仍是以兩角和與差的公式為基礎，結合輔助角公式及三角函數的相關性質，如周期性、單調性、最值、對稱性求三角函數的值等．題型既可能是客觀題，也可能是解答題，難度屬中檔.
【核心知識】
知識點一 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β) tan(α－β)＝；變形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝；變形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
知識點二 二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；變形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
【高頻考點】
高頻考點一 公式的直接應用
【例1】(2020·全國卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，則sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　 　C.　　 　 D.
【答案】A　
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故選A.
【方法技巧】兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數表示α±β的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，則tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
高頻考點二　公式的逆用與變形用
例２．(2020·全國卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，則sin＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故選B.
【變式探究】設a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D　
【解析】由兩角和與差的正、余弦公式及誘導公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因為函數y＝sin x，x∈[0，]為增函數，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b。
【方法技巧】逆用、變形用公式的關鍵
觀察題中所給的式子，準確找出與相關公式的異同，創造條件應用公式．
常用和差角公式變形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)，
tan α·tan β＝1－＝－1.　　
【變式探究】已知sin αcos β＝，則cos αsin β的取值范圍________．
【答案】[－，]　
【解析】由題知sin αcos β＝，①
設cos αsin β＝t，②
①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，
即sin(α＋β)＝＋t，
①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，
即sin(α－β)＝－t.
∵－1≤sin(α±β)≤1，
∴
∴－≤t≤.
高頻考點三 三角函數式的化簡求值
【例３】（2023·全國卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將式子進行齊次化處理得：
，故選C。
【變式探究】＝________ 。
【解析】原式＝
＝
＝＝＝1.
【答案】1
【方法技巧】
1.三角函數式化簡的方法
(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次，去掉根號．
2．三角恒等式的證明方法
(1)從等式的比較復雜的一邊化簡變形到另一邊，相當于解決化簡題目．
(2)等式兩邊同時變形，變形后的結果為同一個式子．
(3)先將要證明的式子進行等價變形，再證明變形后的式子成立．
3．三角函數式的化簡遵循的三個原則
(1)一看“角”，這是最重要的一環，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的變換，從而正確使用公式．
(2)二看“名”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降冪”等．
【變式探究】已知cos＝2cos(π－α)，則tan＝(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
【答案】C　
【解析】由cos＝2cos(π－α)，
得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.
∴tan＝＝＝－.
高頻考點四 三角函數的給值求值(角)
【例４】(2020·全國卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，則tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，則sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　　
C.　　　　 D.
【答案】A　　
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故選A.
【方法技巧】
1．給值求值問題的求解思路
(1)化簡所求式子．
(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯系(從三角函數名及角入手)．
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．
2．給值求角問題的解題策略
(1)討論所求角的范圍．
(2)根據已知條件，選取合適的三角函數求值．
①已知正切函數值，選正切函數；
②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數．若角的范圍是，選正、余弦函數皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數較好；若角的范圍為，選正弦函數較好．
(3)由角的范圍，結合所求三角函數值寫出要求的角．　　
【舉一反三】已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因為sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因為A為鈍角，
所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B為鈍角，
可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都為鈍角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.故選C.
高頻考點五 三角恒等變換的綜合問題
【例５】（2023·浙江卷）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
方法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選C。
方法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
【舉一反三】已知函數f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a的最大值為1.
(1)求實數a的值；
(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區間上的最大值和最小值．
【解析】(1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝ cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，
易知2＋a＝1，則a＝－1.
(2)∵將f(x)的圖象向左平移個單位，得到函數g(x)的圖象，
∴g(x)＝f＝2sin－1
＝2sin－1，
∵x∈，∴2x＋π∈.
∴當2x＋π＝π，即sin＝時，g(x)取最大值－1；
當2x＋π＝π，即sin＝－1時，g(x)取最小值－3.
【變式探究】(2019·浙江卷)設函數f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函數f(x＋θ)是偶函數，求θ的值；
(2)求函數y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．
【解析】(1)因為f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函數，
所以對任意實數x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2
＝sin2(x＋)＋sin2(x＋)
＝＋
＝1－(cos 2x－sin 2x)
＝1－cos(2x＋)．
因此，所求函數的值域是[1－，1＋]。
【方法技巧】求函數周期、最值、單調區間的方法步驟
(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根據自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為求二次函數的最值；
(4)根據正、余弦函數的單調區間列不等式求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調區間．　　
【變式探究】設函數f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
【解析】(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的單調遞增區間為(k∈Z)．
(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，
∴sin＝.
由α∈知2α＋∈，
∴cos＝－.
∴f＝sin－1
＝sin－1
＝－1
＝×－1＝－.

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