資源簡介

第32講 基本不等式
【練基礎(chǔ)】
1．設(shè)a>0，則a＋的最小值為(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
2． x>0，使得＋x－a≤0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3．設(shè)x為實數(shù)，則“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，則2a＋4b的最小值為(　　)
A．4 B．4
C．8 D．2
5．在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
6．若實數(shù)a, b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　)
A. B．2
C．2 D．4
7．若不等式＋－m≥0對x∈恒成立，則實數(shù)m的最大值為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
8．用一段長8 cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型面積的最大值為(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
9．若x>1，則x＋的最小值為________．
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，則＋的最小值是________．
【練提升】
1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2.如圖，三棱錐P ABC的四個頂點恰是長、寬、高分別是m,2，n的長方體的頂點，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為(　　)
A. B.
C. D．36π
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，＋－的最大值為(　　)
A．0 B．1
C. D．3
5．已知a>0，b>0，并且，，成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為(　　)
A．16 B．9
C．5 D．4
6．在△ABC中，點F為線段BC上任一點(不含端點)，若＝2x＋y (x>0，y>0)，則＋的最小值為(　　)
A．1 B．8
C．2 D．4
7．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．12
8．若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　)
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
9．為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg/L)隨時間t(單位：h)的變化關(guān)系為C＝，則經(jīng)過________ h后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．
10．已知a>0，b>0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．
11．已知a>0，b>0，則的最小值為________．
12．某制藥廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”)．
(1)試將年利潤w萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損還是盈利？
(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？
第32講 基本不等式
【練基礎(chǔ)】
1．設(shè)a>0，則a＋的最小值為(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時取等號，故選D.
2． x>0，使得＋x－a≤0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【答案】B
【解析】因為＋x－a≤0，所以a≥＋x≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以只需a≥2，故選B.
3．設(shè)x為實數(shù)，則“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若x<0，則－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分條件；若x＋≤－2，則≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要條件．綜上，“x<0”是“x＋≤－2”的充要條件．故選C.
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，則2a＋4b的最小值為(　　)
A．4 B．4
C．8 D．2
【答案】C
【解析】由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2＝8(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝22b，即a＝2b時取等號)．
5．在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
【答案】D
【解析】對于選項A，當(dāng)x>0時，y＝x＋≥2 ＝2；當(dāng)x<0時，y＝x＋≤－2，故A不合題意．對于選項B，由于06．若實數(shù)a, b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　)
A. B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵＋＝，∴a>0，b>0，
∵＝＋≥2 ＝2 ，
∴ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取等號)，
∴ab的最小值為2，故選C.
7．若不等式＋－m≥0對x∈恒成立，則實數(shù)m的最大值為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】將不等式化為＋≥m，只需當(dāng)x∈時，min≥m即可，由＋＝(4x＋1－4x)＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號，故m≤9，故m的最大值為9.故選C.
8．用一段長8 cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型面積的最大值為(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
【答案】C
【解析】設(shè)矩形模型的長和寬分別為x cm，y cm，則x>0，y>0，由題意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面積S＝xy≤＝＝4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時取等號，所以當(dāng)矩形模型的長和寬都為2 cm時，面積最大，為4 cm2.故選C.
9．若x>1，則x＋的最小值為________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝3時等號成立．
答案：5
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，則＋的最小值是________．
解析：＋＝(a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時等號成立．
答案：25
【練提升】
1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】D
【解析】由1＝2x＋2y≥2，變形為2x＋y≤，即x＋y≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號．則x＋y的取值范圍是(－∞，－2]．
2.如圖，三棱錐P ABC的四個頂點恰是長、寬、高分別是m,2，n的長方體的頂點，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為(　　)
A. B.
C. D．36π
【答案】C
【解析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為n，所以·n··m·2＝2，所以mn＝6，又該三棱錐的外接球就是長方體的外接球，該外接球的直徑是長方體的體對角線，設(shè)外接球的半徑為R，所以2R＝，所以2R≥＝＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，等號成立，所以R≥2，所以該三棱錐外接球的體積為πR3≥π×23＝.故選C.
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，故選B.
法二：由題意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，故選B.
4．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，＋－的最大值為(　　)
A．0 B．1
C. D．3
【答案】B
【解析】＝＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立，此時z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時等號成立，故所求的最大值為1.
5．已知a>0，b>0，并且，，成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為(　　)
A．16 B．9
C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵，，成等差數(shù)列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即a＝4，b＝時等號成立，故選A.
6．在△ABC中，點F為線段BC上任一點(不含端點)，若＝2x＋y (x>0，y>0)，則＋的最小值為(　　)
A．1 B．8
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由于點F在線段BC上，由向量共線定理可得2x＋y＝1，則＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x，即x＝，y＝時等號成立，故選B.
7．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥ 2 ＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1時取等號．故選B.
8．若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　)
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
【答案】C
【解析】由題意得＝，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)＝4＋3＋＋≥7＋2 ＝7＋4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取等號．故選C.
9．為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg/L)隨時間t(單位：h)的變化關(guān)系為C＝，則經(jīng)過________ h后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．
解析：C＝＝≤＝5，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時取等號，因此經(jīng)過2 h后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．
答案：2
10．已知a>0，b>0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．
解析：由兩條直線互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝(a·2b)≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號．故ab的最大值是.
答案：
11．已知a>0，b>0，則的最小值為________．
解析：＝＋＋ab≥2＋ab＝＋ab≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為4.
答案：4
12．某制藥廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”)．
(1)試將年利潤w萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損還是盈利？
(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？
解析：(1)由題意，每件售價為×150%＋×50%＝，則w＝·Q－x－3－32Q＝＝.
因為當(dāng)x＝100時，w＝<0，所以企業(yè)虧損．
(2)w＝＝－＋50≤50－8＝42(當(dāng)且僅當(dāng)x＝7時等號成立)．
故當(dāng)年廣告費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大．第32講 基本不等式
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.結(jié)合作差法，了解基本不等式的證明過程，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2.結(jié)合求函數(shù)最值問題，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3.結(jié)合實際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.了解基本不等式的證明過程；
2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預(yù)測2022年將會考查利用基本不等式求最值或比較大小，也可能與其他知識綜合考查，體現(xiàn)基本不等式的工具性．試題難度不大，但技巧性強，靈活多變，客觀題或解答題均可能出現(xiàn).
【核心知識】
知識點一 基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.
(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.
知識點二 幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同號)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
知識點三 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
知識點四 利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則
(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)．
【特別提醒】
1.此結(jié)論應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指等號成立.
2.連續(xù)使用基本不等式時，牢記等號要同時成立.
【高頻考點】
高頻考點一 利用基本不等式求最值
【例1】（2023·天津卷）若，則的最小值為____________．
【變式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，則＋＋的最小值為________．
【舉一反三】【2020·江蘇卷】已知，則的最小值是 ▲ ．
【方法技巧】
1.通過拼湊法利用基本不等式求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點
拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．　
2.通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
【變式探究】若對任意x>0，≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【舉一反三】若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　)
A． B． C． D．
高頻考點二 利用基本不等式解決實際問題
【例2】（2023·江蘇卷）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y萬元與年產(chǎn)量x噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.
（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤 并求最大利潤.
【變式探究】經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【變式探究】【2019·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
，，，，，，，，
【方法技巧】
(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．
【變式探究】某廠家擬在2021年“雙十一”舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t＝5－(其中0≤x≤k，k為正常數(shù))．現(xiàn)假定產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本(10＋2t)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為元/件．
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【舉一反三】經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y＝
(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？
(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？
高頻考點三 基本不等式的綜合應(yīng)用
【例3】（2023·江蘇卷）已知函數(shù)的定義域是.
（1）求實數(shù)的取值范圍;
（2）解關(guān)于的不等式.
【變式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，則＋＋的最小值為________．
【方法技巧】
(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍．
【變式探究】(2019·天津卷)設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝5，則的最小值為________．
【舉一反三】(1)如圖，在△ABC中，＝2，過點M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點P，Q，若＝m，＝n，則mn＋m的最小值為(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C．6 D．6
(2)已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
第32講 基本不等式
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.結(jié)合作差法，了解基本不等式的證明過程，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2.結(jié)合求函數(shù)最值問題，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3.結(jié)合實際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.了解基本不等式的證明過程；
2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預(yù)測2022年將會考查利用基本不等式求最值或比較大小，也可能與其他知識綜合考查，體現(xiàn)基本不等式的工具性．試題難度不大，但技巧性強，靈活多變，客觀題或解答題均可能出現(xiàn).
【核心知識】
知識點一 基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.
(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.
知識點二 幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同號)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
知識點三 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
知識點四 利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則
(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)．
【特別提醒】
1.此結(jié)論應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指等號成立.
2.連續(xù)使用基本不等式時，牢記等號要同時成立.
【高頻考點】
高頻考點一 利用基本不等式求最值
【例1】（2023·天津卷）若，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，則＋＋的最小值為________．
【解析】依題意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＋b＝4時取等號．因此，＋＋的最小值為4.
【答案】4
【舉一反三】【2020·江蘇卷】已知，則的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
∴的最小值為.
【方法技巧】
1.通過拼湊法利用基本不等式求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點
拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．　
2.通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
【變式探究】若對任意x>0，≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為對任意x>0，≤a恒成立，所以對x∈(0，＋∞)，a≥max，而對x∈(0，＋∞)，＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立，所以a≥.故選A.
【舉一反三】若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號．
故x＋2y的最小值為.
高頻考點二 利用基本不等式解決實際問題
【例2】（2023·江蘇卷）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y萬元與年產(chǎn)量x噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.
（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤 并求最大利潤.
【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時，平均成本最低為16萬元；（2）年產(chǎn)量為110噸時，最大利潤為860萬元.
【解析】（1），
當(dāng)且僅當(dāng)時，即取“=”，符合題意；
∴年產(chǎn)量為100噸時，平均成本最低為16萬元.
（2）
又，∴當(dāng)時，.
答：年產(chǎn)量為110噸時，最大利潤為860萬元.
【變式探究】經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【解析】(1)由題意可知，當(dāng)m＝0時，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，
每1萬件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(萬元)，
∴2021年的利潤y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝28－－m(m≥0)．
∴利潤y表示為年促銷費用的函數(shù)關(guān)系式是y＝28－－m(m≥0)．
(2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)．
∵當(dāng)m≥0時，＋(m＋1)≥2 ＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1，即m＝3時取等號．
∴y≤－8＋29＝21，
即當(dāng)m＝3時，y取得最大值21.
∴當(dāng)該廠家2021年的促銷費用投入3萬元時，廠家獲得的利潤最大，為21萬元．
【變式探究】【2019·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）x=10，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.
（2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，
元時，李明得到的金額為，符合要求.
元時，有恒成立，即，即元，所以x的最大值為15。
【方法技巧】
(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．
【變式探究】某廠家擬在2021年“雙十一”舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t＝5－(其中0≤x≤k，k為正常數(shù))．現(xiàn)假定產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本(10＋2t)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為元/件．
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【解析】(1)由題意知，該產(chǎn)品售價為2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x，
代入t＝5－化簡，
得y＝20－(0≤x≤k)．
(2)y＝20－＝21－
≤21－2＝17，
當(dāng)且僅當(dāng)＝x＋1，即x＝1時，上式取等號．
當(dāng)k≥1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
當(dāng)00，
故y＝21－在0≤x≤k上單調(diào)遞增．
所以，在x＝k時，函數(shù)有最大值，即促銷費用投入k萬元時，廠家的利潤最大．
綜上，當(dāng)k≥1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
當(dāng)0【舉一反三】經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y＝
(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？
(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？
【解析】(1)當(dāng)x∈[50,80)時，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，當(dāng)x＝65時，y有最小值，為×675＝9；當(dāng)x∈[80,120]時，函數(shù)y＝12－單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝120時，y有最小值，為10.因為9＜10，所以該型號汽車的速度為65 km/h時，每小時耗油量最低．
(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知l＝y(tǒng)·，當(dāng)x∈[50,80)時，l＝y(tǒng)·＝≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝70時，l取得最小值，最小值為16；當(dāng)x∈[80,120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)，故當(dāng)x＝120時，l取得最小值，最小值為10.因為10＜16，所以當(dāng)速度為120 km/h時，總耗油量最少．
高頻考點三 基本不等式的綜合應(yīng)用
【例3】（2023·江蘇卷）已知函數(shù)的定義域是.
（1）求實數(shù)的取值范圍;
（2）解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因為函數(shù)的定義域是，
所以恒成立，
則，解得，的取值范圍為.
（2），即，
因為，所以，即，解得，
故不等式的解集為.
【變式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，則＋＋的最小值為________．
【答案】4　
【解析】因為a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)＝且ab＝1，即
或時，等號成立．
故＋＋的最小值為4.
【方法技巧】
(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍．
【變式探究】(2019·天津卷)設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝5，則的最小值為________．
【答案】4　
【解析】因為 x>0，y>0，所以 >0.
因為 x＋2y＝5，所以 ＝＝＝2＋≥2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)2＝，即x＝3，y＝1時取等號．所以 的最小值為4.
【舉一反三】(1)如圖，在△ABC中，＝2，過點M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點P，Q，若＝m，＝n，則mn＋m的最小值為(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C．6 D．6
(2)已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
【解析】(1)連接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因為P，M，Q三點共線，所以＋＝1，所以mn＋m＝＋m＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n＝1時取等號，
所以mn＋m的最小值為2.故選A.
(2)不等式＋≥m恒成立可轉(zhuǎn)化為min≥m.
由＝1，得2y＋3x＝xy，即＋＝1.
因為x>0，y>0，所以＋＝＝＋＋2≥2 ＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以min＝4.
故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，4]．
【答案】(1)A　(2)(－∞，4]

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