資源簡介

第26講 數列的概念與簡單表示
【練基礎】
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，則a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
2．如圖所示，這是一個正六邊形的序列，則第n個圖形的邊數為( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
3．已知數列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
4．數列，－，，－，…的第10項是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
5．數列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數列最大項的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
6．設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是(　　)
A. B.
C．4 D．0
7．已知數列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝( )
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
8．設數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝(　　)
A. B.
C．3 D.
9．設數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數列，則an＝( )
A. B.
C. D.
10．設數列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1與a2n＋2－a2n＋1＝a2n，則數列{an}的前12項的和為(　　)
A．364 B．728
C．907 D．1 635
【練提升】
1．九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝．據明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合而為一”．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個圓環所需的最少移動次數，{an}滿足a1＝1，且an＝則解下4個環所需的最少移動次數為( )
A．7 B．10
C．12 D．22
2．已知數列1，，，，，，，，，，…，則是該數列的( )
A．第127項 B．第128項
C．第129項 D．第130項
3．已知Sn為數列{an}的前n項和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若關于正整數n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整數解有兩個，則正實數t的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
4．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．在數列{an}中，an>0，且前n項和Sn滿足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為________．
6．已知數列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
7．已知數列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數列中有多少項是負數？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；
(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數k的取值范圍．
8．已知函數f(x)＝2x－2－x，數列{an}滿足f(log2an)＝－2n.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：數列{an}是遞減數列．
9．已知二次函數f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個零點，數列{an}的前n項和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設cn＝1－(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數m的個數，稱為這個數列{cn}的變號數，求數列{cn}的變號數．
第26講 數列的概念與簡單表示
【練基礎】
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，則a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
【答案】D
【解析】∵數列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝ －8.故選D.
2．如圖所示，這是一個正六邊形的序列，則第n個圖形的邊數為( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
【答案】C
【解析】第一個圖形是六邊形，即a1＝6，以后每個圖形是在前一個圖形的基礎上增加5條邊，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，觀察可得選項C滿足此條件．
3．已知數列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
【答案】C
【解析】由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴為常數列，即＝＝1，故an＝n.故選C.
4．數列，－，，－，…的第10項是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】C
【解析】觀察前4項可知，此數列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1·，所以a10＝－.
5．數列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數列最大項的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
【答案】D
【解析】an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋.結合二次函數的性質可得此數列的最大項為a7＝108.
6．設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是(　　)
A. B.
C．4 D．0
【答案】D
【解析】因為an＝－32＋，由二次函數性質，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0.
7．已知數列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝( )
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
【答案】C
【解析】解法一：特值法可確定C正確．
解法二：an＝n(an＋1－an)，而＝，則an＝××…××＝××…××＝n.故選C.
8．設數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝(　　)
A. B.
C．3 D.
【答案】B
【解析】令bn＝nan，
則由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，
得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，
∴數列{bn}是以1為首項，以2a2－a1＝3為公差的等差數列，
則bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝，∴a18＝＝.故選B.
9．設數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數列，則an＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，Sn＋nan＝2，當n≥2時，(n＋1)an＝(n－1)an－1，從而···…·＝××…×，得an＝，n＝1時，上式也成立．故選B.
10．設數列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1與a2n＋2－a2n＋1＝a2n，則數列{an}的前12項的和為(　　)
A．364 B．728
C．907 D．1 635
【答案】C
【解析】數列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1，則a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243.
由于a2n＋2－a2n＋1＝a2n，所以a2n＋2＝a2n＋1＋a2n，
故a4＝a3＋a2＝4，a6＝a5＋a4＝13，a8＝a7＋a6＝40，a10＝a9＋a8＝121，a12＝a11＋a10＝364，
所以數列{an}的前12項的和為1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故選C.
【練提升】
1．九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝．據明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合而為一”．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個圓環所需的最少移動次數，{an}滿足a1＝1，且an＝則解下4個環所需的最少移動次數為( )
A．7 B．10
C．12 D．22
【答案】A
【解析】依題意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7.
2．已知數列1，，，，，，，，，，…，則是該數列的( )
A．第127項 B．第128項
C．第129項 D．第130項
【答案】B
【解析】將該數列的第一項1寫成，再將該數列分組，第一組1項：；第二組2項：，；第三組3項：，，；第四組4項：，，，，…，容易發現：每組中各個分數的分子與分母之和均為該組序號加1，且從第二組起每組的分子從1開始依次增加1，因此應位于第十六組中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是該數列的第128項．
3．已知Sn為數列{an}的前n項和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若關于正整數n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整數解有兩個，則正實數t的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，∴當n≥2時，2Sn－1＝nan－1，
∴2an＝2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1，整理得＝(n≥2)，
∴＝＝…＝＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．
不等式a－tan≤2t2可化為(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
∴04．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若數列{an}為遞增數列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<.由λ<1可推得λ<，但反過來，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的充分不必要條件，故選A.
5．在數列{an}中，an>0，且前n項和Sn滿足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為________．
【解析】當n＝1時，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；
當n≥2時，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1，
得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，
兩式相減得4Sn－4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an，
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因為an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
又a1＝1，故數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
【答案】an＝2n－1
6．已知數列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
【解析】 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)當n>1時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1，
所以a2＝a1，
a3＝a2，
…
an－1＝an－2，
an＝an－1，
將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an＝.
當n＝1時，滿足上式．
綜上，{an}的通項公式an＝.
7．已知數列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數列中有多少項是負數？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；
(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數k的取值范圍．
【解析】(1)由n2－5n＋4<0，解得1因為n∈N*，所以n＝2,3，
所以數列中有兩項是負數，即為a2，a3.
因為an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函數性質，得當n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知該數列是一個遞增數列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數，考慮到n∈N*，所以－<，解得k>－3.
所以實數k的取值范圍為(－3，＋∞)．
8．已知函數f(x)＝2x－2－x，數列{an}滿足f(log2an)＝－2n.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：數列{an}是遞減數列．
【解析】 (1)因為f(x)＝2x－，f(log2an)＝－2n，所以an－＝－2n，所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±，
因為an>0，所以an＝－n，n∈N*.
(2)證明：＝
＝<1，
因為an>0，所以an＋19．已知二次函數f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個零點，數列{an}的前n項和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設cn＝1－(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數m的個數，稱為這個數列{cn}的變號數，求數列{cn}的變號數．
【解析】(1)依題意，當f(x)＝0時，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
當n＝1時，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
(2)由題意得cn＝
由cn＝1－可知，當n≥5時，恒有cn>0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，
所以數列{cn}的變號數為3.第26講 數列的概念與簡單表示
【學科素養】
1.與歸納推理相結合，考查數列的概念與通項，凸顯邏輯推理的核心素養．
2.與函數相結合，考查數列的概念性質，凸顯數學抽象的核心素養．
3.與遞推公式相結合，考查對求通項公式的方法的掌握，凸顯數學運算、數學建模的核心素養．
【課標解讀】
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．　
2.了解數列是自變量為正整數的一類函數．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一般不單獨命題．預測2022年高考可能與遞推數列、等差、等比數列及前n項和綜合考查，涉及題型有：①由Sn求an；②由遞推關系求an；③根據an＝f(n)求最值．題型一般為客觀題，也可能作為解答題中的一問，試題難度一般不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點1. 數列的有關概念
(1)數列的定義
按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
(2)數列的分類
分類原則 類型 滿足條件
按項數分類 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
按項與項間的大小關系分類 遞增數列 an＋1>an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1常數列 an＋1＝an
按周期分類 周期數列 對于n∈N*，存在正整數k，使an＋k＝an
按其他標準分類 有界數列 存在正數M，使|an|≤M
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
(3)數列的表示法
數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
知識點2．數列的通項公式
(1)數列的通項公式
如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式an＝f(n)來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．
(2)數列的遞推公式
如果已知數列{an}的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
(3)已知數列{an}的前n項和為Sn，則an＝
【必會結論】
1．若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝
2．在數列{an}中，若an最大，則
若an最小，則
3．數列與函數的關系
數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列．
【高頻考點】
高頻考點一 由an與Sn的關系求通項公式
例1. （2023·新課標Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊
【變式探究】(2019·上海卷)已知數列{an}前n項和為Sn，且滿足Sn＋an＝2，則S5＝________.
【舉一反三】 （2023·全國卷Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．
【變式探究】已知正項數列{an}中，＋＋…＋＝，則數列{an}的通項公式為(　　)
A．an＝n　　 B．an＝n2
C．an＝ D．an＝高頻考點二 由遞推關系式求數列的通項公式
例2.設[x]表示不超過x的最大整數，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
【方法技巧】由遞推公式求通項公式的方法
方法 適用類型 要點
累加法 an＋1＝an＋f(n)，變形為an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
累乘法 an＋1＝f(n)an，變形為＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
待定系數法 an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*) 變形為an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系數法求t)，可得以p為公比的等比數列{an＋t}的通項公式，進而可求an
取倒數法 an＋1＝(p，q，r是常數)變形為＝·＋ ①若p＝r，則是等差數列，且公差為，可用公式求通項；②若p≠r，則轉化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數法構造新數列求解
賦值法 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n) 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意對n＝1的情況進行討論)
【變式探究】數列{an}滿足a1＝3，且對于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，則a39＝________.
高頻考點三 數列的周期性及應用
例3. （2023·新課標Ⅱ）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（ ）
A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……
【變式探究】設數列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－，記數列{an}的前n項之積為Pn，則P2 021(　　)
A．－ B． C．1 D．－1
【變式探究】在數列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，則a2 021的值為(　　)
A．－　　　　　　　 B．5
C. D.
高頻考點四 數列的單調性及應用
例4. (2020·四川綿陽中學模擬) 已知an＝，那么數列{an}是(　　)
A．遞減數列　 B．遞增數列
C．常數列 D．擺動數列【變式探究】(2020·河南新鄉一中模擬)數列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·，則此數列的最大項是第________項．
【舉一反三】已知數列{an}滿足a1＝2,2anan＋1＝a＋1，設bn＝，則數列{bn}是(　　)
A．常數列 B．擺動數列
C．遞增數列 D．遞減數列
高頻考點五 數列中的最大(小)項
【例5】已知數列{an}的通項公式為an＝，則數列中的最大項為________．
【方法技巧】求數列最大項或最小項的方法
(1)將數列視為函數f(x)當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f(x)的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出f(x)的最值，進而求出數列的最大(小)項．
(2)通過通項公式an研究數列的單調性，利用(n≥2)確定最大項，利用(n≥2)確定最小項．
(3)比較法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0（或an>0時，>1），則an＋1>an，即數列{an}是遞增數列，所以數列{an}的最小項為a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0（或an>0時，<1），則an＋1【變式探究】若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 021的值為(　　)
A．2 B．－3
C．－ D.
【舉一反三】若數列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數列{nan}中數值最小的項是(　　)
A．第2項 B．第3項
C．第4項 D．第5項
第26講 數列的概念與簡單表示
【學科素養】
1.與歸納推理相結合，考查數列的概念與通項，凸顯邏輯推理的核心素養．
2.與函數相結合，考查數列的概念性質，凸顯數學抽象的核心素養．
3.與遞推公式相結合，考查對求通項公式的方法的掌握，凸顯數學運算、數學建模的核心素養．
【課標解讀】
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．　
2.了解數列是自變量為正整數的一類函數．
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一般不單獨命題．預測2022年高考可能與遞推數列、等差、等比數列及前n項和綜合考查，涉及題型有：①由Sn求an；②由遞推關系求an；③根據an＝f(n)求最值．題型一般為客觀題，也可能作為解答題中的一問，試題難度一般不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點1. 數列的有關概念
(1)數列的定義
按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
(2)數列的分類
分類原則 類型 滿足條件
按項數分類 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
按項與項間的大小關系分類 遞增數列 an＋1>an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1常數列 an＋1＝an
按周期分類 周期數列 對于n∈N*，存在正整數k，使an＋k＝an
按其他標準分類 有界數列 存在正數M，使|an|≤M
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
(3)數列的表示法
數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
知識點2．數列的通項公式
(1)數列的通項公式
如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式an＝f(n)來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．
(2)數列的遞推公式
如果已知數列{an}的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
(3)已知數列{an}的前n項和為Sn，則an＝
【必會結論】
1．若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝
2．在數列{an}中，若an最大，則
若an最小，則
3．數列與函數的關系
數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列．
【高頻考點】
高頻考點一 由an與Sn的關系求通項公式
例1. （2023·新課標Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊
【答案】C
【解析】設第n環天石心塊數為，第一層共有n環，
則是以9為首項，9為公差的等差數列，，
設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
【變式探究】(2019·上海卷)已知數列{an}前n項和為Sn，且滿足Sn＋an＝2，則S5＝________.
【答案】　
【解析】當n＝1時，S1＋a1＝2，所以a1＝1.
當n≥2時，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，
兩式相減得an＝an－1(n≥2)，
所以{an}是以1為首項，為公比的等比數列，
所以Sn＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))，
所以S5＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))＝.
【舉一反三】 （2023·全國卷Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．
【解析】因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
【答案】－63
【變式探究】已知正項數列{an}中，＋＋…＋＝，則數列{an}的通項公式為(　　)
A．an＝n　　 B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
【答案】B　
【解析】∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
兩式相減得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又當n＝1時，＝＝1，a1＝1，適合①式，
∴an＝n2，n∈N*.故選B。
高頻考點二 由遞推關系式求數列的通項公式
例2.設[x]表示不超過x的最大整數，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
A　解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．
又a1＝1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，
則＝＝2.
所以＋＋…＋＝2
＝2＝.
所以＝＝1.
【方法技巧】由遞推公式求通項公式的方法
方法 適用類型 要點
累加法 an＋1＝an＋f(n)，變形為an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
累乘法 an＋1＝f(n)an，變形為＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
待定系數法 an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*) 變形為an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系數法求t)，可得以p為公比的等比數列{an＋t}的通項公式，進而可求an
取倒數法 an＋1＝(p，q，r是常數)變形為＝·＋ ①若p＝r，則是等差數列，且公差為，可用公式求通項；②若p≠r，則轉化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數法構造新數列求解
賦值法 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n) 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意對n＝1的情況進行討論)
【變式探究】數列{an}滿足a1＝3，且對于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，則a39＝________.
820　解析：因為an＋1－an＝n＋2，
所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)．
上面(n－1)個式子左右兩邊分別相加得an－a1＝(n≥2)，
即an＝(n≥2)．
當n＝1時，a1＝3適合上式，
所以an＝，n∈N*，
所以a39＝＝820.
高頻考點三 數列的周期性及應用
例3. （2023·新課標Ⅱ）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（ ）
A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……
【答案】C
【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，
對于選項A，
，不滿足；
對于選項B，
，不滿足；
對于選項D，
，不滿足；
【變式探究】設數列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－，記數列{an}的前n項之積為Pn，則P2 021(　　)
A．－ B． C．1 D．－1
D　解析：a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，此時數列的項開始重復出現，呈現周期性，周期為3.
且P3＝－1,2021＝3×673＋2，
所以P2 021＝(－1)673×a1a2＝－1.
【變式探究】在數列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，則a2 021的值為(　　)
A．－　　　　　　　 B．5
C. D.
【答案】B
【解析】因為在數列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，
所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，
所以{an}是以3為周期的周期數列，
所以a2 021＝a673×3＋2＝a2＝5.
高頻考點四 數列的單調性及應用
例4. (2020·四川綿陽中學模擬) 已知an＝，那么數列{an}是(　　)
A．遞減數列　 B．遞增數列
C．常數列 D．擺動數列
【答案】B　
【解析】an＝1－，將an看作關于n的函數，n∈N*，易知{an}是遞增數列．
【變式探究】(2020·河南新鄉一中模擬)數列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·，則此數列的最大項是第________項．
【答案】9或10　
【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝×，
當n＜9時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n＞9時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
∴該數列中有最大項，且最大項為第9，10項．
【舉一反三】已知數列{an}滿足a1＝2,2anan＋1＝a＋1，設bn＝，則數列{bn}是(　　)
A．常數列 B．擺動數列
C．遞增數列 D．遞減數列
【答案】D
【解析】∵2anan＋1＝a＋1，∴an＋1＝.
∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝＝b>0.
∵a1＝2，∴b1＝＝，b2＝2，b3＝2＝4，b4＝2＝8，
∴數列{bn}是遞減數列，故選D.
高頻考點五 數列中的最大(小)項
【例5】已知數列{an}的通項公式為an＝，則數列中的最大項為________．
【解析】法一：an＋1－an＝－＝·，
當n<8時，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當n＝8時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n>8時，an＋1－an<0，即an＋1則a1a10>a11>…，故數列{an}中的最大項為第8項和第9項，且a8＝a9＝＝.
法二：設數列{an}中的第n項最大，
則即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，則n＝8或n＝9.
故數列{an}中的最大項為第8項和第9項，且a8＝a9＝.
【答案】
【方法技巧】求數列最大項或最小項的方法
(1)將數列視為函數f(x)當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f(x)的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出f(x)的最值，進而求出數列的最大(小)項．
(2)通過通項公式an研究數列的單調性，利用(n≥2)確定最大項，利用(n≥2)確定最小項．
(3)比較法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0（或an>0時，>1），則an＋1>an，即數列{an}是遞增數列，所以數列{an}的最小項為a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0（或an>0時，<1），則an＋1【變式探究】若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 021的值為(　　)
A．2 B．－3
C．－ D.
【答案】A　
【解析】因為a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2，
故數列{an}是以4為周期的周期數列，
故a2 021＝a505×4＋1＝a1＝2.
【舉一反三】若數列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數列{nan}中數值最小的項是(　　)
A．第2項 B．第3項
C．第4項 D．第5項
【答案】D　
【解析】∵Sn＝n2－10n，
∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
當n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函數圖象的對稱軸為直線n＝，但n∈N*，
∴當n＝3時，f(n)取最小值．
∴數列{nan}中數值最小的項是第3項．

展開更多......

收起↑