資源簡介

第25講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
【練基礎(chǔ)】
1．設(shè)z＝i3＋，則z的虛部是(　　)
A．－1 B.－i
C．－2i D.－2
2．已知i為虛數(shù)單位，z＝，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　)
A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i
C．2 D．－2
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，則f(z)＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
5．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
6．若z＝＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
7．若z＝(a－)＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
8．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．已知m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，若m＋(m2－4)i>0，則＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
10．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【練提升】
1．已知i為虛數(shù)單位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，則|x＋yi|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
2．已知m∈R，復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2為實數(shù)，則m＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A．z2＝|z|2
B．若a＝0則z為純虛數(shù)
C．(z－)(z＋)＝0
D．若a＝b，則z對應(yīng)復(fù)平面上的點在復(fù)平面一、三象限角平分線上
4．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，z1＝3－i(i為虛數(shù)單位)，則＝(　　)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
5．歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)θ＝π時，就有eiπ＋1＝0.根據(jù)上述背景知識，試判斷e－i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
6．(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則(　　)
A．|z|＝
B.＝－
C．復(fù)數(shù)z的實部為－1
D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點在第二象限
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實根b，且z＝a＋bi，則復(fù)數(shù)z等于(　　)
A．2－2i B.2＋2i
C．－2＋2i D.－2－2i
8．(多選)已知集合M＝，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
9．已知復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的對應(yīng)點在復(fù)平面的第二象限，則|1＋ai|的取值范圍是________．
10．已知復(fù)數(shù)z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)對應(yīng)的點在x軸上方，則m的取值范圍是________．
第25講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
【練基礎(chǔ)】
1．設(shè)z＝i3＋，則z的虛部是(　　)
A．－1 B.－i
C．－2i D.－2
【答案】D
【解析】z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虛部為－2.故選D.
2．已知i為虛數(shù)單位，z＝，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　)
A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】z＝＝＝＝2＋2i，虛部即為i的系數(shù)，為2，故選C.
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】z＝＝＝＝－1－2i，其共軛復(fù)數(shù)＝－1＋2i對應(yīng)的點(－1,2)在第二象限．
4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，則f(z)＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
【答案】C
【解析】∵z＝＝＝＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0＋1＝1.故選C.
5．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解法一：由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得z＝－1＝＋i，所以|z|＝ ＝.故選A.
解法二：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得(1＋a＋bi)(1＋i)＝1＋2i，所以(1＋a－b)＋(1＋a＋b)i＝1＋2i，所以解得所以z＝＋i，則|z|＝ ＝.故選A.
6．若z＝＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
【答案】C
【解析】因為z＝＋(m－2)i為純虛數(shù)，所以解得m＝－3，故選C.
7．若z＝(a－)＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
【答案】C
【解析】∵z為純虛數(shù)，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.故選C.
8．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由題得復(fù)數(shù)z＝＝＝＝1－i，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面第四象限，故選D.
9．已知m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，若m＋(m2－4)i>0，則＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
【答案】A
【解析】因為m＋(m2－4)i>0，所以m＋(m2－4)i是實數(shù)，所以故m＝2.所以＝＝＝i.
10．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【答案】A
【解析】∵z＝a＋i，∴＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1，故選A.
【練提升】
1．已知i為虛數(shù)單位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，則|x＋yi|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
【答案】A
【解析】∵(1＋i)x＝2＋yi，x＋ix＝2＋yi.∴x＝2，y＝2，∴|x＋yi|＝2.故選A.
2．已知m∈R，復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2為實數(shù)，則m＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
【答案】B
【解析】因為z1·2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i為實數(shù)，所以3m－2＝0，解得m＝.故選B.
3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A．z2＝|z|2
B．若a＝0則z為純虛數(shù)
C．(z－)(z＋)＝0
D．若a＝b，則z對應(yīng)復(fù)平面上的點在復(fù)平面一、三象限角平分線上
【答案】D
【解析】z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A錯誤；當(dāng)a＝0，b≠0時，z為純虛數(shù)，故B錯誤；因為z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝a－bi，(z－)(z＋)＝2bi·2a＝4abi≠0，故C錯誤；z＝a＋bi，對應(yīng)復(fù)平面上的點坐標(biāo)為(a，b)，若a＝b，則此點在復(fù)平面一、三象限角平分線上，故D正確．
4．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，z1＝3－i(i為虛數(shù)單位)，則＝(　　)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
【答案】A
【解析】由題意，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，z1＝3－i，則z2＝3＋i，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得＝＝－i.
5．歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)θ＝π時，就有eiπ＋1＝0.根據(jù)上述背景知識，試判斷e－i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由題意，e－i＝cos＋isin＝－cos＋isin＝－＋i，則e－i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限．故選B.
6．(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則(　　)
A．|z|＝
B.＝－
C．復(fù)數(shù)z的實部為－1
D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點在第二象限
【答案】BD
【解析】因為復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A錯誤；＝－－i，故B正確；復(fù)數(shù)z的實部為－，故C錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點在第二象限，故D正確．
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實根b，且z＝a＋bi，則復(fù)數(shù)z等于(　　)
A．2－2i B.2＋2i
C．－2＋2i D.－2－2i
【答案】A
【解析】由題意得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理得(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，所以所以所以z＝2－2i.
8．(多選)已知集合M＝，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意，M＝，
∴M＝.
選項A中，(1－i)(1＋i)＝2,2 M；
選項B中，＝＝－i∈M；
選項C中，＝＝i∈M；
選項D中，(1－i)2＝－2i M，故選B、C.
9．已知復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的對應(yīng)點在復(fù)平面的第二象限，則|1＋ai|的取值范圍是________．
【答案】[1，)
【解析】復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(a－2，a＋1)，因為該點位于第二象限，所以
解得－110．已知復(fù)數(shù)z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)對應(yīng)的點在x軸上方，則m的取值范圍是________．
【解析】復(fù)數(shù)z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(m－1,3－m)，如果該點落在x軸上方，則有3－m>0，解得m<3.
【答案】(－∞，3)第25講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)．
2．結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件；
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；
3.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講在高考中屬于必考內(nèi)容．預(yù)測2022年將會考查：①復(fù)數(shù)的基本概念與四則運(yùn)算；②復(fù)數(shù)模的計算；③復(fù)數(shù)的幾何意義．題型為客觀題，難度一般不大，屬于基礎(chǔ)題型.
【核心知識】
知識點一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
內(nèi)容 意義 備注
復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b 若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)
復(fù)數(shù)相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共軛復(fù)數(shù) a＋bi與c＋di共軛 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
復(fù)平面 建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸 實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù)
復(fù)數(shù)的模 設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
知識點二 復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R).
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知識點三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知識必備】
1.賦值號左邊只能是變量(不是表達(dá)式)，在一個賦值語句中只能給一個變量賦值.
2.直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”，兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反.
3.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
4.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·＝|z|2＝||2.
5.兩個注意點
(1)兩個虛數(shù)不能比較大小；
(2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.
【高頻考點】
高頻考點一 復(fù)數(shù)的相關(guān)概念
【例1】（2023·浙江卷）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【變式探究】(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
【舉一反三】(2020·全國卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【變式探究】（2023·新課標(biāo)Ⅲ）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【變式探究】（2023·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.【方法技巧】
1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
2．解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
【變式探究】已知z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則|z|＝(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
高頻考點二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【例2】（2023·北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
，
【舉一反三】
(1)(2020·新高考全國卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i　　　　　　　 B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全國卷Ⅰ)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全國卷Ⅰ)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【方法技巧】復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實數(shù)化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．
【變式探究】(1)（2023·全國Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
(2)（2023·全國Ⅰ卷)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　)
A.0 B. C.1 D.
(3)（2023·全國Ⅱ卷)i(2＋3i)＝(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
【舉一反三】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
高頻考點三 復(fù)數(shù)的幾何意義
【例3】（2023·全國卷）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式探究】（2023·北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（ ）．
A. B. C. D.
【變式探究】(1)(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧】與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法
第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；
第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(a，b)一一對應(yīng)．
【變式探究】歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，eeq \s\up8(i)表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
高頻考點四　復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
【例4】(1)若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)滿足z－2＝1＋3i，則|z|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
(2)已知復(fù)數(shù)z＝－1＋i(i是虛數(shù)單位)，則＝(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【變式探究】若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，則|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
第25講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)．
2．結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件；
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；
3.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講在高考中屬于必考內(nèi)容．預(yù)測2022年將會考查：①復(fù)數(shù)的基本概念與四則運(yùn)算；②復(fù)數(shù)模的計算；③復(fù)數(shù)的幾何意義．題型為客觀題，難度一般不大，屬于基礎(chǔ)題型.
【核心知識】
知識點一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
內(nèi)容 意義 備注
復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b 若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)
復(fù)數(shù)相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共軛復(fù)數(shù) a＋bi與c＋di共軛 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
復(fù)平面 建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸 實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù)
復(fù)數(shù)的模 設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
知識點二 復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R).
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知識點三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知識必備】
1.賦值號左邊只能是變量(不是表達(dá)式)，在一個賦值語句中只能給一個變量賦值.
2.直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”，兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反.
3.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
4.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·＝|z|2＝||2.
5.兩個注意點
(1)兩個虛數(shù)不能比較大小；
(2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.
【高頻考點】
高頻考點一 復(fù)數(shù)的相關(guān)概念
【例1】（2023·浙江卷）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.
故選C。
【變式探究】(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C　
【解析】因為a－1＋(a－2)i是實數(shù)，所以a－2＝0，所以a＝2，故選C.
【舉一反三】(2020·全國卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【答案】C　
【解析】因為z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝，故選C.
【變式探究】（2023·新課標(biāo)Ⅲ）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
【變式探究】（2023·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.
【答案】C　
【解析】法一：因為z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.
法二：因為z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故選C。
【方法技巧】
1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
2．解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
【變式探究】已知z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則|z|＝(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
【答案】C　
【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以復(fù)數(shù)＝＝＝.
因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以a2＋b2＝1，a≠0.
所以|z|＝＝1.
高頻考點二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【例2】（2023·北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得：，故選D。
【舉一反三】
(1)(2020·新高考全國卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i　　　　　　　 B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全國卷Ⅰ)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全國卷Ⅰ)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故選B.
(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故選D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故選D.
(3)＝＝＝－i.
【答案】(1)B　(2)D　(3)D
【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】D　
【解析】由題意得z＝＝＝1＋i，故選D.
【方法技巧】復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實數(shù)化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．
【變式探究】(1)（2023·全國Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
(2)（2023·全國Ⅰ卷)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　)
A.0 B. C.1 D.
(3)（2023·全國Ⅱ卷)i(2＋3i)＝(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
【答案】(1)D　(2)C　 (3)D
【解析】(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故選D.
(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝|i|＝1.故選C.
(3)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D.
【舉一反三】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
【答案】C
【解析】解法一：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.故選C.
解法二：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝i可化為1＋2a＋2bi＝i－ai＋b，則1＋2a＋2bi＝b＋(1－a)i，所以解得所以z＝－＋i.故選C.
高頻考點三 復(fù)數(shù)的幾何意義
【例3】（2023·全國卷）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，
該點在第一象限，故選A。
【變式探究】（2023·北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，.
【變式探究】(1)(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】(1)C　(2)C　
【解析】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z與i分別表示復(fù)平面內(nèi)的點Z與點P，則P(0，1)，且|z－i|表示復(fù)平面內(nèi)點Z與點P之間的距離，所以點Z(x，y)到點P(0，1)的距離為定值1，所以Z的軌跡是以(0，1)為圓心，1為半徑的圓，故選C.
(2)∵z＝－3＋2i，∴z＝－3－2i，
∴在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點為(－3，－2)，此點在第三象限．
【方法技巧】與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法
第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；
第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(a，b)一一對應(yīng)．
【變式探究】歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，eeq \s\up8(i)表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A　
【解析】根據(jù)題意eix＝cos x＋isin x，故eeq \s\up8(i)＝cos＋isin＝＋i，表示的復(fù)數(shù)在第一象限．
高頻考點四　復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
【例4】(1)若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)滿足z－2＝1＋3i，則|z|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
【答案】A　
【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.
(2)已知復(fù)數(shù)z＝－1＋i(i是虛數(shù)單位)，則＝(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【答案】A　
【解析】因為z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，則z2＋z＝－1－i，
所以＝＝＝＝－1.故選A．
【變式探究】若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，則|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
【答案】C　
【解析】由題意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，
則z＝＝＝5，所以|z|＝5.

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