資源簡(jiǎn)介

第19講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
【練基礎(chǔ)】
1．函數(shù)y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
2．為了得到y(tǒng)＝3sin函數(shù)的圖象，只需把y＝3sin x上所有的點(diǎn)(　　)
A．先把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移個(gè)單位
B．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，然后向左平移個(gè)單位
C．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，然后向左平移個(gè)單位
D．先把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向右平移個(gè)單位
3．將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　)
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
4．將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上每一個(gè)點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
5．函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長(zhǎng)為，則f的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是(　　)
A.　　　　 B．(－1,1)
C．(0,2] D．(－1,2]
7.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則φ的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
8.如圖所示是函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的部分圖象，若|AB|＝4，則f(－1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
9.已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，將f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則φ的值為(　　)
A. B.
C. D.
10．若將函數(shù)y＝tan(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝tan的圖象重合，則ω的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
【練提升】
1.函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝的最小正周期為(　　)
A．π B．2π
C．4π D．
2．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間上單調(diào)，且f＝f＝－f，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間[－t，t]上單調(diào)遞增，則t的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
3．將函數(shù)f(x)＝tan(0<ω<10)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后與函數(shù)f(x)的圖象重合，則ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
4.如圖，一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m，12 min旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)P0離地面2 m，風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)P離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(　　)
A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
5.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分圖象如圖所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，將f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
6.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則y＝f取得最小值時(shí)，x的集合為______________________．
7．已知函數(shù)f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋，g(x)＝sin x.
(1)若x∈，求函數(shù)f(x)的值域．
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)h(x)的圖象，并設(shè)F(x)＝h(x)＋t.若F(x)>0在上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
9．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象過點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
10.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的值域．
第19講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
【練基礎(chǔ)】
1．函數(shù)y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
【答案】A
【解析】由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sin的振幅為2，頻率為，初相為.
2．為了得到y(tǒng)＝3sin函數(shù)的圖象，只需把y＝3sin x上所有的點(diǎn)(　　)
A．先把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移個(gè)單位
B．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，然后向左平移個(gè)單位
C．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，然后向左平移個(gè)單位
D．先把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向右平移個(gè)單位
【答案】A
【解析】把y＝3sin x上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍可得到函數(shù)y＝3sin 2x的圖象，再把y＝3sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝3sin ＝3sin的圖象，故選A.
3．將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　)
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
【答案】A
【解析】把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)g(x)＝sin＝sin 2x的圖象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函數(shù)g(x)＝sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為.
4．將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上每一個(gè)點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【答案】D
【解析】由題意可知平移后的解析式為g(x)＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故選D.
5．函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長(zhǎng)為，則f的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】由題意可知該函數(shù)的周期為，
∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是(　　)
A.　　　　 B．(－1,1)
C．(0,2] D．(－1,2]
【答案】D
【解析】由函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得最小正周期T＝×2＝π.又因?yàn)棣?0，所以＝π，解得ω＝2.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)＝2sin的圖象．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為偶函數(shù)，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.由|φ|<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin.因?yàn)?7.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則φ的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由題圖，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由圖可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因?yàn)閒＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
8.如圖所示是函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的部分圖象，若|AB|＝4，則f(－1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】D
【解析】設(shè)f(x)的最小正周期為T，則|AB|2＝(2)2＋2，即16＝12＋，則T＝4，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(－1)＝sin＝sin ＝×＝.
9.已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，將f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則φ的值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意得f(x)＝sin ωx－2cos2＋1＝sin ωx－cos ωx＝2sin，則g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω(x－φ)－))＝2sin，由圖知T＝2＝π，∴ω＝2，g(x)＝2sin，則g＝2sin＝2sin＝2，由0<φ<，得－2φ＝，解得φ的值為，故選A.
10．若將函數(shù)y＝tan(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝tan的圖象重合，則ω的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】將函數(shù)y＝tan(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位得y＝tan＝tan的圖象，所以－＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值為.
【練提升】
1.函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝的最小正周期為(　　)
A．π B．2π
C．4π D．
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分圖象，
可得＝π－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
點(diǎn)是五點(diǎn)作圖的第二個(gè)點(diǎn)，則2×＋φ＝，
∴φ＝－，∴f(x)＝cos.
∴g(x)＝＝，
易知y＝g(x)與y＝cos＋的最小正周期相同，均為T＝＝π.故選A.
2．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間上單調(diào)，且f＝f＝－f，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間[－t，t]上單調(diào)遞增，則t的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵－≤，∴T≥.
又f＝f＝－f，－＝∴x＝＝是函數(shù)的一條對(duì)稱軸．
同理得是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，
∵－＝<≤，∴和x＝是同一周期內(nèi)相鄰的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，得T＝π.∴ω＝2，φ＝，
∴f(x)＝sin.∴g(x)＝sin，它在(k∈Z)上單調(diào)遞增，故[－t，t] .故t的最大值為.
3．將函數(shù)f(x)＝tan(0<ω<10)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后與函數(shù)f(x)的圖象重合，則ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
【答案】B
【解析】函數(shù)f(x)＝tan的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)＝tan＝tan，∵平移后的圖象與函數(shù)f(x)的圖象重合，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．又0<ω<10，∴ω＝6.故選B.
4.如圖，一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m，12 min旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)P0離地面2 m，風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)P離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(　　)
A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
【答案】D
【解析】設(shè)h(t)＝Acos ωt＋B，因?yàn)?2 min旋轉(zhuǎn)一周，
所以＝12，所以ω＝，由于最大值與最小值分別為18,2.所以解得A＝－8，B＝10.所以h(t)＝－8cost＋10.
5.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分圖象如圖所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，將f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
【答案】A
【解析】設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T.由題圖及|MN|＝，得＝，則T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin(x＋).則g(x)＝2sin＝2cos x.故選A.
6.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則y＝f取得最小值時(shí)，x的集合為______________________．
【解析】根據(jù)所給圖象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外圖象經(jīng)過點(diǎn)，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，∴f＝sin，當(dāng)2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)時(shí)，y＝f取得最小值．
【答案】
7．已知函數(shù)f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________．
【解析】f(x)＝cos ωx＋sin＝cos ωx＋sin ωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得ωx＋∈.因?yàn)閒(x)在[0，π]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，所以2π≤ωπ＋<，解得≤ω<，所以ω的取值范圍是.
【答案】
8．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋，g(x)＝sin x.
(1)若x∈，求函數(shù)f(x)的值域．
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)h(x)的圖象，并設(shè)F(x)＝h(x)＋t.若F(x)>0在上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【解析】(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈[0,1]，∴2sin∈[0,2]，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,2]．
(2)由題意可得h(x)＝4sin 2x，F(xiàn)(x)＝4sin 2x＋t(sin x＋cos x)>0，
∵x∈，∴sin x＋cos x>0，可得
t>＝＝
＝2.
令m＝sin∈，
則φ(m)＝2在上單調(diào)遞減，
∴φ(m)min＝φ(1)＝－2.
F(x)>0在上有解，需t>φ(m)min，∴t>－2，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(－2，＋∞)．
9．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象過點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解析】(1)依題意得A＝5，周期T＝4＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又圖象過點(diǎn)P，
∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
10.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的值域．
【解析】(1)由圖可知，＝－＝，∴T＝π，ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，得φ＝2kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝－.
又f(0)＝Asin＝－A＝－1，
∴A＝，∴f(x)＝sin.
(2)易知g(x)＝sin，
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，x＋∈，
∴g(x)max＝，g(x)min＝－1，
∴g(x)在區(qū)間[0，π]上的值域?yàn)閇－1， ]．第19講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．
2．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題．　　
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 頻率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ
2.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.由函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法
知識(shí)點(diǎn)二 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：
(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則．
(2)把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，其關(guān)鍵是建模．
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象及變換
【例1】(2020·江蘇高考)將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是________．
【方法技巧】三角函數(shù)圖象變換的兩個(gè)要點(diǎn)
常規(guī)方法 主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對(duì)于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換其自變量x，如果x的系數(shù)不是1，則需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位長(zhǎng)度和方向
方程思想 可以把判斷的兩函數(shù)變?yōu)橥暮瘮?shù)，且x的系數(shù)變?yōu)橐恢拢ㄟ^列方程求解，如y＝sin 2x變?yōu)閥＝sin2x＋，可設(shè)平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0說明向右平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度
【變式探究】要得到函數(shù)y＝sin x的圖象，只需將y＝sin的圖象上所有點(diǎn)(　　)
A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
高頻考點(diǎn)二 由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的解析式
【例2】(多選)(2020·新高考全國卷Ⅰ)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin C．cos D．cos
【方法技巧】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；
(2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五點(diǎn)法．
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．
②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．　　
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos在[－π，π]的圖象大致如圖，則f(x)的最小正周期為(　　)
A.　　　　　　　　　 .
C. D．
高頻考點(diǎn)三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例3】(2019·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g(x)的最小正周期為2π，且g()＝，則f()＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2【方法技巧】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的求解思路
(1)將函數(shù)整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一個(gè)整體；
(3)借助正弦函數(shù)y＝sin x的圖象與性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．
【舉一反三】 (2019·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：
①f(x)在(0，2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；②f(x)在(0，2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；③f(x)在單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝2sin＋1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象．若曲線y＝h(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，求函數(shù)h(x)在的值域．
高頻考點(diǎn)四 三角函數(shù)模型的應(yīng)用
例4.如圖所示，某幼兒園有一個(gè)矩形游樂場(chǎng)ABCD，其中AB＝50米，BC＝40米，由于幼兒園招生規(guī)模增大，需將該游樂場(chǎng)擴(kuò)大成矩形區(qū)域EFGH，要求A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)分別在矩形EFGH的四條邊(不含頂點(diǎn))上．設(shè)∠BAE＝θ(弧度)，EF的長(zhǎng)為y米．
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求矩形區(qū)域EFGH的面積S的最大值．
【方法技巧】三角函數(shù)模型的應(yīng)用策略
(1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．　　
【變式探究】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；
(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 ℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？
第19講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析
【課標(biāo)解讀】
1．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．
2．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題．　　
【核心知識(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 頻率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ
2.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.由函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法
知識(shí)點(diǎn)二 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：
(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則．
(2)把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，其關(guān)鍵是建模．
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象及變換
【例1】(2020·江蘇高考)將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是________．
【解析】將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝3sin＝3sin的圖象，由2x－＝＋kπ，k∈Z，得對(duì)稱軸方程為x＝＋kπ，k∈Z，其中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是 x＝－.
【答案】x＝－
【方法技巧】三角函數(shù)圖象變換的兩個(gè)要點(diǎn)
常規(guī)方法 主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對(duì)于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換其自變量x，如果x的系數(shù)不是1，則需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位長(zhǎng)度和方向
方程思想 可以把判斷的兩函數(shù)變?yōu)橥暮瘮?shù)，且x的系數(shù)變?yōu)橐恢拢ㄟ^列方程求解，如y＝sin 2x變?yōu)閥＝sin2x＋，可設(shè)平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0說明向右平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度
【變式探究】要得到函數(shù)y＝sin x的圖象，只需將y＝sin的圖象上所有點(diǎn)(　　)
A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【解析】y＝sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得y＝sin的圖象，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝sin＝sin x的圖象，故選C.
高頻考點(diǎn)二 由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的解析式
【例2】(多選)(2020·新高考全國卷Ⅰ)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin C．cos D．cos
【答案】BC
【解析】由題圖可知，函數(shù)的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.
當(dāng)ω＝2時(shí)，y＝sin(2x＋φ)，
將點(diǎn)代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin，故A錯(cuò)誤；
由sin＝sin＝sin知B正確；
由sin＝sin＝cos知C正確；
由sin＝cos＝cos＝－cos知D錯(cuò)誤．
綜上可知，正確的選項(xiàng)為B、C.
【方法技巧】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；
(2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五點(diǎn)法．
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．
②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．　　
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos在[－π，π]的圖象大致如圖，則f(x)的最小正周期為(　　)
A.　　　　　　　　　 .
C. D．
解析：選C　法一：由題圖知，f＝0，
∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．
設(shè)f(x)的最小正周期為T，
易知T＜2π＜2T，∴＜2π＜，∴1＜|ω|＜2，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝－1時(shí)，符合題意，此時(shí)ω＝，
∴T＝＝.故選C.
法二：由題圖知，f＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，
∴－ω＋＝－(ω＞0)，解得ω＝，
∴f(x)的最小正周期T＝＝.故選C.
高頻考點(diǎn)三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例3】(2019·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g(x)的最小正周期為2π，且g()＝，則f()＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
【答案】C　
【解析】∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin ωx，則g(x)＝Asin(x)．由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g()＝Asin ＝A＝，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin 2x，∴f()＝2sin ＝，故選C。
【方法技巧】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的求解思路
(1)將函數(shù)整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一個(gè)整體；
(3)借助正弦函數(shù)y＝sin x的圖象與性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．
【舉一反三】 (2019·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：
①f(x)在(0，2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；②f(x)在(0，2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；③f(x)在單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D　
【解析】如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π＜xB，根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)在(0，2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正確；當(dāng)x∈時(shí)，＜ωx＋＜＋，因?yàn)椤堞兀迹裕迹迹院瘮?shù)f(x)在單調(diào)遞增，所以③正確．
【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝2sin＋1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象．若曲線y＝h(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，求函數(shù)h(x)在的值域．
【解析】(1)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
則－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
(2)由f(x)＝0，得2sin＋1＝0，
∴sin＝－.
又∵x∈，∴2x－∈，
∴2x－＝－或2x－＝－或2x－＝，
解得x＝0或x＝－或x＝.
(3)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得函數(shù)圖象的解析式為y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1.
再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)＝2cos x＋1的圖象．
又∵曲線y＝h(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，
∴h(x)＝g＝2cos＋1＝2sin x＋1.
∵x∈，∴sin x∈，
∴2sin x＋1∈(0,3]．
∴函數(shù)h(x)在上的值域?yàn)?0,3]．
高頻考點(diǎn)四 三角函數(shù)模型的應(yīng)用
例4.如圖所示，某幼兒園有一個(gè)矩形游樂場(chǎng)ABCD，其中AB＝50米，BC＝40米，由于幼兒園招生規(guī)模增大，需將該游樂場(chǎng)擴(kuò)大成矩形區(qū)域EFGH，要求A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)分別在矩形EFGH的四條邊(不含頂點(diǎn))上．設(shè)∠BAE＝θ(弧度)，EF的長(zhǎng)為y米．
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求矩形區(qū)域EFGH的面積S的最大值．
【解析】(1)由∠BAE＝θ，∠E＝，得∠ABE＝－θ，
又∠ABC＝，所以∠CBF＝θ，
由AB＝50，BC＝40，
得EF＝EB＋BF＝50sin θ＋40cos θ，
即y＝50sin θ＋40cos θ.
(2)由(1)知，EF＝50sin θ＋40cos θ，GF＝CF＋CG＝40sin θ＋50cos θ，
所以S＝2 000＋4 100sin θcos θ＝2 000＋2 050sin 2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<))，
當(dāng)θ＝時(shí)，S取得最大值，且最大值為4 050平方米．
【方法技巧】三角函數(shù)模型的應(yīng)用策略
(1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．　　
【變式探究】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；
(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 ℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？
解：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
當(dāng)t＝2時(shí)，sin＝1；
當(dāng)t＝14時(shí)，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，最小值8.
故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃.
(2)依題意，當(dāng)f(t)>11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此所以10

展開更多......

收起↑